精品解析：辽宁省朝阳市双塔区第三中学2023—2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023—2024学年度第二学期摸底考试数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（　　） A. 120mm B. 30mm C. 75mm D. 27mm 6. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内． A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（ ）步？ A. 15 B. 12 C. 20 D. 6 9. 如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，，则（ ）． A. B. C. D. 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则________． 12. 如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为______． 13. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，求的半径为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的边分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F且，连接，若的面积5，则k值为______． 15. 如图，已知等边，，以为边作正方形（点A、C、D、E按逆时针方向排列），和的延长线相交于F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边长，连接，，，当时，的面积是________. 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各小题． （1）计算：． （2）解方程：． 17. 2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 18. 某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元；如图，在销售过程中发现销量与售价x（元）之间满足一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 19. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 20. 已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式 （2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值． 21. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=，求CD的长． 22. 某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下： 素 材 内容 素 材 1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素 材 2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形． 素 材 3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： （1）求抛物线和抛物线的解析式； （2）当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留) （3）当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？ 23. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 （1）如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 （2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 （4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期摸底考试数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图所示，从上面看该几何体的形状图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据物体的特点作答； 【详解】解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形， 故选：C 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，根据物体的特征回答是解题的关键． 2. 如图，有可能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形是哪一个？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影的意义．根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上可知，选项D中的图形比较符合题意． 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 4. 将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出原二次函数的顶点坐标，再求出平移后的顶点坐标，写出解析式即可． 【详解】解：的顶点坐标为（0，1），将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标为（-2，4），抛物线表达式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟记抛物线平移变化规律，准确进行判断． 5. 如图是小明在“综合与实践”课中“制作视力表”的相关内容：当测试距离为3m时，视力表中最大的“E”字高度为45mm，则当测试距离为5m时，视力表中最大的“E”字高度为（　　） A. 120mm B. 30mm C. 75mm D. 27mm 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质列比例式，代入可得结论． 【详解】解：由题意得：CB∥DF， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AD=3m，AB=5m，DE=45mm， ∴， ∴BC=75（mm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果． 6. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示，如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在（ ）范围内． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象即可得到结论． 【详解】解：从图中可以看出：的值随着的增加而减小，呈反比例函数关系， 设， 代入， 得， ， ， 令，则， 如果此蓄电池电源的用电限制电流不得超过，则用电器的可变电阻应控制在范围内， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，能够读懂反比例函数的图象是解决问题的关键． 7. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 8. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”，意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步．问它的长比宽多（ ）步？ A. 15 B. 12 C. 20 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为x步，则长为步，根据面积建立方程即可求解． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得：， 解得：， 当时，长为24，不合题意，舍去， ∴，则长为（步）， 则长比宽多（步）； 故选：B． 9. 如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，，再利用基本作图得到，垂直平分，则，，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，，然后计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由作法得，垂直平分， ，， ，， ． 故选：C 10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值：如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，AB=，所以，类比这种方法，计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切值的求解勾股定理，在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，在中，，延长使，连接，得， 设，则， ， 在中， ， 故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，熟记性质并准确计算是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积用m表示出n，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12. 如图，电路上有3个开关、、和1个小灯泡，任意闭合电路上2个开关，小灯泡发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求解，根据题意画出树状图即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 共有6种等可能结果，其中小灯泡发光的结果有①②，①③，②①，③①4种， ∴若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 13. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，求的半径为________． 【答案】13 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理的推论，可知，然后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，设， ， 则， 是中弦的中点，经过圆心交于点， ， ， ， 在中，， 解得； 故答案为：13． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论和勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论以及运用勾股定理是解答此题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形的边分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与矩形的边分别交于点E、F且，连接，若的面积5，则k值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形、矩形性质，巧妙设点B坐标是解答的关键．设，根据坐标与图形性质得到，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求得，，再利用割补法得到，进而可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E、F在反比例函数的图象上， ∴，即，， ∵ ∴由得， 故答案为： 15. 如图，已知等边，，以为边作正方形（点A、C、D、E按逆时针方向排列），和的延长线相交于F，点P从点B出发沿向点F运动，到达点F时停止，点Q在线段和上运动，且始终满足垂直于正方形的边长，连接，，，当时，的面积是________. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：①当点P在上运动，点Q在上运动时，②当点P在上运动，点Q在上运动时，根据等边三角形和正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理分别表示出、的值，再根据，列方程求解，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：①当点P在上运动，点Q在上运动时，如图，延长交于点G， ∵是等边三角形，， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 解得， ∴，， ∴， ②当点P在上运动，点Q在上运动时，延长交于点H， ∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及矩形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相关性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 按要求完成下列各小题． （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）5 （2），； 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值、实数的混合运算及解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的混合运算顺序和法则计算可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 原式， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，， ，； 17. 2018年高一新生开始，某省全面启动高考综合改革，实行“3+1+2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考 （1）“1+2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法） （2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率． 【答案】（1）共有12种等可能结果， 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能结果； （2）画树状图如下 由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果， 所以他们恰好都选中政治的概率为． 他们恰好都选中政治的概率为． 【解析】 【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果； （2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率． 18. 某经销商销售一种成本价为10元的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元；如图，在销售过程中发现销量与售价x（元）之间满足一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y与x的之间的函数解析式为：，自变量x的取值范围为：； （2）W与x之间的函数关系式为：；当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大；最大利润是192元． 【解析】 【分析】考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． （1）根据一次函数过，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）先求出总利润与的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【小问1详解】 解：设y与x的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， y与x的之间的函数解析式为：， 自变量x的取值范围为：； 【小问2详解】 解： ，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ， 当时，W最大元 答：W与x之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 19. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解； （3）过作，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 20. 已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式 （2）M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，设 ，则，所以，再根据三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 把、、代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为把 分别代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图，设，则， ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 21. 已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC （1）求证：AB=AC； （2）若AB=4，BC=，求CD的长． 【答案】（1）∵ED=EC ∴∠EDC=∠C， ∵∠EDC=∠B ∴∠B=∠C ∴AB=AC； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆外接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，由“三线合一”定理得到BE=CE=BC=，由相似三角形的判定及性质即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB=AC， ∴BE=CE=BC=， ∠C=∠C，∠EDC=∠B △CDE∽△CBA， ∵AC=AB=4， ∴ ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 某饭店特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯(如图1)，相关信息如下： 素 材 内容 素 材 1 高脚杯：如图1，类似这种杯托上立着一只细长脚的杯子．从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆；水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径；杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素 材 2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作线段，抛物线(实线部分)，线段，线段绕轴旋转形成的立体图形(不考虑杯子厚度，下同)． 图2坐标系中，特制女士杯可以看作线段，抛物线(虚线部分)绕轴旋转形成的立体图形． 素 材 3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： （1）求抛物线和抛物线的解析式； （2）当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中液体最深处深度均为，求两者液体最上层表面圆面积相差多少？(结果保留) （3）当杯子水平放置及杯内液体(无泡沫)静止时，若男士杯中液体与女士杯中流体最深处深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体最深度为多少？ 【答案】（1）抛物线；抛物线 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用 （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，，分别求出，，即可得出结果； （3）分和进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴， 设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，点在抛物线上， ，， ，， 抛物线；抛物线； 【小问2详解】 解：设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，， 在抛物线中：当时， ， ， ， 则， ； 【小问3详解】 解：当时，由抛物线解析式可得：， ， ， 即， 解得； 则最深度为； 当时，由图象可得：， ， 可列方程：， 则， 解得； 则最深度为． 综上：杯中液体最深度为或． 23. 我校数学拓展学习小组坚持“刷题不如回头看”，经常会对做过的题型进行再归纳总结反思、优化解法，多题归一，推陈出新． 【问题提出】 对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究． 【图特殊化】 （1）如图1，在正方形中，，交于点，则_____（填比值）； 【探究证明】 （2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交于点，求证：； 为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 甲方案：过点作交于点，过点作交于点． 乙方案：过点作交于点，过点作交于点． 请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明．（下面两个问题可直接利用这个结论） 【结论应用】 （3）如图3，将矩形沿折叠，使得点和点重合．若，求折痕的长； 【拓展运用】 （4）如图4，在四边形中，，，，点、分别在线段、上，且，求的值． 【答案】（1）1 （2） 证明：甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点； 四边形是矩形， ，，，， 四边形、均为平行四边形，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； 乙方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，，， 四边形、均为矩形， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， ； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）甲方案：如图2，过点作交于点，过点作交于点；由矩形的性质得到，，，，，则四边形、均为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据直角三角形的性质可得，则，根据相似三角形的性质求解即可； 乙方案：过点作交于点，过点作交于点；根据矩形的判定与性质得出，，结合直角三角形的性质推出，结合，即可判定，根据相似三角形的性质即可得解： （3）由矩形的性质可得，由勾股定理求得，由（2）可知，，据此计算求解即可； （4）过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，连接，由“”可证，可得，通过证明，可得，，由勾股定理可求、、的长，结合（2）证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 四边形是正方形， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由矩形的性质可得，， 由勾股定理得， 由（2）可知，， 即， 解得， 的长为； 【小问4详解】 解：如图4，过点作，交的延长线于，过点作交于点，连接，过点作于点，过点作于点，    ，，， 四边形是矩形， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）知，， 又， ， ， ，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $