微专题01 四边形中构造中位线通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 四边形构造中位线通关专练 一、单选题 1．如图，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD＝8，则OE＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．已知：如图，菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 的中点，AD＝6cm，则 OE 的长为（    ） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 3．如图，点D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C． D．8 4．如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，，，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，交于点O，M，N分别为，的中点．若，，则的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 8．如图，在中，BD，CE是的中线．BD，CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO．若，，则四边形DEPG的周长是（    ） A．14cm B．17cm C．24cm D．28cm 9．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，则（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 11．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为线段的中点，连接，若，，，则的长为（　　）    A． B． C．5 D． 13．如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交，，于点，，，连接，．若，为的中点，且，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…依此类推，则四边形A9B9C9D9的周长为（　　） A． B． C． D． 15．已知：如图所示，四边形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝4，CD＝，BC＝6，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP取 AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值（    ） A． B． C． D．3 二、填空题 16．如图所示，在矩形中，，，对角线、相交于点，、分别是、的中点，则的周长是 ． 17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝6cm，则AD的长是 cm． 18．如图，△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，则EF：AF＝ ；若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝ ． 19．如图，是七巧板的例作图，其中点E、F、H、M、N分别是的中点，且正方形的面积是1，则正方形的面积是 ． 20．如图，在中，分别是的中点，连接，若 ，则四边形的周长是 ．    21．如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则 ． 22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，点E是OB的中点，点P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 ． 23．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为 ． 24．如图，在四边形中，平分对角线与边延长线的夹角，，点为中点，若，，则线段的长为 ． 25．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为 ． 三、解答题 26．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点，连接，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，先在上画一点F，使得；再画点E关于的对称点G； (2)如图2，若E是中点，先在上画点H，使得；再在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 27．如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度． 28．如图，，，D，E分别为，的中点，，点F在的延长线上，． (1)求的长； (2)求四边形的周长． 29．如图，四边形的对角线相交于点O，其中平分，E为的中点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 30．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长． 31．如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2，请问需投资金多少元？(结果保留整数) 32．已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连接．求证：． 33．已知：在中，点E是AC的中点，点D在AB上，连接DC、DE，过点A作，交DE延长线于点F，连接FC． (1)如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)如图2，如果点D为AB中点，且，写出图中所有与线段AF相等的线段（不包括线段AF） 34．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为的中点．连接并延长至点F，使得，连接．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，证明你的结论． 35．【探索发现】 如图①，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿折叠，使点均落在点处，折痕形成一个四边形．小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的： （1）请参考小刚的思路写出证明过程； （2）连接，当时，直接写出线段的数量关系； [理解运用] （3）如图②，在四边形中，，点为的中点，把四边形折叠成如图②所示的正方形，顶点落在点处，顶点落在点处，求的长； [拓展迁移] （4）如图③，在四边形中，，点分别为边的中点，将四边形沿直线折叠，使点与重合，点落在处，将沿折叠，点落在点处．判断四边形的形状，并求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 四边形构造中位线通关专练 一、单选题 1．如图，□ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC的中点，CD＝8，则OE＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得出，然后由三角形中位线的性质得出． 【详解】由题意可知：， ，分别为，的中点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线的性质，解题的关键是掌握相关知识并学会应用，属于基础题． 2．已知：如图，菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 的中点，AD＝6cm，则 OE 的长为（    ） A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，各边长都相等，对角线垂直平分，可得点O是AC的中点，证明EO为三角形ABC的中位线，计算可得． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握几何图形的性质是解题关键． 3．如图，点D，E，F分别为三边的中点．若的周长为10，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C． D．8 【答案】A 【分析】根据中位线定理可得，，，继而结合的周长为10，可得出的周长． 【详解】解：∵点D，E，F分别为三边的中点， ∴，，， ∴， ∵的周长为10， ∴，即的周长为5． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 4．如图，菱形的对角线，相交于点O，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．首先根据三角形中位线定理得到，再计算菱形的面积即可． 【详解】E，F分别是，边上的中点，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 5．如图，在四边形中，点E、F分别是边、的中点，，，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，熟练掌握中位线定理并作出正确的辅助线是解决本题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可． 【详解】解：连接，    ∵E、F分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴； 故选：B． 7．如图，矩形中，，交于点O，M，N分别为，的中点．若，，则的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质求出，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵M，N分别为，的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，勾股定理，解题的关键是找到线段间的数量关系． 8．如图，在中，BD，CE是的中线．BD，CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO．若，，则四边形DEPG的周长是（    ） A．14cm B．17cm C．24cm D．28cm 【答案】B 【分析】先判断DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线性质得到DE=BC，同理可得FG=BC，EF=OA，DG=OA，所以四边形DEFG的周长=OA+BC． 【详解】解：∵BD，CE是△ABC的中线， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵点F，G分别是BO，CO的中点， ∴FG为△OBC的中位线， ∴FG=BC， ∵E为BA的中点，F为OB的中点， ∴EF为△AOB的中位线， ∴EF=OA， 同理可得DG=OA， ∴四边形DEFG的周长=OA+BC+BC+OA=OA+BC=8+9=17（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 9．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得到DE=BC，DE∥BC，证明四边形ABHG为平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的周长公式计算，得出结论． 【详解】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC，DE∥BC， ∵AG∥HC，AE=EC， ∴ ∴AG=HC， ∵AG∥BC，AB∥GH， ∴四边形ABHG为平行四边形， ∴四边形ABHG的周长=2AB+2BH，BH=AG=CH， ∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+2BH， ∴当AB=AC时，四边形ABHG的周长与△ABC的周长相等， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 10．如图，在四边形中，，、、、分别是、、、的中点，则（　　） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【分析】作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论． 【详解】解：连接EF、FG、GH、EH， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，HG∥AC，EF=，FG=， ∴EF∥HG， 同理EH∥FG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵AC=BD， ∴EF=FG， ∴平行四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥FH，EG=2OG，FH=2OH， ∴EG2+FH2=（2OE）2+（2OH）2=4（OE2+OH2）=4EH2=4×（）2=62=36； 故选D． 【点睛】本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明． 11．如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC，则下列结论：①OH∥BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④三角形BDF是直角三角形．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】只要证明OH是△DBF的中位线即可判定①；证明GH是△DCF的中位线，得出，由GH＜BC，可判断③；由BE是∠DBC的平分线，得到，则∠EBC=∠CDF=22.5°，∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半FH=CH，得到∠HCF=∠HFC=67.5°，从而可以判断②；求出∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=∠BDC+∠CDF=67.5°即可判断④． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠DCB=∠DCF=90°， ∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠CBE=∠CDF， ∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH， ∴∠DEH+∠CDF=90°， ∴∠BHD=∠BHF=90°， ∵BE平分∠DBC， ∴∠HBD=∠HBF， ∵BH=BH， ∴△BHD≌△BHF（ASA）， ∴DH=HF， ∵O为正方形ABCD的中心， ∴OD=OB， ∴OH是△DBF的中位线 ∴OH∥BF，故①正确； ∴，∠DOH=∠CBD=45°，∠DGO=∠CGO=∠DCB=90°， 连接OC，则∠ODG=∠OCG=45°， ∴△OGC≌△OGD（AAS）， ∴， ∴GH是△DCF的中位线， ∴， ∵CE=CF， ∴， ∵， ∴，故③错误． ∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线， ∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，， ∴∠EBC=∠CDF=22.5°， ∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°， ∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BF， ∴FH=CH， ∴∠HCF=∠HFC=67.5°， ∴∠CHF=180°-∠HCF-∠HFC=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确； ∵∠DBF=45°，∠DFB=67.5°，∠BDF=∠BDC+∠CDF=67.5°， ∴三角形BDF不是直角三角形，故④错误； 故选B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质，三角形中位线定理．解答此题的关键是证明OH是中位线． 12．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，点E为线段的中点，连接，若，，，则的长为（　　）    A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可求，再根据勾股定理求出，最后根据三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解： 中，，，点E为边的中点， ， ， ， 平行四边形中，对角线交于点O， ， 又点E为边的中点， 是的中位线， ， 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等，解题的关键是证明是的中位线． 13．如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交，，于点，，，连接，．若，为的中点，且，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，由为的中点，垂直平分可得FO是的中位线，进而求出，，则，然后利用勾股定理求出PE，OE即可解决问题． 【详解】解：画出图形为： ∵为的中点，垂直平分， ∴，， ∴FO是的中位线， ∴， ∴． ∵， ∴， 设，则， 在 中， ∴， 解得， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 解得， 即， 在中，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，矩形的性质，三角形的中位线，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2…依此类推，则四边形A9B9C9D9的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AC、BC，根据勾股定理求出A1B1，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形A1B1C1D1是菱形，且菱形的周长＝5×4＝20，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：连接AC、BC， 由题意得，AB1＝×6＝3，AA1＝×8＝4， 由勾股定理得，A1B1＝＝5， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD， ∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形A1B1C1D1， ∴A1B1＝BD，A1B1∥BD，C1B1＝AC，C1B1∥AC，A1D1＝AC，A1D1∥AC， ∴A1B1＝C1D1，A1B1∥C1D1，A1B1∥B1C1， ∴四边形A1B1C1D1是菱形，且菱形的周长＝5×4＝20， 同理，四边形A3B3C3D3是菱形，且菱形的周长＝20×＝10， …… 四边形A9B9C9D9是菱形，且菱形的周长＝20×＝， 故选：B． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握矩形的性质、矩形和菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键． 15．已知：如图所示，四边形ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝4，CD＝，BC＝6，M为AD中点，动点P从点B出发沿BC向终点C运动，连接AP，DP取 AP中点N，连接MN，求线段MN的最小值（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据中位线的性质可知MN等于DP的一半，求DP的最小值即可． 【详解】解：M为AD中点，N为AP中点， ∴， 当DP⊥BC时，DP长最小，如图所示， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠B＝90°， ∵∠DPB＝90°， ∴四边形DPBA是矩形， ∴BP=AD=4， ∴CP=BC-BP=2， ， 线段MN的最小值为； 故选：C． 【点睛】本题考查了中位线的性质、勾股定理、矩形的判定等知识，解题关键是明确中位线的性质和垂线段最短的性质，根据勾股定理求出最小值． 二、填空题 16．如图所示，在矩形中，，，对角线、相交于点，、分别是、的中点，则的周长是 ． 【答案】8； 【分析】利用勾股定理算出AC的长度,根据矩形的性质即可得出BO的长度,再根据中位线的性质求出△AEF的周长即可. 【详解】∵AB=6cm,BC=8cm,∠ABC=90°, ∴AC=10cm, ∵四边形ABCD是矩形, ∴BO==AO=5cm, ∵E、F是AB、AO的中点, ∴EF为三角形ABO的中位线, ∴EF=cm, ∴△AEF的周长=AE+EF+AF=8cm. 故答案为:8. 【点睛】本题考查矩形的性质和中位线的应用,关键在于根据矩形的性质转变边长,中位线的性质求出边长. 17．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝6cm，则AD的长是 cm． 【答案】12 【分析】根据平行四边形的性质可得BO=DO，根据三角形中位线定理可求AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴BO=DO， 又∵点E是AB的中点， ∴OE=AD， ∵OE=6cm， ∴AD=12cm， 故答案为12 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是本题的关键． 18．如图，△ABC中E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，则EF：AF＝ ；若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝ ． 【答案】 2 【分析】过D作DG∥AE交CE于G，由点D是AC的中点，得到AD＝AC，CG＝EG，进而求得EF＝DG，AF＝DG，从而得到EF与AF的比，然后分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出最后的结果． 【详解】过D作DG∥AE交CE于G， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝AC，CG＝EG， ∴AE＝2DG，CE＝2CG， ∵EC＝2BE， ∴BE＝EG， ∴EF＝DG， ∴AF＝DG， ∴EF：AF＝， ∵S△ABC＝12， ∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6． ∵EC＝2BE，S△ABC＝12， ∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4， ∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF， 即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2． 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查三角形中线，中位线的性质及面积转换，掌握三角形中位线的性质及找到S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE是解题的关键． 19．如图，是七巧板的例作图，其中点E、F、H、M、N分别是的中点，且正方形的面积是1，则正方形的面积是 ． 【答案】8 【分析】根据点E、F、H、M、N分别是的中点，正方形的面积是1，可得，然后利用正方形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：∵点E、F、H、M、N分别是的中点，正方形的面积是1， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正方形的性质．解决本题的关键是七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的． 20．如图，在中，分别是的中点，连接，若 ，则四边形的周长是 ．    【答案】22cm 【分析】通过线段中点和三角形的中位线可求出各边的长，然后即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵分别是的中点， ， ∴，， ，， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是第三边的一半是解题的关键． 21．如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长，即可求出MN的长． 【详解】解：连接CF， ∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=7，BE=5， ∴GF=GB=5，BC=7， ∴GC=GB+BC=5+7=12， ∴CF=， ∵M，N分别是DC，DF的中点， ∴MN=CF=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，构造基本图形是解题的关键． 22．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，点E是OB的中点，点P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 ． 【答案】 【分析】取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝2，OB＝OD＝3，由三角形中位线定理可得HP＝OC＝1，HP∥AC，可得EH＝3，∠DOC＝90°，由勾股定理可求PE的长． 【详解】解：如图，取OD的中点H，连接HP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，OB＝OD＝3， ∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点， ∴OH＝，OE＝，HP＝OC＝1，HP∥AC， ∴EH＝3，∠EHP＝90°， ∴EP＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是形内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为6、7、8，四边形DHOG面积为 ． 【答案】7 【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH，S△OAE=S△OBE，从而有S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，由此即可求得答案． 【详解】连接OC，OB，OA，OD， ∵E、F、G、H依次是各边中点， ∴△AOE和△BOE等底等高， ∴S△OAE=S△OBE， 同理可证，S△OBF=S△OCF，S△ODG=S△OCG，S△ODH=S△OAH， ∴S四边形AEOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE， ∵S四边形AEOH=6，S四边形BFOE=7，S四边形CGOF=8， ∴6+8=7+S四边形DHOG， 解得：S四边形DHOG=7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了三角形的面积．解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论． 24．如图，在四边形中，平分对角线与边延长线的夹角，，点为中点，若，，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】分别延长交于点，证明是的中点，即可求得的长． 【详解】分别延长交于点， 平分对角线与边延长线的夹角 （ASA） ， ， 又点为中点 ． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形中位线的性质，正确的作出辅助线，求得是解题的关键． 25．如图，正方形ABCD的边长为6，点P为BC边上一动点，以P为直角顶点，AP为直角边作等腰Rt△APE，M为边AE的中点，当点P从点B运动到点C，则点M运动的路径长为 ． 【答案】 【分析】连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T．根据正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质可确定AB=PT，PB=ET，根据线段的和差关系和等边对等角确定∠TCE=45°，根据平行线的判定定理可确定，根据正方形的性质和三角形的中位线定理可确定，进而可确定点M的运动轨迹是OD，最后根据正方形的性质和勾股定理即可求出OD的长度． 【详解】解：如下图所示，连接AC，BD相交于点O，连接EC，过点E作ET⊥BC交BC的延长线于T． ∵△APE是等腰直角三角形， ． ∴∠APB+∠TPE=90°． ∵四边形ABCD是正方形，ET⊥BC， ∴∠ABP=90°，∠PTE=90°． ∴∠ABP=∠PTE，∠BAP+∠APB=90°． ∴∠BAP=∠TPE． ． ． ∵四边形ABCD是正方形， ． ． ∴BC-PC=PT-BC，即PB=CT． ．   ∴∠TEC=∠TCE=45°． ∵正方形ABCD中，AC，BD相交于点O， ∴O是AC的中点，∠DBC=45°． ∴∠DBC=∠TCE． ． ∵M是AE的中点， ∴OM是△ACE的中位线． ∴． ∴点M在直线OD上． ∵点P在BC边上移动， ∴点M的运动轨迹是OD． ∵正方形ABCD的边长是6，且AC，BD相交于点O， ∴AB=6，AD=6，O是BD的中点． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，平行线的判定定理，勾股定理，正确确定点M的运动轨迹是解题关键． 三、解答题 26．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C，D都是格点，E是上一点，连接，．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，先在上画一点F，使得；再画点E关于的对称点G； (2)如图2，若E是中点，先在上画点H，使得；再在，上分别画点M，N，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查了用无刻度的直尺在网格中画出符合要求的点和坐标，掌握三等分点的概念，中位线的概念，平行四边形的性质，关于某条线段成轴对称的性质，是解本题的关键． （1）连接交于点，，故则点是符合条件的点；连接交于点，连接并延长交于点，利用三角形全等即可得到点与点关于对称． （2）连接交于点，交于点N， 因为是的中位线，故，连接交于点，连接则四边形是所作四边形． 【详解】（1）连接交于点，则点是符合条件的点，连接交于点，连接并延长交于点，则点与点关于对称． （2）连接交于点，交于N，连接则，连接交于点，连接则四边形是所作四边形． 27．如图，矩形的对角线与相交点，，分别为的中点，求的长度． 【答案】3 【分析】根据矩形的性质可得AC=BD=12，=6，再根据三角形中位线定理可得． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ，， ， 点P、Q是AO，AD的中点， 是的中位线， ． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分． 28．如图，，，D，E分别为，的中点，，点F在的延长线上，． (1)求的长； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)5 (2)16 【分析】（1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）根据中位线及直角三角形斜边上的中线的性质易证得四边形为平行四边形，对边相等，进而可得到，，，的长，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，为的中点，， ∴； （2）∵D，E分别为，的中点， ∴，， 由（1）知，，∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴，， 所以四边形的周长． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定理，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的判定及性质，解题的关键是找到角之间的关系和边长之间的关系． 29．如图，四边形的对角线相交于点O，其中平分，E为的中点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质、三角形中位线定理， （1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）根据菱形性质得出，根据三角形中位线定理结合平行线性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ，         ∵平分， ∴ ，       ∴，   ∴， ∴四边形是菱形 ； （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴，      ∴ ，   ∵E为的中点， ∴，             ∴． 30．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长． 【答案】（1）见解析，（2）41 【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论． （2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可． 【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N， ∴， 在△ABN和△ADN中， ∵， ∴△ABN≌△ADN（ASA）． ∴BN=DN． （2）∵△ABN≌△ADN， ∴AD=AB=10，DN=NB． 又∵点M是BC中点， ∴MN是△BDC的中位线． ∴CD=2MN=6． ∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41． 31．如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个四边形花坛EFGH，其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/m2，请问需投资金多少元？(结果保留整数) 【答案】需投资金为866元． 【分析】连接BD和AC，根据菱形的周长得出菱形的边长，然后根据菱形的性质分别和三角形中位线的性质得出矩形的边长，最后根据矩形的面积计算法则得出面积，最后得出投入的资金． 【详解】解：连接BD，AC， ∵菱形ABCD的周长为 ∴菱形ABCD的边长为 ∵， ∴，是等边三角形 ∴对角线，． ∵E，F，G，H是菱形ABCD各边的中点 ∴四边形EFGH是矩形，矩形的边长分别为，． ∴矩形EFGH的面积为， 即需投资金为(元)． 答：需投资金为866元． 【点睛】本题主要考查的就是菱形的性质以及三角形中位线的性质．在解决菱形的问题时，我们必须要知道菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边都相等，然后将菱形的题目转化成直角三角形的题目来进行解答．如果菱形中有一个角为60°，则通过连接对角线将题目转化成等边三角形来解答．三角形的中位线平行且等于第三边的一半，这个性质很多时候也都需要用到． 32．已知：如图，在中，中线，交于点O，G，H分别是，的中点，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形中位线定理证明，进而证明四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】证明：∵在中，中线，交于点O， ∴E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，根据三角形中位线定理证明是解题的关键． 33．已知：在中，点E是AC的中点，点D在AB上，连接DC、DE，过点A作，交DE延长线于点F，连接FC． (1)如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)如图2，如果点D为AB中点，且，写出图中所有与线段AF相等的线段（不包括线段AF） 【答案】(1)见解析 (2)AD、DB、DC、CF 【分析】（1）根据题意证明，可得，根据一组对比平行且相等，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据三角形中位线的性质，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据，可得四边形ADCF是菱形，进而根据菱形的性质，即可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点E是AC的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，且， ∴四边形ADCD为平行四边形； （2）如图， 四边形ADCD为平行四边形； 点D为AB中点， ， 四边形是菱形 与线段AF相等的线段有：AD、DB、DC、CF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 34．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为的中点．连接并延长至点F，使得，连接．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形AFBO是矩形，证明见解析 【分析】（1）证明为的中位线，则，又，则，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，则由三线合一定理得到，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线交于点O， ∴， 又∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解；当时，四边形是矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴, ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形中位线定理，三线合一定理，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 35．【探索发现】 如图①，将沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将和分别沿折叠，使点均落在点处，折痕形成一个四边形．小刚在探索这个问题时发现四边形是矩形． 小刚是这样想的： （1）请参考小刚的思路写出证明过程； （2）连接，当时，直接写出线段的数量关系； [理解运用] （3）如图②，在四边形中，，点为的中点，把四边形折叠成如图②所示的正方形，顶点落在点处，顶点落在点处，求的长； [拓展迁移] （4）如图③，在四边形中，，点分别为边的中点，将四边形沿直线折叠，使点与重合，点落在处，将沿折叠，点落在点处．判断四边形的形状，并求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）四边形是正方形；． 【分析】（1）根据四个角是直角的四边形是矩形即可证明； （2）理由三角形的中位线定理可知：EF=AD．由折叠的性质可知：BF+CG=BC，由此即可证明； （3）首先求出正方形的边长，理由勾股定理求出BH，设CH=HM=x，然后由四边形ABCD的面积等于四边形EFGH面积的两倍可建立方程求解，求出CH即可解决问题； （4）结论：四边形EFFGB是正方形．首先证明四边形ABD′D是矩形，再通过计算证明EF=FG即可解决问题． 【详解】（1）证明：， 由折叠的性质可知：， ， 四边形是矩形； （2）解：结论：BF+CG=EF． 理由：如图①中，连接AD． 由折叠的性质可知：BF=DF，CG=DG， ∴BF+CG=BD+CD=(BD+CD)=BC， ∵AE=EB，BF=FD， ∴EF=AD， ∵AD=BC， ∴EF=BF+CG； （3）解：如图②中， 由折叠的性质可知：， 四边形是正方形， ， 设，则 由题意得， ， 解得：， ； （4）解：四边形是正方形，理由如下： 由翻折的性质可知： ，， 四边是矩形， 在中，由勾股定理得 ， 矩形是正方形， ． 【点睛】本题查了翻折变换，三角形的中位线定理，梯形的中位线定理，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$