精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题

2024-2025学年度第一学期高二开学考试 数学学科 满分150分 时间：120分值 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 3. 从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为，则，定义事件：，，，则（ ） A. B. C. D. 、相互独立 6. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C 千米 D. 千米 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ） A. 若，则有最小值8 B. 若，则A点轨迹是一个正方形 C. 若，则有最大值15 D. 若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ） A. B C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 三、填空题（每题5分） 12. 已知，则直线：和直线：的位置关系为______． 13. 如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______． 14. 在直三棱柱中，，底面是边长为6的正三角形，则三棱柱外接球的表面积为______；若是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为______． 四、解答题 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求坐标. 16. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 17. 2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 （1）若 ，求此花卉布展区域总面积； （2）求证： 为一个定值； （3）在锐角中，内角A，B，C对边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 19. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且二面角的大小为. ①求证：； ②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期高二开学考试 数学学科 满分150分 时间：120分值 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，然后根据共轭复数定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限． 【详解】由题意知，， 其共轭复数为， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C． 2. 设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面关系逐一判断即可. 【详解】对于A：由，，，可知、可能平行或相交，A错误； 对于B：由，，，则由线面平行的性质定理得，B正确； 对于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C错误； 对于D：由，，可知或，D错误． 故选：B 3. 从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e， 则样本空间，共包含10个样本点． 记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7， 所以． 故选：D 4. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，设，，由题意中等式得到，，，结合数量积运算得到参数值； 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得. 设，，由，即，据此可得， 故，同理可得，， 据此可得， 则，整理可得， 由于，故. 故选：D. 5. 任意抛掷一次骰子，朝上面的点数记为，则，定义事件：，，，则（ ） A. B. C. D. 、相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率计算判断ABC；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，,、相互不独立，D错误； 故选：B. 6. 已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系， 则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 7. 下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【详解】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 8. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口，若部分为直线段，且要求市中心与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】使用余弦定理及基本不等式，得到，使用正弦定理及三角恒等变换得到，进而求得AB的最短距离. 【详解】 在中，， 设， 则， 当且仅当时取等号， 设，则， 又到的距离为20千米，所以，， 故（时取等号）， 所以，得， 故选：D 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标关系判断选项A；利用向量垂直关系的坐标表示验证选项B；利用两个向量的夹角公式验证选项 C；利用投影向量的公式求解判断选项D. 【详解】因为，， 对于选项A：可得，且， 所以与不共线，故A错误； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，， 所以与的夹角余弦值为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：， 因为是与同向的单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为，故D错误； 故选：BC. 10. 在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（ ） A. 若，则有最小值8 B. 若，则A点轨迹是一个正方形 C. 若，则有最大值15 D. 若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用换元法结合定义将折线距离转化，作出图象，利用图象平移可判定B，利用点到直线距离公式转化可判定A，利用图象结合两点距离可判定C，利用正方形面积公式可判定D. 【详解】若，由题意可知，令， 则，作出其图象如图． 易知，点的轨迹可由正方形右移1个单位长度， 再上移1个单位长度得到，故B正确； 对于A， ， 结合图象可得的最小值即为点到 直线（即点）的距离， 此时取得最小值3，故A错误； 对于C，的最大值即为点到点的距离中的最大值 ，故的最大值为15，故C正确； 若，则表示正方形及其内部区域，易知其面积为， 故D错误． 故选：BC． 11. 《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑中，，其外接球的体积为，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 直线与平面所成角的正弦值 D. 内切球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可知的中点即为的外接球的球心，由球的体积公式可得球的半径，进而得到，利用锥体的体积公式计算可判断A、B项，利用线面垂直可判断直线与平面所成角即为，计算其正弦值即可判断C项，利用等体积法可求得内切球的半径，即可判断D项. 【详解】解：由题可知，的中点即为的外接球的球心，设外接球的半径为，则，得， 因为，所以， 鳖臑的体积， 当且仅当时，；故A项正确，B项错误. 因为三棱柱为直三棱柱，故平面，又平面，故， 因为,所以平面， 所以直线与平面所成角即为，；故C项正确； 设鳖臑的内切球半径为，由等体积法，得，所以，故D项正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知，则直线：和直线：的位置关系为______． 【答案】垂直或重合 【解析】 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 13. 如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求． 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又，则， 因为，由图易知，， 所以 ， 即，两点间的距离是． 故答案为：． 14. 在直三棱柱中，，底面是边长为6的正三角形，则三棱柱外接球的表面积为______；若是三棱柱外接球的球面上一点，是内切圆上一点，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出外接圆的半径，内切圆的半径，求出三棱柱外接球半径平方为，得到外接球表面积，结合图形得到的最大值为． 【详解】因为底面是边长为6的正三角形，所以外接圆的半径， 内切圆的半径．设三棱柱外接球的半径为， 因为，所以， 则三棱柱外接球的表面积为． 由题可知，三棱柱外接球的球心与内切圆上点的距离， 故的最大值为． 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 四、解答题 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）已知，求的值； （2）若，且∥，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【小问1详解】 由题知，， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 16. 设直线l的方程为 （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】（1）或. （2） （3）面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【解析】 【分析】（1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【小问1详解】 当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 , ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. 小问3详解】 令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 17. 2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 （1）若 ，求此花卉布展区域总面积； （2）求证： 为一个定值； （3）在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积； （2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值； （3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 由题意，在 中，且 ， 则 ， 又由余弦定理，得 ， 解得 ， 又在 中，， 得 ， 所以 ， 所以 面积为 ， 所以花卉布展区域的总面积为 【小问2详解】 在 中，因为 ，所以 ， 在 中，，由余弦定理，得 ， 所以 ，则 ， 得 ，所以 一个定值1. 【小问3详解】 因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为 ， 所以 ，则， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 则 ， 则 ， 故 所以的取值范围为. 18. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10 【解析】 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数； （2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式，代入计算即可得答案. 【小问1详解】 设这20人的平均年龄为，则 . 设第80百分位数为，由，解得. 【小问2详解】 由频率分布直方图得各组人数之比为， 故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为. 则，， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 19. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）若，点在棱上，且二面角的大小为. ①求证：； ②设是直线上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到平面，再利用线面垂直的性质得到，结合条件及线面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，①求出平面和平面的法向量，结合条件得到，从而有，即可证明结果；②设，结合①中结果，利用线面角的向量法，得到，即可求出结果. 【小问1详解】 在四棱锥中， 因为底面为矩形，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，且， 所以平面 【小问2详解】 ①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，所以， 因为点在棱上，所以设或显然不满足题设， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量， 则，即，取，则， 所以，是平面的一个法向量， 所以， 因为二面角的大小为，所以， 即，解得， 此时，， ，所以， 所以，即. ②因为是直线上的点，所以设， 由①可得，所以，平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为，则. 则， 当时，， 当时，， 由对勾函数的性质可知， 所以当，即时，取最大值， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$