21.3 实际问题与一元二次方程(上) 分类练习 讲义 2024--2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级数学上册 §第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 （传染病问题、握手问题、面积问题） 【传染病问题】 问题1：一个人患上了流感，经过两轮传染后感染人数为121人，请问每轮传染中每个人平均传染几人？ 解：设每轮传染中每个人平均传染人 分析： 感染轮数 每轮感染的人数 一共感染的人数 0 1 1 1 2 根据上表和题目可知第二轮感染结束后全部的感染人数为，即为121人，以此可以列方程： 是不是所有传染病问题都这样列式呢？ 即平均每轮传染给10人 问题1（变式）：已知某种植物主干会长出若干数目的分支，每个分支会长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数为91，请问每个分支会长出的小分支的数量为多少？ 解：设每个分支会长出个小分支 分析： 分叉轮数 每轮分叉的支数 主干、分支、小分支的总数 0 1 1 1 2 根据上表和题目可知第二轮分叉结束后主干、分支、小分支的总数为，即为91，以此可以列方程： 即每个分支会长出9个小分支 总结： 1、 传染病问题中，第一个传染源在后续的每轮传染中还具有传染性， 所以在传染病问题的第二轮中是在进行传染 2、 传染病问题的变形问题（分支问题）中，传染源（主干）在第一轮 分叉结束后，不会再传染（分叉），所以第二轮传染（分支在分叉成小分支）时传染源不参与，只有个分支参与 3、传染病问题及变形需要区分传染源（病人、主干等等）参不参与到除第一轮之外的每轮传染中，即第一轮传染结束后传染源是否还具有传染性。 【握手问题】 问题2：某市举办了一场学术交流会，会上的每个参会人员之间都要握一次手，整场学术交流会下来一共握手36次，请问有多少人参加这场学术交流会？ 解：设有人参加宴会 分析： 参与宴会的有人，这人都要与除自己以外的人握手，一共握手次数就是，但是A与B握手相当于B与A握手，总握手次数重复算了一遍，所以实际上总的握手次数为，为36次，以此可以列方程： 即有9人参与这场学术交流会 问题2（变式）：距离中考还有一个月的时间，班主任为了给班上的孩子加油鼓劲，要求每位同学给其他所有同学写一句加油鼓劲的话，班上一共写了380句鼓励的话语，请问班上一共有多少同学？ 解：设班上有个同学 分析： 班上有个同学，这人都要给除自己以外的人写信，一共写信的次数就是，同学A给B同学写信不等于B同学给A同学写信，写信次数并没有重复计算，所以不需要乘，所以总写信次数为，为380次，以此可以列方程： 即班上一共有20名同学 总结： 1、 握手问题中，A与B握手相当于B与A握手，总握手次数重复算 了一遍，所以实际上的总握手次数应该乘，即 2、 握手问题的变形问题（写信、送礼物等）中，A与B握手（写信、 送礼物等）不等于B与A握手（写信、送礼物等），所以实际上的总握手 次数不需要乘，即 3、 握手问题及变形需要区分：A与B握手是否相当于B与A握手，以 此判断是否重复计算，最后总数是否需要乘 【面积问题】 常见的几种面积问题： 加边框 围篱笆 修小道种花草 问题3：某如图所示一副装裱了四周等宽的边框的挂画，整个挂画长，宽，其中中央主画部分的矩形面积是整个挂画面积的，求画框的宽度。 内长 内宽 解：设画框宽度为 分析： 如上图可知挂画中央主画部分的矩形长为，宽为，即面积可以表示为，题目又告诉我们中央主画部分的矩形面积是整个挂画面积的，整个挂画面积为，以此可以列方程： = 即画框宽度为 问题4：如图所示，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围一个矩形场地： （1） 怎样围才能使矩形场地的面积为？ （2） 能否使围成的矩形场地面积为，为什么？ 80-2 解：设矩形场地宽为，则长为 分析： 如上图可知，设矩形场地宽为，篱笆长为，由两个宽和一个长组成，则长为，矩形面积为长宽，即，以此可以列方程： （1） 1°当时，长，满足题意 2°当时，长，超过了墙的长度，不满足题意（舍） 综上所述：矩形场地宽为，长为时能使矩形场地的面积为 （2） 是否可以设长为呢？ 即方程无实数根，所以矩形场地面积不能为 总结： 1、 如果设长为，依题意得篱笆长度由两个宽和一个长组成，所以 为两个宽，一个宽为，再表示矩形面积即可 2、 围篱笆问题设宽比较容易解题，因为设长求宽时需要×，后续计算 可能比较麻烦。 3、 围篱笆问题需要找准长、宽的表示，然后使用矩形的面积公式 列方程解题。 问题4（变式）：在问题4的基础上，给篱笆开一个的门，如下图所示，请问怎样围才能使矩形场地的面积为？ 两段的和为 解：设矩形场地宽为 分析： 如上图可知，设矩形场地宽为，篱笆长为，去除两段宽后，剩余篱笆的长度如上图所示为，我们在长的这一边增加了一个的口子，所以实际上矩形的长应该为，以此可以列方程： 1°当时，长，满足题意 2°当时，长，满足题意 综上所述：矩形场地宽为或时可以满足矩形场地的面积为 问题5：如图所示小区中有一个长方形的空地，长为，宽为，物业准备在这块空地上修筑两条互相垂直的宽度相等的道路如图所示（绿色部分），其余部分用于种植花草，其中种植花草部分的面积为，请问修筑道路的宽度为？ 平移 解：设修筑道路的宽度为 分析： 如上图可知，通过平移后把修建道路平移到一边，则剩下空余的白色小矩形部分为种植花草的部分，小矩形的宽为，长为，小矩形的面积为，以此可以列方程： 即修筑道路的宽度为 【题型1】 传染病问题 1、 某地突然爆发了某种病毒，其传播速度非常快，如果一人被感染，经过两轮的感染后会有81人被感染，每轮感染中每人会感染几个人呢？假设每轮感染中每人会感染个人，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2、 已知某种植物主干会长出若干数目的分支，每个分支会长出相同数目的小分支，若主干、分支、小分支的总数为111，请问每个分支会长出的小分支的数量为多少？ 【题型2】 握手问题 1、 某市要组织一场足球比赛，赛制为单循环形式，即每两个队伍之间都要比赛一场，计划安排了7天的比赛，每天四场，请问应该邀请多少支球队参加这场比赛？ 2、 新的一年即将来临，班主任组织了一场送贺卡的活动，每位同学需要给自己的学习小组内的其他所有成员赠送一张贺卡祝贺他们新年快乐，某个小组全组赠送贺卡一共132张，请问该小组一共多少人？ 【题型3】 面积问题 1、 如图所示，有一块长方形的空地种满了花草，长为，宽为，在空地四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为，求小路的宽度为？ 2、 如图所示是宽为，长为的矩形田地，要修筑同样宽的三条道路，把田地分成大小相等的六块菜地用来种植不同的瓜果蔬菜，要是菜地的总面积为，请问道路宽为多少米？ 3、 如图是一张长为，宽为的矩形纸板，将纸板的四个角各减去一个相同的正方形，可制成底面积为的一个无盖长方体纸盒，求剪去得分正方形边长为多少？ 4、某家农户为了保护菜园于是决定给菜园围上铁丝网，该农户利用的墙为一边，用的铁丝网围另外三边，若要围成的面积为，该如何围可以实现？ 学科网（北京）股份有限公司 $$