第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 【考点】一元二次方程的一般形式．版权所有 【答案】D 【分析】方程化为一般形式后，找出常数项即可． 【解答】解：方程整理得：x2﹣3x﹣2x+6＝1， 即x2﹣5x+5＝0， 则常数项为5． 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）． 2．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 【考点】一元二次方程的解．版权所有 【答案】B 【分析】根据题意把x＝2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项． 【解答】解：∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的一个根， ∴把x＝2代入得：22+2a﹣3a＝0， 解得：a＝4． 故选：B． 【点评】本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键． 3．延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】D 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣5＝0， ∴x2﹣4x＝5， 则x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9， ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3， 解得x1＝5，x2＝﹣1， 所以错误的是小赵， 故选：D． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 4．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【考点】解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【答案】A 【分析】根据公式法解一元二次方程的步骤对各选项逐项判断即可． 【解答】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意； B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意； C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意； D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是记住公式法解方程． 5．已知（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）＝12，则a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣4 C．±4 D．±2 【考点】换元法解一元二次方程；平方差公式．版权所有 【答案】C 【分析】利用平方差公式得到（a﹣b）2，即可求解． 【解答】解：由（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）＝12可得（a﹣b）2﹣4＝12， 解得（a﹣b）2＝16， 解得a﹣b＝±4， 故选：C． 【点评】此题考查了平方差公式的应用，以及求平方根，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 6．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．版权所有 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣1且k≠0． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 7．苍源河公园结合临沭的文化和地域特色，为临沭打造了一片集运动、休闲、游憩、文化体验为一体的滨水空间．该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，设第二、三季度投入资金的平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　） A．0.4x2＝0.6 B．0.4（1+2x）＝0.6 C．0.4（1+x）2＝0.6 D．0.4（1+x2）＝0.6 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【答案】C 【分析】设第二、三季度投入资金的平均增长率为x，根据该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入 资金0.6亿元，列出方程即可． 【解答】解：设第二、三季度投入资金的平均增长率为x， 则0.4（1+x）2＝0.6． 故选：C． 【点评】此题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 8．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系，可得出ab和a+b的值，再代入即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根， ∴ab＝﹣3，a+b＝2， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 9．已知a，b，c为实数，且b+c＝5﹣4a+3a2，c﹣b＝1﹣2a+a2，则a，b，c之间的大小关系是（　　） A．a＜b≤c B．b＜a≤c C．b≤c＜a D．c＜a≤b 【考点】配方法的应用；不等式的性质；非负数的性质：偶次方．版权所有 【答案】A 【分析】由题意b+c＝5﹣4a+3a2①，c﹣b＝1﹣2a+a2②可知，①+②得2c＝4a2﹣6a+6，即c＝2a2﹣3a+3，①﹣②得2b＝2a2﹣2a+4，即b＝a2﹣a+2．再用作差法进行比较a、b、c的大小．b﹣a＝a2﹣a+2﹣a＝（a﹣1）2+1＞0，c﹣b＝2a2﹣3a+3﹣（a2﹣a+2）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0，因此a＜b≤c． 【解答】解：∵b+c＝5﹣4a+3a2①，c﹣b＝1﹣2a+a2②， ∴①+②得2c＝4a2﹣6a+6，即c＝2a2﹣3a+3， ∴①﹣②得2b＝2a2﹣2a+4，即b＝a2﹣a+2． ∵b﹣a＝a2﹣a+2﹣a＝（a﹣1）2+1＞0， ∴b＞a． 又∵c﹣b＝2a2﹣3a+3﹣（a2﹣a+2）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0， ∴c≥b， ∴a＜b≤c． 故选：A． 【点评】此题考查的是用作差的方法比较大小，掌握完全平方公式是解题的关键． 10．某市2022年有人口a万人，2023年人口增长率大约为5%，预计2024年人口增长率为7%．若设2023、2024年的平均增长率为x，则（　　） A．x＝6% B．x＞6% C．x＜6% D．不能确定 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】C 【分析】根据题意可得等量关系为：2012年的人口数×（1+增长率）2＝2014年的人口数，把相关数值代入即可列出方程． 【解答】解：依题意得 a（1+x）2＝a（1+5%）（1+7%）， 整理，得 （1+x）2＝（1+5%）（1+7%）＝1.1235， ∵（1+6%）（1+6%）＝1.1236＞1.1235， ∴x＜6%． 故选：C． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是 　2027　． 【考点】一元二次方程的解；完全平方公式；分式的加减法．版权所有 【答案】2027． 【分析】根据题意可得：a2+a﹣1＝0，从而可得a﹣＝﹣1，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根， ∴a2+a﹣1＝0， ∴a+1﹣＝0， ∴a﹣＝﹣1， ∴（a﹣）2＝1， ∴a2﹣2+＝1， ∴a2+＝3， ∴＝2024+3＝2027， 故答案为：2027． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 　﹣11　． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．版权所有 【答案】﹣11． 【分析】利用一元二次方程根的定义，把x＝a代入一元二次方程得到a2﹣3a+2＝0，即a2﹣3a＝﹣2，代入4a2﹣12a﹣3＝4（a2﹣3a）﹣3即可求解． 【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣3x+2＝0得a2﹣3a+2＝0， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴4a2﹣12a﹣3 ＝4（a2﹣3a）﹣3 ＝4×（﹣2）﹣3 ＝﹣11． 故答案为：﹣11． 方法二：x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x＝2或x＝1， ∴a＝2或1， ∴4a2﹣12a﹣3＝﹣11． 故答案为：﹣11． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝　2　． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】2． 【分析】利用完全平方公式由x1x2＝x1+x2得到m2+2＝2（m+1），即m2﹣2m＝0，解方程即可求得m1＝0，m2＝2．利用判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）≥0，然后解不等式求得m≥，即可求得m的值是2． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2， ∴x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+2， ∵x1x2＝x1+x2， ∴m2+2＝2（m+1），即m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2． ∵Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+2）≥0， ∴8m﹣4≥0， ∴m≥， 故m的值是2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了根的判别式． 14．如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x•（★）＝50，则★表示的代数式为 　（17﹣2x）　． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【答案】（17﹣2x）． 【分析】确定平行于墙的一边与x的关系即可求解． 【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（16﹣2x+1）， 即为：（17﹣2x）． 故答案为：（17﹣2x）． 【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，找出数量关系是解答本题的关键． 15．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　±3或﹣5　． 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2﹣9＝0， 解得k＝±3， ②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0 解得：k＝﹣5． 故答案为±3或﹣5． 【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题． 三．解答题（共8小题） 16．（10分）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）x2﹣4＝3（x+2）． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】（1），； （2）x1＝﹣2，x2＝5． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝7， ∴． ∴，． （2）x2﹣4＝3（x+2）， （x+2）（x﹣2）﹣3（x+2）＝0， （x+2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴x+2＝0，或x﹣5＝0． ∴x1＝﹣2，x2＝5． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的不同结构特点，选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键． 17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【答案】（1）； （2）m＝2． 【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，求出不等式的解集即可； （2）将转化为2m2+4m﹣1＝15，再代入计算即可解答． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝4m﹣3≥0， 解得：， 即m的取值范围是； （2）∵x1+x2＝﹣（2m+1），， ∴， ∵， ∴2m2+4m﹣1＝15，即m2+2m﹣8＝0， 解得m＝2或m＝﹣4． ∵， ∴m＝2． 故m的值为2． 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于m的一元二次方程． 18．（8分）2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】（1）25%； （2）60元． 【分析】（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用该款吉祥物摆件6月份的销售量＝该款吉祥物摆件4月份的销售量×（1+该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该吉祥物摆件售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣45）元，月销售量为（1680﹣20y）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：192（1+x）2＝300， 解得：x1＝0.25＝25%，x＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该吉祥物摆件售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣45）元，月销售量为300+20（69﹣y）＝（1680﹣20y）件， 根据题意得：（y﹣45）（1680﹣20y）＝7200， 整理得：y2﹣129y+4140＝0， 解得：y1＝60，y2＝69（不符合题意，舍去）． 答：当该吉祥物摆件售价为60元时，月销售利润达7200元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值． 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】m的值为2． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围； （2）由题意可得n＝1，设该方程的根是a，3a，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣n）＝4m2﹣4m2+4n＞0， ∴n＞0； （2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0， ∴n＝1， ∴原方程为：x2﹣2mx+m2﹣1＝0， 设该方程的根是a，3a， ∴a+3a＝2m，a•3a＝m2﹣1， 解得a＝1，m＝2或a＝﹣1，m＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴m的值为2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 20．（9分）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8 ＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1， ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）2﹣1≥﹣1， 即a2+6a+8的最小值为﹣1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　． （2）求﹣x2+4x+5的最大值． （3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有 【答案】（1）4； （2）9； （3）x+y＝﹣1． 【分析】（1）根据完全平方式结构直接添加常数项即可求解． （2）利用配方法配方即可解决问题； （3）利用配方法配方，然后求出最大值． 【解答】解：（1）根据题意，直接计算a2+4a+4＝（a+2）2； ∴故答案为：4． （2）﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+5 ＝﹣（x﹣2）2+9， ∵（x﹣2）2≥0 ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴﹣（x﹣2）2+9≤9， 即﹣x2+4x+5的最大值为9． （3）原式可化为x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0， 即（x﹣1）2+（y+2）2＝0， ∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴x+y＝﹣1． 【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是掌握配方法解决问题． 21．（8分）关于x的方程，x2﹣2（m+1）x+m2+11＝0的两个实数根为x1、x2． （1）若等腰三角形，△ABC其中两边的长度为x1、x2，且另一边的边长为6，求△ABC的周长； （2）若，求m的值 【考点】根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质；绝对值；根的判别式．版权所有 【答案】（1）△ABC的周长为18或22； （2）m＝5或． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，据此建立关于m的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出x1+x2与x1x2的值，利用条件可得到关于m的方程，可求得m的值． 【解答】解：（1）∵x2﹣2（m+1）x+m2+11＝0的两个实数根为x1、x2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+11）≥0， 解得：m≥5， 当x1＝x2时，m＝5， 则x2﹣12x+36＝0， 解得：x1＝x2＝6， ∵等腰三角形△ABC其中两边的长度为 x1、x2，且另一边的边长为6， ∴周长为6+6+6＝18， 当x1≠x2，则有一个根为x＝6， ∴62﹣2（m+1）×6+m2+11＝0， 解得：m＝7或m＝5（舍去）， ∴原方程为x2﹣16x+60＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， ∴△ABC的周长为6+6+10＝22， 综上所述，△ABC的周长为18或22； （2）∵x2﹣2（m+1）x+m2+11＝0的两个实数根为x1、x2， ∴， 又∵m≥5， ∴2（m+1）＞0，m2+11＞0， ∴2|x1|﹣2|x2|+2x1x2＝2x1﹣2x2+2x1x2 ＝2（x1﹣x2）+2x1x2， ∵， ∴， ∴x1﹣x2＝0或x1﹣x2＝2， 由（1）可得，当x1﹣x2＝0时，m＝5， 当x1﹣x2＝2时， ∴， ∴4＝[2（m+1）]2﹣4（m2+11）， 解得：， 综上所述，m＝5或． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、绝对值、三角形三边关系、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．（12分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 　（72﹣3x）　m； （2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽． （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】（1）（72﹣3x）； （2）自行车车棚的长为57m，宽为5m； （3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由见解析． 【分析】（1）由题意即可得出结论； （2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m，根据车棚面积为285m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m，根据围成面积为450m2的自行车车棚，列出一元二次方程，然后根据根的判别式即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意可知，BC＝70﹣2（x﹣1）﹣x＝（72﹣3x）（m）， 故答案为：（72﹣3x）； （2）设车棚宽度AB的长为x m，则车棚长度BC为（72﹣3x）m， 由题意得：x（72﹣3x）＝285， 整理得：x2﹣24x+95＝0， 解得：x1＝5，x2＝19（不符合题意，舍去）， ∴72﹣3x＝72﹣3×5＝57， 答：自行车车棚的长为57m，宽为5m； （3）不能围成面积为450m2的自行车车棚，理由如下： 设车棚宽度AB的长为y m，则车棚长度BC为（72﹣3y）m， 由题意得：y（72﹣3y）＝450， 整理得：y2﹣24y+150＝0， ∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0， ∴原方程无解， ∴不能围成面积为450m2的自行车车棚． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（12分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）根据PQ＝5，利用勾股定理BP2+BQ2＝PQ2，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2． 【解答】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6 ×（5﹣x）×2x＝6 整理得：x2﹣5x+6＝0 解得：x＝2或x＝3 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 （2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2， ∴（5﹣t）2+（2t）2＝52， 5t2﹣10t＝0， t（5t﹣10）＝0， t1＝0（舍弃），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm． （3）设经过x秒以后△PBQ面积为8， ×（5﹣x）×2x＝8 整理得：x2﹣5x+8＝0 △＝25﹣32＝﹣7＜0 ∴△PQB的面积不能等于8cm2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝1化为一般形式后，常数项为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 2．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D． 3．延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 4．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 5．已知（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）＝12，则a﹣b的值为（　　） A．2 B．﹣4 C．±4 D．±2 6．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 7．苍源河公园结合临沭的文化和地域特色，为临沭打造了一片集运动、休闲、游憩、文化体验为一体的滨水空间．该项目2023年第一季度共投入资金0.4亿元，第三季度共投入资金0.6亿元，设第二、三季度投入资金的平均增长率为x，则依题意可列方程为（　　） A．0.4x2＝0.6 B．0.4（1+2x）＝0.6 C．0.4（1+x）2＝0.6 D．0.4（1+x2）＝0.6 8．已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．﹣1 B．﹣5 C．﹣6 D．6 9．已知a，b，c为实数，且b+c＝5﹣4a+3a2，c﹣b＝1﹣2a+a2，则a，b，c之间的大小关系是（　　） A．a＜b≤c B．b＜a≤c C．b≤c＜a D．c＜a≤b 10．某市2022年有人口a万人，2023年人口增长率大约为5%，预计2024年人口增长率为7%．若设2023、2024年的平均增长率为x，则（　　） A．x＝6% B．x＞6% C．x＜6% D．不能确定 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是 　 　． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 　 　． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个根为x1，x2，且x1x2＝x1+x2，则m＝　 　． 14．如图所示，某农户用16m长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长10m），且面积为50m2的长方形花园，垂直于住房墙的一条边留有一个1m宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为x m，若可列方程为x•（★）＝50，则★表示的代数式为 　 　． 15．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）x2﹣4＝3（x+2）． 17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值． 18．（8分）2023年杭州亚运会文创产品热销，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”凭借时尚可爱的形象更是“圈粉”无数．某商店以每件45元的价格购进某款亚运会吉祥物摆件，以每件69元的价格出售．经统计，4月份的销售量为192件，6月份的销售量为300件． （1）求该款吉祥物摆件4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达7200元？ 19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣n＝0有两个不相等的实数根． （1）求n的取值范围； （2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值． 20．（9分）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8 ＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1， ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）2﹣1≥﹣1， 即a2+6a+8的最小值为﹣1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　． （2）求﹣x2+4x+5的最大值． （3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值． 21．（8分）关于x的方程，x2﹣2（m+1）x+m2+11＝0的两个实数根为x1、x2． （1）若等腰三角形，△ABC其中两边的长度为x1、x2，且另一边的边长为6，求△ABC的周长； （2）若，求m的值 22．（12分）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度AB为x m，则车棚长度BC为 　 　m； （2）若车棚面积为285m2，试求出自行车车棚的长和宽． （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为450m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23．（12分）已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$