精品解析：河南省郑州市东漳中学2024-2025学年九年级上学期数学开学测试题

九年级上学期开学测试卷（北师大版） 一、选择题 1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ） A. 惊蛰 B. 芒种 C. 立秋 D. 大雪 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A，D选项的等号右边都不是积的形式，不符合题意； B选项，x2+4x+4=（x+2）2，所以该选项不符合题意； C选项，x2-2x+1=（x-1）2，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 3. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质对所给不等式变形判断即可． 【详解】A．在不等号两边同时加 ，不等号方向不变，故本选项不符合题意； B．在不等号两边同时减5，不等号方向不变，故本选项不符合题意； C．在不等号两边同时乘 ，不等号方向不变，故本选项不符合题意； D．在不等号两边同时乘，不等号方向改变，故本选项符合题意； 4. 在中， 若， 则（ ） A. B. C. D. 是锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 故选：C． 5. 若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，根据二次根式的意义得出，从而可得答案； 【详解】解：要使代数式有意义， ∴， 解得：． 故选D． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 8的立方根是 B. 4的平方根是2 C. 同位角相等 D. 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，立方根，平方根，方差的意义，真假命题的判定，熟练掌握平行线的性质，立方根，平方根的性质，方差的意义是解题的关键． 正数的立方根是正数，正数的平方根有2个，它们互为相反数，两直线平行，同位角相等，方差越小，数据越稳定，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A. 8的立方根是2，错误，该选项不符合题意； B. 4的平方根是，错误，该选项不符合题意； C. 两直线平行，同位角相等，错误，该选项不符合题意； D. 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定，正确，该选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换，注意旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得对应角，对应边相等，利用等边对等角及外角即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上， ∴， ∴， ∴在中，, ∵， ∴ 故选：B． 8. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，再由三角形的中位线定理即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O，， ∴， ∴， ∵P，Q分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B 【点睛】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 9. 若关于的分式方程无解，则的值为 （ ） A. B. 或2 C. 或2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程等知识，先去分母，将分式方程化为整式方程，再根据参数，分类讨论解方程即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得，即， 当，即时，无解； 当，即时，， 关于的分式方程无解， ，解得； 综上所述，当关于的分式方程无解，的值为或2， 故选：C． 10. 如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点Q，连接，，证明四边形为平行四边形，求出，最后用勾股定理求出最小值. 【详解】解：取的中点Q，连接，，如下图所示： ∵正方形的边长为10， ∴,， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵，， ∴，∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长， ∵点Q时的中点，∴， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线，勾股定理的知识，掌握性质是解题的关键. 二、填空题 11. 因式分解：x2+x=_____． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x即可． 【详解】解： 12. 函数的自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了自变量的取值范围，确保分式有意义，二次根式有意义，是解题的关键．根据分式有意义的条件，得，根据二次根式有意义的条件，得，综合计算即可． 【详解】解：∵的分母不为零， ∴， ∵是二次根式，必须有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据绝对值的性质判断真假即可． 【详解】解：∵，但， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：假． 14. 已知点，关于轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟知关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． 【详解】解：点，关于轴对称， ，， 解得，， ． 故答案为：． 15. 一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】结合一次函数y=-2x+4的图象可以求出图象与x轴的交点为（2，0），以及与y轴的交点为（0，4），可求得图象与坐标轴所围成的三角形的面积． 【详解】令y=0，则x=2；令x=0，则y=4， ∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，4）． ∴S=． 故答案为：4 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点坐标．关键令y=0，可求直线与x轴的交点坐标；令x=0，可求直线与y轴的交点坐标． 三、计算题 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】原方程组化简后用代入消元法求解． 【详解】解：原方程组化简，得 ， ②×5+①，得 7x=-7， ∴x=-1， 把x=-1代入②，得 -1+y=2， ∴y=3， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程和解不等式，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和解不等式的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 18. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求的值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ 【答案】（1） （2）4 （3）时，有最小值，最小值是 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的运用，平方差公式因式分解，解题的关键是读懂题意并根据题目要求做题． （1）按照题目中配方法进行因式分解即可； （2）按照题目配方法进行因式分解，求出的值，即可求解； （3）按照题目中配方法进行因式分解并取最小值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ， ， 时，有最小值，最小值是． 四、证明题 19. 如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O， 垂足分别为E，F，． （1）求证： 四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定分别进行判断即可； （2）由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 ，， ， 在和中， ， ， ∴， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 五、作图题 20. 如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到， （1）请画出平移后的图形； （2）写出各顶点的坐标； （3）连接和， 求出四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据，，的位置写出坐标即可； （3）把四边形的面积看成长方形面积减去周围的四个三角形面积即可． 【小问1详解】 如图，△即为所求； 【小问2详解】 由（1）得，，； 【小问3详解】 四边形的面积为． 21. 如图，在中，，于点． （1）尺规作图：作的平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线定义、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点． （1）根据要求作出图形即可； （2）由角平分线的定义得出，再求出的度数从而得出的度数，即可得解． 【小问1详解】 解：如图， 射线即为所求， 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 六、解答题 22. 湘桥区政府大力实施“百千万工程”，推动乡村振兴特色产业．湘桥区某水果生产基地在政府的支持下种植了、两个品种的“潮州柑”共50亩，两种品种的“潮州柑”成本和售价如下表所示．设种植品种“潮州柑”亩，若50亩地全部种植两种“潮州柑”共获得利润万元． 品种 成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 1.1 2.2 13 2.7 （1）求与之间的函数关系式； （2）若A品种“潮州柑”的种植亩数不少于品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，则种植A品种“潮州柑”多少亩时，该水果生产基地利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）种植A品种“潮州柑”30亩时，该水果生产基地利润最大，利润最大为61万元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以写出与的函数关系式； （2）根据品种“潮州柑”的种植亩数不少于品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，可以求得的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植品种“潮州柑”种植多少亩时利润最大，并求出此时的最大利润． 【小问1详解】 解：， 答：与之间的函数关系式． 【小问2详解】 解：由题可知：， 解得：， 又∵， ∴， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最大为． 答：种植A品种“潮州柑”30亩时，该水果生产基地利润最大，利润最大为61万元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； 小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上学期开学测试卷（北师大版） 一、选择题 1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ） A. 惊蛰 B. 芒种 C. 立秋 D. 大雪 2. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 3. 若，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中， 若， 则（ ） A. B. C. D. 是锐角三角形 5. 若代数式 有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 8的立方根是 B. 4的平方根是2 C. 同位角相等 D. 一组数据的方差越小，这组数据就越稳定 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 9. 若关于的分式方程无解，则的值为 （ ） A. B. 或2 C. 或2 D. 10. 如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（ ） A. B. C. D. 10 二、填空题 11. 因式分解：x2+x=_____． 12. 函数的自变量的取值范围是__________． 13. 命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 14. 已知点，关于轴对称，则_____． 15. 一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的三角形面积是_____． 三、计算题 16. 解方程组： 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，数学研究小组发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．对于形如 的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与 构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即 ．像这样把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式局部分解因式可以解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如： ．则这个代数式．的最小值是2，这时相应的x的值是． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）已知，求值． （3）当x取何值时，有最小值？最小值多少？ 四、证明题 19. 如图， 在四边形中， 对角线与相交于点 O， 垂足分别为E，F，． （1）求证： 四边形是平行四边形． （2）若，，，求的长． 五、作图题 20. 如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到， （1）请画出平移后的图形； （2）写出各顶点的坐标； （3）连接和， 求出四边形的面积． 21. 如图，在中，，于点． （1）尺规作图：作平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求的度数． 六、解答题 22. 湘桥区政府大力实施“百千万工程”，推动乡村振兴特色产业．湘桥区某水果生产基地在政府的支持下种植了、两个品种的“潮州柑”共50亩，两种品种的“潮州柑”成本和售价如下表所示．设种植品种“潮州柑”亩，若50亩地全部种植两种“潮州柑”共获得利润万元． 品种 成本（万元/亩） 售价（万元/亩） 11 2.2 1.3 2.7 （1）求与之间的函数关系式； （2）若A品种“潮州柑”的种植亩数不少于品种“潮州柑”种植亩数的1.5倍，则种植A品种“潮州柑”多少亩时，该水果生产基地利润最大？并求出最大利润． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$