精品解析：黑龙江省方正县高楞高级中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023—2024学年度下学期高中期末考试卷 高二数学 2024.7 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：选择性必修第二册（第5章导数），选择性必修第三册，一轮复习：集合与常用逻辑用语、不等式、函数概念、单调性、周期性、奇偶、对称性． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个集合中的元素，进行交并补的运算并判断包含关系. 【详解】集合，， ，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确． 故选：D. 2. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数列方程来求得的值. 【详解】，，，解得． 故选：C 3. 已知的展开式中的系数为40，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先变形得，然后利用二项式展开式的通项公式求出的系数即可. 【详解】由题意可得， 在的展开式中，由， 令无解，即的展开式没有项； 在的展开式中，由， 令解得，即的展开式中的项的系数为，又的系数为40，所以，解得. 故选：B 4. “学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ） A. 216种 B. 108种 C. 72种 D. 54种 【答案】A 【解析】 【分析】分三步完成，利用分步乘法计数原理求解. 【详解】第一步从3篇文章中选2篇全排列，共有种方法，第二步从4个音频中选2个，共有种方法，第三步将2篇文章捆绑，再与已选取的2个音频进行全排列，共种方法，故所求的总方法数为（种）. 故选：A． 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用特例法判断AB；利用指数函数的单调性判断C；利用幂函数的单调性判断D. 【详解】时，不成立，A不正确； 时，不成立，B不正确； 因为在上递增，所以，若 则，C不正确； 因为在上递增，所以，若 则，D正确. 故选：D. 6. 已知函数（）的最大值为，函数的最小值为，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：因为函数（）的最大值为，函数（）的最小值为， 若则，故充分性成立； 若，，，显然满足，但是，，不满足，故必要性不成立； 故选：A 7. 已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状，求出，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件该家族某位成员出现性状，事件该家族某位成员出现性状， 则，，，则， 又因为，则， 故所求概率为. 故选：B. 8. 已知函数，若成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论． 【详解】不妨设，即， 则，即，，故， 令，则， 令，则，得在上是减函数， 即在上是减函数，且， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减 即当时，取得极大值同时也是最大值， 此时，即的最大值为. 故选：D 【点睛】方法点睛：设，把表示成关于t的函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若“，”为假命题，则实数的取值可以为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成即在恒成立，令，利用其单调性，求出的最大值，即可求解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以，恒成立，即在恒成立， 所以且． 令，易知在上是增函数， 所以，所以． 故选：ABC． 10. 在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D. 学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理、排列数和组合数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意， B. 若，且，则对任意， C. 当时，需要作2条切线即可确定的值 D. 无论在上取任何有理数都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊情况判断选项A；求出曲线在处的切线方程与轴的交点横坐标，即可判断选项B；求出，，即可判断选项C、D 【详解】A，因为，则， 设，则切线方程为， 切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误； B，处的切线方程为， 所以与轴的交点横坐标为，故B正确； C，因为，， 所以两条切线可以确定的值，故C正确； D，由选项C可知，，所以无论在上取 任何有理数都有，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知狄利克雷函数，则___________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可得出． 【详解】解：因为函数 所以，当时，， 故； 当时，，故； 综上，； 故答案为： 【点睛】本题主要考查对函数概念的理解，正确理解分段函数的意义是解题的关键． 13. 已知随机变量，若，则_________． 【答案】0.75 【解析】 【分析】由正态分布得，，代入即可得出答案. 【详解】由对称性知：，. 所以答案为：0.75. 14. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及切线方程可得，由“1”的技巧及均值不等式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为，则， ∴，∴． ∵， ∴原式，当且仅当，即时等号成立， 即． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性以及时的表达式，即可求出函数的解析式； （2）利用（1）中的解析式可画出函数图象，由函数与方程的思想利用数形结合即可求得的取值范围是． 【小问1详解】 令，则，又是定义在上的奇函数， 所以可得． 又， 故函数的解析式为 【小问2详解】 根据题意作出的图象如下图所示： ，， 若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根， 所以函数与有三个不同的交点， 由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点． 故的取值范围是． 16. 2021年，为降低疫情传播风险，保障经济社会良好运行，各地区鼓励外来务工人员就地过节、过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人员数与就地过年的人员数，得到如下的表格： A区 B区 C区 D区 外来务工人员数/万人 3 4 5 6 就地过年的人员数/万人 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程． （2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的人每人发放1000元补贴．若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区选择就地过年的人员发放的补贴总金额； 参考公式：回归方程中斜率和截距的公式分别为，． 【答案】（1） （2）（万元） 【解析】 【分析】（1）利用公式求出和，得到线性回归方程； （2）在第一问的基础上，代入求出，从而估计该市政府需给区选择就地过年的人员发放补贴总金额. 【小问1详解】 ，， ，， 所以，，则， 故关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 将代入得：， 估计该市政府需给区选择就地过年的人员发放补贴总金额为（万元）. 17. 为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表： 不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计 男生 女生 合计 （1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关； （2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】（1） 不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计 男生 女生 合计 有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联 （2） 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断； （2）随机变量的取值可以是，，，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望. 【小问1详解】 根据列联表中的数据， ， 所以有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联． 【小问2详解】 抽取的人中，有人不适应寄宿生活，有人适应寄宿生活， 故随机变量的取值可以是，，， ，，， 随机变量的分布列如下： 因此，． 18. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率； （参考数据：若随机变量，则， （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）. 【答案】（1）； （2）； （3）证明： 由题可知， 遥控车移到第格有两种可能： ①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为； ②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为， ∴， ∴时，，又∵， ∴当时，数列首项为，公比为的等比数列. 参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元. 【解析】 【分析】（1）利用直方图求平均值的公式即得； （2）利用正态分布的性质求解即可； （3）由题可得，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出的表达式，由此得到，，设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0，分别求出或0的概率，然后求出期望即可. 【小问1详解】 估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为： ； 【小问2详解】 ∵， ∴. 【小问3详解】 数列首项为，公比为的等比数列,证明略. ∴， 以上各式相加，得， ∴时，， ∴到达“胜利大本营”的概率， ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0， ∴的期望， ∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元 19. 已知. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 当时，，由（1）知，在单调递增，在单调递减，所以 ，所以在区间上存在零点， 因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点； 因为，所以在区间上存在零点， 因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点. 所以，函数有且仅有两个零点. 不妨设. 要证，只需证明， 因为在，e）单调递增且，所以只需证明 ，又，只需证明 设， ， 当时，， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以成立.故有. 【解析】 【分析】（1）分类讨论并利用导数去判定函数的单调性即可解决； （2）构造新函数并利用导函数与函数单调性的关系去证明转化后的不等式即可解决. 【小问1详解】 的定义域为. 当时，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 故在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度下学期高中期末考试卷 高二数学 2024.7 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：选择性必修第二册（第5章导数），选择性必修第三册，一轮复习：集合与常用逻辑用语、不等式、函数概念、单调性、周期性、奇偶、对称性． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知的展开式中的系数为40，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 4. “学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目．假设在这些栏目中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频．一位学习者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（ ） A. 216种 B. 108种 C. 72种 D. 54种 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）的最大值为，函数的最小值为，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知某家族有、两种遗传性状，该家族某位成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，、两种遗传性状都不出现的概率为．则该成员在出现性状的条件下，出现性状的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若“，”为假命题，则实数的取值可以为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D. 学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意， B. 若，且，则对任意， C. 当时，需要作2条切线即可确定的值 D. 无论在上取任何有理数都有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知狄利克雷函数，则___________. 13. 已知随机变量，若，则_________． 14. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是_________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）若函数在上有三个零点，求的取值范围． 16. 2021年，为降低疫情传播风险，保障经济社会良好运行，各地区鼓励外来务工人员就地过节、过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人员数与就地过年的人员数，得到如下的表格： A区 B区 C区 D区 外来务工人员数/万人 3 4 5 6 就地过年的人员数/万人 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程． （2）假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的人每人发放1000元补贴．若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区选择就地过年的人员发放的补贴总金额； 参考公式：回归方程中斜率和截距的公式分别为，． 17. 为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表： 不适应寄宿生活 适应寄宿生活 合计 男生 女生 合计 （1）请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关； （2）从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望． 附：，其中． 18. 某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率； （参考数据：若随机变量，则， （3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）. 19. 已知. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：函数有且仅有两个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $