中考复习 二次函数中的三角形面积问题 课件-2023-2024学年苏科版数学 九年级下册

二次函数背景下的三角形面积问题 ——公式法、割补法 (1)面积公式 (2)割补法 (3)铅锤法 (4)等面积法 三角形面积的表示方法: 公式法 例1:如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。P是抛物线的顶点. (1)求该抛物线的解析式及点P的坐标 (2)求 PAB的面积。 板块一:例题分析,方法小结 解:(1)设抛物线解析式为y=ax +bx+c ∵抛物线经过A(1,0),B(4,0), C(0,-4)三点 ∴ 解得: ∴抛物线解析式为:y=-x +5x-4 化为顶点式为: ∴点P的坐标为 y=a(x-1)(x-4) 例1:如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。P是抛物线的顶点. (1)求该抛物线的解析式及点P的坐标 (2)求 PAB的面积。 公式法 板块一:例题分析,方法小结 (2)过点P做PC⊥AB于点C 易得PC= ,AB=3 ∴S PAB= AB PC= C 三角形的一边在坐标轴上(或与坐标轴平行),三角形面积可直接由面积公式得到 割补法 如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。P是抛物线的顶点. (3)求 PBC的面积。 板块一:例题分析,方法小结 利用“补形”或“割形”将三角形转化成有一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的规则图形的面积之和或面积之差 变式一:如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。点D是x轴上方的抛物线上一个动点,连结DC,DB,若 BCD的面积等于6,求点D的坐标。 板块二:变式训练、巩固提升 M 解:…… 过点D作DM∥y轴交BC于点M 设点D的坐标为(m,-m +5m-4)(1<m<4) ∵yBC=x-4 ∴M的坐标为(m,m-4) ∴DM= -m +5m-4-( m-4 )= -m +4m 点C到DM的距离为:m 点B到DM的距离为:4-m ∴S BCD=S CDM+S DMB = (-m +4m)m+ (-m +4m )( 4-m ) =-2m +8m ∵S BCD=6 ∴-2m +8m=6 解得m1=1,m2=3 ∵ 1<m<4 ∴m=3 ∴D的坐标为(3,2) 变式二:如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。点D是x轴上方的抛物线上一个动点,连结DC,DB,求 BCD面积的最大值。 板块二:变式训练、巩固提升 ∴S BCD=S CDM+S DMB =(-m +4m)m+( -m +4m )( 4-m ) =-2m +8m =-2(m -4m+4-4) =-2(m-2) +8 ∵-2<0,1<m<4 ∴当m=2时, S BCD有最大值8. M 板块三:总结回顾 1、求图形面积方法的选择: 三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴) ,三角形面积可直接由面积公式得到; 三角形没有边在坐标轴上(或平行于坐标轴),利用“补形”或“割形”将三角形转化成有一边在坐标轴上的规则图形的面积之和或面积之差. 2、数学思想方法:数形结合,转化,方程 板块四:拓展训练 1、如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0), C(0,-4)三点。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC, 交BC于点E,连接CQ,求 CQE的面积最大值。 公式法 如图, ABC的边AB在x轴上,C在y轴上 y x O A C B 我们可以把 ABC的边 割补法 如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。P是抛物线的顶点. (3)求 PBC的面积。 板块一:例题分析,方法小结 E F 割法:令PC与x轴的交点为F, 补法:延长BP交y轴于点E,S PBC=S BCE-S EPC 变式一:如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点。点D是x轴上方的抛物线上一个动点,连结DC,DB,若 BCD的面积等于6,求点D的坐标。 板块二:变式训练、巩固提升 牛刀小试 1.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标; (3)设(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S PAB=8,并求出此时P点的坐标. 解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点, ∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3, ∴﹣1+3=﹣b, ﹣1 3=c, ∴b=﹣2,c=﹣3, ∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3. (2)∵y=﹣x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4, ∴抛物线的对称轴x=1,顶点坐标(1,﹣4). (3)设P的纵坐标为|yP|, ∵S PAB=8, ∴ AB•|yP|=8, ∵AB=3+1=4, ∴|yP|=4, ∴yP= 4, 把yP=4代入解析式得,4=x2﹣2x﹣3, 解得,x=1 2 把yP=﹣4代入解析式得,﹣4=x2﹣2x﹣3, 解得,x=1, ∴点P在该抛物线上滑动到(1+2 ,4)或(1﹣2 ,4)或(1,﹣4)时,满足S PAB=8.