专题04 有理数单元过关（基础版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题04 有理数单元过关（基础版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．在数轴上与表示数的点距离个单位长度的点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 2．下列化简错误的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么x的值是 （　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．3或 4．下列各式正确的是(　　) A． B． C． D． 5．在，，0，2四个数中最大的是（   ） A． B． C． D．． 6．下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 7．下列说法正确的个数有（    ） （1）若，则；（2）若a、b互为相反数，则；（3）绝对值相等的两数相等；（4）单项式的次数是6；（5）－a一定是一个负数；（6）平方是本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（） A． B． C． D． 9．如图，在数轴上，，P两点表示的数分别是1，2，，关于点О对称，，关于点P对称，，关于点О对称，，关于点Р对称…依此规律，则点表示的数是（    ） A．21 B．-21 C．25 D．-25 10．下列各组运算中，结果为负的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．结合数轴思考： 0的相反数是 ．一个正数的相反数是一个 ．一个负数的相反数是一个 ．一个数的相反数是它本身的数是 ． 12．点在数轴上运动，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时正好在原点处，开始运动时表示的数是 ． 13．下列各数：，，，，， ，其中整数有 个，负分数有 个． 14．的相反数是 ；的相反数是 ；0的相反数是 ． 15．绝对值小于4的所有负整数的和与积的差为 16．在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、、，其中，且． (1)则的长为________； (2)若点对应的数是2，点、、所对应的数分别为、、，求的值． 18．（1）计算：______；______；______． （2）发现：当时，______；当a______时，． （3）应用：a，b在数轴上的位置如图所示，化简下列各式： ①______；②______；③______． 19．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来：，，，，， 20．一出租车司机一天下午以希望小学为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，+5，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车离出发点多远？ (2)若每千米收费2.8元，求司机这个下午的营业额． 21．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求的值． 22．（1）将下列各数表示在数轴上．，0，，3，0.5；并用“”把它们连接起来． （2）观察（1）中的数轴，写出大于并且小于0.5的所有整数______． 23．将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，0，， 整数集合：__________________________ ； 分数集合：__________________________ ； 正数集合：__________________________ ； 负数集合：__________________________ ． 24．（1）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： 在数轴上表示出，，，并用“”表示出它们的大小． （2）在（1）的条件下，化简． （3）若，，求的值． 25．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，，满足． 回答问题： (1)点为一动点，其对应的数为，若，求的值； (2)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)在的条件下，若点运动2秒后掉头向左继续运动，速度不变；、保持原来运动方向，速度不变继续运动，设继续运动时间为秒．请问在运动过程中，是否存在某个时刻，，，中某一点是另外两点的中点？如果有，请求出的值；如果没有，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数单元过关（基础版） 考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．在数轴上与表示数的点距离个单位长度的点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将数2分别向左或向右移动4个单位长度，即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，将数2向左移动4个单位长度，对应的点表示的数是；将数2向右移动4个单位长度，对应点表示的数是． 故选：D 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，牢记相关的知识点是解题的切入点． 2．下列化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号法则及化简绝对值进行计算，进而判断即可． 【详解】解：A、，故A项正确，不符合题意； B、，故B项错误，符合题意； C、，故C项正确，不符合题意； D、，故D项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．如果，那么x的值是 （　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．3或 【答案】C 【分析】根据去绝对值进行解题即可． 【详解】∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的应用，掌握去绝对值的符号是解题的关键． 4．下列各式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值；分别化简绝对值，即可求解． 【详解】解：A、错误，左边为负，右边为正数； B、错误，左边为负，右边为正数； C、错误，左边为负，右边为正数； D，正确， 故选：D． 5．在，，0，2四个数中最大的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】按照有理数大小比较的原则判断即可． 【详解】∵零大于一切的负数， ∴最大数是0和2中较大的一个， ∵正数大于零，2是正数， ∴最大数是2， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，熟记大小比较的基本原则是解题的关键． 6．下列各组数中，不相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查化简多重符号，化简绝对值，根据多重符号的化简法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，，两数相等，不符合题意； B、，，两数不相等，符合题意； C、，，两数相等，不符合题意； D、，，两数相等，不符合题意； 故选B． 7．下列说法正确的个数有（    ） （1）若，则；（2）若a、b互为相反数，则；（3）绝对值相等的两数相等；（4）单项式的次数是6；（5）－a一定是一个负数；（6）平方是本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据倒数的定义、相反数定义、绝对值的性质、单项式的系数和次数定义等逐个判断即可． 【详解】解：（1）若，则，正确，符合题意； （2）若a、b互为相反数，当b≠0时，则，原说法错误，不符合题意； （3）绝对值相等的两数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； （4）单项式的次数是4，原说法错误，不符合题意； （5）当a>0时，－a一定是一个负数，原说法错误，不符合题意； （6）平方是本身的数是1或0，原说法错误，不符合题意； 综上，只有（1）说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了倒数的定义、相反数定义、绝对值的性质、单项式的系数和次数定义、乘方运算等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 8．如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数，下列举例能说明这种说法错误的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断a与b的大小，再根据倒数的定义得到它们的倒数，再比较出其大小即可． 【详解】解∶A、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意； B、，不符合题意； C、的倒数是的倒数是的倒数大于的倒数，符合题意； D、的倒数是的倒数是的倒数小于的倒数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是倒数的定义及有理数的大小比较，熟知特例法是解答此题的关键． 9．如图，在数轴上，，P两点表示的数分别是1，2，，关于点О对称，，关于点P对称，，关于点О对称，，关于点Р对称…依此规律，则点表示的数是（    ） A．21 B．-21 C．25 D．-25 【答案】D 【分析】分别求出表示的数是，表示的数是，表示的数是，表示的数是，从而推断出关于点对称的点表示的数是，关于点对称的点表示的数是，进而求解． 【详解】解：，两点表示的数分别是1，2，，关于点对称， 表示的数是， ，关于点对称， 表示的数是， ，关于点对称， 表示的数是， ，关于点对称， 表示的数是， 关于点对称的点表示的数是， 关于点对称的点表示的数是， 点表示的数是， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的规律，能够通过所给数，探索出数的一般规律是解题的关键． 10．下列各组运算中，结果为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据相反数、有理数的乘方、绝对值的化简法则等运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：A、-（-2）=2，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，结果为负数，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 综上，只有C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的化简及有理数的乘方等有理数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．结合数轴思考： 0的相反数是 ．一个正数的相反数是一个 ．一个负数的相反数是一个 ．一个数的相反数是它本身的数是 ． 【答案】 0 负数 正数 0 【解析】略 12．点在数轴上运动，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，此时正好在原点处，开始运动时表示的数是 ． 【答案】 【分析】根据数轴的基础知识即可求解． 【详解】解：设开始运动时表示的数是， 根据题意得， 解得， 开始运动时表示的数是 故答案为： 【点睛】本题考查了数轴，是基础题，逆向思维确定各点的位置是解题的关键． 13．下列各数：，，，，， ，其中整数有 个，负分数有 个． 【答案】 4 3 【分析】根据整数、负分数的概念进行解答即可． 【详解】解：其中整数有，5，共个， 负分数，，，共个； 故答案为：；． 【点睛】此题考查了整数、负分数的概念，属于简单题型，掌握整数、负分数的概念是解题的关键． 14．的相反数是 ；的相反数是 ；0的相反数是 ． 【答案】 2 0 【分析】根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是2，的相反数是，0的相反数是0， 故答案为：2；；0． 【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知相反数的定义是解题的关键：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 15．绝对值小于4的所有负整数的和与积的差为 【答案】 【分析】写出绝对值小于4的所有负整数，然后进行求和，求积，最后求差即可. 【详解】解：绝对值小于4的负整数有： 、 ，， 它们的和为： ，积为， 所以绝对值小于4的所有负整数的和与积的差为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是 ． 【答案】，或 【分析】本题主要考查数轴的知识，解题的关键是利用掌握分类讨论思想，以及两点间的距离表示方法． 利用分类讨论思想，当点在线段上时且时，设点表示的数为，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点在线段上时且时，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数；当点运动到点的左边时，那只有，用代数式表示出的长度，即可求出点所表示的数． 【详解】设点表示的数为，当点在线段上时且时，如图所示， ∵M，N两点所表示的数分别是1、， ，， ， ， 解得：； 当点在线段上时且时，如图所示， ， 解得：； 当点运动到点的左边时，那只有，如图所示， ， 解得：； 故点表示的数为，或． 故答案为：，或． 评卷人 得分 三、解答题 17．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、、，其中，且． (1)则的长为________； (2)若点对应的数是2，点、、所对应的数分别为、、，求的值． 【答案】(1)2 (2)2 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是计算出线段的长度． （1）根据已知条件可以直接求出． （2）根据已知条件得出A、B、C、D之间的距离为2，因为点C对应的数是2，得出其他各点表示的数，代入计算即可． 【详解】（1）解：2 （2）因为，， 所以． 若点对应的数是2，则，，，     ． 18．（1）计算：______；______；______． （2）发现：当时，______；当a______时，． （3）应用：a，b在数轴上的位置如图所示，化简下列各式： ①______；②______；③______． 【答案】（1）；0；5；（2）a；；（3）①；②；③ 【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可； （2）根据绝对值的代数意义填空即可； （3）根据绝对值的代数意义并结合数轴求解即可． 【详解】解：（1）；；； 故答案为：；0；5； （2）当时，；当时，； 故答案为：a；； （3）由数轴信息可知，，， ∴①，； ②，； ③，； 故答案为：①；②；③． 【点睛】本题考查绝对值的定义，理解绝对值的代数意义，准确去绝对值符号是解题关键． 19．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来：，，，，， 【答案】表示见解析，． 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，先在数轴上表示出各数，再按照从左到右的顺序用“”连接起来即可，正确在数轴上表示各数是解题的关键． 【详解】解：在数轴上表示各数如图所示： 由数轴可得，． 20．一出租车司机一天下午以希望小学为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，+5，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车离出发点多远？ (2)若每千米收费2.8元，求司机这个下午的营业额． 【答案】(1)出租车离出发点远 (2)168元 【分析】（1）把行驶记录相加，再根据正负数的意义解答即可； （2）求出行驶记录绝对值的和，然后乘以每千米收费2.8元即可求解． 【详解】（1）解：， 答：将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点远； （2）解：， 司机下午营业额为： （元）， 答：司机一个下午的营业额是168元． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的实际应用，绝对值的意义．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 21．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且m的绝对值为2，求的值． 【答案】3或 【分析】根据相反数和倒数的定义得出、，由可得，代入计算可得． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， 由，可得到：， 当时，原式， 当时，原式， 综上所述，原式的值为3或-1． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握相反数，绝对值的意义及倒数的定义是解本题的关键． 22．（1）将下列各数表示在数轴上．，0，，3，0.5；并用“”把它们连接起来． （2）观察（1）中的数轴，写出大于并且小于0.5的所有整数______． 【答案】（1）见解析，；（2），，，0 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，能正确在数轴上表示数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）把各数表示在数轴上即可求解； （2）根据实数大小比较的方法，写出大于并且小于0.5的所有整数即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： 用“”把它们连接起来：； （2）大于并且小于0.5的所有整数有，，，0． 故答案为：，，，0． 23．将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，0，， 整数集合：__________________________ ； 分数集合：__________________________ ； 正数集合：__________________________ ； 负数集合：__________________________ ． 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：整数集合：，0，； 分数集合：，，，，； 正数集合：，，，； 负数集合：，，； 【点睛】本题考查了有理数的分类，根据定义判断数是解题关键，注意0是整数，0既不是正数，也不是负数． 24．（1）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示： 在数轴上表示出，，，并用“”表示出它们的大小． （2）在（1）的条件下，化简． （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10或4 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，整式的加减等知识，涉及了数形结合思想： （1）根据相反数的概念得到，，的大小，然后在数轴上表示即可； （2）结合数轴，先判断，，的正负，再计算绝对值进行化简； （3）根据题意得到，，然后分情况讨论，分别代入求解即可． 【详解】（1）如图所示， ； （2）由数轴可得， ∴，， ∴ ； （3）∵，， ∴，， ∴当，时，； ∴当，时，； ∴当，时，； ∴当，时，． 综上所述，的值为10或4． 25．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，，满足． 回答问题： (1)点为一动点，其对应的数为，若，求的值； (2)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)在的条件下，若点运动2秒后掉头向左继续运动，速度不变；、保持原来运动方向，速度不变继续运动，设继续运动时间为秒．请问在运动过程中，是否存在某个时刻，，，中某一点是另外两点的中点？如果有，请求出的值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)BC的值不会随着时间的变化而改变 (3)若，，中某一点是另外两点的中点，则的值为或或 【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a,b,c的值，根据建立关于x的方程，解之即可； （2）先求出，从而得出的值不随着时间t1的变化而变化； （3）根据题意需要分三种情况，当点B为的中点，当点C为的中点，当点A为的中点，依次列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，，， 解得，，； 点为一动点，其对应的数为， ，， ， 或 解得或； （2）解：的值不变． 根据题意可知， ， 故的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：运动2秒后，点对应的数为：， 点对应的数为：， 点对应的数为：． 继续运动时间为秒， 点对应的数为：， 点对应的数为：， 点对应的数为：． 若，，中某一点是另外两点的中点，则分三种情况： 当点为的中点，则， ， 解得或（此时点A与点C重合，应舍去），， 当点为的中点，则， ， 解得舍或， 当点为的中点，则， ， 解得（此时点B与点C重合，应舍去）或， 综上，若，，中某一点是另外两点的中点，则的值为为或或． 【点睛】本题考查解绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示点运动后表示的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$