精品解析：山东省 菏泽市牡丹区第二十二初级中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

九年级数学学情调研试题 一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 3. 如图，△ABC顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　） A B. C. D. 4. 一个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述四种气体的密度（kg/m3）与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 6. 如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论为（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ②③④ 8. 如图，中，，，点D在边上（与B，C不重合），以为边在右侧作正方形，过点F作，交的延长线于点N，连接，交于点P．给出以下结论：①；②四边形为矩形；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9. 若，则的值为______． 10. 已知关于x的方程有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且，则________． 11. 如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______． 12. 如图，⊙C过原点O并与坐标轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为__________． 13. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 14. 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________． 三、解答题（本大题共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算：； （2）解方程：． 16. 如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE． （1）求证：四边形ACEB是菱形； （2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． 17. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 18. 图1是放置在水平面上的可折叠式台灯；图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂BC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠ABC＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为23°时，台灯光线效果最佳．问：此时点D处到桌面的距离是多少？（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，取1.73）． 19. 实验数据显示，一般成人喝50毫升白酒后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）变化的图如图（图由线段与部分双曲线组成）所示，国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”不能驾车上路． （1）求线段和双曲线的函数表达式： （2）假设某驾驶员晚上22时家喝完50毫升白酒，第二天早上6点半能否驾车去上班？请说明理由． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 22. 如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学学情调研试题 一、选择题（本大题共8小题，共24分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2. 数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 黄球 C. 红球 D. 白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，计算出各种颜色的求出现的概率即可求解 【详解】解：由题意得：白球出现的概率为：；红球出现的概率为：；黄球出现的概率为：， ∵试验中该种颜色的球出现的频率稳定在附近， ∴该球的颜色最有可能是黄球， 故选：B 3. 如图，△ABC顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由网格图可得BC=AB=5，则有∠ACB=∠CAB，进而问题可求解． 【详解】解：由网格图可得： ，， ∴BC=AB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键． 4. 一个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述四种气体密度（kg/m3）与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实际问题与反比例函数的图象，根据的值即为该气体的质量即可求解． 【详解】解：由题意得：的值即为该气体的质量， 由图可知：描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两种气体的质量相同， ∵描述甲气体情况的点在反比例函数的图象下方，描述丙气体情况的点在反比例函数的图象上方， ∴甲气体的质量最小，丙气体的质量最大， 故选：A 5. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3， 在Rt△OAD中，OA=4，AD=3， ∴OD===， ∴CD=OC﹣OD=4﹣， 即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 6. 如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ①当点E为的中点时，如图， ∴， ②当点E为的四等分点时，如图所示： ∴， 综上所述：或2； 故选D． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确的结论为（ ） A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质依次进行判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 当时，， 即， 即，故①错误； 由图像可知，对称轴为直线， ， 即点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ，故②正确； 二次函数与有两个不同的交点，故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误； 函数经过，对称轴为直线， 故一定经过， 的x的取值范围为，故④正确； 故选B． 8. 如图，中，，，点D在边上（与B，C不重合），以为边在右侧作正方形，过点F作，交的延长线于点N，连接，交于点P．给出以下结论：①；②四边形为矩形；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、三角形的外交性质．根据正方形的性质得到，，利用定理证明，可判断①；根据全等三角形的性质得到，，根据矩形的判定定理判断②；根据三角形内角和定理判断③；证明，根据相似三角形的性质判断④． 【详解】解：四边形为正方形， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，故①正确； ∴，， ∴， ∴，，， ∴四边形为矩形，故②正确； ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论有4个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 9. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知关于x的方程有两个实数根，此方程两根分别为α，β，且，则________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．先根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于m的一元二次方程，结合即可得出结论． 【解答】解：∵关于x方程有两个实数根， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系，可得，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴． 故答案为： 11. 如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上， ∴ ∵四边形是面积为9的正方形， ∴，即，解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值． 12. 如图，⊙C过原点O并与坐标轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为__________． 【答案】（－1，）． 【解析】 【分析】连接AD，则AD为直径，根据同弧所对的圆周角相等，可得出∠OAD=60°，再根据点D的坐标为（0，2），即可得出点C的坐标． 【详解】解：连接AC，OC，作CE⊥OD于E，CF⊥AO于F， 因为OD=2，由垂径定理得：OF=，OE=AE， 因为∠OBA=30°，由圆周角定理得：∠ADO=∠OBA=30°， 所以∠OAD=60°，OA=OD=×2=2， ∴OE=1， 因为点C在第二象限， 所以点C的坐标为（－1，）． 故答案为：（－1，）． 【点睛】本题考查了圆周角定理、坐标与图形的性质、解直角三角形，是基础知识要熟练掌握． 13. 如图，一次函数的图象为直线l，菱形，、，…按图中所示的方式放置，顶点，，，，…均在直线l上，顶点O，，，…均在x轴上，则点的纵坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于推导一般性规律．根据菱形的性质，一次函数的性质，求出，，，推出的纵坐标为，即可． 【详解】解：如图， 当，，则， 当，，则， ∵菱形，菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为的中点，则， ∵菱形， ∴平分，， ∴，， 当，，则， 同理可求，， 当，，则， 同理可求，，…… ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是， 故答案为：． 14. 通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如果中，，那么顶角A的正对记作，这时=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，利用的正弦函数值，设出的长，根据勾股定理求出，最后根据的规定求值即可． 【详解】解：过点作于，如图所示， ， 设， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】此题是新定义运算题，主要考查了等腰三角形的定义、勾股定理和三角函数等知识，熟练掌握勾股定理、三角函数的定义以及新定义运算的规定是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程． （1）化简二次根式、代入特殊角的三角函数值、计算负整数指数幂、化简绝对值化简，再进行加减运算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ； （2） 由题意可得， ∵， ∴ ∴ 16. 如图，在ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作ADBC，CDAB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE． （1）求证：四边形ACEB是菱形； （2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积． 【答案】（1）见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）连接AE，交BC于点O，根据菱形的性质和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 ∵AD∥BC，CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC， ∵DC＝CE， ∴AB＝CE， ∵AB∥CD， ∴AB∥CE， ∴四边形ACEB是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴平行四边形ACEB是菱形； 【小问2详解】 如图，连接AE，交BC于点O， ∵四边形ACEB是菱形， ∴AE⊥BC， ∵AB＝4，BC＝6， ∴OB＝BC＝3， ∴OA＝， ∴AE＝2OA＝2， ∴S四边形ACEB． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形、菱形的判定方法是解决问题的关键． 17. 一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤． （1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是____________斤（用含的代数式表示）； （2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？ （3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少? 【答案】（1） （2）水果店需将每斤橘子的售价降低1元 （3）当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元 【解析】 【分析】本题考查二次函数解析式和一元二次方程的应用； （1）利用每天的销售量=降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量； （2）利用每天销售利润=每斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要保证每天至少售出220斤，即可确定x的值，进而可得出每斤的售价降低的钱数． （3）设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元，列出二次函数解析式，即可求解 【小问1详解】 由题意得：斤， 故答案为： 【小问2详解】 设：水果店需将每斤橘子的售价降低元，则每斤橘子售价为元，由题意得： ， 解之得：， 为保证每天至少售出220斤，即 水果店需将每斤橘子的售价降低1元． 【小问3详解】 设将这种橘子每斤的售价降低元，一天内获得的利润为元， 由题意得： 当时， 每斤橘子的售价为 答：当每斤橘子售价为5.2元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元 18. 图1是放置在水平面上的可折叠式台灯；图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂BC＝40cm，灯罩CD＝30cm，灯臂与底座构成的∠ABC＝60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为23°时，台灯光线效果最佳．问：此时点D处到桌面的距离是多少？（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42，取1.73）． 【答案】46.3cm 【解析】 【分析】过D作DH⊥AB于H，过C作CE⊥AB于E，作CF⊥DH于点F，解直角三角形求出EF和FH即可． 【详解】解：过D作DH⊥AB于H，过C作CE⊥AB于E，作CF⊥DH于点F， 则HF＝CE＝BC•sin60°＝40×＝20≈34.6（cm）， DF＝CD•sin∠DCF＝30sin23°≈11.7（cm）， ∴DH＝DF+FH＝34.6+11.7＝46.3（cm）， 答：点D处到桌面的距离是46.3cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 19. 实验数据显示，一般成人喝50毫升白酒后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）变化的图如图（图由线段与部分双曲线组成）所示，国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”不能驾车上路． （1）求线段和双曲线的函数表达式： （2）假设某驾驶员晚上22时在家喝完50毫升白酒，第二天早上6点半能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】（1）， （2）不能，理由见详解 【解析】 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【小问1详解】 解：依题意， 直线过，则设直线的解析式 把代入 解得 ∴， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 【小问2详解】 解：由得当时，， 从22时到第二天早上6点时间间距为8.5小时， ， 第二天早上不能驾车去上班． 20. 《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） （2）图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数； （2）根据（1）中所求数据，补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴一共调查了20人； ∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 故答案为： 【小问2详解】 补全图形如下： 【小问3详解】 用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分比求出总数，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 21. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析； 【解析】 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 22. 如图，抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D． （1）求该抛物线的解析式； （2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线的下方运动时，求的面积的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或或． 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． （1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得； （2）过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果； （3）分三种情况进行讨论分析：a．当四边形为平行四边形时，则，；b．当四边形为平行四边形时，则，；c．当四边形为平行四边形时，则，，利用平行四边形的性质及中点点坐标的性质求解即可． 【小问1详解】 将B、C两点分别代入解析式可得：， 解得： ∴函数的表达式为：； 小问2详解】 过点E作轴的平行线交于点， 设直线的解析式为， 将点B、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，面积有最大值，最大值为， 当时， ∴此时点E的坐标为． 【小问3详解】 如图：、E，设，， a．当四边形为平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 b．当四边形为平行四边形时， 则，， 则， 即 ， 当时， 所以 c．当四边形平行四边形时， 则，， ， 即 解得 当时， 所以 所以，符合题意的点P有或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$