精品解析：甘肃省兰州市第五十五中学2023—2024学年七年级下学期开学测试数学试卷

2024年寒假作业检测卷 七年级数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体 B. 棱柱底面边数和侧面数不一定相等 C. 棱柱的侧面可能是三角形 D. 长方体是四棱柱，四棱柱是长方体 4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 正方体 D. 三棱锥 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 去年某市有万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ） A. 个体是每名考生的数学成绩 B. 万名学生是总体 C. 2000是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 7. 某商场促销，把原价元的空调以八折出售，仍可获利元，则这款空调进价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 8. 下列说法正确的是（ ） A. 两点之间，直线最短 B. 多项式的次数为3 C. 六棱柱有8个面 D. “与的和的3倍”可表示为 9. 若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 10. 数学兴趣小组的一位同学用棋子摆图形探究规律．如图所示，若按照他的规律继续摆下去，第n个图案中用了2025颗棋子，则n的值为（ ） A. 506 B. 507 C. 508 D. 509 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 11. 若．则的值是_____________． 12. 如图，D是的中点，且，则的长为_______． 13. 单项式与是同类项，则________ ，_________． 14. 、、在数轴上的位置如图所示，则__________. 三．解答题（共12小题，满分58分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足 18. 如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图所示，已知直线，相交于点，且，平分，若，求的度数． 20. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 4 第2组 8 第3组 16 第4组 a 第5组 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ 21. 某自行车厂计划一周生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出人，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （2）该厂实行计件工资制度，每辆车元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 22. 佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． （1）甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； （2）在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 23. 如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14．若线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． （1）当点B与点C相遇时，点A，D在数轴上表示的数分别 ， ； （2）当t为何值时，点B刚好与线段的中点重合； （3）当运动到（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数． 24. 如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面.请观察各图形并解答有关问题： (1)在第个图形中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含的代数式表示)； (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为，用(1)中的表示； (3)当=20时，求的值； (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元购买瓷砖？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年寒假作业检测卷 七年级数学 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数求解，即可解题． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 正方体和长方体是特殊的四棱柱，也是特殊的六面体 B. 棱柱底面边数和侧面数不一定相等 C. 棱柱的侧面可能是三角形 D. 长方体是四棱柱，四棱柱是长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了立体图形的认识，解题关键是熟练掌握棱柱的相关知识．根据生活中常见的立体图形的特征分别判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：A．∵正方体和长方体是特殊的四棱柱，共有六个面， ∴正方体和长方体也是特殊的六面体，故此选项的说法正确，故此选项符合题意； B．∵棱柱底面边数和侧面数相等，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； C．∵棱柱的侧面是平行四边形，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； D．∵长方体是四棱柱，但四棱柱不一定是长方体，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱 C. 正方体 D. 三棱锥 【答案】A 【解析】 【详解】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形， 由于俯视图为三角形可得为三棱柱、三棱锥． 主视图和左视图为矩形可得此几何体为三棱柱． 故选A． 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角度的比较大小，将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：A． 6. 去年某市有万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（ ） A. 个体是每名考生的数学成绩 B. 万名学生是总体 C. 2000是样本容量 D. 2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位是关键． 总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考察的对象．从而找出总体、个体． 【详解】解：A、个体是每名考生的数学成绩，故说法正确，不符合题意； B、5.6万名考生的数学成绩是总体，故说法错误，符合题意； C、2000是样本容量，故说法正确，不符合题意； D、2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故说法正确，不符合题意． 故选：B． 7. 某商场促销，把原价元的空调以八折出售，仍可获利元，则这款空调进价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设这款空调进价为元，根据“把原价元的空调以八折出售，仍可获利元”列出关系式求解即可． 【详解】解：设这款空调进价为元，根据题意得 ， 解得：， 这款空调进价为1600元， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 两点之间，直线最短 B. 多项式的次数为3 C. 六棱柱有8个面 D. “与的和的3倍”可表示为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、多项式的次数、棱柱的面、列代数式，属于基础性题目，比较简单． 【详解】解：A．两点之间，线段最短，故A错误； B．多项式次数为4，故B错误； C．六棱锥有8个面，故C正确； D．“a与的和的3倍”表示为，故D错误． 故选：C． 9. 若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（ ） A. 六边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个n边形从一个顶点可以引出对角线进行解答即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形是八边形，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握一个n边形从一个顶点可以引出对角线． 10. 数学兴趣小组的一位同学用棋子摆图形探究规律．如图所示，若按照他的规律继续摆下去，第n个图案中用了2025颗棋子，则n的值为（ ） A. 506 B. 507 C. 508 D. 509 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中给出的图案中棋子个数找出规律，得出第个图案有颗棋子，令求出n的值即可． 【详解】解：∵第1个图案有5颗棋子， 第2个图案有9颗棋子， 第3个图案有13颗棋子， 第4个图案有17颗棋子， …… 第个图案有颗棋子， ∴当时，解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律探索，解题的关键是根据题目中给出的图案，找出一般规律． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 11. 若．则的值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、非负数的性质，求代数式的值．根据乘方和绝对值的非负性可得x和y的值，然后代入求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，解得， ∴， 故答案为：. 12. 如图，D是的中点，且，则的长为_______． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．根据中点的定义，得到，根据，得到，进而得到，再根据，求出的长即可．理清线段之间的数量关系，是解题的关键． 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 13. 单项式与是同类项，则________ ，_________． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同由同类项的定义，先求出、的值，然后求出答案即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴或，； 故答案为：或． 14. 、、在数轴上的位置如图所示，则__________. 【答案】0 【解析】 【详解】由上图可知，a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，可得a+b＜，a+c＜0，c+b＞0，所以原式=-（a+b）+a+c+b-c=0． 点睛：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简． 三．解答题（共12小题，满分58分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答； （2）利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程．掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求解即可． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； 【小问2详解】 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确根据整式的加减计算法则化简是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： 18. 如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图所示，即为所求．（作法不唯一） 【解析】 【分析】作射线，再在射线截取，然后在上截取，则线段即为所求作的线段． 【详解】略 【点睛】本题考查作图-作线段的和差，熟练掌握线段的和差和作一线段等于已知线段是解题的关键． 19. 如图所示，已知直线，相交于点，且，平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等．先根据已知条件和对顶角的性质求出，，从而求出和，再根据角平分线的性质求出的度数即可． 【详解】解：直线、交于点， ， ， ， 直线、交于点， ， ， 平分， ． 20. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 4 第2组 8 第3组 16 第4组 a 第5组 10 请结合图表完成下列各题： （1）求表中a的值； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ 【答案】（1） （2）根据题意画图如下： ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求解； （2）根据统计表即可补全直方图； （3）根据优秀率的定义即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 本次测试的优秀率是， 答：本次测试的优秀率是． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 21. 某自行车厂计划一周生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出人，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ （2）该厂实行计件工资制度，每辆车元，一周结束超额完成任务时，超出部分每辆车奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】（1）辆 （2）元 【解析】 【分析】此题考查了正数与负数的应用，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据表格及题意求出七天的生产情况，即可求出产量最多的一天比产量最少的一天多生产的； （2）求出七天共生产的辆数，然后根据工资总额的计算方法即可得到结果． 【小问1详解】 解：辆． 所以产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆． 【小问2详解】 解：辆， 所以这一周实际共生产自行车辆． 故该厂工人这一周的工资总额为元． 22. 佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． （1）甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； （2）在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】（1）， （2）小贺在该商场购买甲种商品10或11件 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论即可． 【小问1详解】 解:设甲种商品的进价为元， 则 解得， 即甲种商品每件进价为50元， ， 即每件乙种商品利润率为， 故答案是：，； 【小问2详解】 解:设小贺在该商场购买甲种商品b件, ①当购物金额超过560元，但不超过700元时， 解得：； ②当购物金额超过700元时， 解得：． 答:小贺在该商场购买甲种商品10或11件． 23. 如图，数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14．若线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，同时线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为． （1）当点B与点C相遇时，点A，D在数轴上表示的数分别 ， ； （2）当t为何值时，点B刚好与线段的中点重合； （3）当运动到（单位长度）时，求出此时点B在数轴上表示的数． 【答案】（1）4，10 （2） （3）0或12 【解析】 【分析】（1）设运动时间为，可得，解方程可得t的值，再列式可得答案； （2）由（1）可知点B表示的数是，线段的中点在数轴上表示的数是，再建立方程得，解方程即可； （3）分两种情况讨论：①当点B在点C的左侧时，可得，②当点B在点C的右侧时，可得，再解方程可得答案． 【小问1详解】 解：∵数轴上线段（单位长度），线段（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． ∴B表示，D表示， 设运动时间为， ∴， 解得：， ∴点A表示的数是，点D表示的数是； 【小问2详解】 由（1）可知点B表示的数是，线段的中点在数轴上表示的数是， 依题意，得， 解得， 答：当是，点B刚好与线段的中点． 【小问3详解】 ①当点B在点C的左侧时， 依题意，得， 解得， 此时点B在数轴上表示的数是； ②当点B在点C的右侧时， 依题意，得， 解得， 此时点B在数轴上表示的数是； 答：点B在数轴上表示的数是0或12． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，线段的和差，中点的含义，理解题意，建立方程求解是关键． 24. 如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面.请观察各图形并解答有关问题： (1)在第个图形中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖(均用含的代数式表示)； (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为，用(1)中的表示； (3)当=20时，求的值； (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(3)中，共需花多少元购买瓷砖？ 【答案】(1)，；(2)；(3)506；(4)共需花1604元购买瓷砖. 【解析】 【分析】（1）观察图形可得：n=1时，横行有（1+3）块，数列有（1+2）块，以此类推可得出规律； （2）用每行的块数乘以每列的块数即可得到总块数； （3）将=20代入（2）中代数式求解即可； （4）由图形规律找到第n个图形中白瓷砖块数，总数减去白瓷砖块数等于黑瓷砖块数，再根据单价求费用即可. 【详解】解：（1）观察图形可得：n=1时，横行有（1+3）块，竖列有（1+2）块， n=2时，横行有（2+3）块，竖列有（2+2）块， n=3时，横行有（3+3）块，竖列有（3+2）块， …… 以此类推，第n个图中，每一横行有块，竖列有块， 故答案为：，. （2） （3）当时， （4）由图可知： 每一横行有白瓷砖块，每一竖列有白瓷砖n块，所以白瓷砖总数是块， 当=20时，黑白瓷砖共有506块，白瓷砖有块，所以黑瓷砖有506-420=86块， 所以共需花86×4＋420×3=1604元购买瓷砖. 【点睛】本题考查图形规律问题，根据前几个图形得出规律是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $