第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 考试时间：100分钟，满分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 2．若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16 3．对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 4．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 5．已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）＝15，则x2+y2的值为（　　） A．﹣7或1 B．1 C．﹣7 D．7或﹣1 6．若方程mx2﹣8x+6＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．且m≠0 B． C．m D．m≤3且m≠0 7．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．5+5x+52＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 8．关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号，则k满足的条件是（　　） A．k＜1 B．﹣1≤k＜1 C．k＜0 D．﹣1≤k＜0 9．已知xy＝﹣9，则x2+4x+y2﹣4y+10的最小值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 10．取一张长与宽之比为7：2的矩形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的矩形形状的包装盒．要使包装盒的容积为240cm3（纸板的厚度略去不计），问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为7x厘米，则由题意可列出的方程是（　　） A．5（7x+10）（2x﹣10）＝240 B．5（7x+10）（2x+10）＝240 C．5（7x﹣10）（2x+10）＝240 D．5（7x﹣10）（2x﹣10）＝240 评卷人 得 分 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则m2+2m+n＝　 　． 12．用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为 　 　； 13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2ax+a+3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　 　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 15．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，则+x2﹣2025＝　 　． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝5； （2）用配方法解方程：． 17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 18．（9分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 700 500 … （1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价． （3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由． 19．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 20．（8分）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 21．（9分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　 　cm，宽为 　 　cm； （2）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 22．（11分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有 　 　； ①2x﹣2＝0； ②2x2+x﹣1＝0； ③|x﹣2|＝1． （2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，求该直线解析式； （3）已知x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围． 23．（12分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 考试时间：100分钟，满分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于x的方程是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．4 【考点】一元二次方程的定义．版权所有 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义得出a2﹣2＝2且a﹣2≠0，再求出a即可． 【解答】解：根据“关于x的方程是一元二次方程”得到：a2﹣2＝2且a﹣2≠0， 解得a＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a2﹣2＝2且a﹣2≠0是解此题的关键． 2．若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（　　） A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16 【考点】一元二次方程的解；代数式求值．版权所有 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2024m﹣1＝0，变形得出m2﹣2024m＝1，然后整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意可得：m2﹣2024m﹣1＝0， ∴m2﹣2024m＝1， ∴（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4） ＝（1﹣4）（1+4） ＝﹣3×5 ＝﹣15． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程定义是关键． 3．对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【考点】根的判别式；实数的运算．版权所有 【答案】A 【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0， ∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0， ∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键． 4．用公式法解方程4y2＝12y+3，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【考点】解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【答案】C 【分析】根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式． 【解答】解：∵4y2＝12y+3 ∴4y2﹣12y﹣3＝0 ∴a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3 ∴b2﹣4ac＝192 ∴y＝＝．故选：C． 【点评】解题时要注意审题，采用公式法时首先要将方程化简为一般式． 5．已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）＝15，则x2+y2的值为（　　） A．﹣7或1 B．1 C．﹣7 D．7或﹣1 【考点】换元法解一元二次方程．版权所有 【答案】B 【分析】设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t+4）＝15，利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：设t＝x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t+4）＝15， 整理，得（t+7）（t﹣1）＝0． 所以t+7＝0或t﹣1＝0． 解得t＝﹣7（舍去）或t＝1． 所以x2+y2的值为1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 6．若方程mx2﹣8x+6＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．且m≠0 B． C．m D．m≤3且m≠0 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于m的不等式即可解决问题． 【解答】解：因为方程mx2﹣8x+6＝0有两个不相等的实数根， 所以（﹣8）2﹣24m＞0，且m≠0， 解得m＜且m≠0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（　　） A．5+5x+52＝20 B．5（1+x）2＝20 C．5（1+x）3＝20 D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝20 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【答案】D 【分析】根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约5（1+x）亿元、第三周票房约5（1+x）2亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为x， ∴第二周票房约5（1+x）亿元，第三周票房约5（1+x）2亿元． 依题意得：5+5（1+x）+5（1+x）2＝20． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号，则k满足的条件是（　　） A．k＜1 B．﹣1≤k＜1 C．k＜0 D．﹣1≤k＜0 【考点】根与系数的关系；根的判别式．版权所有 【答案】D 【分析】由方程的两实数根异号，可得出两根之积小于零，再利用二次根式的被开方数非负及Δ＞0即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的方程x2+2x+2k＝0的两实根异号， 所以且， 解得k＜0． 又因为k+1≥0， 所以k≥﹣1， 综上所述，k满足的条件是：﹣1≤k＜0． 故选：D． 【点评】本题考查根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 9．已知xy＝﹣9，则x2+4x+y2﹣4y+10的最小值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有 【答案】D 【分析】利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【解答】解：x2+4x+y2﹣4y+10＝（x+2）2+（y﹣2）2+2 因为（x+2）2≥0，（y﹣2）2≥0， xy＝﹣9， 所以当 x＝﹣3，y＝3时， 原式有最小值4， 故选：D． 【点评】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用配方法对原式进行变形． 10．取一张长与宽之比为7：2的矩形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形（如图），并用它做一个无盖的矩形形状的包装盒．要使包装盒的容积为240cm3（纸板的厚度略去不计），问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为7x厘米，则由题意可列出的方程是（　　） A．5（7x+10）（2x﹣10）＝240 B．5（7x+10）（2x+10）＝240 C．5（7x﹣10）（2x+10）＝240 D．5（7x﹣10）（2x﹣10）＝240 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【答案】D 【分析】根据题意设这张长方形纸板的长为7x cm，宽为2x cm，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设这张长方形纸板的长为7x cm，宽为2x cm，根据题意可得： 5（7x﹣10）（2x﹣10）＝240； 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．设m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根，则m2+2m+n＝　2　． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】2． 【分析】根据根与系数的关系可知m+n＝﹣1，又知m是方程的根，所以可得m2+m＝3，最后可将m2+2m+n变成m2+m+（m+n），最终整体代入可得答案． 【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根， ∴m+n＝﹣1， ∵m是原方程的根， ∴m2+m﹣3＝0，即m2+m＝3， ∴m2+2m+n＝m2+m+（m+n）＝3+（﹣1）＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则，，掌握此性质是解题关键． 12．用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0时，将它化为（x+m）2＝n的形式，则m﹣n的值为 　﹣3　； 【考点】解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】﹣3． 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值，然后计算m﹣n的值． 【解答】解：x2+6x+3＝0， x2+6x＝﹣3， x2+6x+9＝6， （x+3）2＝6， 所以m＝3，n＝6， 所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．﹣ 13．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2ax+a+3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　a＜且a≠1　． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．版权所有 【答案】a＜且a≠1． 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a﹣1≠0且Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）×（a+3）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得a﹣1≠0且Δ＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）×（a+3）＞0， 解得a＜且a≠1． 故答案为：a＜且a≠1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　4或6　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】4或6． 【分析】过E作EH⊥AC于H，设运动时间为t s，根据△AEF的面积恰为12cm2，得t（10﹣t）＝12，即可解得答案． 【解答】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EH＝AE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关线段的长度． 15．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，则+x2﹣2025＝　﹣1　． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】﹣1． 【分析】由x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，可得x1+x2＝1，＝x1+2023，再代入计算即可． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根， ∴﹣x1﹣2023＝0，x1+x2＝1， ∴＝x1+2023， ∴+x2﹣2025 ＝x1+2023+x2﹣2025 ＝1+2023﹣2025 ＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的概念和根与系数的关系． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解下列方程： （1）（x+1）（x﹣3）＝5； （2）用配方法解方程：． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．版权所有 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2； （2），． 【分析】（1）先将原方程进行化简整理得：x2﹣2x﹣8＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）（x+1）（x﹣3）＝5， 整理得：x2﹣2x﹣8＝0， （x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， x1＝4，x2＝﹣2； （2）， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+2＝4+2， ， x﹣＝±， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0． （1）从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． （2）若这个方程无实数根，求a的取值范围． 【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．版权所有 【答案】（1）a＝2，x1＝2，x2＝1； （2）． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到判别式大于等于0，从而列出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后再从已知的三个数中选择符合条件的数，最后解方程即可； （2））根据一元二次方程无实数根得到判别式小于0，从而列出关于a的不等式，求出a的取值范围 【解答】解：（1）∵若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有实数根， 则Δ＝b2﹣4ac≥0， （﹣3）2﹣4×1×a≥0， 9﹣4a≥0， ﹣4a≥﹣9， ， ∴当a＝2或1时，这个方程有实数根， 当x＝2时，原方程为：x2﹣3x+2＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， x1＝2，x2＝1； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0无实数根， 则Δ＝b2﹣4ac＜0， （﹣3）2﹣4a＜0， 9﹣4a＜0， ﹣4a＜﹣9， ． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用判别式判断一元二次方程根与系数的关系． 18．（9分）近年来，电商平台直播带货成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的读书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前几天的销售发现，该书每天的销售量y（本）与销售单价x（元/本）之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如表： x（元/本） … 15 25 … y（本） … 700 500 … （1）根据表格提供的数据，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）若销售该书每天的利润为6000元，求该书的销售单价． （3）销售该书每天的利润能否达到9000元？请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列方程，解方程即可求解； （3）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列方程，解方程即可得到结论． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， 将（15，700）、（25，500）代入上式，得， ， 解得， ∴y＝﹣20x+1000（10≤x≤30）； （2）依题意有：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝6000， 解得：x1＝20，x2＝40， ∵10≤x≤30， ∴x＝20； 答：该书的销售单价20元； （3）销售该书每天的利润不能达到9000元．理由如下： 根据题意得：（x﹣10）（﹣20x+1000）＝9000， 整理得x2﹣60x+950＝0， ∵Δ＝602﹣4×1×950＝﹣200＜0， ∴该方程没有实数根， ∴销售该书每天的利润不能达到9000元． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 19．（8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围； （2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值． 【解答】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k﹣1≠0， ∴k≠1且Δ＝﹣12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2＝0， ∴， ∴， 又∵且k≠1 ∴k不存在． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 20．（8分）阅读材料，解答问题． 解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0． 解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y， 则原方程可化为y2﹣10y+24＝0． 解得y1＝6，y2＝4． ∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4． ∴，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程：（1）x4﹣x2﹣6＝0； （2）（x2﹣2x）2﹣5x2+10x﹣6＝0． 【考点】换元法解一元二次方程；解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【答案】（1），； （2），，x3＝x4＝1． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值； （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0，然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用公式法求得x的值． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0， 整理，得（y﹣3）（y+2）＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣2． 当y＝3时，即x2＝3， ∴； 当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解． ∴原方程的解为，． （2）设x2﹣2x＝y，则原方程可化为y2﹣5y﹣6＝0， 整理，得（y﹣6）（y+1）＝0， 解得y1＝6，y2＝﹣1． 当y＝6时，即x2﹣2x＝6， 解得，； 当y＝﹣1时，即x2﹣2x＝﹣1， 解得x3＝x4＝1． 综上所述，原方程的解为，，x3＝x4＝1． 【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 21．（9分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为 　26　cm，宽为 　12　cm； （2）若纸盒的底面积为240cm2，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，请计算剪去的正方形的边长． 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【答案】（1）26，12； （2）剪去的正方形的边长为3cm； （3）剪去的正方形的边长为2cm． 【分析】（1）由题意列式计算即可； （2）设剪去的正方形的边长为x cm，根据纸盒的底面积为240cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设剪去的正方形的边长为y cm，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为412cm2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，30﹣2﹣2＝26（cm），16﹣2﹣2＝12（cm）， 即纸盒底面长方形的长为26cm，宽为12cm， 故答案为：26，12； （2）设剪去的正方形的边长为x cm， 根据题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240， 解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝3， 答：剪去的正方形的边长为3cm； （3）设剪去的正方形的边长为y cm， 根据题意得：， 解得：y1＝﹣17（不符合题意，舍去），y2＝2， 答：剪去的正方形的边长为2cm． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（11分）若关于x的方程有一个解为x＝1，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：x2﹣x＝0有解x＝1，所以x2﹣x＝0为“明一方程”． （1）下列方程是“明一方程”的有 　①③　； ①2x﹣2＝0； ②2x2+x﹣1＝0； ③|x﹣2|＝1． （2）已知直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△AOB＝6，且当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，求该直线解析式； （3）已知x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a＞b＞c）的两个根，试求|x1﹣x2|的取值范围． 【考点】根与系数的关系；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程；一元二次方程的解．版权所有 【答案】（1）①③；（2）y＝（9﹣6）x﹣3+6或y＝（9+6）x﹣3﹣6或y＝﹣3x+6；（3）＜|x1﹣x2|＜3． 【分析】（1）依据题意，根据“明一方程”定义逐个计算即可判断得解； （2）依据题意，由当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”，从而可得k＝3﹣b，再由S△AOB＝OA•OB＝×|﹣|×|b|＝6，进而求出k，b即可判断得解； （3）依据题意，由ax2+bx+c＝0为“明一”方程，则方程必有一个根是x＝1，故a+b+c＝0，结合a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，且a＞﹣a﹣c＞c，可得﹣2＜＜﹣，又x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0的两个根，从而其中一个是x＝1，而另一个为x＝＜0，故|x1﹣x2|＝1﹣，再由﹣2＜＜﹣，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）解方程2x﹣2＝0得x＝1， ∴2x﹣2＝0是“明一方程”； 解方程2x2+x﹣1＝0得x1＝﹣1，x2＝， ∴2x2+x﹣1＝0不是“明一方程”； 解方程|x﹣2|＝1得x1＝1，x2＝3， ∴|x﹣2|＝1是“明一方程”； 故答案为：①③； （2）由题意，∵当y＝3时，关于x的方程y＝kx+b为“明一方程”， ∴当y＝3时，x＝1． ∴k+b＝3． ∴k＝3﹣b． 又直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣，0），B（0，b）． ∴S△AOB＝OA•OB＝×|﹣|×|b|＝6． ∴b2＝12|k|． 又k＝3﹣b， ∴b2＝12|3﹣b|． ∴b＝﹣3±6或b＝6． ∴或或． ∴直线解析式为y＝（9﹣6）x﹣3+6或y＝（9+6）x﹣3﹣6或y＝﹣3x+6． （3）由题意，∵ax2+bx+c＝0为“明一”方程， ∴方程必有一个根是x＝1． ∴a+b+c＝0． 又∵a＞b＞c， ∴a＞0，c＜0，且a＞﹣a﹣c＞c． ∴﹣2＜＜﹣． ∵x1，x2为“明一方程”ax2+bx+c＝0的两个根， ∴其中一个是x＝1，而另一个为x＝＜0． ∴|x1﹣x2|＝1﹣． ∵﹣2＜＜﹣， ∴＜1﹣＜3． ∴＜|x1﹣x2|＜3． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 23．（12分）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S＝QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答． 【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t， ∴S＝×t（10﹣t）＝（10t﹣t2）， 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10， ∴S＝×t（t﹣10）＝（t2﹣10t）． （2）∵S△ABC＝， ∴当t＜10秒时，S△PCQ＝， 整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解， 当t＞10秒时，S△PCQ＝， 整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值）， ∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC． （3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M， 易证△APE≌△QCM， ∴AE＝PE＝CM＝QM＝t， ∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半． 又∵EM＝AC＝10∴DE＝5 ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 同理，当点P在点B右侧时，DE＝5 综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$