精品解析：四川省成都市武侯区西川中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题

数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2 如图，△ABC，∠B=90°，AB=3，BC=4，则cosA等于（） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A m＞2 B. m＞―2 C. m＜2 D. m＜―2 4. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 5. 在一个不透明的口袋中，装有a个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，摸到黄球的概率是0.2，则a的值是（ ） A. 16 B. 20 C. 25 D. 30 6. 如图，已知是的直径，C、D两点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线且与轴的一个交点为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 当时，随的增大而增大 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为_____． 10. 已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 3 … 则这个二次函数的图象的顶点坐标是_______． 11. 北京冬奥会激发了民众冰雪运动的热情．小明沿坡度为的斜坡向下滑行了100米，则他下降的高度为______米． 12. 石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径______m． 13. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交延长线于点，若，则______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14 （1）计算：； （2）解方程：． 15. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，4的小球，它们的形状，大小，质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，将球放回盒中，摇匀后，再由小亮随机取出一个小球，记下小球上的数字y． （1）用列表法或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求小明，小亮各取一次小球所确定的点落在二次函数图象上的概率． 16. 为了让同学们感受三角函数与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣和探索欲望，数学备课组开展了“利用三角函数测高”综合实践活动．某活动小组对操场外的居民楼进行测量，如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点B的仰角．在与点A相距5.25米的测点D处安置测倾器，测得点E的仰角（点A，D与N在一条直线上），求居民楼的高度．（参考数据：，，，计算结果精确到） 17. 如图．是的外接圆，为直径，弦交于E，且，过点C作的切线交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，若，求的半径及长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标： （2）当与的面积相等时，求点的坐标； （3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知方程x2-2x-5=0的两个根是m和n，则2m+4n-n2的值为______ ． 20. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为______． 21. 已知，如图，在中，．点D在边上，点E为的中点，且．则长为______． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．对任意的．称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是______；当时，L的取值范围是______． 23. 如图，已知中，，D为边上一点，点B关于直线对称点为点，连接，将绕点逆时针旋转，过点C作其垂线交于点E，得到等腰直角．那么在点D运动过程中，当点E恰好落在上时，的长为______；当最长时，的长为______． 三、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树． （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点P，与x轴交于点，B(点B位于点A左侧)，与y轴交于点C． （1）求c与b之间的关系，并求出点P的坐标(用含b的代数式表示)； （2）若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值； （3）在（2）的条件下，过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M，N(点M位于点N左侧)，探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 26. 如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点． （1）[尝试初探]当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由； （2）[深入探究]若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值； （3）[拓展延伸]连接，当为等腰三角形时，求值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学练习 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线． 故选：B． 2. 如图，△ABC，∠B=90°，AB=3，BC=4，则cosA等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中， 故选D． 3. 关于x一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. m＞2 B. m＞―2 C. m＜2 D. m＜―2 【答案】A 【解析】 【详解】对于一元二次方程的根的判别式△=b2-4ac，当△<0时方程没有实数根， 即△=16-8m<0， 解得：m>2， 故选A 4. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ） A. B. 4 C. 7 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵H为边中点， ∴． 故选：A． 5. 在一个不透明的口袋中，装有a个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，摸到黄球的概率是0.2，则a的值是（ ） A. 16 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得=0.2， 解得a=16． 即a的值为16． 经检验，a=16是分式方程的解． 故选：A． 【点睛】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 6. 如图，已知是的直径，C、D两点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用圆周角与圆心角的关系求出，然后利用邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵与是所对的圆周角及圆心角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆中的角度计算，熟练掌握圆周角定理和邻补角的性质是解决问题的关键． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质是正确判断的前提，把点的坐标代入是常用的方法．把点、、三点坐标代入反比例函数，求出的值，比较得出答案． 【详解】解：把点代入反比例函数得， ，，， ∴， 故选：C． 8. 如图是二次函数的图象，其对称轴为直线且与轴的一个交点为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系； 根据抛物线开口向下，抛物线与y轴正半轴有交点，抛物线的对称轴为直线即可判定A，求出与轴的另一个交点为，即可判定B，抛物线与x轴有两个交点和图像即可判定C，D． 【详解】∵抛物线开口向下，抛物线与y轴正半轴有交点，抛物线的对称轴为直线 ∴ ∴，故A不符合题意； ∵抛物线对称轴为直线且与轴的一个交点为， ∴与轴的另一个交点为 ∴当时，，即，故B符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴ ，即，故C不符合题意； 由图像可得：当时，随的增大而增大，故D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为_____． 【答案】-7 【解析】 【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值． 【详解】解：把2代入方程有：5×4+2k﹣6＝0 解得：k＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 10. 已知二次函数的函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 8 3 0 0 3 … 则这个二次函数的图象的顶点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，结合表格数据即可求得． 【详解】解：由表格数据结合二次函数图像对称性可得图象顶点为（1，-1）， 故答案为：（1，-1）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的对称性，掌握二次函数的图象关于对称轴对称是解题的关键． 11. 北京冬奥会激发了民众冰雪运动的热情．小明沿坡度为的斜坡向下滑行了100米，则他下降的高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图，设他下降的高度x米， ∵斜坡的坡度为， ∴这位同学滑行的水平距离米， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为米， 故答案为：． 12. 石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键． 设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则，根据 得到，中根据，解得． 【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得． 故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米． 故答案为：10． 13. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交延长线于点，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图、平行四边形的性质、角平分线的定义； 由作图过程可知，射线为的平分线，则，根据平行四边形的性质可得，可得，则，即． 【详解】由作图过程可知，射线为的平分线 ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：4 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，实数的运算等知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程． （1）根据特殊角三角函数值以及负整式指数幂的意义计算即可； （2）利用因式分解法求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， 或， ，． 15. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，4的小球，它们的形状，大小，质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，将球放回盒中，摇匀后，再由小亮随机取出一个小球，记下小球上的数字y． （1）用列表法或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）求小明，小亮各取一次小球所确定的点落在二次函数图象上的概率． 【答案】（1），，，，，，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率及二次函数的定义．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果． （2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：列表如下： 1 2 4 1 2 4 所有可能出现的结果为：，，，，，，，，； 【小问2详解】 解：共有9种情形，其中落在二次函数的图象上有2中，即点，， ． 16. 为了让同学们感受三角函数与生活的紧密联系，激发数学学习兴趣和探索欲望，数学备课组开展了“利用三角函数测高”综合实践活动．某活动小组对操场外的居民楼进行测量，如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点B的仰角．在与点A相距5.25米的测点D处安置测倾器，测得点E的仰角（点A，D与N在一条直线上），求居民楼的高度．（参考数据：，，，计算结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键． 延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，，根据， 得出，，利用锐角三角函数得出，即求解即可． 【详解】解：延长交于点F，如图， 设米， ∵，，，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形均为矩形， ∴米，，， ∵， ， ∴，， 中，，即， 解得（米）， ∴， 即电池板离地面的高度约为． 17. 如图．是的外接圆，为直径，弦交于E，且，过点C作的切线交延长线于点F． （1）求证：； （2）若，若，求的半径及长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可； （2）根据圆周角定理，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线，点为切点， ，即， 是为直径， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ，， ， 的半径为3， 是的直径，， ， 过点作，垂足为， ，， ， 在中，，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是正确解答的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标： （2）当与的面积相等时，求点的坐标； （3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）点的坐标为或； （3）存在，，． 【解析】 【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于，两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标； （2）首先依据与面积相等，推导出；过点作轴，交于，求得，进而得到的解析式为，与联立解答即可得解； （3）如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于，证明，根据正切的定义可得，可得的解析式为：，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论． 小问1详解】 解：点在直线上， ， ， ， ， 反比例函数的表达式为：， 则， 解得：，， ； 【小问2详解】 解：如图1， 当与的面积相等时，则； 过点作轴，交于， ， 的解析式为：， 当时，， ， ； 的解析式为：， 联立得：①或②， 解①得：或（不合题意，舍去）； 解②得：或（不合题意，舍去）； 综上，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在这样，两点，使四边形是“垂等四边形”，且；理由如下： 如图2，过点作轴于，过点作轴，过点作于， 在中，当时，， ， ， ，， 四边形是“垂等四边形”， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 设直线的解析式为：， 将点的坐标代入得：， ， 的解析式为：， ， 解得：或（舍）， ； ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 也是等腰直角三角形， ， ， 同理得：的解析式为：， 设， ， ， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知方程x2-2x-5=0的两个根是m和n，则2m+4n-n2的值为______ ． 【答案】-1   【解析】 【详解】分析：首先根据韦达定理得出m+n=2，根据方程的解得出，然后将代数式转化为2(m+n)－()，代入进行计算得出答案． 详解：∵m、n是方程的两个根， ∴m+n=2， ∵n是方程的解， ∴， ∴原式=2(m+n)－()=2×2－5=4－5=－1． 点睛：本题主要考查的是一元二次方程的解以及韦达定理，属于基础题型．理解公式是解决这个问题的关键． 20. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2．以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为2和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ∴是四边形的外接圆直径， ∵正方形的边长为2， ∴四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 21. 已知，如图，在中，．点D在边上，点E为的中点，且．则长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，，结合，即可判定，根据相似三角形的性质得到，进而求出即可． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．对任意的．称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是______；当时，L的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，由，从而可得抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为，再由，从而，结合题意可得，结合二次函数的性质可得，当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值为，故，进而可得的范围；又当时，，，从而，故当时，，当时，，进而可以判断得解． 【详解】解：根据题意可得：， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． ，即与的差值为7， ． ，即， ． ． 当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为． 当时，有最小值，最小值为， ． 对称轴是直线． 当时，随的增大而增大． 当时，有最小值，最小值为4． 当时，有最大值，最大值为． 综上所述：． 当时， 当时，， 当时，， ， ． 故答案为：；． 23. 如图，已知中，，D为边上一点，点B关于直线的对称点为点，连接，将绕点逆时针旋转，过点C作其垂线交于点E，得到等腰直角．那么在点D运动过程中，当点E恰好落在上时，的长为______；当最长时，的长为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接．由，得，由对称得，设，得，．由，得，故，再计算即可．由为等腰，得在直径为的中点为圆心的圆上运动．由为直径，得为直径时，最大，故为中点．由四边形为正方形，得，证明为等腰，得，，再换算得． 【详解】解：当点恰好落在上时，如图所示：连接． ， ， ，， ， ， ， ， 由对称得， ， 设， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 为等腰， 在直径为的中点为圆心的圆上运动． 为直径， 为直径时，最大． 故为中点． 则、、、四点共圆． 交于，连． 四边形为正方形， ， 为直径， ， ． 过作， 为等腰， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，四点共圆，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，点到圆上的距离，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树． （1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 【答案】（1）y=600-5x（0≤x＜120）；（2）果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【解析】 【分析】（1）首先确定每棵树多结的橙子个数为5x，再根据平均每棵树结的橙子个数=600+每棵树多结的橙子个数列出关系式； （2）根据橙子总产量=橙子树的总棵数×每棵树结的橙子个数列出二次函数关系式，再配方，讨论极值即可． 【详解】解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为y＝600－5x(0≤x＜120)； (2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500， ∵-5<0， ∴果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，掌握求二次函数的极值方法是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点P，与x轴交于点，B(点B位于点A左侧)，与y轴交于点C． （1）求c与b之间的关系，并求出点P的坐标(用含b的代数式表示)； （2）若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值； （3）在（2）的条件下，过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M，N(点M位于点N左侧)，探究直线是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1），点P的坐标为 （2） （3）直线一定经过定点，该定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把代入，即可得出，再运用配方法即可得出顶点坐标； （2）令，可求得，根据抛物线的对称性可得出，得出是等腰直角三角形，即，再由是直角三角形，且，，即可推出，，进而得出，建立方程求解即可求得的值； （3）过点作直线轴，过点作于点，过点作于点，可证得，得出，设，，可证得，运用待定系数法可得直线的解析式为，即可得出直线一定经过定点． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， ， 抛物线的顶点的坐标为； 【小问2详解】 在抛物线中， 令，得， ， 抛物线的对称轴为直线，点与点关于对称轴对称， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是直角三角形，且，， ， ， ， ，即， ； 【小问3详解】 由（2）得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为， 如图，过点作直线轴，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， 设，， 则，， ，，，， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ， ， 直线的解析式为， 故直线一定经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质及待定系数法是解题关键． 26. 如图，在矩形中，，将线段绕点A逆时针旋转度得到线段，过点作的垂线交射线于点，交射线于点． （1）[尝试初探]当点在延长线上运动时，与始终相等，且与始终相似，请说明理由； （2）[深入探究]若，随着线段的旋转，点的位置也随之发生变化，当时，求的值； （3）[拓展延伸]连接，当为等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）连接，根据求出，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当在的延长线上时，过点作于；当在上时． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴. 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴设，则，，，，连接，如图所示， 由勾股定理得，， ， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况讨论， ①如图2，当在的延长线上时，过点作于，如图所示， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 由勾股定理得，， ∴. ②如图3，当在上时，如图所示， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 综上得，或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正切的定义，旋转的性质等知识，难度较大，灵活运用所学知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$