精品解析：甘肃省武威市凉州区十六中片2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省武威第十六中学九年级数学开学学情评估 一、选择题（共30分） 1. 2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则q的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点C旋转得到，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在边上，，则（ ） A. B. C. D. 5. 初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片，设晚会上有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ） A. 与，， 的值均有关 B. 只与， 的值有关 C. 只与 的值有关 D. 只与， （或，）的值有关 8. 如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则m=______，方程的另一个根是______． 13. 已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为______． 14. 将抛物线y＝x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为_____． 15. 若点与点关于原点对称，则_____，_____． 16. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________． 17. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________． 18. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 三、解方程（共8分） 19. （1）＝0； （2）． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在平面直角坐标中，已知， （1）画出绕O点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标 . （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画. （3）若可看作绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 . 五、解答题（共52分） 21. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 22. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 23. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标． （2）如果将此二次函数的图象向上平移个单位后过点，再将点向右平移个单位后得点，点恰好落在原二次函数的图象上，求的值． 24. 如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且 （1）求证：为的切线； （2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长． 25. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分面积． 26. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为、、，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片完全相同的概率． 27. 如图，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省武威第十六中学九年级数学开学学情评估 一、选择题（共30分） 1. 2023年10月12日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业．”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 若是一元二次方程的一个根，则q的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， 故选：D． 3. 将抛物线向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的平移规律即可解答． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 4. 如图，将绕点C旋转得到，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在边上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边对等角，先根据旋转的性质得到，，再由等边对等角得到，利用三角形外角的性质得到，由此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 5. 初三毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片，设晚会上有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握题目中的等量关系是解题的关键． 设晚会上有x人，那么每名同学要送出张，根据一共送出110张照片列出方程即可． 【详解】解：∵设晚会上有x人， ∴每名同学要送出张； 又∵全班同学是互赠照片，一共送出110张照片， ∴． 故选：C． 6. 函数在同一直角坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故A、D不正确； 由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0， 但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B． 故选C． 7. 如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ） A. 与，， 的值均有关 B. 只与， 的值有关 C. 只与 的值有关 D. 只与， （或，）的值有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，相似三角形判定与性质，圆周角定理，根据得到，结合得到，得到，根据得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 8. 如图，为的切线，B为切点，交于点C，点D在优弧上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，直角三角形的两锐角互余，先利用圆周角定理求出，再根据切线的性质可以得到． 【详解】解：∵， ∴， 又∵为的切线， ∴， ∴， 故选B． 9. 如果小球在如图所示的图案上（去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形）自由地滚动，并随机停留在某处，那么小球最终停留在灰色图案上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值；理解“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． 【详解】解：去掉颜色的图案是中心对称图形也是轴对称图形， 灰色图案的面积是圆面积的， 小球最终停留在灰色图案上的概率是； 故选：C． 10. 如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作的任意一条直径，以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；以点为圆心、长为半径作圆，与相交于点、；连结、、、，得到两个扇形，并裁剪下来．若的半径为，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积；通过拼补将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．连接，，将图中阴影部分面积拼补为扇形与扇形面积之和，进一步利用扇形的面积公式从而求出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：连接，， ，的面积与弓形，的面积相等，弓形，的面积与弓形，的面积相等， 图中阴影部分的面积， ， 、是正三角形， 阴影部分的面积． 故选：B． 二、填空题（共24分） 11. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则m=______，方程的另一个根是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用根与系数的关系：，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为：， ∵ ∴， ∴， ∴； 故答案为：， 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系：，是解题的关键． 13. 已知抛物线与关于原点成中心对称，若抛物线的解析式为，则抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的基本性质及关于原点中心对称的点的特点，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．根据抛物线的解析式确定抛物线的开口方向及顶点坐标，然后结合中心对称的性质确定抛物线的开口方向及顶点坐标，即可求解． 【详解】解：抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线，抛物线关于原点中心对称， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 14. 将抛物线y＝x2向下平移3个单位，再向右平移2个单位后，所得抛物线的解析式为_____． 【答案】y=x2-4x+1． 【解析】 【分析】根据平移规律：上加下减，左加右减写出解析式，然后利用完全平方公式化为一般式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移3个单位，再向右平移2个单位后， 所得抛物线的解析式为：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与坐标变换，完全平方公式，记住上加下减，左加右减这个函数图像平移规律是解题关键． 15. 若点与点关于原点对称，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征：相应坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征：相应坐标互为相反数是解决问题的关键． 16. 如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线的性质得到，根据四边形内角和为，得出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当点在优弧上时， ∵分别与相切于两点 ∴， ∵． ∴ ∵， ∴， 当点在上时， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 17. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是_________． 【答案】120 【解析】 【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 18. 不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据球的总数和白球对应频率即可求得白球的个数． 【详解】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中白球的个数约为（个）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 三、解方程（共8分） 19. （1）＝0； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了利用因式分解法解方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解： 因式分解，得， ∴或， 解得：， （2）解： 因式分解，得， ∴或， 解得：，． 四、作图题（共6分） 20. 如图，在平面直角坐标中，已知， （1）画出绕O点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标 . （2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画. （3）若可看作绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为 . 【答案】（1） 如图，为所作，； （2） 如图，为所作； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，旋转作图，找旋转中心，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用点平移的坐标变换规律写出点的坐标，然后描点即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点为旋转中心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，可以看作绕P点旋转得来， 作和的垂直平分线可以发现两者交于点 旋转中心P的坐标为． 五、解答题（共52分） 21. 已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值． 【答案】m=34 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合根据系数的关系即可求解． 【详解】解：当a=4时，b＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+b=12， ∴b=8不符合； 当b=4时，a＜8， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴4+a=12， ∴a=8不符合； 当a=b时， ∵a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根， ∴12=2a=2b， ∴a=b=6， ∴m+2=36， ∴m=34． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，以及分类讨论的数学思想，结合根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键． 22. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质； （1）由旋转的性质易证为等边三角形，即得出，从而可求出； （2）由旋转的性质易证，．又易证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得． 【小问1详解】 解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即、、三点共线， ∵为等边三角形， ∴． 23. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的解析式及顶点坐标． （2）如果将此二次函数的图象向上平移个单位后过点，再将点向右平移个单位后得点，点恰好落在原二次函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，求得抛物线的解析式是解题的关键． （）根据函数图象可确定函数上的点的坐标，代入函数解析式即可求出，的值，得出解析式，即可得出顶点坐标． （）根据平移规律得到，代入得到，求得，代入，求得，即可求得． 【小问1详解】 解：将，两点代入函数解析式得 ， 解得：， ∴二次函数解析式为：； ∵， ∴顶点为； 【小问2详解】 解：将此二次函数的图象向上平移个单位后得到， ∵过点， ∴， ∴， ∵将点向右平移个单位后得点， ∴， ∵点恰好落在原二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故的值为． 24. 如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且 （1）求证：为的切线； （2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据垂直可以得到，由可得，最后根据得到，即可得到为的切线； （2）由可得，点E为的中点，再由点F为的中点，可得，可得，进而得到，最后根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵的半径为5，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，是的直径，是的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据等量代换即可解答； （2）根据垂径定理可得，设的半径为r，则,结合可得，最后在中运用勾股定理列式计算即可求出的半径为4，再利用三角函数求出，再利用即可求出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵是的直径，且于点E，， ∴． 设的半径为r，则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、锐角三角形函数、扇形面积公式等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解答本题的关键． 26. 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为、、，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片，请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽取的卡片完全相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片完全相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次抽取的卡片完全相同的结果数有3种， ∴两次抽取的卡片完全相同的概率为． 27. 如图，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；． （2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使的值最小，则点M就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点M的坐标； （3）设，得，由两点间距离公式得，由列方程求解即可 【小问1详解】 将分别代入，得 解得 所以抛物线的解析式为． 【小问2详解】 存在． 因为点A，B关于对称轴对称，连接交对称轴于点M，此时的值最小，即的周长值最小． 令，得，所以． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 解得 所以直线的函数解析式为． 因为抛物线的对称轴为， 当时，， 所以． 【小问3详解】 因为轴于点Q，所以． 因为是等腰直角三角形，所以． 因为点P在抛物线上，所以设，则． 所以． 所以，即或． 整理，得或． 当时，解得或（舍去），此时； 当时，解得或（舍去），此时． 综上，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查利用运用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征等知识，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $