微专题02 四边形中的折叠问题通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题02 四边形中的折叠问题通关专练 一、单选题 1．如图，矩形纸片，，点在上，且．若将纸片沿折叠，点恰好落在上，则矩形的面积是（    ） A．12 B． C． D．15 2．如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 3．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（图1），再折叠一次，使点A落在上的处，得到折痕，延长交于点H（图2）．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（    ）    A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 5．一张长方形的纸条，按如图方式折叠一下，已知∠3＝120°，则∠1的度数是(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 6．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC边于点F；②把△ADH翻折，点D落在AE边长的点G处，折痕AH交CD边于点H．若AD=6，AB=10，则的值是（　　） A． B． C． D． 7．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是(     )cm2． A．2 B．3.4 C．4 D．5.1 8．将矩形纸片按如图的方式折叠，使点B与点D都与对角线AC的中点O重合，得到菱形，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（ ） A．3 B．4 C．6或3 D．3或4 10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，已知长方形纸带，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，为（     ） A．20º B．80º C．50º D．40º 12．如图，正方形ABCD中AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将沿AE对折至，延长边EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 13．如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．矩形 14．将一个长方形纸片ABCD如图所示折叠，∠AEF=118°，则∠BFE为（    ） A．56° B．58° C．59° D．62° 15．如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．2或6 B．3或6 C．2或5 D．3或5 二、填空题 16．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点，上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm．    17．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ． 18．如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠EFB=50°，则∠EDF的度数为 . 19．如图,矩形的顶点在x轴上,点D的坐标为，点E在边上，沿翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若为等腰三角形,点C的坐标为 ． 20．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是线段AB的中点，点F是直线AD上的动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′．连接A′C，则A′C长度的最小值是 ． 21．如图，长和宽分别为8和6的矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，F是AB上一动点，将沿直线EF折叠，点A落在点处．在EF上任取一点G，连接，，则的最小值为 ． 22．如图，在矩形中，将沿折叠，点的对应点为，交于点，，，则 ． 23．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边BC上的点处，若折痕的长BE＝BC，则∠CED＝ °． 24．如图，四边形是矩形纸片，将沿折叠，得到，交于点，，，则 ． 25．将矩形按如图方式折叠，点B点C恰好落在点G处，且在同一条直线上，若，则的长是 ． 三、解答题 26．如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后，点C恰好落在AD边上的点F处，点G在BE上，且GF=EF，连接CG （1）求证：四边形CEFG是菱形；     （2）若BG=CG=2，求AB、BC的长． 27．如图，在矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点与点重合． (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 28．如图，折叠矩形ABCD，使点C重合于点A（点D重合于点G），折痕为EF交对角线AC于O． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）若AB＝4，BC＝8，求四边形AECF的面积． 29．如图，在矩形中，，点E是上一点，连接，将沿着折叠，点B恰好落在上的点F处，． (1)求的长； (2)求的长． 30．在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点． （1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°． （2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______； （3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        31．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与交于点．，的长满足式子．    (1)求点，的坐标； (2)直接写出点的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)是轴上一点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一动点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG． （1）试求∠EDG的度数； （2）如图2，若E为BC的中点，正方形ABCD边长为8，求线段AG的长； （3）当DE＝DG时，令CE＝a，则BE＝　　．（用含a的代数式表示） 33．如图，折叠长方形纸片，使点落在边上的点处，宽，长，求的长． 34．如图，四边形ABCD为矩形，将矩形ABCD沿MN折叠，折痕为MN，点B的对应点B′落在AD边上，已知AB＝6，AD＝4． (1)若点B′与点D重合，连结DM，BN，求证：四边形BMB′N为菱形； (2)在(1)问条件下求出折痕MN的长． 35．如图①，在矩形OACB中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，OA=8，OB=6 (1)直接写出点C的坐标：_____________； (2)如图②，点G在BC边上，连接AG，将△ACG沿AG折叠，点C恰好与线段AB上一点重合，求线段CG的长度； (3)如图③，P是直线y=2x－6上一点，PD⊥PB交线段AC于D．若P在第一象限，且PB=PD，试求符合条件的所有点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 四边形中的折叠问题通关专练 一、单选题 1．如图，矩形纸片，，点在上，且．若将纸片沿折叠，点恰好落在上，则矩形的面积是（    ） A．12 B． C． D．15 【答案】C 【分析】证明，求出即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 又∵将纸片沿折叠，点恰好落在上， ， ， ， 矩形的面积是． 故选：． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，直角三角形角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，将正方形按图中虚线折叠可得菱形（分别将正方形各边折叠至对角线上再展开，折痕所成四边形即为菱形），已知正方形的边长为2，则菱形的面积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O，根据角平分线的性质得EO=EM，利用等面积法，求出OE的长，进而即可求解． 【详解】解：连接BD，过点E 作EM⊥AB，设BD与AC交于点O， 由菱形和正方形的轴对称性，可知：E、F在BD上， ∵正方形的边长为2， ∴BO=DO=AO=CO=2÷= ， ∵折叠， ∴AE是∠BAC的平分线， 又∵EO⊥AC，EM⊥AB， ∴EO=EM， ∴，即：， ∴OE=， ∴EF=， ∴菱形的面积=××=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和正方形的性质以及折叠的性质，掌握正方形的对角线互相平分且垂直，相等，是解题的关键． 3．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（图1），再折叠一次，使点A落在上的处，得到折痕，延长交于点H（图2）．则下列结论：①；②；③；④是等边三角形．正确的是（    ）    A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，翻折变换及其性质，①由折叠性质得 ， 1，由此得，则为等边三角形，进而得，由此可对结论①进行判断；②在中，，由此可对结论②进行判断；③在中，，，则，由此可对结论③进行判断；④根据得，再根据得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①连接，如图所示：    ∵四边形为矩形纸片， ∴， 由折叠性质得：，，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∴，故结论②不正确； ③在中，， ∴，故结论③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故选：C． 4．如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先长方形的性质和已知条件得到，，根据折叠的性质得到，然后由勾股定理求出，设，根据勾股定理列方程求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】∵在长方形中， ∴， ∵ ∴ ∵沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处 ∴， ∴ ∴设， ∴ ∴，即 ∴解得 ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键． 5．一张长方形的纸条，按如图方式折叠一下，已知∠3＝120°，则∠1的度数是(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1． 【详解】由已知宽度相等纸条， ∴AB∥CD， ∴∠1+∠2=∠3， 又∵图形对折， ∴∠1=∠2， 2∠1=120°， ∴∠1=60°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 6．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC边于点F；②把△ADH翻折，点D落在AE边长的点G处，折痕AH交CD边于点H．若AD=6，AB=10，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折不变性可得AE=AB=10，推出DE=8，EC=2，设BF=EF=x，在Rt△EFC中，x2=22+（6-x）2，可得x=，设DH=GH=y，在Rt△EGH中，y2+42=(8-y)2，可得y=3，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=6， 由翻折不变性可知：AB=AE=10，AD=AG=6，BF=EF，DH=HG， ∴EG=4， 在Rt△ADER中，DE===8， ∴EC=10-8=2， 设BF=EF=x，在Rt△EFC中有：x2=22+(6-x)2， ∴x=， 设DH=GH=y， ∵AE=10，AG=AD=6， ∴GE=4， 在Rt△EGH中，y2+42=(10-2-y)2， ∴y=3， ∴EH=5， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 7．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是(     )cm2． A．2 B．3.4 C．4 D．5.1 【答案】D 【分析】由矩形的性质得AD=BC=5cm，CD=AB=3cm，∠A=90°，再由折叠的性质得=AB=3cm，，=AE，设AE=x cm，则，DE=（5-x）cm，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程，进而得出DE的长，即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AB=3cm，BC=5cm， ∴AD=BC=5cm，CD=AB=3cm，∠A=90°， 由折叠的性质得：=AB=3cm，=90°，， 设AE=xcm，则，DE=（5-x）cm， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：x=1.6， ∴DE=5-1.6=3.4（cm）， ∴△DEF的面积=DE•CD=×3.4×3=5.1（）， 故选：D 【点睛】此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 8．将矩形纸片按如图的方式折叠，使点B与点D都与对角线AC的中点O重合，得到菱形，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵折叠 ∴∠DAF=∠FAC，AD=AO，BE=EO， ∵AECF是菱形 ∴∠FAC=∠CAB，AOE=90° ∴∠DAF=∠FAC=∠CAB ∵DABC是矩形 ∴∠DAB=90°，AD=BC ∴∠DAF+∠FAC+∠CAB=90° ∴∠DAF=∠FAC=∠CAB=30° ∴AE=2OE=2BE ∵AB=AE+BE=3 ∴AE=2，BE=1 ∴在Rt△AEO中，AO==AD ∴BC= 故选D． 9．如图，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿直线对折，点A的落点为，当为直角三角形时，线段的长为（ ） A．3 B．4 C．6或3 D．3或4 【答案】C 【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点在矩形内部时，如图1所示，先利用勾股定理求出BD=10，根据折叠的性质得，设AE=x，则，DE=8-x，然后在Rt中运用勾股定理计算出x的值即可；②当点落在边BC上时，如图2所示，此时四边形是正方形，得出AE=AB=6． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠C=90°，AB=6，AD=8 ∴ 当为直角三角形时，有两种情况： ①当点在矩形内部时，如图1所示， 由折叠的性质得，， 设，则， ∴ 在Rt中， ∴ 解得，x=3 ∴AE=3； ②当点落在边BC上时，如图2所示， 此时四边形是正方形， ∴AE=AB=6 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠和矩形的性质是解决问题的关键． 10．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】解：如图，连接DF． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°， 由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF， ∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴∠GAF=∠GAD， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确， 设GD=GF=x， 在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2， ∴(4+x)2=82+(12-x)2， ∴x=6， ∵CD=BC=BE+EC=12， ∴DG=CG=6， ∴FG=GC， 易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF=GD=GC， ∴∠DFC=90°， ∴CF⊥DF， ∵AD=AF，GD=GF， ∴AG⊥DF， ∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG=×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2， ∴FG：EG=3：5， ∴S△GFC=×24==14.4，故④正确， 故①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 11．如图，已知长方形纸带，，，，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠，为（     ） A．20º B．80º C．50º D．40º 【答案】D 【分析】根据长方形性质，得；根据平行线性质，得；根据轴对称的性质，得，，；再根据平行线和余角的性质，计算得；根据轴对称的性质，得，通过计算即可得到答案． 【详解】∵长方形纸带 ∴ ∵ ∴ 纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ 再沿折叠 ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称、长方形、平行线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、平行线的性质，从而完成求解． 12．如图，正方形ABCD中AB＝6，点E在CD上，且CD＝3DE，将沿AE对折至，延长边EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据正方形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后利用直角三角形全等的判定定理即可判断①；先根据全等三角形的性质可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可判断②；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据平角的定义可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可判断③；根据线段的长度可得，再根据三角形的面积公式可得，由此即可判断④；根据线段的长度分别求出和的值，由此即可判断⑤． 【详解】解：四边形是正方形，且， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 在和中，， ，结论①正确； ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， ，结论②正确； ， ， 又， ， ，结论③正确； ， ， ， ， ，结论④错误； ， ， ， ，结论⑤错误； 综上，正确结论的个数是3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题关键． 13．如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 14．将一个长方形纸片ABCD如图所示折叠，∠AEF=118°，则∠BFE为（    ） A．56° B．58° C．59° D．62° 【答案】D 【分析】由∠AEF与∠DEF互补，可求出∠DEF，再由内错角相等得∠BFE=∠DEF. 【详解】∵∠AEF+∠DEF=180°， ∴∠DEF=180°-118°=62°， 又∵AD∥BC ∴∠BFE=∠DEF=62°,选D 【点睛】此题考查平行线的性质，翻折变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 15．如图，矩形中，，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为（    ） A．2或6 B．3或6 C．2或5 D．3或5 【答案】C 【分析】当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图所示，连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出；即可解答； ②当点落在边上时，如图所示，此时四边形为正方形．继而得出答案． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图所示，连接， 在中，，， ∴， ∵沿折叠，使点落在点处， ∴， 当为直角三角形时，则有∠， ∴点、、共线， 即沿折叠，使点落在对角线上的点处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当点落在边上时，如图所示， 此时四边形为正方形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理，注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 二、填空题 16．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点，上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm．    【答案】 【分析】探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可． 【详解】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm， 在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5， ∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），    如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），    如图3中，当点M运动到点B′落在CD时， DB′（即DE″）＝10﹣1﹣＝（9﹣）（cm），    ∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（9﹣）＝（）（cm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 17．如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 18．如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若∠EFB=50°，则∠EDF的度数为 . 【答案】20° 【分析】根据直角三角形两锐角互余可求∠BEF，再根据翻折变换的性质可得∠AED=∠FED，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵长方形ABCD，∠EFB=50°， ∴∠BEF=90°-50°=40°， ∵长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC边上的点处， ∴∠AED=∠FED，∠EFD=90°， ∴∠AED=（180°-40°）=70°， ∴∠EDF=90°-70°=20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、直角三角形两锐角互余的性质等知识点，熟记翻折变换前后的两个图形能够互相重合得到相等的角是解题的关键． 19．如图,矩形的顶点在x轴上,点D的坐标为，点E在边上，沿翻折后点C恰好落在x轴上点F处,若为等腰三角形,点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据三角形是等腰三角形可分为三种情况，结合图形可得到结果，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当时，如图所示： ， 在中，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， 设， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的点C坐标或或， 故答案为：或或． 20．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是线段AB的中点，点F是直线AD上的动点，连接EF，把△AEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′．连接A′C，则A′C长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】根据折叠的性质得出EA'＝EA，可确定A'的轨迹在以E为圆心，半径为3的圆弧上运动，E、A'、C共线，A'C最短，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝90°， ∵AB＝6，AD＝4，E是AB的中点， 由折叠的性质得，EA'＝EA＝3， ∴A'的轨迹在以E为圆心，半径为3的圆弧上运动，连接EC交圆弧于A''，此时E、A'、C共线，A'C最短， 在Rt△EBC中，BE＝3，BC＝4， 由勾股定理得CE＝， ∴A'C＝5﹣3＝2， 即A'C长度的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形性质和圆的有关性质，勾股定理，解题关键是确定A'的轨迹，找到A'C最小位置，勾股定理求解． 21．如图，长和宽分别为8和6的矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，F是AB上一动点，将沿直线EF折叠，点A落在点处．在EF上任取一点G，连接，，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】连接交于H，连接，当点G与点H重合时，此时的值最小，由勾股定理求出的长，则可得出答案． 【详解】如图，连接交于H，连接， 由折叠性质可知：， ∴ ∴、、三点共线时取得最小值 此时 故答案为：10 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质、轴对称最短问题及勾股定理等知识，解题的关键时学会用转化的思想思考问题． 22．如图，在矩形中，将沿折叠，点的对应点为，交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题、勾股定理等知识点．熟记矩形及折叠的性质是解题关键． 先运用勾股定理可得,再根据折叠及矩形的性质可证可得；设，则，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴, 由折叠及矩形的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中：，即，解得：， 故答案为：． 23．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边BC上的点处，若折痕的长BE＝BC，则∠CED＝ °． 【答案】67.5 【分析】由折叠可知四边形ABE是正方形，由正方形的性质得∠EB=∠AEB=45°，再由等边对等角及三角形内角和定理可求得∠BEC=67.5°，再根据平角可求得∠CED=67.5°． 【详解】解：由折叠可知，四边形ABE是正方形， ∴∠EB=∠AEB=45°， ∵BE=BC， ∴∠BEC=∠BCE=， ∴∠CED=180°-∠AEB-∠BEC =180°-45°-67.5° =67.5°． 故答案为：67.5． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题、正方形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等，解题关键是能发现折叠后的图形是正方形． 24．如图，四边形是矩形纸片，将沿折叠，得到，交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据折叠得到，即可得到，设，则，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论； 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵，， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． 25．将矩形按如图方式折叠，点B点C恰好落在点G处，且在同一条直线上，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得AB=AG=4，CF=GF，由勾股定理可求CF的长． 【详解】解：∵将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上． ∴AB=AG=4，CF=GF， ∴AF=4+CF， ∵AF2=AD2+DF2， ∴（4+CF）2=36+（4-CF）2， ∴CF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，利用勾股定理列出方程求CF的长是本题的关键． 三、解答题 26．如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后，点C恰好落在AD边上的点F处，点G在BE上，且GF=EF，连接CG （1）求证：四边形CEFG是菱形；     （2）若BG=CG=2，求AB、BC的长． 【答案】（1）见解析；（2）AB=3，BC=2 【分析】（1）由折叠的性质可得CG=FG，CE=EF，由菱形的判定可得结论； （2）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求∠EBC=30°，∠CEB=60°，可得BE=4，由勾股定理可求BC的长，由折叠的性质可得∠CBE=∠EBF=30°，BF=BC=2，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将△BCE沿BE翻折， ∴CG=FG，CE=EF， 又∵GF=EF， ∴CG=GF=EF=CE； ∴四边形CEFG是菱形； （2）∵BG=CG， ∴∠GBC=∠GCB， ∴∠EGC=2∠GBC， ∵CG=CE， ∴∠CEB=∠EGC=2∠GBC， ∵∠BEC+∠GBC=90°， ∴∠EBC=30°，∠CEB=60°， 则BE=2CE=2CG=4， ∴BC=； ∵将△BCE沿BE翻折， ∴∠CBE=∠EBF=30°，BF=BC=2， ∴∠ABF=30°， ∴AF=BF=，AB=AF=3． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 27．如图，在矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点与点重合． (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了矩形性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理的知识，解题关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． （1）由折叠和矩形的性质可得，进而可证； （2）利用勾股定理求出，由（1）可得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）过点E作于点H，易知四边形为矩形，先在中确定的长，结合（2）的结论计算，然后在中，由勾股定理计算线段EF的长即可． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， 由勾股定理得，，即，解得， ∴， ∴； （3）解：如图，过点E作于点H，则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴在中，． 28．如图，折叠矩形ABCD，使点C重合于点A（点D重合于点G），折痕为EF交对角线AC于O． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）若AB＝4，BC＝8，求四边形AECF的面积． 【答案】（1）见解析（2）20 【分析】（1）根据平行线及折叠的性质可得出∠CAE＝∠CAD＝∠ACF＝∠ACB，从而利用等腰三角形的性质可得出EC＝EA，结合AE∥CF可判断AECF为菱形． （2）设CE＝x，则BE＝8﹣x，由AE2＝CE2，列出等式可解出x的值，求出BE后，即可计算出四边形AECF的面积． 【详解】解：（1）四边形AECF是菱形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， 由折叠的性质得：∠CAE＝∠CAD，∠ACF＝∠ACB， ∴∠CAE＝∠CAD＝∠ACF＝∠ACB， ∴AE∥CF，EC＝EA， ∴四边形AECF是菱形． （2）设CE＝x，则BE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，42+（8﹣x）2＝x2， ∴x＝5， ∵四边形AECF是菱形， ∴四边形AECF的面积＝EC•AB＝5×4＝20． 【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理及菱形的性质，根据折叠的性质及平行线的性质得出∠CAE＝∠CAD＝∠ACF＝∠ACB，是判断AECF形状的关键，另外在解答第二问时要注意根据勾股定理求出BE的长． 29．如图，在矩形中，，点E是上一点，连接，将沿着折叠，点B恰好落在上的点F处，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查勾股定理与矩形的折叠问题． （1）根据矩形的性质和已知可得与的长，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可； （2）设，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由折叠和矩形的性质可得：， ∵， ∴， 在中， （2）解：， 设，则， 在中，， 解得： 即 30．在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点． （1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°． （2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______； （3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        【答案】（1）90，45；（2）；（3） 【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时； （2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度； （3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4， 是AD的中垂线， ．    当点E与点A重合时，如图5， 此时，    故答案为：；． （2）如图6所示，连接，则是的中垂线， ∴， 在中，，即， 当点与点重合时，； 当与重合时，的值最小，连接， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴线段的取值范围是． 故答案为：．    （3）如图7所示，连接，设． 由折叠知：，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得． ∴．    【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想． 31．如图，平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与交于点．，的长满足式子．    (1)求点，的坐标； (2)直接写出点的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)是轴上一点，在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，的坐标为或或或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出、的长即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，，构建方程求出，可得点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）分情形分别求解即可解决问题①当OB为菱形的边时②当OB为菱形的对角线时，分别画出图形，根据菱形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，的长满足式子． ，， ，， ，； （2）解：四边形是矩形， ， ， 根据翻折不变性可知：， ， ，设， 在中，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （3）或或或． 如图，    ，， ． ①当为菱形的边时，，故， ，故． ②当为菱形的对角线时，， 设，则， 在中，， ，解得， ， ， ③当为对角线时，可得， 综上所述，存在，满足条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，算术平方根的非负性，菱形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 32．如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一动点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG． （1）试求∠EDG的度数； （2）如图2，若E为BC的中点，正方形ABCD边长为8，求线段AG的长； （3）当DE＝DG时，令CE＝a，则BE＝　　．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）45°；（2）；（3） 【分析】（1）证明，可得可解； （2）设，则，在中，由勾股定理可解； （3）证明，可得，在中，利用勾股定理可解． 【详解】解：（1）如图， 四边形是正方形， ．， 沿折叠得到， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知：， ， 为的中点， ， 设，则，GE=4+x， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： 所以线段的长为； （3）如图， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， 沿折叠得到， ，， 为等腰三角形，， ， 在中，，， ， 解得． 故答案为． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质和图形的折叠，解题关键是根据折叠后对应角和对应边相等，在直角三角形中结合勾股定理求解． 33．如图，折叠长方形纸片，使点落在边上的点处，宽，长，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明并且求得是解答本题的关键． 由矩形的性质得BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，∠B＝∠C＝90°，由折叠得，，根据勾股定理得求得，则，由，得，求得，由此得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ， ， ， 解得， 的长是． 34．如图，四边形ABCD为矩形，将矩形ABCD沿MN折叠，折痕为MN，点B的对应点B′落在AD边上，已知AB＝6，AD＝4． (1)若点B′与点D重合，连结DM，BN，求证：四边形BMB′N为菱形； (2)在(1)问条件下求出折痕MN的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)MN=. 【分析】（1）首先证明四边形BMDN是平行四边形，再证明BM＝DM，即可证明四边形BMB'N为菱形.（2）首先设BM＝x，利用在Rt△AMB′中，结合勾股定理，求解x的值，在计算NQ，在Rt△MNQ中，利用勾股定理，即可得MN的长. 【详解】解：(1)由折叠可得，BM＝DM，∠BMN＝∠DMN， ∵CD∥AB， ∴∠BMN＝∠DNM， ∴∠DMN＝∠DNM， ∴DN＝DM， ∴BM＝MD＝DN， 又∵DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形， 又∵BM＝DM， ∴四边形BMB'N为菱形； (2)设BM＝x，则DM＝x，AM＝6﹣x， 在Rt△AMB′中，由勾股定理可得，(6﹣x)2+42＝x2， 求解得x＝， 则DM＝＝DN， 如图，过点M作MQ⊥CD于点Q，则 NQ＝-(6-)＝， 在Rt△MNQ中，利用勾股定理可得MN＝ ＝． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠问题，关键在于折叠后那些没有变，那些已知，这是考试的热点，应当熟练掌握. 35．如图①，在矩形OACB中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，OA=8，OB=6 (1)直接写出点C的坐标：_____________； (2)如图②，点G在BC边上，连接AG，将△ACG沿AG折叠，点C恰好与线段AB上一点重合，求线段CG的长度； (3)如图③，P是直线y=2x－6上一点，PD⊥PB交线段AC于D．若P在第一象限，且PB=PD，试求符合条件的所有点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据坐标结合矩形的性质直接写出点的坐标， （2）设，根据折叠可知，，在中，用勾股定理求解即可， （3）过点作轴，交直线于，则，设，，证明，根据全等三角形的性质建立方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵OA=8，OB=6 ∴ 四边形OACB是矩形 故答案为： （2） 在中， 设，根据折叠可知，，， ， 在中， 解得 即 （3） P是直线y=2x－6上一点， 设， 过点作轴，交直线于，则，如图， 又PB=PD 解得或 或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$