专题1.2直线的方程（六个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题1.2直线的方程 一、直线的点斜式方程 五、直线的一般式方程 二、直线的斜截式方程 ①求直线的一般式方程 三、直线的两点式方程 ②直线的一般式方程应用 四、直线的截距式方程 六、直线与坐标轴围成的三角形问题 知识点1直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点3直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点5直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化： 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 重难点一 直线的点斜式方程 1．已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 2．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 3．（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 5．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 6．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点且倾斜角为135°的直线； (2)过点且与x轴平行的直线； (3)直线绕着其上一点逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点且与直线平行的直线． 7．一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 求直线的点斜式方程的步骤：（1）先确定点；（2）讨论斜率是否存在，若不存在，则直线方程为，若存在斜率，则由点斜式方程可得 重难点二 直线的斜截式方程 8．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 11．已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 12．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 13．已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 14．已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 求直线的斜截式方程：（1）先求参数和，再写出斜截式方程；（2）斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出；（3）b是直线在轴上的截距． 重难点三 直线的两点式方程 15．过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 16．中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 17．一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点，则点的坐标为 ． 18．的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为 . 19．已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 由两点式求直线方程的步骤：如果已知两点中含有参数，应用两点式求解直线方程时，一定要注意分类讨论两点的横坐标是否相等 重难点四 直线的截距式方程 20．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 21．当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 22．（多选）过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 23．已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条． 24．已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 25．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 26．若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 利用截距式求直线方程的注意事项 （1）下列三种情况，不能用截距式表示直线：①k不存在；②k＝0；③直线过原点． （2）①截距相等且不为0，可设直线方程为；②截距相反且不为0，可设直线方程为； ③截距均为0，可设直线方程为 重难点五 直线的一般式方程 ①求直线的一般式方程 27．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 28．（多选）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 29．若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ． 30．若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 31．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 32．根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． ②直线的一般式方程应用 33．已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 34．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 35．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 36．直线恒过定点 37．不论为何实数，直线恒过第 象限. 38．已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 求直线一般式方程的方法： 重难点六 直线与坐标轴围成的三角形问题 39．已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 40．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 41．已知直线x＋y－k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k的取值范围为 ． 42．已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 43．已知的三个顶点分别是. (1)求边的高所在的直线方程； (2)求平分的面积且过点的直线的方程. 44．直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 一、单选题 1．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 4．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 二、多选题 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 8．（多选）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 三、填空题 9．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的方程为 ． 10．已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 11．在平面直角坐标系中，将直线绕原点O逆时针旋转，得到直线l，若角的终边在l上，则 ． 四、解答题 12．写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 13．（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 14．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2直线的方程 一、直线的点斜式方程 五、直线的一般式方程 二、直线的斜截式方程 ①求直线的一般式方程 三、直线的两点式方程 ②直线的一般式方程应用 四、直线的截距式方程 六、直线与坐标轴围成的三角形问题 知识点1直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 知识点3直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 知识点5直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化： 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 重难点一 直线的点斜式方程 1．已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【答案】D 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． 故选：D 2．已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 3．（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 4．直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【详解】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 5．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为． （2）由题意知，直线的斜率， 故所求直线的点斜式方程为． 6．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点且倾斜角为135°的直线； (2)过点且与x轴平行的直线； (3)直线绕着其上一点逆时针旋转90°后得到的直线； (4)过点且与直线平行的直线． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由题意知，直线的斜率， 故所求直线的点斜式方程为，即． （2）与x轴平行的直线，其斜率，由直线的点斜式方程可得直线方程为，即. （3）直线的斜率. 由题意知，所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率， 又点在所求直线上，由点斜式方程知，所求直线的方程为． （4）由题意知，所求直线的斜率为2，且过点，所以所求直线方程为． 7．一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】． 【详解】点关于轴的对称点为， 则反射光线经过、两点，， 由点斜式得反射光线所在直线方程为，化简为一般式方程为． 求直线的点斜式方程的步骤：（1）先确定点；（2）讨论斜率是否存在，若不存在，则直线方程为，若存在斜率，则由点斜式方程可得 重难点二 直线的斜截式方程 8．下列直线中过第一、二、四象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若直线过第一、二、四象限，则， 选项A，B，D中直线的斜率都大于0，只有C满足． 故选：C. 9．如图，在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线过原点，且单调递增， 直线单调递增，且纵截距为正数， 没有符合的图象． 当时，直线过原点，且单调递减， 直线单调递增，且纵截距为负数， C选项符合． 故选：C 10．已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【详解】直线方程为，它的倾斜角为，绕点顺时针旋转，即绕点顺时针旋转，得到直线， 则直线依然过定点，且直线与轴负半轴夹角为，这意味着的倾斜角为，这表明的斜率小于0， 所以不过第三象限. 故选：C. 11．已知直线不过第一象限，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，故直线不过原点， 则直线一定通过三个象限， 而直线不过第一象限，故其必过第二，三，四象限， 得到，解得. 故答案为： 12．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 13．已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 14．已知的三个顶点分别为、、，求边上的中线所在直线的斜截式方程． 【答案】 【详解】因为、，所以边上的中点， 而，所以，所以所在直线的斜截式方程为． 求直线的斜截式方程：（1）先求参数和，再写出斜截式方程；（2）斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系来求出；（3）b是直线在轴上的截距． 重难点三 直线的两点式方程 15．过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 16．中，，、的平分线方程为、，则直线BC的方程是 ． 【答案】 【详解】∵、的平分线方程为、， ∴AB与BC对于对称，AC与BC对于对称． 因为点关于的对称点在直线BC上， 点关于的对称点也在直线BC上． 由两点式得 所求直线BC的方程：. 故答案为：. 17．一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可得关于轴的对称点为， 则直线的方程为，可得， 令，可得，所以点. 故答案为：. 18．的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】，，∴边中点为， ∴中线方程为，即． 故答案为：. 19．已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． 由两点式求直线方程的步骤：如果已知两点中含有参数，应用两点式求解直线方程时，一定要注意分类讨论两点的横坐标是否相等 重难点四 直线的截距式方程 20．直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 21．当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线过点， 则，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线方程为，即. 故选：C. 22．（多选）过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 23．已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条． 【答案】3 【详解】当截距不为0时，由题意设所求直线为， 则，解得； 当截距为0时，设原点为，则，注意到， 所以此时满足题意的直线方程可以是； 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故答案为：3. 24．已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 【答案】或 【详解】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 25．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【详解】设在x轴、y轴上的截距均为a， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，可得， 所以直线方程为，即； 若，则直线方程为， 代入，则，解得， 所以此时直线方程为； 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 26．若直线l的一般式方程为，直线l经过点，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值． 【答案】，． 【详解】由直线的一般式方程， 可知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距之和为． 直线经过点，得． 因此． 因为， 当且仅当时取等号，所以， 此时． 利用截距式求直线方程的注意事项 （1）下列三种情况，不能用截距式表示直线：①k不存在；②k＝0；③直线过原点． （2）①截距相等且不为0，可设直线方程为；②截距相反且不为0，可设直线方程为； ③截距均为0，可设直线方程为 重难点五 直线的一般式方程 ①求直线的一般式方程 27．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 28．（多选）若直线l过点，且横、纵截距的绝对值相等，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】解：当直线过原点时，横纵截距为0，符合题意，此时直线方程为； 当直线不过原点时，可设横纵截距分别为(或，均不为0)， 则直线方程为，可解得或， 则直线方程为或. 故选：ABD. 29．若直线：的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，， 故. 故答案为： 30．若原点在直线上的射影为，则直线的一般式方程为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 则直线的方程为，即. 故答案为： 31．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为2， 可得所求直线方程为，即. 故答案为： 32．根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． ②直线的一般式方程应用 33．已知直线l：，则下列说法不正确的是（    ） A．直线l恒过点 B．若直线l与y轴的夹角为30°，则或 C．直线l的斜率可以等于0 D．若直线l在两坐标轴上的截距相等，则或 【答案】C 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，故A正确； 因为直线与轴的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 而直线的斜率为，所以或， 所以或，故B正确； 当时，直线，斜率不存在， 当时，直线的斜率为， 不可能等于，故C错误； 当时，直线在轴上的截距不存在， 当时，令，得， 令，得，令， 得，故D选项正确. 故选：C. 34．如图所示，直线与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对B，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，三象限知，，故本选项错误； 对C，由经过第一，三，四象限，可知，， 由过第一，三，四象限知，，故本选项错误； 对D，由经过第一，二，四象限，可知，， 由过第一，二，四象限知，，故本选项正确； 故选：D. 35．已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（    ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为. 故选：A 36．直线恒过定点 【答案】 【详解】直线，化为， 令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 37．不论为何实数，直线恒过第 象限. 【答案】二 【详解】直线方程可变形为：， 由，求得， 直线过定点，因此直线必定过第二象限， 故答案为：二. 38．已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程 ． 【答案】 【详解】因为直线和直线都过点， 所以，. 由上式可得点和点都在直线上， 即过点和点的直线方程为. 故答案为： 求直线一般式方程的方法： 重难点六 直线与坐标轴围成的三角形问题 39．已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意，解得， 直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积， 当时，， 此时直线l的方程是. 故选：C. 40．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 故答案为：. 41．已知直线x＋y－k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】 令,得， 令,得， 由题意知，由直线与两坐标轴围成的三角形面积不小于8， 则， 解得或， 故实数的取值范围为或. 故答案为：或 42．已知的三个顶点分别为，，. (1)求边和所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线与坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1)， (2)25 【详解】（1）由截距式，得边所在直线的方程为，即. 由两点式，得边所在直线的方程为，即. （2）由题意，得点的坐标为， 由两点式，得边所在直线的方程为， 即，所以. 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积. 43．已知的三个顶点分别是. (1)求边的高所在的直线方程； (2)求平分的面积且过点的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：直线的斜率， 则边的高所在的直线的斜率， 所求直线方程为，即. （2）由题意可知：所求直线即为边的中线所在的直线， 则线段的中点为，可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 44．直线的方程为. (1)证明直线过定点； (2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【详解】（1）直线的方程变形为为， 由，得到， 又时，恒成立， 故直线恒过定点. （2）由， 令，得到，令，得到， 由，得到， 所以，， 令，得到， 当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为， 又，， 所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为. 一、单选题 1．已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：A 2．下列四个命题：其中正确命题的个数是（    ） ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线； ④经过定点的直线都可以用方程表示． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①经过定点的直线当斜率存在时可以用方程表示，当斜率不存在时用方程，①错误； ②经过任意两个不同的点，白的直线都可以用方程表示，②错误； ③两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线；③正确； ④经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，④错误； 故选：B. 3．已知直线的图象如图，则（   ）    A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】D 【详解】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， ∴若，则，；若，则，． 故选：D 4．一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 6．已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D 二、多选题 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）关于直线，以下结论正确的有（    ） A．时，直线在两坐标轴上的截距相等 B．直线必过第二象限 C．时，直线不过第四象限 D．时，直线过第二、三、四象限 【答案】ACD 【详解】对于A，时，l的方程化为，令得直线的纵截距为， 令得直线的横截距为，即直线在两坐标轴上的截距相等，正确； 对于B，当时，，直线不过第二象限，错误； 对于C，时，将l的方程化为， 所以不论a为何值，直线l恒过定点，令得直线的纵截距为， 且直线斜率，所以直线不过第四象限，正确；    对于D，时，直线l的斜率，令得直线的纵截距为， 直线l恒过定点，所以直线过第二、三、四象限，正确.    故选：ACD 三、填空题 9．已知的三个顶点分别是，，，则边上的高所在直线的方程为 ． 【答案】 【详解】设边上的高为，则，所以， 因为，所以，解得， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 故答案为： 10．已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线的方程为 ． 【答案】（答案不唯一：或） 【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，则显然满足题意，即， 否则设满足题意的直线方程为，将代入得，即也满足题意. 故答案为：（答案不唯一：或）. 11．在平面直角坐标系中，将直线绕原点O逆时针旋转，得到直线l，若角的终边在l上，则 ． 【答案】或 【详解】令直线的倾斜角为，则，显然为锐角， 于是直线的斜率，直线的方程为， 当角的终边为射线时，在该终边上取点，该点到原点距离为，则， 当角的终边为射线时，在该终边上取点，该点到原点距离为，则， 所以或. 故答案为：或 四、解答题 12．写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的倾斜角为， 所求直线的倾斜角为，故其斜率为． 所求直线的点斜式方程为. （2）与轴平行的直线，其斜率不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为． 13．（1）求经过点在轴上的截距为2的直线方程. （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意可知所求直线经过两点， 则直线的斜率， 所以直线方程为，即； （2）由题意可设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 14．已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$