微专题03 一元二次方程动点问题通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题03 一元二次方程动点问题通关专练 一、单选题 1．如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为(       ) A． B． C．6 D． 2．如图，在中，分别是上的动点，若点同时从两点出发分别沿方向向点匀速运动，它们的速度都是，则经过 秒后，的面积为面积的一半．（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（    ）    A． B． C．或 D． 4．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 5．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F，E，M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF，EC，FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4，其中正确的个数有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 6．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 9．如图，中，，， 动点P从点A出发沿边以/秒的速度向点 B移动，点 Q从点B出发，沿边以/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，在运动过程中，设点P的运动时间为 t，则当的面积为时，t的值 （    ） A．2 或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 10．如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 12．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 13．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　) A． B．4 C．5 D．6 14．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 15．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（    ） A．s B．5s C．4s D．3s 二、填空题 16．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动 秒时，△PCQ面积为4平方厘米． 17．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝ 时，S△DPQ＝28cm2． 19．如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为 ． 20．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，的面积为16cm2    21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发 秒时，四边形DFCE的面积为20cm2． 22．如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动． （1） ； （2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 s． 24．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，的面积为． 25．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距． 三、解答题 26．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，是直角三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积是面积的？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由． 27．如图，已知为长方形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动，两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 28．如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 29．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km． （1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ （2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ （3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 30．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm. 两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动. （1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米2？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？ （2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2？试说明理由. 31．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形APQC的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； （2）当四边形APQC的面积等于时，求x的值； （3）四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间，若不能，说明理由． 32．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过9小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ （2）如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？    33．在矩形ABCD中，，点P从A点出发，沿以的速度向终点B运动，同时点Q从B点出发，沿以的速度向终点C运动，它们到终点后停止运动．    (1)几秒后，？ (2)几秒后，的面积是？ 34．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发． （1）几秒钟后，△PBQ的面积等于4cm2？     （2）几秒钟后，P、Q间的距离等于5cm？ 35．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ (3)在（2）的条件下，当点出发多少秒时，四边形的面积最大？最大面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 一元二次方程动点问题通关专练 一、单选题 1．如图，矩形中，，点E从点B出发，沿以 的速度向点C移动，同时点F从点C出发，沿以的速度向点D移动，当E，F两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当是以为底边的等腰三角形时，则点运动时间为(       ) A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】设点E运动的时间是．根据题意可得，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 设点E运动的时间是． 根据题意可得， 解得， ， ∵， ∴两点运动了后停止运动． ∴ ． 故选∶B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理的运用． 2．如图，在中，分别是上的动点，若点同时从两点出发分别沿方向向点匀速运动，它们的速度都是，则经过 秒后，的面积为面积的一半．（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解解题的关键．设经过x秒后的面积为面积的一半，则，，然后列方程求解即可． 【详解】解：经过x秒后的面积为面积的一半， 根据题意，得， 化简得， 解得，（不符合题意，舍去） ∴经过2秒后的面积为面积的一半． 故选：A． 3．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】解：设交于H，交于点G，    由平移的性质知，， ∴四边形是平行四边形， ∵由正方形的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， 同理，也是等腰直角三角形， 设，则阴影部分的底长为x，高， ∴， ∴． 即． 故选：D． 【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键. 4．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得或5， ∴运动时间为5秒或20秒时，的面积等于． 故选：C． 5．如图，E为正方形ABCD边AB上一动点（不与A重合），AB＝4，将△DAE绕着点A逆时针旋转90°得到△BAF，再将△DAE沿直线DE折叠得到△DME．下列结论：①连接AM，则AM∥FB；②连接FE，当F，E，M共线时，AE＝4﹣4；③连接EF，EC，FC，若△FEC是等腰三角形，则AE＝4﹣4，其中正确的个数有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】①正确，如图1中，连接AM，延长DE交BF于J，想办法证明BF⊥DJ，AM⊥DJ即可； ②正确，如图2中，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°，在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ，设AE=EM=MJ=x，则EJ=JD=x，构建方程即可解决问题； ③正确，如图3中，连接EC，CF，当EF=CE时，设AE=AF=m，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：①如下图，连接AM，延长DE交BF于J， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAE=∠BAF=90°， 由题意可得AE=AF， ∴△BAF≌△DAE(SAS)， ∴∠ABF=∠ADE， ∵∠ADE+∠AED=90°，∠AED=∠BEJ， ∴∠BEJ+∠EBJ=90°， ∴∠BJE=90°， ∴DJ⊥BF， 由翻折可知：EA=EM，DM=DA， ∴DE垂直平分线段AM， ∴BF∥AM，故①正确； ②如下图，当F、E、M共线时，易证∠DEA=∠DEM=67.5°， 在MD上取一点J，使得ME=MJ，连接EJ， 则由题意可得∠M=90°， ∴∠MEJ=∠MJE=45°， ∴∠JED=∠JDE=22.5°， ∴EJ=JD， 设AE=EM=MJ=x,则EJ=JD=x， 则有x+x =4， ∴x=4﹣4， ∴AE=4﹣4，故②正确； ③如下图，连接CF， 当EF=CE时，设AE=AF=m， 则在△BCE中，有2m²=4²+(4-m)2， ∴m=4﹣4或-4﹣4 (舍弃)， ∴AE=4﹣4，故③正确； 故选A． 【点睛】本题考查旋转变换，翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 6．如图，在矩形中，，，点从点沿方向向点以运动，点从点沿方向向点以运动，若、从点同时出发，几秒钟时的面积是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形，得出数量关系，列出方程求解．设当运动时间为时，，，，根据，解方程即可求解； 【详解】，． 当运动时间为时，，，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 不符合题意，舍去， 秒时的面积是． 故选：B． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】A 【分析】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为（，），根据题意得： ， ∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论： ①当时，则， 则，解得：，（舍去）； ②当时，， 则，即，此时，此方程无解； ③当时，， 则，即，解得：（舍去），； 故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）． 【点睛】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键． 8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解： ， ， ∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动， ∴， ∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动， ∴AQ=2，，， 的面积是面积的， ， 整理得， 解得， 当s时，的面积是面积的． 故选择B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键． 9．如图，中，，， 动点P从点A出发沿边以/秒的速度向点 B移动，点 Q从点B出发，沿边以/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，在运动过程中，设点P的运动时间为 t，则当的面积为时，t的值 （    ） A．2 或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为t秒时，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值． 【详解】解：当运动时间为t秒时，， 依题意得： ， 整理得：， 解得：． 故选：B． 10．如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解． 【详解】解：当P点在上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为3． ∴，即． 当P点在上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴． 则，代入，得，解得或3， 因为，即， 所以． 故选：B． 11．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程在几何图形中的应用，当运动时，，，根据“的面积为”即可列出方程． 【详解】当运动时，，，， ∵， ∴， 即． 故选：D 12．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【答案】A 【分析】设点运动的时间为 ，则， ，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间． 【详解】解：设点运动的时间为 ，则， ， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动．设P，Q运动的时间是t秒，当点P与点Q重合时t的值是(　　) A． B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故选C． 点睛：此题主要考查了一元一次方程的应用．解答本题的关键是，找出等量关系： 点P与点Q重合时，P、Q的路程之差等于AB． 14．如图，在中，，，．动点，分别从点，同时开始移动，点在上以的速度向点移动，点在上以的速度向点移动．当点移动到点后停止，点也随之停止移动．下列时刻中，能使的面积为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当运动时间为秒时，的面积为，利用三角形面积的计算公式，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再结合当点移动到点后停止点也随之停止移动，即可确定值． 【详解】解：设当运动时间为秒时，的面积为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又， ， ． 故选：B 15．如图，在中，，cm，cm，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为1cm/s，点的速度为2cm/s，点移动到点后停止，点也随之停止运动，若使的面积为15cm2，则点运动的时间是（    ） A．s B．5s C．4s D．3s 【答案】D 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2， 则BP为(8−t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得， ×(8−t)×2t＝15， 解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）． ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2． 故答案为:D 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 二、填空题 16．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90º，AC＝6厘米，BC＝8厘米，点P、Q同时由A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动 秒时，△PCQ面积为4平方厘米． 【答案】2或4 【详解】设x秒后，△PCQ面积为4平方厘米，则AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=xcm，列方程得： ×x（6-x）＝4, -x2+6x-8=0, (-x+2)(x-4)=0, x1=2，x2=4. 故答案是：2或4. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 17．如图，在中，，，，点从A点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则、分别从A、同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】2或4/4或2 【分析】设经过秒，的面积等于，得出，，根据三角形的面积公式，得出关于的一元二次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：设经过秒，的面积等于，则，， 根据题意，可得：， 即， 解得：，， ∴经过或，的面积等于， 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在利用数形结合思想，找准等量关系，正确列出方程． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝ 时，S△DPQ＝28cm2． 【答案】2或4 【分析】由题意可知当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm，根据S△DPQ=28cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出答案． 【详解】解：当运动时间为t秒时，则AP=t cm，BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，CQ=（12-2t）cm， 依题意得：12×6-×12t-×6（12-2t）-×2t•（6-t）=28， 整理得：t2-6t+8=0， 解得：t1=2，t2=4． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查一元二次方程的几何应用与矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为 ． 【答案】 【分析】过点M作于点D，根据题意可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，再根据，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点D， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 20．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，的面积为16cm2    【答案】1或4/4或1 【分析】若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则出发 秒时，四边形DFCE的面积为20cm2． 【答案】1或5 【分析】设点D出发x秒后四边形DFCE的面积为20cm2，利用BD×CF=四边形DFCE的面积，列方程解答即可． 【详解】设点D出发x秒后四边形DFCE的面积为20 cm2，根据题意得， DE=AD=2x，BD=12−2x，CF=DE=2x， 又∵BD×CF=四边形DFCE的面积， ∴2x(12−2x)=20， x2−6x+5=0， (x−1)(x−5)=0， 解得x1=1,x2=5； 答：点D出发1秒或5秒后四边形DFCE的面积为20 cm2. 22．如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动． （1） ； （2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于． 【答案】 ； 1或7或． 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可得出答案； （2）过点Q作于点E，则，当运动时间为t秒时，，，，，根据的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点E，则，如图所示， 当运动时间为t秒时，，，，， 依题意得：． 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去），． ∴经过1或7或秒后，的面积等于． 故答案为：1或7或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为 s． 【答案】2． 【分析】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB=（12-2x）cm，CQ=（6-x）cm，利用三角形面积的计算公式结合△PQC的面积等于16cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设运动时间为xs（0≤x≤6），则PB＝（12﹣2x）cm，CQ＝（6﹣x）cm， 依题意，得：（12﹣2x）（6﹣x）＝16， 整理，得：x2﹣12x+20＝0， 解得：x1＝2，x2＝10（不合题意，舍去）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．如图所示，中，，点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发， 秒后，的面积为． 【答案】或7或 【分析】当运动时间为t秒时，，根据的面积为，列出关于t的一元二次方程求解即可． 【详解】解：当运动时间为t秒时，， 根据题意得：， ∴， ∴． 当时，， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 整理得：， 解得：； 当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），． 综上所述，或7或秒后，的面积为． 故答案为：或7或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，同时出发，，的运动速度均为．那么运动 秒时，它们相距． 【答案】9或12 【分析】设运动秒时，，两点相距15厘米，利用勾股定理结合厘米，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒时，，两点相距15厘米， 依题意，得：， 解得：，， 运动9秒或12秒时，，两点相距15厘米； 故答案为：9或12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题 26．已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：    (1)当t为何值时，是直角三角形？ (2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积是面积的？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)或时，是直角三角形 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意分两种情况①；②．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可； （2）本题可先用的面积的面积表示出四边形的面积，结合四边形面积等于三角形面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可． 【详解】（1）设经过t秒是直角三角形， 则， 中，， ， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， 当时，， ， 答：当或时，是直角三角形． （2）过P作于M，    中， ， ， 假设存在某一时刻t，使得四边形的面积是面积的， 则， ， ， ， 方程无解， 无论t取何值，四边形的面积都不可能是面积的． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定与三角形面积公式，一元二次方程的应用，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键． 27．如图，已知为长方形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动，两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】2秒、秒、秒或秒 【分析】需要对等腰三角形的不同的腰进行分类讨论，然后求解． 【详解】解：过点作于，于， 则． 分三种情况； ①当时，则． ． ； ②当时，在直角中，由勾股定理得： 整理，得， 解得，； ③当时，在直角中，由勾股定理得： 解得，（舍去） 综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用．关键是掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理列方程． 28．如图所示，四边形为矩形，，，若点Q从A点出发沿以的速度向D运动，P从B点出发沿以的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为． (1)当t为何值时，为等腰三角形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)五边形的面积能否达到？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、等腰三角形性质、三角形面积、一元二次方程根的判别式等，解题关键是运用方程思想求解． （1）由题意可得，，根据为等腰三角形，建立方程求解即可； （2）根据，即可求得答案； （3）根据，可得，利用根的判别式即可得出答案； 【详解】（1）解：根据题意，， 为等腰三角形，， ，即， 解得：， ∴当时，为等腰三角形． （2）解：， ， 解得：， ∴当时，的面积为． （3）解：， ， 整理得：， ， ∴该方程没有实数根， ∴五边形的面积不能达到． 29．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km． （1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ （2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ （3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过15﹣h就会进入台风影响区；（3）2小时． 【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区． （2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可． （3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长. 【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t， 当B′C′=200时，将受到台风影响， 根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002， 整理得到：t2﹣30t+210=0， 解得t=15±， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区． （2）由（1）可知经过(15﹣)h就会进入台风影响区； （3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+﹣（15﹣）=2 h． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 30．已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm. 两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动. （1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米2？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？ （2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2？试说明理由. 【答案】（1）经过1秒后，△PCQ的面积等于4厘米2；经过2秒后PQ的长度等于5厘米；（2）四边形ABPQ的面积不可能等于11厘米2. 【分析】（1）若使其面积为4，即S△PCQ=PC•QC=4，代入数据求解即可；根据勾股定理可得方程,即可求出t的值; （2）若四边形ABPQ的面积能否等于11，即S△PCQ=-11=，建立方程，解方程看是否有解，若有，则存在. 【详解】（1）（i）设经过x秒后，△PCQ的面积等于4厘米2，此时，PC=5-x，CQ=2x. 由题意，得 ，整理，得x2-5x+4=0.  解得x1=1，x2=4. 当x=4时，2x=8＞7，此时点Q越过A点，不合题意，舍去. 即经过1秒后，△PCQ的面积等于4厘米2. （ii）设经过t秒后PQ的长度等于5厘米. 由勾股定理，得(5-t)2+(2t)2=52 . 整理，得t2-2t=0.  解得t1=2，t2=0(不合题意，舍去). 答：经过2秒后PQ的长度等于5厘米. （2）设经过m秒后，四边形ABPQ的面积等于11厘米2.由题意，得.整理，得m2-5m+6.5=0.   ∵△=(-5)2-4×6.5=-1＜0， ∴方程没有实数根. 即四边形ABPQ的面积不可能等于11厘米2. 【点睛】本题主要考查了动点问题,三角形的面积问题，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算问题． 31．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形APQC的面积为． （1）求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； （2）当四边形APQC的面积等于时，求x的值； （3）四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间，若不能，说明理由． 【答案】（1）．；（2），；（3）不能，理由见解析. 【分析】（1）利用两个直角三角形的面积差求得答案即可； （2）在函数解析式中，令y=112，解方程即可； （3）在函数解析式中，令y=172，解方程即可． 【详解】解：（1）∵出发时间为x，点P的速度为，点Q的速度为， ∴，．∴．． （2）依题意得：，解得，， （3）不能，理由： ，解得：，（不合题意，舍去） 因为．所以不在范围内，所以四边形APQC的面积不能等于． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 32．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区．当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km． （1）如果这艘轮船不改变航向，经过9小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ （2）如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？    【答案】（1）轮船与台风中心相距40km，它此时受到台风影响；（2）轮船经7小时就进入台风影响区 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可． 【详解】解：（1）∵∠CAB＝90°，BC＝500，AB＝300， ∴AC＝400km， 设经过9小时，轮船到达点F，且航行了40×9＝360km，台风中心到达B′，且BG＝20×9＝180km， ∴CF＝360， ∴AF＝40，AG＝120km， ∴ ∴轮船与台风中心相距40km，它此时受到台风影响； （2）如图所示： 设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE＝30x千米，BB′＝20x千米， ∵BC＝500km，AB＝300km，AC＝400km， ∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x， ∴AE2+AB′2＝EB′2， 即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002， 解得：x1＝15，x2＝7， ∴轮船经7小时就进入台风影响区．    【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 33．在矩形ABCD中，，点P从A点出发，沿以的速度向终点B运动，同时点Q从B点出发，沿以的速度向终点C运动，它们到终点后停止运动．    (1)几秒后，？ (2)几秒后，的面积是？ 【答案】(1)秒或秒 (2)秒 【分析】（1）设秒后，，则，，，①当时，可求， ，即可求解；②当时，由即可求解； （2）设秒后，的面积是，①当时，则有，，，，由即可求解； ②当时，由即可求解． 【详解】（1）解：设秒后，，则，，， 四边形是矩形， ， ， ， ①当时， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 当时， 不合题意，舍去， ， ②当时，如图，    ， ， ； 综上所述：秒或秒后，． （2）解：设秒后，的面积是， ①当时， 则有，，， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：； ②当时， ， ， 解得：，不合题意，舍去； 综上所述：秒后，的面积是． 【点睛】本题考查了一元二次方程在几何中的应用，矩形的性质，根据点的不同位置进行分类，找出等量关系式是解题的关键． 34．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发． （1）几秒钟后，△PBQ的面积等于4cm2？     （2）几秒钟后，P、Q间的距离等于5cm？ 【答案】（1）1秒；（2）2秒 【分析】（1）设时间为t，将BP、BQ用t表示，再根据的面积是4列方程求解； （2）设时间为t，根据勾股定理用列方程求解． 【详解】解：（1）设时间为t， ，，， ∵，∴， 整理得，解得，， 当时，，不成立，舍去， ∴1秒后，的面积是4； （2）设时间为t， 在中，， 列式，整理得，解得（舍去），， ∴2秒后，P、Q间的距离是5． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据几何性质设未知数列方程求解． 35．如图，在中，，，分别是，，的对边，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)试判断的形状； (2)若，点从点开始沿边以的速度向点移动，移动过程中始终保持，，当点出发多少秒时，四边形的面积为？ (3)在（2）的条件下，当点出发多少秒时，四边形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)直角三角形 (2)当点出发1秒或5秒时，四边形的面积为 (3)当点出发3秒时，四边形的面积最大，最大面积是 【分析】（1）由根的判别式可得，由勾股定理的逆定理可求解； （2）可证四边形是平行四边形，由平行四边形的面积公式可得四边形的面积，即可求解； （3）由二次函数的性质可求解． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，设点出发时间为秒，则，， ∴四边形的面积，即，解方程得，或， ∴当点出发1秒或5秒时，四边形的面积为． （3）解：∵四边形的面积， ∴当时，四边形的面积的最大值为， ∴当点出发3秒时，四边形的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题主要考查动点问题，直角三角形的性质，平行四边形的性质，二次函数的性质，解题的关键的是根据图形的性质确定动点运动的规律列出二次函数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$