精品解析：山东省济南市济南高新技术产业开发区济南高新区东城逸家初级中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

济南高新区初三年级开学测试 数学试题 一、选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B. 有三个角是直角 C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D. 一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意； B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意； C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意． 故选：D． 2. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正比例函数的性质得到，所以，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．本题考查了正比例函数的性质：对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小．也考查了一次函数的图象与性质． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 的图象经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴． 故选：C． 3. 下列各式计算正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，除法，加法，减法法则进行计算，逐一判断即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 4. 某学校为了了解八年级学生的体能情况，随机抽查了30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（不完整）如图所示（每组含最小值，不含最大值），那么八年级学生仰卧起坐的中位数x所在的范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数直方图及中位数，先求出分组在组的人数，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：分组在组的人数为（人）， 随机抽查了30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，将学生成绩从小到大排列，中位数在第15及第16位同学的平均数，即八年级学生仰卧起坐的中位数x所在的范围为， 故答案为：C 5. 如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（ ）． A. 5 B. 13 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件及勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选B． 6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分， ，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选B． 7. 、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙每分钟比甲多走 B. 乙出发后两人相遇 C. 乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有 D. 相遇前，甲走或时两人相距 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息．从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为，由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为，则乙的速度为：，进而求解． 【详解】解：A、从图象看，甲走的路程为，则甲的速度为， 由图象知，乙的速度快，则时，乙到达地，所用时间为， 则乙的速度为：， 故乙每分钟比甲多走，正确，本选项不符合题愿意； B、设乙追上甲，则， 解得：， 即乙出发15 时，两人相遇，故原说法错误，本选项符合题意； C、当时，甲运动的路程为：， 则乙到达地时，甲距离地还有，故本选项不符合题意； D、甲开始走4分钟，走的路程为， 此时两人相距， 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为， 故本选项不符合题意， 故选：B． 8. 如图，在中，，延长至E，使得，将沿翻折，使点B落点D处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，连接交于点F，由折叠的性质得出，由勾股定理求出的长，则可由中位线定理求出的长． 【详解】解：连接交于点F， ∵将沿翻折，使点B落点D处， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 10. 如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据已知条件得到，，求得，，得到，，在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，，推出垂直平分，则点与点关于直线对称，此时四边形周长最小，，求得直线为，直线的解析式为，解方程组即可得到结论．正确的找到点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 在轴正半轴取点，使，连接交于点，连接交于，连接，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平分， ∴，， ∴垂直平分，则点与点关于直线对称， ∴，， ∴， 当点与点重合时，取“”号，此时四边形周长最小， 设直线为，过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 解方程组得：， ∴． 故选：C． 二、填空题（8小题，每小题4分，共32分） 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义， 必须， 解得：， 故答案为：． 12. 10名工人某天生产同一种零件的件数如下：12，14，16，17，15，19，14，10，17，15，则这一天10名工人生产零件数的中位数是________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的概念，即n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均值）叫做这组数据的中位数，掌握中位数的概念是解本题的关键． 将这10个数按照由小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，19，即可得出中位数． 【详解】将这10个数按照由小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，19．因为中间位置两个数的平均数为15，所以这一天10名工人生产零件数的中位数为15． 故答案为：15． 13. 已知且，化简二次根式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 由题意知，，则，由，可得，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是___________尺 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是尺，由题意，得：水深为尺， 由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 15. 数学课上，王老师让同学们对给定的正方形建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的是________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，两点间的距离公式，掌握正方形的性质，两点间的距离公式是解本题的关键． 根据正方形的性质，四个边都相等，逐个分析四个选项即可得出． 【详解】①易知点原点，则，故①同学所标的正确； ②易知点为原点，则，故②同学所标的正确； ③因为，，，，所以，故③同学所标的正确； ④因为 ， ，所以 ，故④同学的表示错误． 即只有①②③三位同学四个点的坐标都表示正确． 故答案为：①②③． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 17. 如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画___________个平行四边形． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一次函数的性质，解题关键是掌握菱形的性质及分类讨论．根据菱形的特征求出四个顶点坐标，及对角线长度，然后分别求出直线、直线的解析式，根据菱形分成面积之比为的两个平行四边形，得一次函数分别平行于或，然后分类讨论分别求出一次函数k，b，即可得出函数解析式 【详解】解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，， ∴，， ，，， 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； 设直线的解析式为，将，代入得 解得：， 设直线的解析式； ∵一次比例函数的图象将菱形分成两个平行四边形， ∴一次函数的图象平行于或， 当一次函数图象平行于时，交、于点M，N交y轴于点Q， ， 菱形分成两个平行四边形， ，， ， ∴； 或， ， ， ， ∴； 当一次函数图象平行于时， 同理可知：或， 或， 综上所述一次函数解析式为、、或． 三、解答题（9小题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质，负整数指数幂和零指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 的立方根是，36的平方根是6与，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据立方根、平方根的定义求出、的值，再估算出的取值范围，求出的值即可； （2）把、、的值代入进行计算即可． 本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念，无理数的估算，开方与乘方的关系，需要注意的是第二问要先求出这个代数式的值，再去求它的算术平方根． 【小问1详解】 解： 的立方根是， ， 解得； 的平方根是6与， ， 解得； ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 的算术平方根是． 21. 在一平直河岸l的同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是，且为．现计划在河岸上建一座抽水站P，用输水管向两个村庄A、B供水，求水管长度最少为多少． 【答案】水管长度最少为． 【解析】 【分析】此题考查轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质：找出点A关于直线l的对称点，连接交直线于点P，结合图形利用勾股定理即可得出答案． 【详解】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线于点P，过作垂直于的延长线于点C，则，， ∵点A关于直线l的对称点， ∴，， ∴， 当、、P共线时最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， 即水管长度最少为． 22. 某学校组织了一次“五城联创”知识竞赛活动，根据初赛成绩分别从三个年级中选出了10名同学参加决赛，成绩统计如下： 决赛成绩（单位：分） 七年级 82 86 88 81 88 97 80 74 90 89 八年级 85 88 87 97 85 76 88 80 86 88 九年级 81 83 79 79 79 92 99 88 89 86 （1）补全下面的表格 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 ________ 87 八年级 ________ 88 ________ 九年级 79 （2）从以下两个方面对三个年级的成绩进行评价： ①从平均数和众数方面分析，________年级成绩较好； ②从中位数和众数方面分析，________年级成绩较好； （3）学校决定根据决赛成绩，从某个年级中选出3人参加总决赛，你认为该选取哪个年级的学生参赛？并写出理由． 【答案】（1）见解析 （2）①八；②七 （3）应从九年级选出3人参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数： （1）根据众数、平均数、中位数的定义求解可得； （2）根据众数、平均数、中位数的意义解答即可； （3）九年级参加比赛的前三名同学的成绩最高可得答案． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩为88的人数最多， ∴七年级众数为88， 八年级的平均数为， 把八年级的成绩从低到高排列为76，80，85，85，86，87，88，88，88，97 ∴八年级的中位数为， 完成表格如下： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 88 87 八年级 86 88 九年级 79 【小问2详解】 解：①从平均数和众数方面分析，八年级成绩较好； ②从中位数和众数方面分析，七年级成绩较好； 故答案为：八，七； 【小问3详解】 解：应从九年级选出3人参加决赛，理由如下： 由表格可知九年级参加比赛的前三名同学的成绩最高， ∴应从九年级选出3人参加决赛． 23. 为落实“双减”政策，丰富体育活动，学校计划到甲、乙两家体育用品商店其中一家购买一批体育用品，两个商店优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：一次性购买商品总额不超过1000元的按原价付费，超过1000元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实际付元，去乙商店购买实际付元，其函数图象如图所示． （1）若学校一次性购买800元体育用品，到甲商店需______元，到乙商店需______元； （2）直接写出，关于x的函数解析式； （3）求图象中交点A的坐标，并根据图象直接写出选择去哪个体育商店购买体育用品更合算． 【答案】（1）680，800 （2）； （3）点A的坐标是，当原价总额低于2000元时，到甲商店购买更合算；当原价总额为2000元时，甲乙商店实际付款相同；当原价总额高于2000元时，到乙商店购买更合算 【解析】 【分析】本题考查函数的应用： （1）根据两家商店的优惠方案，即可求解； （2）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店的实际费用与x的函数关系式； （3）根据（1）的结论列方程组，可求出点A的坐标，再由点A的意义并结合图象解答即可． 【小问1详解】 解：甲商店需要元， 乙商店需要元； 故答案为：680；800 【小问2详解】 解：根据题意得：； 当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为； 观察图象得：当时，； 当时，； 当时，； 终上所述，当原价总额低于2000元时，到甲商店购买更合算；当原价总额为2000元时，甲乙商店实际付款相同；当原价总额高于2000元时，到乙商店购买更合算． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． （1）直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． （3）动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）当或时，为直角三角形 （3）当或时， 【解析】 【分析】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用； （1）根据，结合坐标系可得答案； （2）分两种情况讨论，先画出图形，再结合图形性质与勾股定理可得答案； （3）先求解，再分情况画出图形，结合三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 解：∵为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． ∴，； 【小问2详解】 解：如图， 当重合时，为直角三角形， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：当或时，为直角三角形； 【小问3详解】 解：∵，轴，轴，， ∴， 当在上时，，如图，， ∴， ∴， 解得：， 当在上时，，如图，而， ∴， ∴， 解得：； 综上：当或时，； 25. 如图，在正方形中，点E、F分别在边和上，且，连接、，其相交于点G，将沿翻折得到，延长'交延长线于点H． （1）求证： （2）猜想与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （3）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程，见详解 （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）先由正方形的性质得，，再由即可证得； （2）由，得出，，再证，得出，即可得出结果； （3）先求出，再由折叠的性质得，，，，然后证，求出，最后在中，由勾股定理得，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：与的数量关系和位置关系为：，， 证明如下： 由（1）得：， ，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ，， ， 由折叠的性质得： ，，，， ，， ， ， ， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和正方形的性质是解题的关键． 26. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． （1）求的面积； （2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为射线（不含点）上一点，过点作轴的平行线交射线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）先将点代入，求得，再根据解析式求出点，则，，直接计算的面积即可； （2）利用勾股定理计算出，则点，使用待定系数法求出直线的解析式为．根据题意，点的坐标为，点的坐标为，因此； （3）分三类讨论，当点为直角顶点时，容易判断，由（2）可得，根据列方程解出，此时点的坐标为；当点为直角顶点时，同理①可得，则；点为直角顶点时，作于点，容易判断，则，解得或，对应的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴一次函数解析式为， 令，得， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∵点在轴的负半轴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在射线上，且点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点为直角顶点时，如图， ∵，轴， ∴轴， ∵点， ∴点的坐标为， ∴， 由（2）可知，， ∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ∴， ∴，即， 解得或， ∵， ∴，此时点的坐标为； ②当点为直角顶点时，如图， 同理①可得，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，即， ∴解得或（舍去）， ∴点的坐标为； ③当点为直角顶点时，如图，作于点， ∵是等腰直角三角形，且点为直角顶点， ∴，， ∵， ∴点为的中点， ∴，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵，， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或， 27. 在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． （1）如图1，当时，求； （2）如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； （3）如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最大值，的最小值， 【解析】 【分析】（1）如图1，过点E作交的延长线于点H， 根据题意求得，再根据特殊直角三角形的性质进而求得上的高，代入面积公式算出结果； （2）①如图，在线段上截取，连接，可证得四边形是平行四边形，得出，可证，得出，由，即可推出结论； （3）连接AE，取的中点，的中点Q，连接，可证是等腰直角三角形，得出：，再由点是的中点，可得：，且，利用勾股定理得，当B、Q、M三点共线时，的最小值，当点P与点E重合时，此时，的最大值．． 【小问1详解】 解：如图1，过点E作交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到． ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 如图，在线段上截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：连接，取的中点，的中点Q，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点S是的中点， ∴，且， ∵M是的中点，S是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， 在中，， 当B、Q、M三点共线时，的最小值， 当点P与点E重合时，， 此时，的最大值． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南高新区初三年级开学测试 数学试题 一、选择题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. 一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B. 有三个角是直角 C. 两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形 D. 一组对边平行，另一组对边相等 2. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　） A. B. C. D. 4. 某学校为了了解八年级学生的体能情况，随机抽查了30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（不完整）如图所示（每组含最小值，不含最大值），那么八年级学生仰卧起坐的中位数x所在的范围为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（ ）． A. 5 B. 13 C. D. 15 6. 如图，平行四边形中，对角线、相交于，过点作交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 、两地相距2400米，甲、乙两人准备从地出发去地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达地后，停止运动．甲乙之间的距离与甲运动时间之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 乙每分钟比甲多走 B. 乙出发后两人相遇 C. 乙到达 B 地时，甲距离 B 地还有 D. 相遇前，甲走或时两人相距 8. 如图，在中，，延长至E，使得，将沿翻折，使点B落点D处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 10. 如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，，点为的中点，点为边上的动点，则使四边形周长最小的点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（8小题，每小题4分，共32分） 11. 使根式有意义的x的取值范围是___． 12. 10名工人某天生产同一种零件的件数如下：12，14，16，17，15，19，14，10，17，15，则这一天10名工人生产零件数的中位数是________． 13. 已知且，化简二次根式的结果是______． 14. 我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是___________尺 15. 数学课上，王老师让同学们对给定的正方形建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，．上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的是________．（填序号） 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为______． 17. 如图是由边长为2的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画___________个平行四边形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，其中，，对角线相交于原点，若一次函数的图象将菱形分成面积之比为的两个平行四边形，则直线的解析式为______． 三、解答题（9小题，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 的立方根是，36的平方根是6与，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 21. 在一平直河岸l的同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是，且为．现计划在河岸上建一座抽水站P，用输水管向两个村庄A、B供水，求水管长度最少为多少． 22. 某学校组织了一次“五城联创”知识竞赛活动，根据初赛成绩分别从三个年级中选出了10名同学参加决赛，成绩统计如下： 决赛成绩（单位：分） 七年级 82 86 88 81 88 97 80 74 90 89 八年级 85 88 87 97 85 76 88 80 86 88 九年级 81 83 79 79 79 92 99 88 89 86 （1）补全下面的表格 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 ________ 87 八年级 ________ 88 ________ 九年级 79 （2）从以下两个方面对三个年级的成绩进行评价： ①从平均数和众数方面分析，________年级成绩较好； ②从中位数和众数方面分析，________年级成绩较好； （3）学校决定根据决赛成绩，从某个年级中选出3人参加总决赛，你认为该选取哪个年级的学生参赛？并写出理由． 23. 为落实“双减”政策，丰富体育活动，学校计划到甲、乙两家体育用品商店其中一家购买一批体育用品，两个商店优惠活动如下： 甲：所有商品按原价的8.5折出售； 乙：一次性购买商品总额不超过1000元的按原价付费，超过1000元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实际付元，去乙商店购买实际付元，其函数图象如图所示． （1）若学校一次性购买800元体育用品，到甲商店需______元，到乙商店需______元； （2）直接写出，关于x的函数解析式； （3）求图象中交点A的坐标，并根据图象直接写出选择去哪个体育商店购买体育用品更合算． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． （1）直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； （2）动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． （3）动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在正方形中，点E、F分别在边和上，且，连接、，其相交于点G，将沿翻折得到，延长'交延长线于点H． （1）求证： （2）猜想与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （3）若，，求的长． 26. 如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点． （1）求的面积； （2）如图2，直线交轴负半轴于点，，为射线（不含点）上一点，过点作轴的平行线交射线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，在轴上是否存在点，使是等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 在中，．点在边上且，将绕点B逆时针旋转a得到（）． （1）如图1，当时，求； （2）如图2，在旋转过程中，连接，取中点 F，作射线交直线于点G．当时， 求证：； （3）如图3．当时，点P为线段上一动点，过点E作射线于点N，M为中点，直接写出的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $