精品解析：天津市红桥区2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷

高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 球的体积公式 ，其中表示球的半径． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 ，为虚数单位，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，又，求解即可. 【详解】由于， 因为，则，解得. 故选：C. 2. 设向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得， 所以. 故选：C 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则， B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案． 【详解】对于A，若，可以在或内，当时，， A错误； 对于B，若，则或相交，B错误； 对于C，若，，则或异面，C错误； 对于D，由，得，当时，，D正确． 故选：D. 4. 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果. 【详解】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积. 故选：B. 5. 已知平面截球球面所得圆的面积为，到的距离为，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆的性质求出球半径即可. 【详解】依题意，球的截面小圆半径为1，而球心到截面距离为1，则球半径， 所以球的表面积为. 故选：C 6. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，再作出平面图形，求出相关线段的长度，即可求出面积. 【详解】因为直观图是等腰直角三角形且，所以， 由直观图可得如下平面图形： 则，，所以. 故选：C 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值. 【详解】向量，且， 所以，解得， 故选：B. 8. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先转化向量，再根据数量积公式，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，， ， . 故选：B 9. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 所以， 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 已知为虚数单位，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】用复数的除法及乘法法则即可求解. 【详解】，. 故答案为：. 11. 化简=_______ 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】利用平面向量的线性运算法则，=+（+）==. 12. 一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】求出正方体的棱长，进而求出其内切球的半径即可得解. 【详解】正方体的表面积为6，则该正方体的棱长为1，内切球半径为， 所以所求球的体积为. 故答案为： 13. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，因此圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故答案为： 14. 已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理求得，进而可得两两垂直，可以把三棱锥P-ABC转化为边长为1的正方体，利用正方体的性质求外接球的半径. 【详解】设，则， 因为，则， 在中，因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得（负值已舍去）， 可知，即，同理可得，，所以两两垂直， 可以把三棱锥转化为边长为1的正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 正方体的体对角线即为外接球的直径，即. 故答案为：. 15. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可以得出，并设，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【详解】如图，令，则： 三点共线； 与共线反向，； ；- 解得． 故答案为：. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 在中，由，令， 由余弦定理得. 【小问2详解】 在中，由及，得， 则， ， 所以. 17. 在中，内角所对的边分别是，已知, ，. （1）求：的值； （2）求：的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理求得. （2）先求得，然后利用三角形面积公式求得三角形的面积. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 由于，所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 由于，所以是锐角， 所以， 则. 18. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1） 根据空间向量法结合线面平行判定定理证明； （2）应用空间向量法求出线面角正弦值. 【小问1详解】 依题意，以点原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，，，. 因为，，， 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， ，则，又平面， 则平面； 【小问2详解】 因为，，， 设为平面的法向量， 则即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明． （2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）设为线段上的点，，，，，，求出，由平面的法向量，且直线和平面所成角的正弦值为，利用向量法能求出结果． 【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥中，平面ABCD， ，，，，，. ∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ， ∴，∴. （2）由（1）知，， 设平面APC的法向量，则， 取，得， 设平面PCD的法向量，则， 令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）解：设Q为线段PD上的点，， ， 则， 解得，，， ∴，， ∵平面PAC的法向量， 且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为， ∴， 解得或（舍）， ∴. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高． 锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高． 球的体积公式 ，其中表示球的半径． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 ，为虚数单位，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，若，则（ ） A. B. C D. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则， B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面截球球面所得圆的面积为，到的距离为，则球的表面积为（ ） A B. C. D. 6. 如图：一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若 ，则原的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中， 是中点，，，， 则 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 10. 已知为虚数单位，则__________ 11. 化简=_______ 12. 一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是__________ 13. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为__________ 14. 已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是______. 15. 已知点O是内一点，满足，，则实数m为__________． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，内角所对的边分别是，已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 在中，内角所对的边分别是，已知, ，. （1）求：的值； （2）求：面积. 18. 如图，在四棱柱中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，，. （1）证明：； （2）求二面角余弦值； （3）设Q为线段PD上的点，且直线AQ和平面PAC所成角的正弦值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$