微专题03 四边形中的最值问题通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题03 四边形中的最值问题通关专练 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（4，2）、D（3，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为（　　） A． B． C． D．1 2．如图，在矩形中，，，若是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．16 B．15.2 C．15 D．14.8 3．四边形四个顶点的坐标分别为，则四边形周长的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 6．已知：如图，四边形中，，．在边上求作点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 7．如图，点P为正方形内一点，已知正方形的边长为2，且有，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D． 8．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（　　） A．6 B．6 C．3 D．3 10．如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（ ） A．2 B． C．4 D． 11．如图，点Р是边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 12．如图，正方形ABCD的面积为64，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 13．如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为(        ) A． B．6+2 C．5 D．10 14．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O（AC＞BD），点P是线段AC上的动点（与点A，C都不重合），点P到点D的距离与它到直线AD的距离之和最小值为l，则l是（　　） A．线段DO的长 B．点D到直线AB的距离 C．线段DB的长 D．点P到直线DC的距离 15．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 16．如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上一定点，且，P为对角线AC上一动点，则的最小值为 ． 17．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    18．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ． 19．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 20．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为 ． 21．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为 ． 22．如图，正方形中，，点为的中点，点在上，且，点为直线上一动点，的最大值是 ．    23．如图，在中，，，，点分别是的中点，点在上，且.若点为线段上一动点，连接，则周长的最小值是 ． 24．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝9，点P时矩形ABCD内一动点，且＝ ，则PC＋PD的最小值是 ． 25．如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是 ． 三、解答题 26．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为． （1）如图，连接交于点，若，求的长； （2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足， ①连接，，判断，的数量关系并说明理由； ②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ． 27．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D． （1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形； （2）填空： ①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形； ②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______． 29．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形． （1）求AB的长度； （2）重叠部分的面积为　 　； （3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值． 30．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 31．在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得． （1）若线段与线段相交点，则： 图1中的取值范围是________； 图3中的取值范围是________； （2）在图1中，求证 （3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度； （4）如图3，当时，直接写出的值． 32．问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 33．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 34．提出问题：（1）如图①，正方形ABCD中，点E，点F分别在边AD和边CD上，若正方形边长为4，DE+DF＝4，则四边形BEDF的面积为　 ． 探究问题：（2）如图②，四边形ABCD，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，点E、F分别是边AD和边DC上的点，连接BE，BF，若ED+DF＝3，BD＝2，求四边形EBFD的面积； 解决问题：（3）某地质勘探队为了进行资源助测，建立了如图③所示的一个四边形野外勘查基地，基地相邻两侧边界DA、AB长度均为4km，∠DAB＝90°，由于勘测需要及技术原因，主勘测仪C与基地边缘D、B夹角为90°（∠DCB＝90°），在边界CD和边界BC上分别有两个辅助勘测仪E和F，辅助勘测仪E和F与主勘测仪C的距离之和始终等于4km（CE+CF＝4）．为了达到更好监测效果，需保证勘测区域（四边形EAFC）面积尽可能大．请问勘测区域面积有没有最大值，如果有求出最大值，如果没有，请说明理由． 35．如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． （1）当时，则点坐标为______； （2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 四边形中的最值问题通关专练 一、单选题 1．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（4，2）、D（3，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为A'，则A'C的最小值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可知BA＝BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC−BA′，则可求得答案． 【详解】解：连接BA′，如图： ∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（﹣1，0）、B（0，2）、C（4，2）、D（3，0）， ∴AB＝，BC＝4， ∵若点A关于BP的对称点为A'， ∴BA′＝BA＝， 在△BA′C中，由三角形三边关系可知：A′C≥BC﹣BA′， ∴A′C≥4﹣，即A′C的最小值为4﹣， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC−BA′是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，，若是上的一个动点，则的最小值是（    ） A．16 B．15.2 C．15 D．14.8 【答案】D 【分析】根据题意，当PC⊥BD时，有最小值，由勾股定理求出BD的长度，由三角形的面积公式求出PC的长度，即可求出最小值. 【详解】解：如图，当PC⊥BD时，有最小值， 在矩形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8， 由勾股定理，得 ， ∴， 在△BCD中，由三角形的面积公式，得 ， 即， 解得：， ∴的最小值是：； 故选：D. 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P的位置，得到PC最短. 3．四边形四个顶点的坐标分别为，则四边形周长的最小值为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据C和D的坐标可知，C和D点位于直线上，然后做出A关于直线的对称点A1，再作A1G=1且A1G⊥x轴，构造平行四边形，找到最小值是C和D的位置，计算即可 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点A1，然后做A1G=1且A1G⊥x轴，连接GB交y轴于点C，然后点C上移一个单位后得到点D，此时四边形ABCD周长最小 ∵A和A1关于直线对称 ∴A1D=AD，A1坐标为（8，4） ∵A1G∥DC且A1G=DC ∴四边形A1DCG是平行四边形 ∴A1D=AD=CG ∴AD+BC=BG，此时AD+BC有最小值 ∵G坐标为（8，3） ∴BG== ∵ ∴AB=，CD=1 ∴四边形周长的最小值=6+ 故选：D 【点睛】本题主要考查将军饮马，做对称点，然后构造平行四边形是解题的关键． 4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF＋DE的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AE，利用△ABE≌△BCF转化线段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，则通过作A点关于BC对称点H，连接DH交BC于E点，利用勾股定理求出DH长即可． 【详解】解：解：连接AE，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°． 又BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）． ∴AE＝BF． 所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值． 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点． 根据对称性可知AE＝HE， 所以AE＋DE＝DH． 在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80 ∴DH＝4 ∴BF＋DE最小值为4 故选：    D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 5．如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，      四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 6．已知：如图，四边形中，，．在边上求作点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值． 【详解】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小． 作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD． ∵CD=2AD， ∴DD'=CD， ∴∠DCD'=∠DD'C． ∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴四边形ABED'是矩形， ∴DD'∥EC，D'E=AB=3， ∴∠D'CE=∠DD'C， ∴∠D'CE=∠DCD'． ∵∠DCB=60°， ∴∠D'CE=30°， ∴D'C=2D'E=2AB=2×3=6， ∴PC+PD的最小值为6． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键． 7．如图，点P为正方形内一点，已知正方形的边长为2，且有，则的最小值为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】取AD中点E，连接PE、BE，当P、E、B三点共线时，最小，求出BE、PE即可． 【详解】解：取AD中点E，连接PE、BE， ∵正方形的边长为2， ∴PE=AE=1， ， ∵， 当P、E、B三点共线时，最小，最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形中线段最短问题，解题关键是确定点P的运动轨迹，明确BP长取值范围． 8．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：如图，连接与相交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O是菱形的中心， 连接，取中点M，连接，，则，为定长， ∵菱形的边长为8，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵M是的中点， ∴， 在Rt中，， 在Rt中，， ∵， 当A，M，G三点共线时，最小为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值． 9．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（　　） A．6 B．6 C．3 D．3 【答案】C 【分析】根据已知得出四边形AEMF是矩形，得出EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，根据垂线段最短得出即可． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC， ∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴四边形AEMF是矩形， ∴EF＝AM， 要使EF最小，只要AM最小即可， 过A作AM⊥BC于M，此时AM最小， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6， ∴AM＝AB＝ ， 即EF＝ 故选：C． 【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短. 10．如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°， ∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点， ∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°， ∴∠MPN＝60°+30°＝90°， 设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a）， ∴MN＝， ∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题． 11．如图，点Р是边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP＋NP＝M′N＝AB＝2． 【详解】解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值，最小值为M′N的长． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点， ∴M′是AD的中点， 又∵N是BC边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′＝BN， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N＝AB＝2， ∴MP＋NP＝M′N＝2，即MP＋NP的最小值为2， 故选C. 【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 12．如图，正方形ABCD的面积为64，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE＝AB＝8，连结BP，依据正方形的对称性可知PB＝PD，则PE+PD＝PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长． 【详解】连结BP． ∵四边形ABCD为正方形，面积为64， ∴正方形的边长为8， ∵△ABE为等边三角形， ∴BE＝AB＝8． ∵四边形ABCD为正方形， ∴△ABP与△ADP关于AC对称． ∴BP＝DP． ∴PE+PD＝PE+BP． 由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值＝BE＝8． 故选B． 【点睛】本题考查的是正方形的性质和轴对称−最短路线问题，熟练掌握求最短路线问题的方法是解题的关键． 13．如图，在▭ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，点P为▭ABCD内一点，点Q在BC边上，则PA+PD+PQ的最小值为(        ) A． B．6+2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值． 【详解】如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K ∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到 ∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD ∴△APF是等边三角形，∴AP=PF ∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG ∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6 ∴AE=AD=BC=6，AD∥BC ∴在Rt△AHE中，AH=3，EH=3 ∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC ∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG ∵∠ABC=60°，AB=4 ∴在Rt△ABK中，BK=2，AK=2 ∴HG=2 ∴EG=3 故选：C 【点睛】本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD，将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式． 14．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O（AC＞BD），点P是线段AC上的动点（与点A，C都不重合），点P到点D的距离与它到直线AD的距离之和最小值为l，则l是（　　） A．线段DO的长 B．点D到直线AB的距离 C．线段DB的长 D．点P到直线DC的距离 【答案】B 【分析】找点D关于AC的对称点，将点P到点D的距离转化为点P到点B的距离，则点P到点B的距离与它到直线AD的距离之和即为所求，根据“垂线段最短”，其最小值即为点B到直线AD的距离,找出选项中与其等长的距离即可. 【详解】解：∵D点关AC的对称点为B，则过点B作AD的垂线段即为点P到点D的距离与它到直线AD的距离之和最小时， 此段线段与过点D作AB的垂线段等长， 故选B． 【点睛】本题考查了最短路径问题，找已知点的对称点，将折线路径转化为直线路径是解题的关键. 15．如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求，在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接交于点，连接， 则， ， 当B、N、M三点共线时，取得最小值， 则即为所求的点， 则的长即为的最小值， ∵四边形是正方形， ∴是线段的垂直平分线， 又， 在中，， 故的最小值是5． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，根据点B与点D关于直线对称，可知的长即为的最小值是解答此题的关键． 二、填空题 16．如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别是AB、BC上一定点，且，P为对角线AC上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】过AC作点E的对称点，根据轴对称的性质得到的最小值就是的长，证明四边形是平行四边形得到的长． 【详解】解：如图，过AC作点E的对称点， 则，则， 根据两点之间线段最短可知， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 故答案是：4． 【点睛】本题考查线段和最小问题，解题的关键是掌握菱形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质． 17．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得，如图：    由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 18．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点Q关于BD的对称点，则当 ⊥BC时，PK+QK的有最小值． 【详解】解：如图所示，作点Q关于BD的对称点，作⊥BC交BD于点K，AM⊥BC交BC于点M， ∵PK+QK= PK+ ∴当 ⊥BC时，PK+QK的有最小值 ∵菱形ABCD ∴ 又在直角三角形中，∠ABC=60°，AB=2， ∴∠BAM=30°， ∴BM=1， ∴根据勾股定理可得， 即PK+QK的有最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质和将军饮马问题求线段和的最小值．合理添加辅助线是本题的关键． 19．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为 【答案】144° 【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 【详解】 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值． ∵四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝72° ∴∠DAB=108°， ∴∠AA′M+∠A″=72°， ∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×72°=144°， 故填：144°． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 20．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为 ． 【答案】10+5 【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值． 【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM． ∵∠AOB＝90°， ∴OM＝AB＝5． 同理ON＝5． ∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10， ∴． 在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1）， 如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立， ∴线段MG取最大值10+5． 故答案为：10+5． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键． 21．如图，在中，，，，点E为边上的一个动点，连接，， 以、为邻边构造，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得到EG，FG，根据垂线段最短得到EG⊥CD时取最小值，过点C作CH⊥AB于点H，求出CH的长度，从而得到结果． 【详解】解：∵四边形EDGC是平行四边形， ∴EF=FG， ∴当EF⊥CD时，EF最小，此时EG最小， 过点C作CH⊥AB于点H，则CH=EF， ∵∠B=60°， ∴∠BCH=30°， ∵BC=8， ∴BH=4， ∴CH==， ∴EF的最小值为， ∴EG的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件． 22．如图，正方形中，，点为的中点，点在上，且，点为直线上一动点，的最大值是 ．    【答案】 【分析】取CD的中点H，根据题意可知点E,H关于AC对称，连接FH并延长交直线AC于一点G′，连接EG,则EG′=HG′，此时FG′-EG′=FH，FH即为FG-EG的最大值. 【详解】解：取CD的中点H， ∵四边形ABCD为正方形，点E 为BC中点， ∴易得点E,H关于AC对称， 连接FH并延长交直线AC于一点G′，连接EG′,根据对称性可知EG′=HG′， 此时FG′-EG′=FH， 根据三角形中两边之差小于第三边可知，FH为FG-EG的最大值. 又∵DF=2，AB=CD=6，H为CD中点，∴DH=3， 在Rt△DFH中，根据勾股定理可得，FH=. 即FG-EG的最大值为. 故答案为：.    【点睛】此题考查正方形的性质，以及轴对称的性质，最值问题一般通过轴对称进行转化，通过三角形的三边关系找出最大（小）值. 23．如图，在中，，，，点分别是的中点，点在上，且.若点为线段上一动点，连接，则周长的最小值是 ． 【答案】8 【分析】连接AE,利用面积公式算出AE,△BPE周长的最小值即为AE+BE,代入求解即可. 【详解】连接AE,如图 ∵△ABC是等腰三角形,点E是BC得中点, ∴AE⊥BC, ∴S△ABC=,解得AE=6, ∵DF是线段AB的垂直平分线, ∴点B关于直线DF对称点为点A, ∴AE的长为BP+EP的最小值, ∴△BPE的周长最短=(BP+EP)+BE=AE+BE=6+2=8. 故答案为:8. 【点睛】本题考查三角形周长的最值问题,关键在于将三角形的最小值转变成两线段之和最短值. 24．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝9，点P时矩形ABCD内一动点，且＝ ，则PC＋PD的最小值是 ． 【答案】2 【分析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC＋PD＝PC＋PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可． 【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x． ∵四边形ABC都是矩形， ∴ABCD，AB＝CD＝2，BC＝AD＝9， ∵＝ ， ∴×2×x＝××2×（9－x）， ∴x＝3， ∴AM＝3，DM＝EM＝6， 在RtECD中，EC＝＝2， ∵PM垂直平分线段DE， ∴PD＝PE， ∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC， ∴PD＋PC≥2， ∴PD＋PC的最小值为2． 【点睛】本题考查轴对称－最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 25．如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作，由可得，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根据两点之间线段最短故可知的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解 【详解】解：如图，过点P作，交AB于点E，交CD于点F， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，， 过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则， ∴∠ ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵∠， 延长CB到K，使NK=CN=3，则有： 连接DK，当在一条直线上时，，当不在一条直线上时，， 故当共线时， 又N是CK的中点，， ∴PN是CK的垂直平分线， ∴CP=PK， 所以的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 三、解答题 26．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为． （1）如图，连接交于点，若，求的长； （2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足， ①连接，，判断，的数量关系并说明理由； ②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ． 【答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3） 【分析】（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案； （2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论； ②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作于点， 四边形是边长为2的正方形， ，，， ， ， ， ， ，即， ， 又，， ，， ，， 设，则， 由勾股定理得， 又， ， ，即， ， 中，， 由勾股定理得：； （2）①，理由如下： 如图2，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， 四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上， ， 在和中，， 分别由勾股定理得： ，， ， ； ②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于， ，为中点， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， 当、、三点共线时，最小， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 此时，，， ， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型． 27．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________ （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）5；（3） 【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5； （3）如图所示，，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质与判定，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D． （1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形； （2）填空： ①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形； ②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②3． 【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解； ②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解． 【详解】如图所示： （1）∵BD∥CE，CD∥BE， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴四边形BECD是矩形； （2）①当BE的长为时，四边形BECD是菱形．理由如下： 连接ED，与BC交于点O， ∵四边形BDCE是平行四边形， 当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形， BO＝BC＝3，OE＝AC＝2， ∴根据勾股定理，得 BE＝＝＝． 故答案为． ②连接AD，与BC交于点P，连接PE， 此时PD＝PE，AP+EP最小， ∴AP+PE＝AP+PD＝AD， 过点D作DF垂直于AC的延长线于点F， 得矩形ODFC， ∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3， ∴AF＝AC+CF＝6， ∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得 AD＝＝＝3． ∴AP+EP的最小值为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理. 29．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AD＝6cm，将纸片沿对角线BD对折，边AB的对应边BF与CD边交于点E，此时△BCE恰为等边三角形． （1）求AB的长度； （2）重叠部分的面积为　 　； （3）将线段BC沿射线BA方向移动，平移后的线段记作B'C'，请直接写出B'F+C'F的最小值． 【答案】（1）12cm；（2）cm2；（3） 【分析】（1）证明A，D，F共线，△ABF是等边三角形即可解决问题． （2）根据S△DEB=S△DCB求解即可． （3）首先判定四边形ADC′B′是平行四边形，得到C′F=B′D，作点D关于AB的对称点D′，可判断当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′，过F作FH⊥DG，垂足为H，在△D′HF中利用勾股定理求出D′F的长即可． 【详解】解：（1）∵△BCE是等边三角形， ∴∠C=60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C=60°，CD∥AB， ∴∠EDB=∠DBA， 由翻折可知，∠ABD=∠DBF， ∴∠EDB=∠EBD， ∴ED=EB=EC， ∴∠DCB=90°， ∵AD∥BC， ∴BD⊥AF， ∴A，D，F共线，AD=DF=6cm， ∵BA=BF，∠A=60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴AB=AF=12cm； （2）∵∠DBC=90°，BC=AD=6cm，∠C=60°， ∴BD=BC=cm， ∵DE=EC， ∴S△DEB=S△DCB=××6×=cm2； （3）由平移可知：BC=B′C′，BC∥B′C′， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴AD=B′C′，AD∥B′C′， ∴四边形ADC′B′是平行四边形， ∴C′F=B′D， 作点D关于AB的对称点D′， 则B′D=B′D′，即C′F+B′F=B′D′+B′F， 当F，B′，D′共线时，C′F+B′F最短，即为DF′， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠A=60°， ∴AG=3，DG===D′G， 过F作FH⊥DG，垂足为H，同理可求：GH=， ∴HD′=HG+D′G=， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠FDE=∠F=60°， ∴HF=DF=3， ∴D′F==，即C′F+B′F的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质，翻折变换，最短路径，等边三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半． 30．如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； （2）解：由图可得，当时，； （3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 31．在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得． （1）若线段与线段相交点，则： 图1中的取值范围是________； 图3中的取值范围是________； （2）在图1中，求证 （3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度； （4）如图3，当时，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）最小值：，此时＝2+；（4） 【分析】（1）根据正多边形的中心角的定义即可解决问题； （2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接．利用全等三角形的性质分别证明：BE＝，即可解决问题； （3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小，即有最小值． （4）利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题； 【详解】（1）由题意图1中，∵△ABC是等边三角形，O是中心， ∴∠AOB＝120° ∴∠α的取值范围是：0°＜α≤120°， 图3中，∵ABCDEF…是正n边形，O是中心， ∴∠BOC＝， ∴∠α的取值范围是：0°＜α≤， 故答案为：0°＜α≤120°，0°＜α≤． （2）如图1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，连接． ∵∠OEB＝∠OF＝90°， 根据题意，O是中心，∴OB＝OC， ∴∠OBE＝∠， ∴△OBE≌△OF（AAS）， ∴OE＝OF，BE＝F ∵， ∴Rt△≌Rt△（HL）， ∴， ∴． （3）如图2中，作点O关于BC的对称点E，连接OE交BC于K，连接交BC于点，连接，此时的值最小． ∵∠＝135°，∠BOC＝90°， ∴∠OCB＝∠＝45°， ∴∥BC， ∵OK⊥BC，OB＝OC， ∴BK＝CK＝2，OB＝2， ∵∥，OK＝KE， ∴， ∴＝ ＝， ∴＝2+， 在Rt△中，＝． ∵， ∴有最小值，最小值为，此时＝2+． （4）如图3中， ∵ABCDEF…是正n边形，O是中心， ∴∠BOC＝， ∵OC⊥， ， ∴∠＝∠＝∠BOC＝， ∴α＝． 【点睛】本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 32．问题提出 (1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小． 问题探究 (2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小． 问题解决 (3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析 【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．； （2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解； （3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， ，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求． （2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； 故； （3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质，，，，，，， 、是等边三角形， ， ， 根据两点间线段距离最短得：当时最短， 是等边三角形， 以为一边作等边三角形， 最小值为的长，此时点在线段上， 点为、的交点． 若点与点重合，即在对角线 上， 则点为与的交点，此时点（E）与点重合， 显然不符合题意，故点不在对角线上， 即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键． 33．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．      (1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； (2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，在（2）的旋转过程中， ①当为最大值时，则___________． ②当为最小值时，则___________． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论； （2）如图2，连接，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论； （3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．②利用三角形的三边关系确定的最小值，此时如图③中，，，共线． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1，延长交于．     是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立，，．理由如下： 如图②，连接，延长交于，交于．      在中，为斜边中点， ，， ． 四边形为正方形， ，且， ， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． （3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．     ， ． ． 在中，由勾股定理，得 ， ． 故答案为：； ②如图④中，连接．    如图②中，在中，，， ， 的最小值为1，此时如图④中，，，共线， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 34．提出问题：（1）如图①，正方形ABCD中，点E，点F分别在边AD和边CD上，若正方形边长为4，DE+DF＝4，则四边形BEDF的面积为　 ． 探究问题：（2）如图②，四边形ABCD，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ADC＝120°，点E、F分别是边AD和边DC上的点，连接BE，BF，若ED+DF＝3，BD＝2，求四边形EBFD的面积； 解决问题：（3）某地质勘探队为了进行资源助测，建立了如图③所示的一个四边形野外勘查基地，基地相邻两侧边界DA、AB长度均为4km，∠DAB＝90°，由于勘测需要及技术原因，主勘测仪C与基地边缘D、B夹角为90°（∠DCB＝90°），在边界CD和边界BC上分别有两个辅助勘测仪E和F，辅助勘测仪E和F与主勘测仪C的距离之和始终等于4km（CE+CF＝4）．为了达到更好监测效果，需保证勘测区域（四边形EAFC）面积尽可能大．请问勘测区域面积有没有最大值，如果有求出最大值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）；（3）有，四边形EAFC的面积最大值为8km2 【分析】提出问题： （1）由四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，可求解； 探究问题： （2）如图②，连接AC，过点B作BM⊥AD，BN⊥CD，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°，由直角三角形的性质可求BM＝BN＝MD＝，由四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB，可求解； 解决问题： （3）如图③，连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，且BD是直径，可得∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°，由直角三角形的性质可求AM＝CM＝AC，AN＝CN＝AC，由面积关系可求解． 【详解】解：提出问题： （1）如图①，连接BD， ∵四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB， ∴四边形BEDF的面积＝DE×AB+DF×BC＝×4×（DE+DF）＝8， 故答案为：8； 探究问题： （2）如图②，连接AC，过点B作BM⊥AD，BN⊥CD， ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵∠ABC＝60°，∠ADC＝120°， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ADB＝∠ACB＝60°， ∵BM⊥AD，BN⊥CD， ∴∠MBD＝30°，∠DBN＝30°，且BD＝2， ∴MD＝DN＝BD＝， ∴BM＝BN＝MD＝， ∵四边形BEDF的面积＝S△DEB+S△DFB， ∴四边形BEDF的面积＝DE×BM+×DF×BN＝××（DE+DF）＝； 解决问题： （3）如图③，连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC， ∵AB＝AD＝4km，∠DAB＝90°， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°，BD＝4km， ∵∠DAB+∠BCD＝90°+90°＝180°， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆，且BD是直径， ∴∠ACM＝∠ABD＝45°，∠ADB＝∠ACB＝45°， ∵AM⊥CD，AN⊥BC， ∴∠MAC＝∠MCA＝45°，∠NAC＝∠ACN＝45°， ∴AM＝CM＝AC，AN＝CN＝AC， ∵四边形EAFC的面积＝S△ACE+S△AFC， ∴四边形EAFC的面积＝CE×AM+×CF×AN＝×AM×（CE+CF）＝AC×4＝AC， ∴当AC为最大值时，四边形EAFC的面积有最大值， ∵AC是以BD为直径的圆中的弦， ∴AC的最大值为直径， ∴当AC＝4km，四边形EAFC的面积最大值为8km2． 【点睛】本题主要考查四边形综合题，解题关键是连接AC，BD，过点A作AM⊥CD，AN⊥BC. 35．如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点． （1）当时，则点坐标为______； （2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长； （3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）不变，8；（3） 【分析】（1）如图，过点作轴于．证明，推出，，可得结论． （2）结论：的周长不变．想办法证明即可． （3）由（1）可知，，推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于． 四边形是正方形，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． （2）结论：的周长不变． 理由：将绕点B逆时针旋转得到． ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 的周长． （3）由（1）可知，， ， 点的运动轨迹是射线， 过点作于，当点与点重合时，的值最小， 最小值， 的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$