微专题02 角平分线的相关模型通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题02 角平分线的相关模型专练 一、单选题 1．如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论错误的是（   ） A． B．平分 C． D． 2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，，则∠BFC的度数为（    ） A．116° B．117° C．118° D．119° 3．如图所示，是的角平分线，交AB于点E，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD的两个外角∠CBE，∠CDF的平分线交于点G，若∠A=52°，∠DGB=28°，则∠DCB的度数是（　　） A．152° B．128° C．108° D．80° 6．如图，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数（　　） A．19° B．20° C．21° D．22° 7．如图，AE 是∠BAC 的角平分线，AD⊥BC 于点 D，若∠BAC＝118°，∠B＝25°，则∠DAE 的度数是（    ） A．6° B．10° C．11° D．18° 8．如图，AB∥CD，∠BED＝60°，∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点F，则∠DFB＝（　　） A．150° B．120° C．100° D．135° 二、填空题 9．如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为 ．    10．如图，在中，点是和的平分线的交点． （1）若，则的度数为 ； （2）若分别是延长上的点，和的平分线交于点P，，则的度数为 ，（用含的代数式表示） 11．如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=50°,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,DF⊥AE于F,则∠ADF的度数是 °. 12．如图，在中，，，是的一条角平分线，则的度数为 ． 13．如图，和是的和的平分线，和相交于点，如果，那么 ．    14．如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 ．    15．如图，在中，．与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 16．如图，中，，点D，E分别在边上，的平分线与的平分线交于点F，则 度．    三、解答题 17．如图，和是的两条外角平分线． 求证：．    18．如图，分别平分和； (1)若度，求； (2)若又是多少？ (3)由（1）、（2）你发现了什么规律？当的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三解形的内角和等于180°） 19．如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，则_______． (3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）． 20．如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 21．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB． （1）若△ABC的面积为20，直接写出点B、C的坐标； （2）如图①，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB＝90°，作∠BAC的平分线AD交x轴于点D，求∠ADO的度数； （3）如图②，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作∠AQM＝∠DQP，它们的边分别交x轴、y轴于点M、P，作∠FMG＝∠DMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由． 22．在中，，是的高线，是的角平分线 (1)如图1，若，，试求的度数； (2)如图2，若点是延长线上一点，于G，试求与、之间的数量关系： (3)如图3，延长到点M，的平分线和的延长线交于点N，试说明和的数量关系． 23．△ABC中，∠B＞∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，设∠B=x，∠C=y． （1）如图1，若AE⊥BC于点E，试用x、y表示∠EAD，并说明理由． （2）如图2，若点F是AD延长线上的一点，∠BAF、∠BDF的平分线交于点G，则∠G=　　．（用x、y表示） 24．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： (1)已知：如图1，三角形ABC，求证：，证明：过点A作． (2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：______； (3)在图2的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 25．在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F． ①试说明； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 26．如图1，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于点F，∠ABC=60°． （1）求∠AFB的度数； （2）如图2，AG是△ABC的角平分线，若∠DAG=6°，求∠C的度数． 27．（1）如图1，在中，已知，分别平分，，，分别平分，的外角，． ①若，则__________，__________； ②若，则__________，__________．（用含的式子表示） （2）如图2，在四边形中，，分别平分外角，，请探究与，的数量关系，并说明理由； 28．如图，平分，平分 （1）如图1，若，，求； （2）如图2，若，，求（用，表示） 29．已知中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证：． 30．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动． (1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (2)在（1）的条件下，若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由． 31．如图：四边形ABCD中，，BO平分，CO平分，求的度数． 32．已知，如图一：中，平分，CO平分外角. （1）①若，则的度数为________. ②若，则的度数为________. （2）试写出与的关系，并加以证明. （3）解决问题，如图二，平分，平分，   依此类推，平分，平分，平分，   依此类推，平分，若，请根据第（2）间中得到的结论直接写出的度数为________. 33．已知，直线AB//DC． (1)如图，当，时，直线平分，直线平分交直线于补全图形并求的大小． (2)如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 34．在中，与的角平分线交于点． (1)①若，，则______； ②若，，则______． (2)作的，的外角平分线，交于点，延长、交于点，请画出图形． ①若，，则______，的形状为______． ②若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数． 35．如图，在中，平分，交于点D，于点E，，，求的度数． 36．如图，在△ABC中，∠A＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，，∠ADE＝65°，求∠CDE的度数． 37．如图，在四边形中，平分交于点，连接． （1）若，，，求的度数． （2）若，，求证：． 38．在△ABC中，∠C>∠B．如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC． （1）如图①，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数． （2）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系？请说明理由． （3）如图③，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，FD⊥BC于点D，请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)． 39．如图，中，平分，平分，，垂足为F． (1)当，则______度； (2)当，则______度； (3)当，则______度； (4)请写出与的数量关系，并证明． 40．已知，在锐角三角形△ABC 中，AD 平分∠BAC，AE⊥BC 于点 E． (1)若∠B=30°，∠C=70°，如图①，请求出∠DAE 的度数； (2)若∠B＜∠C，如图②，试探究∠B，∠C，∠DAE 之间的数量关系并证明； (3)如图③，延长 AC 到 M，∠CAE 与∠BCM 的角平分线交于点 F，∠ACB 的角平分线 CN 交 AF 与点 N，求证：CN=CF 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和的性质，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质． 5．如图，四边形ABCD的两个外角∠CBE，∠CDF的平分线交于点G，若∠A=52°，∠DGB=28°，则∠DCB的度数是（　　） A．152° B．128° C．108° D．80° 【答案】C 【分析】连接AC，BD，由三角形外角定义可得∠FDC=∠DAC+∠DCA，∠CBE=∠BAC+∠BCA，再由DG平分∠FDC，BG平分∠CBE，可得∠CBG+∠CDG=（∠DAB+∠DCB），在△BDG中，根据三角形内角和定理可得∠G+∠CDG+∠CBG+∠CDB+∠DBC=180°，将式子进行等量代换即可求解． 【详解】连接AC，BD， ∴∠FDC=∠DAC+∠DCA，∠CBE=∠BAC+∠BCA， ∵DG平分∠FDC，BG平分∠CBE， ∴∠CBG+∠CDG=（∠DAB+∠DCB）， 在△BDG中，∠G+∠CDG+∠CBG+∠CDB+∠DBC=180°， ∴∠G+（∠DAB+∠DCB）+∠CDB+∠DBC=180°， ∴∠G+（∠DAB+∠DCB）+（180°-∠DCB）=180°， ∵∠A=52°，∠DGB=28°， ∴28°+×52°+×∠DCB+180°-∠DCB=180°， ∴∠DCB=108°； 故选C． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角定义；熟练掌握角平分线的性质，三角形的外角定义和三角形内角和定理，进行等量代换是求角的关键． 6．如图，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数（　　） A．19° B．20° C．21° D．22° 【答案】B 【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°推出∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PED，推出∠P+∠PBE=∠PCD-∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE，推出2∠P=∠A-∠D，代入即可求出∠P． 【详解】解：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A+∠ABF+∠AFB＝∠P+∠PCF+∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P+∠PCF＝∠A+∠ABF， ∵∠P+∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD﹣∠D， ∴∠P+∠PBE＝∠PCD﹣∠D， ∴2∠P+∠PCF+∠PBE＝∠A﹣∠D+∠ABF+∠PCD， ∵PB、PC是角平分线， ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A﹣∠D， ∵∠A＝50°，∠D＝10°， ∴∠P＝20°． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟记各知识点并进行推论论证是解题的关键． 7．如图，AE 是∠BAC 的角平分线，AD⊥BC 于点 D，若∠BAC＝118°，∠B＝25°，则∠DAE 的度数是（    ） A．6° B．10° C．11° D．18° 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质得，再根据三角形外角的性质得，最后根据三角形内角和定理即可求出∠DAE 的度数． 【详解】∵∠BAC＝118°，AE 是∠BAC 的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵AD⊥BC 于点 D， ∴ ∴ 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形的度数问题，掌握角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 8．如图，AB∥CD，∠BED＝60°，∠ABE的角平分线与∠CDE的角平分线交于点F，则∠DFB＝（　　） A．150° B．120° C．100° D．135° 【答案】A 【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF＝ （∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论． 【详解】如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°； 又∵∠BED＝60°， ∴∠ABE+∠CDE＝300°． ∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， ∴∠FBE+∠EDF＝（∠ABE+∠CDE）＝150°， ∵四边形的BFDE的内角和为360°， ∴∠BFD＝360°﹣150°﹣60°＝150°． 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 二、填空题 9．如图，是的平分线，是的平分线，与交于G，若，，则为 ．    【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形内角和的应用，首先连接，根据三角形的内角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判断出，再根据是的平分线，是的平分线，判断出；最后根据三角形的内角和定理，用即可求出∠A的度数． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴∠3=∠5，∠4=∠6， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，在中，点是和的平分线的交点． （1）若，则的度数为 ； （2）若分别是延长上的点，和的平分线交于点P，，则的度数为 ，（用含的代数式表示） 【答案】 /105度 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，再在中根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据（1）的方法求得，进而根据角平分的定义得出，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：（1）∵是和的平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是和的平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点P， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形角平分线性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 11．如图,在△ABC中,∠B=32°,∠C=50°,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,DF⊥AE于F,则∠ADF的度数是 °. 【答案】81 【分析】根据三角形的内角和定理求得∠BAC，根据角平分线定义求得∠BAE，根据直角三角形的两个锐角互余求得∠BAD，即可求得∠DAF，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ADF的度数． 【详解】∵∠B=32°,∠C=50°， ∴∠BAC=98°. ∵AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E， ∴∠BAE= ∠BAC=49°,∠BAD=90°−32°=58°， ∴∠FAD=∠BAD−∠BAE=9°. ∴∠ADF=81° 故答案为：81° 【点睛】此题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，解题关键在于求得∠BAC 12．如图，在中，，，是的一条角平分线，则的度数为 ． 【答案】/29度 【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． ∵是的一条角平分线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是”及三角形角平分线的定义是解决本题的关键． 13．如图，和是的和的平分线，和相交于点，如果，那么 ．    【答案】115 【分析】根据三角形内角和求出，利用角平分线的定义求出，，再利用三角形内角和逐步代入计算即可． 【详解】解：在中，， ， 在中，， 和是的和的平分线， ，， ． 故答案为：115． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义． 14．如图，点O是内一点，，、分别是和的角平分线，则等于 ．    【答案】/130度 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，由三角形的内角和为，得到，利用角平分线的定义得到，在中，可求得． 【详解】∵， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，．与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知∠A1=∠A=α，，…，依此类推可知∠A2010的度数． 【详解】解：与的平分线交于点， ； 同理可得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是沟通外角和内角的关系． 16．如图，中，，点D，E分别在边上，的平分线与的平分线交于点F，则 度．    【答案】155 【分析】延长交于点H，根据，可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：155 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 三、解答题 17．如图，和是的两条外角平分线． 求证：．    【答案】见解析 【分析】根据外角的性质和角平分线的性质证明，再根据三角形内角和定理得到，就可以证明结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵BP平分，CP平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行角度求解． 18．如图，分别平分和； (1)若度，求； (2)若又是多少？ (3)由（1）、（2）你发现了什么规律？当的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三解形的内角和等于180°） 【答案】(1) (2) (3)规律是：，结论仍成立 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，规律的探索； （1）由角平分线及三角形内角和可求得的度数，进而由三角形内角和求得的度数； （2）与（1）同方法，即可求解； （3）由（1）（2）的计算可发现规律，证明一般规律即可． 【详解】（1）解：∵分别平分和， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵分别平分和， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 同理，当时，； （3）解：规律是：； 当的度数发生变化后，结论仍成立；理由如下： ∵分别平分和， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ 19．如图，在中，是高，是角平分线．    (1)若，求的度数． (2)若，则_______． (3)若．则的度数_______（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）根据垂直定义由得，再利用角平分线定义得，然后根据三角形内角和定理得，，则，把，代入中计算即可； （2）把代入中计算即可； （3）把代入中计算即可 【详解】（1）解：于， ， 平分， ， 而， ， ， ， 若，， 则； （2）同理：若， 则； （3）同理：若， 则． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是三角形内角和是． 20．如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意可得的三分线，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）分别是邻三分线和邻三分线及，可得，进而可求的度数； （3）根据题意作出相应图形，然后利用三分线得出，，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵是“邻三分线”时， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 又∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ （3）如图所示， ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用．解决本题的关键是理解三等分线及三角形内角和定理的应用． 21．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB． （1）若△ABC的面积为20，直接写出点B、C的坐标； （2）如图①，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB＝90°，作∠BAC的平分线AD交x轴于点D，求∠ADO的度数； （3）如图②，在（2）的条件下，线段AD上有一动点Q，作∠AQM＝∠DQP，它们的边分别交x轴、y轴于点M、P，作∠FMG＝∠DMQ，试判断FM与PQ的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）点B（，0），点C（，0）；（2）45°；（3）FM⊥PQ，理由见解析 【分析】（1）由三角形的面积公式可求BC＝5，即可求解； （2）由外角的性质可求∠BAO＝∠ACB，由角平分线的性质和外角的性质可得∠DAO＝∠ADO＝45°； （3）延长FM交QP于H，设∠DQP＝∠AQM＝x，∠FMG＝∠DMQ＝y，根据三角形的外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH＝90°，得到答案． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝4， ∵△ABC的面积为20， ∴×AO×BC＝20， ∴BC＝10， ∵OC＝4OB， ∴OB＝，OC＝， ∴点B（，0），点C（，0）； （2）∵∠ABC﹣∠ACB＝90°，∠ABC＝90°+∠BAO， ∴∠BAO＝∠ACB， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAD+∠ACD＝∠BAO+∠BAD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∵∠DAO+∠ADO＝90°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°； （3）结论：FM⊥PQ， 理由：延长FM交QP于H， 设∠DQP＝∠AQM＝x，∠FMG＝∠DMQ＝y， 则∠DMH＝∠FMG＝y， ∠AQM＝∠QMD+∠QDM，即x＝y+45°， ∴∠1＝180°﹣∠DQP﹣∠ADO＝90°﹣y， 则∠2＝∠1＝90°﹣y， ∴∠2+∠DMH＝y+90°﹣y＝90°， ∴∠MHQ＝90°，即FM⊥PQ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，角平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 22．在中，，是的高线，是的角平分线 (1)如图1，若，，试求的度数； (2)如图2，若点是延长线上一点，于G，试求与、之间的数量关系： (3)如图3，延长到点M，的平分线和的延长线交于点N，试说明和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角性质以及三角形的高、角平分线． （1）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，由是的边上的高，得，计算出，则； （2）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，而，可计算得，然后利用平行线的性质得到结论； （3）根据，然后用、表示角并计算即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ， 是中的平分线， ， 是的边上的高， ， ， ； （2）证明：， 是中的平分线， ， 而， ， ， ， ， ； （3）∵是角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴ 23．△ABC中，∠B＞∠C，∠BAC的平分线交BC于点D，设∠B=x，∠C=y． （1）如图1，若AE⊥BC于点E，试用x、y表示∠EAD，并说明理由． （2）如图2，若点F是AD延长线上的一点，∠BAF、∠BDF的平分线交于点G，则∠G=　　．（用x、y表示） 【答案】（1）∠EAD=x﹣y；理由见解析；（2）x． 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，进而可求出∠BAD的度数，由垂直可得∠BAE=90°-x，进而可求∠EAD的度数； （2）由题意可知∠BAG=∠BAC，再利用已知条件和三角形外角和定理即可求出∠G的度数． 【详解】解：∵∠B=x，∠C=y， ∴∠BAC=180°-x-y， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠BAD=∠BAC=（180°-x-y）， 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-x， ∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=（180°-x-y）-（90°-x）=x-y； （2）∵∠BAD=∠BAC=（180°-x-y），AG平分∠BAD， ∴∠DAG=∠BAG=∠BAD=（180°-x-y）=45°-x-y， ∵∠BDF=∠BAD+∠B=（180°-x-y）+ x=90°+x-y， ∴∠GDF=∠BDF=45°+x-y， ∵∠GDF=∠G+∠DAG， ∴∠G=45°+x-y –(45°-x-y)=x， 故答案为：x． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质及三角形的内角和定理．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决． 24．在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： (1)已知：如图1，三角形ABC，求证：，证明：过点A作． (2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：______； (3)在图2的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）过点A作，即可得出，，即可得出： ，根据平角的定义和等量代换即可得出：； （2）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论； （3）将和相加，即可得出：，再根据平分线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点A作， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， ∵E、A、F三点共线（已知）， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ∴． 故答案为：． （3）数量关系：． 理由：如图3，由（2），得： ①， ②， ①＋②，得： ． ∵和的平分线AP和CP相交于点P， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键． 25．在中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边于点D． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点F． ①试说明； ②若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②所有符合条件的旋转角度的值为或． 【分析】（1）根据三个内角的平分线交于点O，可得，再求得，然后根据三角形外角的性质，即可求解； （2）①根据平分，可得，再由，即可求证； ②先求得，可得，从而得到，再证，可得，从而得到，，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵三个内角的平分线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①证明：∵平分， ∴， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴， 即此时旋转角度； 如图，    ∵， ∴， ∴； 综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 26．如图1，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于点F，∠ABC=60°． （1）求∠AFB的度数； （2）如图2，AG是△ABC的角平分线，若∠DAG=6°，求∠C的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据已知条件，,以及平分线的定义，求得，根据三角形内角和即可求得∠AFB的度数； （2）根据（1）中的角度关系，以及是的角平分线，先求得，进而根据三角形内角和定理和垂直的定义即可求得的度数． 【详解】（1） ， ， ， ， BE是的平分线， ， ； （2） AG是△ABC的角平分线， ， ，∠DAG=6°， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键． 27．（1）如图1，在中，已知，分别平分，，，分别平分，的外角，． ①若，则__________，__________； ②若，则__________，__________．（用含的式子表示） （2）如图2，在四边形中，，分别平分外角，，请探究与，的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）①115°；65°；②，；（2），见解析 【分析】（1）①根据角平分线的性质和三角形内角和求出以及平角的性质解答即可；②同理即可求解． （2）根据，再根据角平分线的性质、四边形的内角和平角的性质即可表示与，的数量关系 【详解】解：（1）①∵，分别平分，，，分别平分，的外角，． ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB ∴∠O＝180°−∠OBC −∠OCB＝180°−∠ABC−∠ACB ＝180°−（∠ABC＋∠ACB） ＝180°−（180°−∠A） ＝180°−（180°−50°） ＝115°； ∠P＝180°−∠PBC−∠PCB ＝180°−∠DBC−∠ECB ＝180°−（∠DBC＋∠ECB） ＝180°−（180°−∠ABC＋180°−∠ACB） ＝180°− [360°−（∠ABC＋∠ACB）] ＝180°− [360°−（180°−∠A）] ＝180°− [360°−（180°−50°）] ＝65°； 故答案为：115°；65°． ②解：∠O＝180°−∠OBC−∠OCB ＝180°−∠ABC−∠ACB ＝180°−（∠ABC＋∠ACB） ＝180°−（180°−∠A） ＝180°−（180°−） ＝90°＋ ； ∠P＝180°−∠PBC−∠PCB ＝180°−∠DBC−∠ECB ＝180°−（∠DBC＋∠ECB） ＝180°−（180°−∠ABC＋180°−∠ACB） ＝180°− [360°−（∠ABC＋∠ACB）] ＝180°− [360°−（180°−∠A）] ＝180°− [360°−（180°−）] ＝90°− ； 故答案为：90°＋ ；90°− ， （2）解，理由如下： ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理．正确运用角平分线的性质是解题的关键． 28．如图，平分，平分 （1）如图1，若，，求； （2）如图2，若，，求（用，表示） 【答案】解：（1）； （2）. 【分析】（1）连接DE，根据三角形角平分线的性质及内角和定理可求出∠DCE与∠A、∠ADC、∠AEC之间的关系，同理可求出∠DCE与∠A、∠ADB、∠AEB之间的关系，代入数值进行计算即可； （2）连接DE，找出各角之间的关系列出方程组求解即可． 【详解】 解：（1）连接DE，在△BDE中，， 在△ADE中， ， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在△DEC中，； （2）同理，当，， 有，， ， ， 解得： 【点睛】本题考查的是三角形角平分线的性质及内角和定理，熟悉相关性质定理是解题的关键． 29．已知中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）∠G=25°；（2）∠A=2∠G，理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）先根据三角形的内角和得∠ABC=40°，分别根据角平分线的定义和三角形内角和定理得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得∠A和∠G的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】解：（1）如图1， ∵∠ACB=90°，∠A=50°， ∴∠ABC=40°， ∵BG平分∠ABC， ∴∠CBG=20°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠BCD=90°， ∵DG平分∠ADE， ∴∠CDF=45°， ∴∠CFD=45°， ∴∠BFD=180°-45°=135°， ∴∠G=180°-20°-135°=25°； （2）∠A=2∠G，理由是：如图2， 由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD， 设∠ABG=x，∠CDF=y， ∵∠ACB=∠DCF， ∴∠A+∠ABC=∠CDF+∠CFD，即∠A+2x=2y， ∴y=∠A+x， 同理得∠A+∠ABG=∠G+∠CDF， ∴∠A+x=∠G+y，即∠A+x=∠G+∠A+x， ∴∠A=2∠G； （3）如图3， ∵EF∥AD， ∴∠DFE=∠CDF， 由（2）得：∠CFD=∠CDF， △FBG中，∠G+∠FBG+∠BFG=180°，∠BFG+∠DFC=180°， ∴∠DFC=∠G+∠FBG， ∴∠DFE=∠CFD=∠FBG+∠G=∠ABC+∠G． ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． 30．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动． (1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (2)在（1）的条件下，若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)不变化．∠APB=135°； (2)都不变．∠Q=45°，∠C=45°． 【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：不变化．∠APB=135°； 理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠ABO=180°-90°=90°， ∴∠APB=180°-（∠OAB+∠ABO）=180°-×90°=135°； （2）解：都不变．∠Q=45°，∠C=45°． 理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线， ∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°， ∴∠Q=360°-90°-90°-135°=45°， ∴∠C=180°-90°-45°=45°． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． 31．如图：四边形ABCD中，，BO平分，CO平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠COB与∠A+∠D之间的关系． 【详解】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠DCB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD， ∴∠COB=180°-（∠OCB+∠OBC） =180°-（∠DCB+∠CBA） =180°-（360°-∠A-∠D） =（∠A+∠D）， ∵， ∴∠COB=（∠A+∠D）=110°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，多边形内角和定理，关键是熟悉三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°． 32．已知，如图一：中，平分，CO平分外角. （1）①若，则的度数为________. ②若，则的度数为________. （2）试写出与的关系，并加以证明. （3）解决问题，如图二，平分，平分，   依此类推，平分，平分，平分，   依此类推，平分，若，请根据第（2）间中得到的结论直接写出的度数为________. 【答案】（1）①35°；②65°；（2）∠O=，理由见解析；（3） 【分析】（1）设，，构建方程组，可得． （2）由（1）中过程易证． （3）利用，探究规律解决问题即可． 【详解】解： （1）设，， ① ② ①②可得， ， 当时，， 当时，， 故答案为，．             （2）结论：∠O=                             理由：∵BO平分，CO平分            ∴，                设∠OBC=x,∠OCD=y,则∠ABC =2x,∠ACD=2y ∴                                         ∵ ∴                    ∴                    （3）， 由（2）的求解过程，易知： ， ， ， ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，正确的找出规律是解题的关键． 33．已知，直线AB//DC． (1)如图，当，时，直线平分，直线平分交直线于补全图形并求的大小． (2)如图，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图，点落在外，与的角平分线相交于点，与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 【答案】(1)补图见解析， (2)，理由见解析 (3)与的数量关系不发生变化，理由见解析 【分析】（1）补全图形如图，过点做直线，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图， 过点做直线， ， ， ，， ， 直线平分，直线平分， ，， ． （2）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作， ， ， ，， ， 同理，， 与的角平分线相交于点， ， ． （3）解：与的数量关系不发生变化，理由如下： 如图，过点作，过点作， ， ， ，， ， 同理，， 与的角平分线相交于点， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，合理地作出辅助线构造平行线是解答本题的关键． 34．在中，与的角平分线交于点． (1)①若，，则______； ②若，，则______． (2)作的，的外角平分线，交于点，延长、交于点，请画出图形． ①若，，则______，的形状为______． ②若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)①， ②； (2)作图见解析 ，①，等腰直角三角形， ②． 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再由角平分线性质得到∠DAB和∠DBA的度数，最后得到∠ADB的度数； （2）由外角平分线可得∠ABE和∠BAE的关系，从而得到∠AEB，再由∠EBF=∠ABF＋∠ABE=，可得到答案． 【详解】（1）解：①在△ABC中，，， ∴∠CBA=， ∵与的角平分线交于点， ∴∠CAD=∠BAD，∠CBD=∠ABD， ∴∠BAD＋∠ABD=, ∴∠ADB=； ②在△ABC中，，， ∴∠CBA=， 同①可得∠BAD＋∠ABD=, ∴∠ADB=； （2）如图 ①在△ABC中，，，则∠CBA=， ∴∠MAB=，∠NBA=； ∵AE平分∠MAB，BE平分∠NBA， ∴∠EAB=∠MAE，∠EBA=∠NBE， ∴∠EAB＋∠EBA=, ∴∠AEB=； ∠EBF=∠ABF＋∠ABE=， ∴△EBF为等腰直角三角形． ②由①可知，∠EBF==∠DAE， 当中，存在一个内角等于另一个内角的2倍时，△BEF为等腰直角三角形， ∴∠ABE=， ∴由四边形ADBE内角和，可得∠ADB=, ∴由（1）可得∠C=． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线的性质，熟练掌握角与角之间的关系是解题的关键． 35．如图，在中，平分，交于点D，于点E，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，利用三角形内角和定理求出，即可得，再根据三角形内角和定理求出，问题随之得解． 【详解】在中，∵，， ∴． ∵平分， ∴． 在中， ． ∵， ∴． ∵， ∴． 36．如图，在△ABC中，∠A＝45°，CD平分∠ACB交AB于点D，，∠ADE＝65°，求∠CDE的度数． 【答案】35° 【分析】根据角平分线定义得出∠ACD=∠BCD，根据平行线的性质得出∠CDE=∠BCD，求出∠ACD=∠CDE，根据三角形内角和定理得出∠A+∠ADE+∠CDE+∠ACD=180°，代入求出答案即可． 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∵， ∴∠CDE=∠BCD， ∴∠ACD=∠CDE， 在△ADC中，∠A+∠ADE+∠CDE+∠ACD=180°， ∵∠A=45°，∠ADE=65°， ∴45°+65°+∠CDE+∠CDE=180°， ∴∠CDE=35°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质和角平分线的定义等知识点，能熟记三角形内角和等于180°是解此题的关键． 37．如图，在四边形中，平分交于点，连接． （1）若，，，求的度数． （2）若，，求证：． 【答案】（1）95°；（2）见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理和求出∠BCE，求出∠BCD，根据四边形内角和定理求出即可； （2）根据三角形内角和定理和以及∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案． 【详解】解：（1）在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角、角平分线定义等知识点，能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解此题的关键． 38．在△ABC中，∠C>∠B．如图①，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC． （1）如图①，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数． （2）如图②，AE平分∠BAC，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D，这时∠EFD与∠B、∠C有何数量关系？请说明理由． （3）如图③，AE平分∠BAC，F为AE延长线上的一点，FD⊥BC于点D，请你写出这时∠EFD与∠B、∠C之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)． 【答案】（1） ；（2）；（3） 【分析】（1）根据△ABC的内角和定理得出∠BAC的度数，根据角平分线的性质得出∠CAE的度数，最后根据垂直的性质得出答案. （2）根据角平分线的性质和三角形内角和得到 ，运用三角形外角的性质得出 ，再根据三角形内角和求出结果． （3）根据（4）可以得出，再根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：（1）如图①在△ABC中，. ∵∠B=40°，∠C=70°. ∴ . ∵AE平分∠BAC. ∴. ∵AD⊥BC. ∴. ∴ . ∴. （2），理由如下： ， ， ， AE平分， ， ， ， （3），理由如下： 由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，此题难度适中，注意掌握数形结合思想和方程思想的结合.关键在于角的等式变换. 39．如图，中，平分，平分，，垂足为F． (1)当，则______度； (2)当，则______度； (3)当，则______度； (4)请写出与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （3）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （4）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵平分，平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：，理由如下， ∵平分，平分， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 40．已知，在锐角三角形△ABC 中，AD 平分∠BAC，AE⊥BC 于点 E． (1)若∠B=30°，∠C=70°，如图①，请求出∠DAE 的度数； (2)若∠B＜∠C，如图②，试探究∠B，∠C，∠DAE 之间的数量关系并证明； (3)如图③，延长 AC 到 M，∠CAE 与∠BCM 的角平分线交于点 F，∠ACB 的角平分线 CN 交 AF 与点 N，求证：CN=CF 【答案】(1)20° (2)，证明见解析； (3)证明见解析． 【分析】（1）先求出∠BAC，再利用AD 平分∠BAC，求出∠BAD，再用直角三角形两锐角互余求出∠BAE，最后利用关系式∠DAE=∠BAE-∠BAD求解即可； （2），将∠B，∠C看成已知，用与（1）同样的方法运算即可证明； （3）利用AF平分∠CAE，CF平分∠BCM可得，利用AF平分∠CAE，CN平分∠ACB可得，从而得到，最后利用等角对等边证得CN=CF． 【详解】（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°． 又∵AD 平分∠BAC， ∴． ∵AE⊥BC 于点 E，即△ABE是直角三角形， ∴． 又∵∠B=30°， ∴， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=20° （2），证明过程如下： 又∵AD 平分∠BAC，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴ ∵AE⊥BC 于点 E，即△ABE是直角三角形， ∴． ∴， ∴ （3）∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∴∠CAE+∠ACE=90°， ∵AF平分∠CAE，CF平分∠BCM， ∴，， ∵∠F+∠CAF=∠MCF，∠BCM=∠CAE+∠AEC， ∴， ∵AF平分∠CAE，CN平分∠ACB， ∴， ∴∠CAF+∠ACN=45°， ∴ ∴ ∴， ∴CN=CF 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质．审清题意，运用整体代换的方法，把其中两个内角的和差看成整体是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$