精品解析：湖南省长沙市平高教育集团2024-2025学年高三上学期八月联合考试数学试题

2024年平高教育集团八月联合考试 高三数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可. 【详解】当时，，故符合题意； 当时，由题意，解得，符合题意， 满足题意的值的集合是. 故选：D. 2. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出不等式：，，即可判断出结论． 【详解】解：由解得：； 由解得：． 因为 “”是“”的充分不必要条件． 故选：． 4. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象的对称性排除C D；根据函数的最值排除B，从而可得答案. 【详解】由图象关于轴对称可知，函数为偶函数， 因为与为奇函数，所以排除C D； 因为，当且仅当时，等号成立， 所以在时取得最小值，由图可知在时取得最大值，故排除B. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键. 5. 已知非零向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个向量平行的性质可得，化简可得，利用齐次式即可得到答案. 【详解】因为，为非零向量，所以，即 因为，所以，则， 即， 即，由于，所以两边同除， 可得：，解得：或(舍去), 所以. 故选：D 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为随机变量，且，则，可得， ， 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 已知函数的定义域为，满足是奇函数，且，若，则（ ） A. -100 B. -3 C. 3 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由是奇函数，可得，可得，结合，可得，则函数的周期为4，再由，可得，，，则，所以，即可求得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 是奇函数，所以关于对称，即， 有，即， 因为，则， 所以，则， 则，则， 所以函数的周期为4， 因为， 令，则， 令，则， ， 所以， 所以 . 故选：C. 8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由得，则求出，结合椭圆定义求出，再由可得答案. 【详解】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解ABD，利用作差法即可求解C. 【详解】由于，故 对于A, ,故A正确， 对于B，由于故，B错误， 对于C，故，C正确， 对于D，若时，，故D错误， 故选;AC 10. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】第1次抽到选择题的概率为，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时概率为，根据古典古典概型即可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算． 【详解】第1次抽到选择题时，则，故A正确； 第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则，故B正确； 在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故C正确； 在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故D错误﹒ 故选：ABC． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点满足平面平面 B. 当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为 C. 若，则最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当点位于点时，平面平面，可判断A选项；确定三棱锥的外接球的球心，进而求半径，可判断B选项；当点位于点时，可判断C选项；利用∽，建立适当的平面直角坐标系可得到点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断D选项. 【详解】 对于A，面面， 所以当点位于点时，平面平面，故A正确； 对于B，当为线段中点时， 与均为直角三角形，且面面， 三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球体积为，故B正确； 对于C，，点在线段上， 当点位于点时，，故C错误； 对于D，若， 与均为直角三角形， ∽，， 如图，在正方形中， 以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，， 设，则， 整理得：， 点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的， ，， 在中，，， ，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为__________. 【答案】162 【解析】 【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 即，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为函数在上是增函数，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 设， 因为为减函数， 所以在上是增函数， 因为，其图象的对称轴为直线， 所以，且在上恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 14. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得的值，由此求得的值. 【详解】在中，令，得， 由，得， 又，， 因此，则有，即， 所以. 故答案为：11 【点睛】关键点点睛：由给定的递推关系，结合“两边夹”原理求出是求解本题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得，由于是三角形的内角，可得的范围，继而可得出角的值. （2）由题意利用正弦定理把边化成角得，根据，可得，继而求得角的值，结合（1）的结论，由和差公式可求得，再利用正弦定理可求出，根据面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ，即， 由正弦定理可得， ， ， ， ， 又，， ， 由正弦定理得，即， . 16. 已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，. （1）求证为奇函数； （2）试判断在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）令结合奇函数的定义证明； （2）利用单调性的定义证明； （3）利用函数的单调性解抽象不等式. 【小问1详解】 证明：取，得；再取，得 ， 即，∴为上的奇函数； 【小问2详解】 为上的增函数.证明如下： 证明：任意取，且， 则， ∴， ∵，∴， 由已知时，得，∴，即， ∴为上的增函数. 【小问3详解】 ，∵为上的增函数， ∴，即. 当时，解集为空集； 当时，； 当时，， 综上所述：当时，解集为空集； 当时，解集为：； 当时，， 17. 如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，则，且， 又，且，于是，四边形为平行四边形， 则，又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理即得. （2）取的中点，证明平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，由，得， 又是的中点，则， 又是的中点，则， 而平面，于是平面，平面，， 又平面，因此平面， 不妨设，以点为坐标原点，直线、过点平行于的直线、 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，则， 由为的中点，得， 由（1）知，，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设为平面的一个法向量，则， 令，得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，. （1）求C的方程； （2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标； （3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值. 【答案】（1） （2）（2，2）或（4，2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设，进而求出的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可 （2）设，，联立直线MN的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出，，代入得或，利用点斜式求出Q的坐标； （3）根据（2）结论和条件得MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出，然后构造函数，通过导函数求出单调区间，利用函数的单调性求出最值 【小问1详解】 ，设，则， 所以得：，解得或（舍）， 所以抛物线C的方程为①. 【小问2详解】 设直线MN：②，，， 联立①②，得. 所以③，，④. ，， 则， . 因为，即：， 即：， 则或，能满足③式. 则MN：，或MN：， 所以定点Q的坐标为（2，2）或（4，2）； 【小问3详解】 如MN过（4，2）点，当时，，但此时M，N重合， 则|MN|无最小值，所以MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值. 由（2），在④中，令得：，， . 令， 则，. 当时，，在上为减函数， 当时，，在上为增函数， 所以当时，有最小值，|MN|有最小值. . 【点睛】关键点睛：第二问的关键：根据一元二次方程根与系数的关系，结合恒成立，得到直线MN过定点. 19. 定义函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意恒成立，求k的取值范围； （3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由． （注：…是自然对数的底数） 【答案】（1） （2） （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果； （3）分成为奇数，为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数的零点个数及最值. 【小问1详解】 由， 可得, 所以曲线在处的切线斜率. 【小问2详解】 若对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则， 由解得，或；由解得， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又，且当时，， 故的最小值为， 故，即的取值范围是. 【小问3详解】 ， 当时，， 因此当为奇数时，， 此时 则，所以单调递减. 此时，显然有唯一零点，无最小值. 当时， 且当时， ， 由此可知此时不存在最小值. 从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值， 当时，即当为偶数时，， 此时， 由，解得；由，解得 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为， 即，所以当为偶数时，没有零点. 设， ， 所以在上单调递增，，即. 令可得， 当时 ， 即. 从而当为偶数时，没有零点，存在最小值. 综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值； 当为偶数时，没有零点，存在最小值. 【点睛】方法点睛：恒成立问题的等价转化法则 （1）恒成立恒成立； （2）恒成立恒成立； （3）恒成立，恒成立； （4）恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年平高教育集团八月联合考试 高三数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，满足是奇函数，且，若，则（ ） A. -100 B. -3 C. 3 D. 2025 8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动．某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点满足平面平面 B. 当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为 C. 若，则最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为__________. 13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是__________. 14. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，. （1）求证为奇函数； （2）试判断在上的单调性并证明； （3）解关于的不等式. 17. 如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，. （1）求C的方程； （2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标； （3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值. 19. 定义函数． （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意恒成立，求k的取值范围； （3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由． （注：…是自然对数的底数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $