精品解析：山东省聊城市东阿县第三中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

八年级（下）水平检测数学试卷 一、选择题：本题共12小题，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，则的度数是( ) A. B. C. D. 2. 的平方根可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列一组数：－6，2.7，，，0.66666…，3.1415926，0.080080008…（相邻两个8之间依次增加一个0），其中无理数个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ） A. 测量四边形画框的两个角是否为 B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D. 测量四边形画框的四边是否相等 6. 如图，分别是的边上的中点，如果的周长是，则的周长是（） A. B. C. D. 7. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 8. 已知，， ，那么a，b，c大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　） A. B. C. D. 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则的长为（ ） A B. C. D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 13. 比较大小：________．（填“>”“<”或“=”） 14. 若，则__________． 15. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 16. 正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点A和D对应的数分别是1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动滚动，则数轴上A、B、C、D四个点中与数2023对应的点是________． 17. 菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ____________． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点F，交于点G，．求的长度． 19. （1）解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组 20. 计算： （1） （2） 21. 观察：，即，的整数部分为，小数部分为．请你根据上述内容，解决下面的问题． （1）规定用符号表示实数整数部分，例如：，．填空：           ；           ． （2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，，BE、DF分别交AC于点E，F． （1）求证：； （2）当四边形ABCD是菱形时，请判断四边形BEDF形状，并证明你的结论． 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 24. 如图，在平行四边形中，平分交于点F，平分交于点E． （1）若，，求的长； （2）连接与相交于点，连接与相交于点，连接，相交于点，求证：和互相平分． 25. 如图，在矩形中，，，点E是上一点.将沿折叠后，得到.点F在矩形内部，延长交于点G. （1）如图①，当点E是中点时，求的长； （2）如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证：； （3）如图③，在矩形中，当点F落在矩形对角线上时，的长是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级（下）水平检测数学试卷 一、选择题：本题共12小题，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由在平行四边形中，，即可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：四边形平行四边形， ，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 2. 的平方根可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据平方根的定义，即可求解． 【详解】解：的平方根可以表示为． 故选：A 3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴选项A正确，选项B、D错误， 当，时，满足，但， ∴选项C错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键． 4. 下列一组数：－6，2.7，，，0.66666…，3.1415926，0.080080008…（相邻两个8之间依次增加一个0），其中无理数个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】－6是有理数，2.7是有理数，是有理数，是无理数，0.66666…是有理数，3.1415926是有理数，0.080080008…（相邻两个8之间依次增加一个0）是无理数， 所以无理数共有2个． 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5. 要检验一个四边形画框是否为矩形，可行的测量方法是（ ） A. 测量四边形画框的两个角是否为 B. 测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分 C. 测量四边形画框的一组对边是否平行且相等 D. 测量四边形画框的四边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】按照有一个角是直角是平行四边形是矩形，有三个角是直角是四边形是矩形，两条对角线相等的平行四边形是矩形，逐一分析判定． 【详解】A.测量四边形画框的两个角是否为， ∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意； B.测量四边形画框的对角线是否相等且互相平分， ∵对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴此测量方法可行，符合题意； C.测量四边形画框的一组对边是否平行且相等， ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意； D.测量四边形画框的的四边是否相等， ∵四边相等的四边形可能是菱形，不是矩形， ∴此测量方法不可行，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解决问题的关键是熟练掌握矩形的定义和判定定理． 6. 如图，分别是边上的中点，如果的周长是，则的周长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：分别是的边上的中点 是的中位线，， 的周长， ， 的周长 故选∶D． 7. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 8. 已知，， ，那么a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，掌握实数的运算法总则是解题的关键． 根据已知条件得出，，，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ∵， ∴． 故选：A 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集； 分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示不等式解集的方法得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以在数轴上表示正确的如图所示： ， 故选：A． 10. 若关于不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：∵关于的不等式组的解集为， ∴． 故选：D 11. 小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本，根据“总价=单价×购买数量”结合总价不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式． 【详解】解：设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本， 根据题意得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，审清题意、明确各量间的关系是解题的关键． 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件可得，中间小正方形边长为：；接下来根据，大正方形的面积为求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， 从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 13. 比较大小：________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等． 14. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根和平方式的非负性求出x和y的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根和平方式的非负性，解题的关键是掌握算术平方根和平方式的性质． 15. 河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 【答案】6 【解析】 【分析】利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意，， 则（米）， ∴（米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握勾股定理是解答的关键． 16. 正方形纸板在数轴上的位置如图所示，点A和D对应的数分别是1和0，若正方形纸板绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动滚动，则数轴上A、B、C、D四个点中与数2023对应的点是________． 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知正方形边长为1，顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转则点A落在1，点B落在2，点C落在3，点D落在4，可知其四次一循环，由此可确定出2023所对应的点． 【详解】解∶ 当正方形在转动第一周的过程中，点A落在1，点B落在2，点C落在3，点D落在4， ∴每翻转四次一循环， ∵， ∴2023所对应的点是C， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，图形类的规律探索，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 17. 菱形中，，，，垂足为，点在菱形的边上，若，则的长为 ____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】利用为等腰直角三角形得到，所以，当点在上，，当点在上，过点作于点，如图1，证明为等腰直角三角形，所以，，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到的长；当点在上，过点于点，连接，如图2，由于，，所以，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：在中，， 为等腰直角三角形， ， ， 当点在上，， 当点在上，过点作于点，如图1， 四边形是菱形， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， 在 中，， ， 解得， ． 当点在上，过点于点，连接，如图2， ，， ， ， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题看了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等．也考查了等腰直角三角形的性质． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，在中，的平分线交于点的平分线交于点F，交于点G，．求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．根据平行四边形的性质可得：，，根据平行线性质和角平分线的定义求出，推出，同理求出，即可证明，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， 平分平分 ， 即， 19. （1）解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组 【答案】（1） ，数轴见解析（2） 【解析】 【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，并在数轴上表示出来即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，， 解得：． 在数轴上表示为： ； （2）解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、解一元一次不等式组、以及在数轴上表示不等式的解集，能够正确求解一元一次不等式（组）是解题的关键． 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、立方根、算术平方根，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）先计算零指数幂、算术平方根及立方根，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 21. 观察：，即，的整数部分为，小数部分为．请你根据上述内容，解决下面的问题． （1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．填空：           ；           ． （2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】（1）5；1 （2）1 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键． （1）根据题目中所给规律即可得结果； （2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， ∴； 故答案为：5；1 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分为8，， ∴的小数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为， ∵的小数部分为，的小数部分为， ∴， ∴． 22. 如图，四边形ABCD是平行四边形，，BE、DF分别交AC于点E，F． （1）求证：； （2）当四边形ABCD是菱形时，请判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，再由，可得，进而判断； （2）连接，，，先证明四边形是平行四边形，当四边形是菱形，根据菱形对角线的性质进行求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【小问2详解】 解：连接，，， 由（1）知， ， ， 四边形是平行四边形， ∵当四边形是菱形时， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等． 23. 某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买方案？ 【答案】（1）篮球的单价为120元，足球的单价为90元 （2）学校一共有四种购买方案：方案一：篮球30个，足球20个；方案二：篮球31个，足球19个；方案三：篮球32个，足球18个；方案四：篮球33个，足球17个 【解析】 【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意可得：，解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； 小问2详解】 解：设采购篮球m个，则采购足球为（50-m）个， ∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元， ∴， 解得30≤x≤33， ∵x为整数， ∴x的值可为30，31，32，33， ∴共有四种购买方案， 方案一：采购篮球30个，采购足球20个； 方案二：采购篮球31个，采购足球19个； 方案三：采购篮球32个，采购足球18个； 方案四：采购篮球33个，采购足球17个． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组． 24. 如图，在平行四边形中，平分交于点F，平分交于点E． （1）若，，求的长； （2）连接与相交于点，连接与相交于点，连接，相交于点，求证：和互相平分． 【答案】（1）5 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出，由已知得出，得出，证出，即可得出答案； （2）证出四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，得出，得出四边形是平行四边形，即可得出和互相平分． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，，，，， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， 中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 和互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，，点E是上一点.将沿折叠后，得到.点F在矩形内部，延长交于点G. （1）如图①，当点E是中点时，求的长； （2）如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证：； （3）如图③，在矩形中，当点F落在矩形对角线上时，的长是 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识 ： （1）连接，由折叠得，证明，得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可； （2）延长交的延长线于点，证明得，由折叠得，得，即，从而可得结论； （3）由勾股定理得，由折叠得,，，设，则，根据勾股定理列方程求出x的值即可． 【小问1详解】 连接，如图①， ∵是的中点， ∴， ∵沿折叠后，得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即； 【小问2详解】 延长交的延长线于点，如图②， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， 由折叠得， ∴，， ∴ ∴，即； 【小问3详解】 如图③，在中，， 即， 由折叠得,， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， 即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$