微专题01 三角形相关线段，角的应用通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题01 三角形相关线段、角的应用专练 一、单选题 1．如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，点，分别是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（    ） A．45° B．50° C．60° D．随点，的移动而变化 3．如图，△ABC的面积是8，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABF的面积是（    ） A． B． C． D． 4．把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则∠A的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．75° 5．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，过点B作，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，将△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，连接AB′．若∠BDC＝30°，则∠BAB′的度数为（   ） A．25° B．30° C．45° D．60° 二、填空题 9．在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有 个． 10．如图，直线ABCD，∠B=60°，∠D=20°，则∠E= °． 11．如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则 ．（用，表示） 12．如图，在中，分别是边上的高，且交于点O，若，则的度数为 ． 13．如图，DEF平移得到ABC，已知则∠FDE＝ ． 14．如图,已知∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC,且AD是∠EAC的平分线,若∠B=71°,则∠BAC的大小是 . 15．图中 ．    16．如图，、分别是边、上的点，，，设的面积为，四边形的面积为，若，则的值为 ． 三、解答题 17．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 18．如图，中，平分交于，，于，，，求的度数． 19．如图，已知：=60°，=30°，=20°，求的度数. 20．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数． 21．如图，在中，，的平分线相交于点， (1)若，则     (2)若，则 (3)试探索与之间有怎样的数量关系？ 22．如图，AE∥BF，为锐角，点P是射线BF上的一个动点（点P与点B不重合），AC平分交射线BF于点C，AD平分交射线BF于点D． (1)当时，则的度数为 ，的度数为 ． (2)时，求的度数（用的代数式表示）． (3)猜想：与的数量关系，并写出一个等量关系式，说明理由． (4)当时，AC与BF互相垂直吗？为什么？ 23．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 24．如图，已知，∠DEF=∠BGF． (1)请判断AB与EF的位置关系，并说明理由； (2)过点G作线段GH⊥EF，垂足为H，若∠FGH=60°，求∠FGB的度数． 25．如图，已知：平分，点F是反向延长线上的一点，，．求：和的度数． 26．已知在中，，现将放置在上，使得的两条边，分别经过点、． （1）如图①所示，若，且时， 度， 度， 度； （2）如图②，改变的位置，使得点在内，且与不平行时，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论； （3）如图③，改变的位置，使得点在外，且与不平行时，请探究、、之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论． 27．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P． (1)如果∠A＝80°，求∠BPC＝_____． (2)如图②，过点P作直线MNBC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)______． (3)将直线MN绕点P旋转． （i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． （ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为8． (1)求点，的坐标； (2)连接与轴交于点，求的值： (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果S是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由． 29．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．    (1)若α，求的值； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）； (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______． 30．在中，射线平分交 于点 G，点 D在直线 上运动（不与点 G 重合），过点D作交直线于点E．    (1)如图 1，点D在线段上运动时，平分， ①若，则_________； ②若，则___________； ③探究与之间的数量关系，说明理由； (2)若点D在射线上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点F，与之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由． 31．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l//PQ，点D在点C的左边且CD=3． （1）直接写出△BCD的面积． （2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE． （3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围． 32．已知△ABC中，∠B-∠A=70°，∠B=2∠C，求∠A的度数. 33．通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角． 求证：． 证明：延长BC，过点C作． ∴，． ∵， ∴． (1)小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可） (2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 34．解决问题： 如图①，在中，分别是和的平分线， （1）若，，则______度； （2）若，求出的度数； 拓展延伸： （3）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系．    35．如图，已知． (1)如图1，求证：∠B+∠E=∠D； (2)F为AB，CD之间的一点，∠E=30°，∠EFD=140°，DG平分∠CDF交AB于点G， ①如图2，若，求∠B的度数； ②如图3，若DG与∠EFD的平分线交于点H，∠B=3∠H，直接写出∠CDF的度数． 36．如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 37．（1）如图，的外角和的平分线交于点F．用等式表示与的数量关系；    （2）如图，的平分线和的外角的平分线交于点H．用等式表示与的数量关系，并证明．    38．如图，已知AB∥ED，x=∠A+∠E，y=∠B+∠C+∠D，探求x与y的数量关系． 39．同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． (2)如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． (3)如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 40．如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 三角形相关线段、角的应用专练 一、单选题 1．如图，点D为内一点，满足，，过点B，点C分别作的垂线相交于点E．设，，则与之间的数量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，运用三角形的内角和和四边形的内角和进行求解．此题考查了三角形角度问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解和推导． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 即 ， ， 即， 解得， 故选：A． 2．如图，，点，分别是射线，上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点，则的大小为（    ） A．45° B．50° C．60° D．随点，的移动而变化 【答案】B 【分析】根据三角形的外角定理结合角平分线的性质即可求解． 【详解】∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC， ∴∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE， ∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB，∠CBE=∠D+∠DCB， ∴2∠CBE=2∠D+2∠DCB， ∴∠MBC=2∠D+∠ACB， ∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB， ∴∠A=2∠D， ∵∠A=100°， ∴∠D=50°． 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质和三角形的外角定理综合问题，熟练利用外角定理进行推理论证是解题关键. 3．如图，△ABC的面积是8，D是AB边上任意一点，E是CD中点，F是BE中点，△ABF的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接AE，由三角形中线得性质可得S△ADE=S△AEC，S△BDE=S△BEC，可得S△ABE=S△ADE+S△BDE=S△ABC，再利用三角形中线得性质即可得答案． 【详解】如图，连接AE， ∵点E为CD的中点， ∴S△ADE=S△AEC，S△BDE=S△BEC， ∵S△ADE+S△AEC+S△BDE+S△BEC=S△ABC，S△ABC=8， ∴S△ABE=S△ADE+ S△BDE=S△ABC=4， ∵点F为BE的中点， ∴S△ABF=S△AFE=S△ABE=2， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分的性质是解题关键． 4．把一根细线固定在半圆形盘角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，如图所示，细线与边重合，则∠A的度数为（    ） A．30° B．40° C．50° D．75° 【答案】B 【分析】先根据量角器得到，再根据直角三角形两锐角互余得到． 【详解】解：由量角器得， ∵， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了“直角三角形两锐角互余”，根据量角器得到，熟知直角三角形性质是解题关键． 5．数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的高的概念“从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高”进行判断即可得． 【详解】解：A、AD不是中AC边上的高，选项说法错误，不符合题意； B、BD不是中AC边上的高，选项说法错误，不符合题意； C、BD是中AC边上的高，选项说法正确，符合题意； D、AD不是中AC边上的高，选项说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的概念． 6．如图，在中，，过点B作，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，先由，得出，再结合两直线平行，内错角相等，得出的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出． 【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图， ∵的外角和的外角是同角， ∵，， ∵平分和， ∴，， ∴，， ∵在中，， 在中， ∴，； ∵， ∴， ， 整理得，， 化简得， 将，代入，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键． 8．如图，将△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，连接AB′．若∠BDC＝30°，则∠BAB′的度数为（   ） A．25° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算判断即可． 【详解】∵△ABC沿AB边上的中线CD折叠，点B落在点B′处，∠BDC＝30°， ∴∠BDC＝∠B′DC＝30°，B′D=BD=AD， ∴∠BAB′＝∠AB′D，∠BAB′+∠AB′D=60°，B′D=BD=AD， ∴∠BAB′＝30°， 故选B． 【点睛】本题考查了中线的意义，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 二、填空题 9．在三角形的所有外角（每个顶点处只取一个外角）中，锐角最多有 个． 【答案】1 【分析】因为三角形的内角中钝角最多有1个，所以根据平角的定义可以得知三角形的外角中最多有1个锐角． 【详解】解：∵三角形的内角最多有1个钝角， ∴三角形的三个外角中，锐角最多有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角和相邻的内角互补是解答此题的关键． 10．如图，直线ABCD，∠B=60°，∠D=20°，则∠E= °． 【答案】40 【分析】根据两直线平行，内错角相等得出，再根据三角形的外角定理得出，即可求出的度数． 【详解】解：如图： ∵ABCD， ∴∠B＝∠1， ∵∠B＝60°， ∴∠1＝60°， ∵∠1＝∠D+∠E，∠D＝20°， ∴∠E＝60°﹣20°＝40°． 故答案为：40． 【点睛】此题考查了平行线的性质及三角形的外角性质，熟记平行线的性质定理和三角形的外角定理是解题的关键． 11．如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则 ．（用，表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点在点的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示， 由平移可知，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，如图所示， 同理可得，，， 由平移可知，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为：或， 故答案为：或 ． 12．如图，在中，分别是边上的高，且交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】由，高线，即可推出，然后由为的外角，根据外角的性质即可推出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂线的性质，余角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出和的度数． 13．如图，DEF平移得到ABC，已知则∠FDE＝ ． 【答案】65°/65度 【分析】先根据平移的性质，得出，再根据三角形内角和，求出即可． 【详解】解：∵△DEF平移得到△ABC， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65°． 【点睛】本题主要考查了平移的性质和三角形内角和定理的应用，根据平移前后对应角相等，得出，是解题的关键． 14．如图,已知∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC,且AD是∠EAC的平分线,若∠B=71°,则∠BAC的大小是 . 【答案】38° 【详解】解： AD∥BC ∠EAD=∠B=71°， AD是的平分线 ∠EAC=2∠EAD=2×71°=142°， 则∠BAC=180°–=180°–142°=38°． 15．图中 ．    【答案】180 【分析】根据外角的性质分别得到，，等量代换，利用三角形内角和可得结果． 【详解】解：如图，∵，， ∴ 故答案为：180．      【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 16．如图，、分别是边、上的点，，，设的面积为，四边形的面积为，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】根据，得，则，根据得，则，进行计算即可得． 【详解】解：，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差． 三、解答题 17．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 18．如图，中，平分交于，，于，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠EAC的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，最后根据∠EAD=∠EAC-∠DAC代入数据进行计算即可得解. 【详解】解：，， ， 平分交BC于E， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并准确识图，观察出∠EAD=∠EAC-∠DAC是解题的关键． 19．如图，已知：=60°，=30°，=20°，求的度数. 【答案】110° 【详解】试题分析： 连接AD并延长，利用三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”即可证得：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C=110°. 试题解析： 连接AD，并延长． ∵∠3＝∠1＋∠B，∠4＝∠2＋∠C， ∴∠BDC＝∠3＋∠4＝(∠1＋∠B)＋(∠2＋∠C)＝∠B＋∠BAC＋∠C， ∵∠A＝60°，∠B＝30°，∠C＝20°， ∴∠BDC＝110°. 20．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形． (1)在中，，则为 倍角三角形． (2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数． (3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数． 【答案】(1)3 (2)或或或 (3)或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． （1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论． （2）先求出，，然后分四种情形分别求解即可． （3）先证明，，然后分四种情形分别求解即可． 【详解】（1），， ， ， 为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ∴． ①当时， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴； ③当时， ∵， ∴； ④当时， ∵， ∴， ∴． 综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于或或或； （3）平分，平分， ，， ， ； 又平分， ①， ②； 得：． 若为3倍角三角形： 若， ， ， ； 若， ， （不符合题意，舍去）； 若， ， ； 若， ，， （不符合题意，舍去）； 综上所述，等于或时，为3倍角三角形． 21．如图，在中，，的平分线相交于点， (1)若，则     (2)若，则 (3)试探索与之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和三角形内角和定理； （1）先根据角平分线的定义求出，，再由三角形内角和定理得到，从而求得，再由三角形内角和定理即可得到； （2）先由三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，，即，从而得到，再由进行求解即可； （3）同（1）方法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵、的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，AE∥BF，为锐角，点P是射线BF上的一个动点（点P与点B不重合），AC平分交射线BF于点C，AD平分交射线BF于点D． (1)当时，则的度数为 ，的度数为 ． (2)时，求的度数（用的代数式表示）． (3)猜想：与的数量关系，并写出一个等量关系式，说明理由． (4)当时，AC与BF互相垂直吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)∠APB＝2∠ADB，理由见解析 (4)AC⊥BF，理由见解析 【分析】（1）根据AE∥BF，可得∠B+∠BAE=180°，从而得到∠BAE=140°，再由AC平分，AD平分，可得，即可求解； （2）根据AE∥BF，可得∠B+∠BAE=180°，从而得到，再由AC平分，AD平分，可得，即可求解； （3）根据AE∥BF，可得∠APB＝∠EAP＝∠PAD＋∠EAD，∠EAD＝∠ADB．再由AD平分∠EAP，可得∠PAD＝∠EAD＝∠ADB，即可求解； （4）根据∠B＝2∠ADB，可得∠ACB＝ ∠BAC2∠ADB．由（3）得∠APB＝2∠ADB．从而得到∠ACP＝ ∠PAC2∠ADB．再由∠BAC＝∠PAC，可得∠ACB＝∠ACP，即可求解． 【详解】（1）解∶∵AE∥BF， ∴∠B+∠BAE=180°， ∵∠B=40°， ∴∠BAE=140°， ∵AC平分，AD平分， ∴， ∴ ； 故答案为：， （2）解：∵AE∥BF， ∴∠B+∠BAE=180°， ∵， ∴， ∵AC平分，AD平分， ∴， ∴ ； （3）解：猜想：∠APB＝2∠ADB．理由： ∵AE∥BF， ∴∠APB＝∠EAP＝∠PAD＋∠EAD，∠EAD＝∠ADB．（两直线平行，内错角相等）． ∵AD平分∠EAP， ∴∠PAD＝∠EAD＝∠ADB ∴∠APB＝∠EAP＝∠PAD＋∠EAD＝2∠ADB． 即：∠APB＝2∠ADB． （4）解：AC⊥BF．理由如下： ∵∠B＝2∠ADB， ∴∠ACB＝ ∠BAC2∠ADB． 由（3）得：∠APB＝2∠ADB． ∴∠ACP＝ ∠PAC2∠ADB． ∵∠BAC＝∠PAC， ∴∠ACB＝∠ACP， ∵∠ACB＋∠ACP＝ ∴∠ACB＝∠ACP＝ ∴AC⊥BF． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 23．如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义求出．再根据三角形外角的性质即可得到的度数； （2）由角平分线的定义得到．再根据三角形外角的性质得到．即可得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可； 本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的相关计算等知识，熟练掌握三角形外角的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分交于点D，， ∴． ∵是的外角，， ∴； （2）∵平分交于点D，平分交于点E， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∴ ∵， ∴． 24．如图，已知，∠DEF=∠BGF． (1)请判断AB与EF的位置关系，并说明理由； (2)过点G作线段GH⊥EF，垂足为H，若∠FGH=60°，求∠FGB的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)30° 【分析】（1）由，利用两直线平行、内错角相等，得出，结合已知条件得出，利用内错角相等、两直线平行，即可证明； （2）利用垂直的定义得∠GHF=90°，利用三角形内角和定理得∠GFH =30°，利用平行线的性质得∠FGB=∠GFH =30°． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵GH⊥EF， ∴∠GHF=90°， ∵∠FGH =60°， ∴∠GFH =180°－∠GHF－∠FGH =30°， 由（1）得， ∴∠FGB=∠GFH =30°． 【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用平行线的性质定理和判定定理进行推理是解题的关键． 25．如图，已知：平分，点F是反向延长线上的一点，，．求：和的度数． 【答案】； 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数．利用三角形外角定理及直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴． 在中，， ∴． ∵是的外角； ∴． ∵， ∴． ∴在中，． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 26．已知在中，，现将放置在上，使得的两条边，分别经过点、． （1）如图①所示，若，且时， 度， 度， 度； （2）如图②，改变的位置，使得点在内，且与不平行时，请探究与之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论； （3）如图③，改变的位置，使得点在外，且与不平行时，请探究、、之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】（1）130；70；60；（2），见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出的度数，根据平行线的性质可得到的度数，利用角度的和差关系即可求出的度数； （2）同（1）分别求出，和的度数，故可求解； （3）先求出，，再根据平角的性质即可计算求解． 【详解】（1）∵，在△ABC中，180°-50°=130°， ∵ ∴, ∴ ∴（）-60° 故答案为：130；70；60； （2）由题意，得 所以 ∵ ∴即 （3）由题意，得 ∴ ∵ ∴（）-（）= 即． 【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°． 27．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P． (1)如果∠A＝80°，求∠BPC＝_____． (2)如图②，过点P作直线MNBC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)______． (3)将直线MN绕点P旋转． （i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． （ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 【答案】(1)130°； (2)； (3)（i）∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由见解析； （ii）不成立，有结论∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A，理由见解析． 【分析】:（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到，再利用三角形内角和定理得，然后把∠A的度数代入计算； （2）根据平角定义得 ，然后根据（1）的求解； （3）（i）与（2）的说理一样；（ⅱ）由于三个角之和不再是180°，因此结论不成立，可以利用得出结论：． 【详解】（1）解：∵△ABC的角平分线BD，CE相交于点P， ∴， ∴ 又∵∠A＝80°， ∴． 故答案为：． （2）由（1）得：=， ∴． 故答案为：． （3）（i），理由如下： 由（1）得：=， ∴． （ii）不成立，有结论．理由如下： 由题图④可知， ∴． 由（1）知：=， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和与角平分线的综合问题，灵活运用结论=是解题的关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右平移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为8． (1)求点，的坐标； (2)连接与轴交于点，求的值： (3)若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动，若射线交轴于点，设与的面积差为，问：是否定值？如果S是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)的值是定值3 【分析】（1）先根据点坐标平移的特点求出点B的坐标，再根据四边形的面积为8，求出，再由平移的性质得到，即可求出点D的坐标； （2）解法1：先求出，再由，得到，又由，求出，则；解法2：由，求出，则，即可得到； （3）分当点在线段上时，当点在上时，两种情况分别求出S的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点向右平移4个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵由平移性质可知，， ∴点的坐标为； （2）解：解法1：∵和同底， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵和同高， ∴； 解法2：∵， ∴，即 ∴， ∴， ∴； （3）解：结论：的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为秒， 由题意： ∴， ， ∴， ∴， ∴ ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ∴ 综上所述，的值是定值3． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化——平移，三角形面积等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 29．如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，α．    (1)若α，求的值； (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值（用含α的代数式表示）； (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若α，，则的值是______． 【答案】(1)； (2) ； (3)4． 【分析】（1）过点作，易得，利用平行线的性质可求解； （2）过点作，过点作，延长交于点，由角平分线的定义可设，，由三角形的外角性质可求 ，进而求解； （3）设直线与交于点，与交于点，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，，，可得 ，即可得关于的方程，计算可求解值． 【详解】（1）解：过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：过点作，过点作，延长交于点，    ∵平分，平分， ∴设，， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴ ，    ∵， ∴， ∴，，， ∴ ， 故的值为 ； （3）解：如图，设直线与交于点，与交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，在内，． ∴ ， ，    ∵， ∴同（）得， ∴， ∴ ， 即 −， ∴ ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，外角性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 30．在中，射线平分交 于点 G，点 D在直线 上运动（不与点 G 重合），过点D作交直线于点E．    (1)如图 1，点D在线段上运动时，平分， ①若，则_________； ②若，则___________； ③探究与之间的数量关系，说明理由； (2)若点D在射线上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点F，与之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由． 【答案】(1)，， (2)不相同， 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． （1）①若，由三角形内角和定理求出，由平行线的性质得出，由角平分线定义得出,，由三角形的外角性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结果； ②若，则，由角平分线定义得出由三角形的外角性质即可得出结果； ③由①得：，由三角形的外角性质得出，再由三角形的外角性质即可得出结论； （2）由（1）得：，由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1） 解：， 则 ， 平分，平分， ， ， ， 故答案为：； ②若，则， 平分，平分， ， ， 故答案为：； ③，理由如下： 由①得： 即； （2）解：不相同，；理由如下： 延长交于点，如图所示：    由（1）得： 31．已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l//PQ，点D在点C的左边且CD=3． （1）直接写出△BCD的面积． （2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE． （3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）不变，值为． 【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，得到底边上的高为2，从而求得的面积； （2）利用，，求出； （3）由，，，求出，即可得答案． 【详解】解：（1）根据平行线间的距离处处相等，得到底边上的高为2， ∴． （2）如图②， ∵，∴ ∴ ∵直线直线 ∴ ∵ ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴； （3）不变，值为 如图③ ∵直线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂线，角平分线，平行线的性质，解题的关键是角之间的关系． 32．已知△ABC中，∠B-∠A=70°，∠B=2∠C，求∠A的度数. 【答案】30° 【分析】根据已知可表示出∠A，再根据三角形内角和定理即可分别求得三个角的度数． 【详解】解：∵∠B-∠A=70°，∠B=2∠C， ∴∠A=∠B-70°=2∠C-70°， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C-70°+2∠C+∠C=180°， ∠C=50°， ∴∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°． 故答案为：30°. 【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于掌握三角形内角和是180°，利用方程解决问题，属于中考常考题型． 33．通过学习第5章《几何证明初步》知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：∠A，∠B，∠C是的三个内角． 求证：． 证明：延长BC，过点C作． ∴，． ∵， ∴． (1)小明的证明过程依据有哪些？（写两条即可） (2)请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角的定义 (2)见解析 【分析】（1）过点C作，利用平行线的性质，可得出，，结合平角等于，即可证出； （2）过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】（1）证明：延长BC，过点C作． ∴(两直线平行，内错角相等)， (两直线平行，同位角相等)． ∵(平角的定义)， ∴； （2）证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，∠4=∠C(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，牢记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 34．解决问题： 如图①，在中，分别是和的平分线， （1）若，，则______度； （2）若，求出的度数； 拓展延伸： （3）如图②，在四边形中，分别是和的平分线，直接写出与的数量关系．    【答案】（1）120；（2）；（3） 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解； （2）根据角平分线，三角形内角和定理求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）120． ∵分别是和的平分线， ∴． ∴． ∴． （2）∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ∵， ∴． （3）． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理，角平分线的定义；熟练三角形的内角和定理是解题的关键． 35．如图，已知． (1)如图1，求证：∠B+∠E=∠D； (2)F为AB，CD之间的一点，∠E=30°，∠EFD=140°，DG平分∠CDF交AB于点G， ①如图2，若，求∠B的度数； ②如图3，若DG与∠EFD的平分线交于点H，∠B=3∠H，直接写出∠CDF的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①70°；②160° 【分析】（1）如图1，作EF∥AB．利用平行线的性质即可证明． （2）①如图2，作FH∥BE．利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可． ②如图3中，设∠H=y，∠CDH=∠FDH=x，则∠B=3y．构建方程组即可解决问题． 【详解】（1）如图1，作EF∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF ∵∠DEF=∠BED+∠BEF， ∴∠B+∠BED=∠D； （2）①如图2，作FH∥BE． ∵BE∥DG， ∴BE∥FH∥DG， ∴∠E=∠EFH=30° ∵∠DFE=140°， ∴∠HFD=110°， ∴∠GDF=180°-∠HFD=70° ∵DG平分∠CDF， ∴∠CDG=∠GDF=70° ∵AB∥CD， ∴∠BGD=∠CDG=70° ∵BE∥DG， ∴∠B=∠BGD=70° ②如图3中，设∠H=y，∠CDH=∠FDH=x，则∠B=3y．设AB与HF、EF分别交于M、N ∵AB∥CD ∴∠CDH=∠DGB=x ∴ ∵HF平分∠EFD，∠EFD=140°， ∴ ∵三角形HFD中， ∴ ∵三角形MNF中 三角形BNE中 ∴ ∴ ∴， 解得 ∴∠CDF=2x=160°． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题． 36．如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意可得的三分线，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）分别是邻三分线和邻三分线及，可得，进而可求的度数； （3）根据题意作出相应图形，然后利用三分线得出，，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵是“邻三分线”时， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 又∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ （3）如图所示， ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用．解决本题的关键是理解三等分线及三角形内角和定理的应用． 37．（1）如图，的外角和的平分线交于点F．用等式表示与的数量关系；    （2）如图，的平分线和的外角的平分线交于点H．用等式表示与的数量关系，并证明．    【答案】（1）；（2）．见解析 【分析】（1）利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．   （2）先根据三角形的外角性质得到，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵为两外角的平分线， ∴； 由三角形内角和定理得： （2） 证明：∵的外角的平分线和的平分线交于点H， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理以及三角形外角的性质是解题的关键． 38．如图，已知AB∥ED，x=∠A+∠E，y=∠B+∠C+∠D，探求x与y的数量关系． 【答案】x=y 【分析】连接BD，根据AB∥ED可知∠A+∠E=180°，∠EDB+∠ABD=180°，再由三角形内角和定理可知∠CDB+∠CBD+∠C=180°，由此可得出结论． 【详解】解：连接BD，如下图： ∵AB∥ED， ∴∠A+∠E=180°，∠EDB+∠ABD=180°， ∴x=180°， ∵∠CDB、∠CBD与∠C是△BCD的内角， ∴∠CDB+∠CBD+∠C=180°， ∴∠EDB+∠ABD+∠CDB+∠CBD+∠C=360°，即y=360°， ∴x=y． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 39．同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． (2)如图2，，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． (3)如图3．，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 【答案】(1)70° (2)45° (3)129° 【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答； （2）利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90°，再利用对顶角相等可得∠BED=90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答． 【详解】（1）延长CE交AB于点F， ∵， ∴∠AFC＝∠C＝28°， ∵∠AEC是△AEF的一个外角， ∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°， 故答案为：70°； （2）利用（1）的结论可得： ∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°， ∴∠AEC＝∠BED＝90°， ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF＝∠BED＝45°， ∴∠BEF的度数为45°； （3）∵， ∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°， ∵DG平分∠CDF， ∴∠CDG＝∠CDF＝62°， ∵， ∴∠BAG＝∠CDG＝62°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠BAD＝31°， ∵∠GDE＝20°， ∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°， 利用（1）的结论可得： ∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°， ∴∠AED的度数为129°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的性质，熟练掌握猪蹄模型的原理是解题的关键． 40．如图，中，，点D在所在的直线上，点E在射线上，连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再求出，最后根据外角的性质即可得答案； （2）根据外角的性质可求出，再求出的度数，最后根据外角的性质可得答案 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， 【点睛】此题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和是，三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$