21.3实际问题与一元二次方程 同步练习 2025--2026学年人教版（2012）数学九年级上册

……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ ……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版2025-2026年数学九年级第一学期期末扫盲清障复习卷——21.3实际问题与一元二次方程 数学考试 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 第Ⅰ卷 客观题 第Ⅰ卷的注释 阅卷人 一、选择题 得分 1．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（　　） A．x（x+1）＝4×7 B．x（x-1）＝4×7 C． D． 2．有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（　　） A．35 B．53 C．62 D．35或53 3．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（　　） A．（1＋x）2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x2＝91 D．x＋x2＝91 4．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行一个点，第二行两个点……第n行有n个点……，已知前m行的点数和为210，则m的值为（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 5．如图，在宽度为20m，长为32m的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为xm，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）=540 B．（32+x）=540 C．（32﹣x）=540 D．（32+x）=540 6．九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1190张卡片，设全班有x名学生，根据题意列出方程为（　　） A． x（x﹣1）=1190 B． x（x+1）=1190 C．x（x+1）=1190 D．x（x﹣1）=1190 7．今年某区积极推进“互联网+享受教育”课堂生态重构，加强对学校教育信息化的建设的投入，计划2025年投入1440元，已知2023年投入1000万元，设2023﹣2025年投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．1000（1+x）2=1440 B．1000（x2+1）=1440 C．1000+1000x+1000x2=1440 D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=1440 8．为满足消费者需要，红星厂一月份生产手提电脑200台，计划二、三月份共生产2500台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（　　） A．200（1+x）2=2500 B．200（1+x）+200（1+x）2=2500 C．200（1﹣x）2=2500 D．200+200（1+x）+2000（1+x）2=250 9．用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k倍（0＜k＜1）．已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ．设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（　　） A． （1+k）2=1 B． k+ k2=1 C． + k+ k2=1 D． + （1+k）2=1 10．设x，y为实数，且满足，则x+y=（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 阅卷人 二、填空题 得分 11．对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为 　 　 ． 12．我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c， d]=ac-bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算(如：[3，2]*[5，1]=3×5-2×1=13)，若[-x，3]*[x-2，-6]=10，则x的值为　 　 13．某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是　 　． 14．已知有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，如果的差倒数正好是，那么的值是　 　. 15．方程x2-6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是　 　． 第Ⅱ卷 主观题 第Ⅱ卷的注释 阅卷人 三、解答题 得分 16．若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“知己方程”．例如x2＝9和（x＋2）（x－3）＝0有且只有一个相同的实数根 x＝3，所以这两个方程为“知己方程”． （1）下列方程中属于“知己方程”的是：　 　（只填写序号即可）； ①（x－1）2＝9； ②x2＋4x＋4＝0 ③x2＋2x－8＝0； （2）关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2＋x＋m－1－0为“知己方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，且与（x－n）（x＋3）＝0互为“知己方程”，求n的值． 17．为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym2（如图）． 　 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值； （3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由． 18．如图，中，，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，的面积等于？ 19．某商场购进了一批单价为100元的名牌衬衫，当销售价为150元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫单价每降价1元，商场平均每天可多售出4件，另外，这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元，若商场平均每天盈利2 750元，衬衫单价应定为多少元？ 20．某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票． 21．2013年，某市一楼盘以毎平方米5000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2015年的均价为每平方米4050元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金45万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算） 22．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数． 23．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（x2+17）cm，正六边形的边长为（x2+2x）cm（其中x>0）.求这两段铁丝的总长. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：每个队伍需与其他队伍比（x-1）场，但两个队伍之间只需要比一场， 可列方程： 【分析】根据关系式：球队数×每支队伍需要的常熟÷2=总共场数，代入求解即可。 2．【答案】D 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 解得：或， ∴这个两位数为35或53，故D符合题意． 故答案为：D． 【分析】设十位数字为x，则个位数字为(8-x)，根据题意列出方程，再求解即可。 3．【答案】B 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：设主干长出x个支干，根据题意，得 1＋x＋x2＝91 故答案为：B. 【分析】由题意设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，则又长出x2个小分支，则共有x2＋x＋1个分支，根据“ 主干、支干和小分支总数共91”建立等式关系，即可解答. 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程的其他应用；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：根据题意知，1+2+3+4+……+n = n（n+1） = . ∴ ， 解得： （负值已舍去）； 故答案为：B. 【分析】根据题意得出这个点阵中前n行的点数和等于1+2+3+4+……+n，再计算即可. 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：利用平移，原图可转化为下图，设小路宽为x米， 根据题意得：（32﹣x）=540． 故选：C． 【分析】设小路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案． 6．【答案】D 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：由题意可得， x（x﹣1）=1190， 故选D． 【分析】由题意可知这是一道典型的双循环的题目，从而可以列出相应的方程，本题得以解决． 7．【答案】A 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：设2023﹣2025年投入经费的年平均增长率为x，则2024年投入1000（1+x）万元，2025年投入1000（1+x）2万元， 根据题意得1000（1+x）2=1440． 故选A． 【分析】如果设投入经费的年平均增长率为x，根据2023年投入1000万元，得出2024年投入1000（1+x）万元，2025年投入1000（1+x）2万元，然后根据三年共投入1440万元可得出方程． 8．【答案】B 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：由题意可得， 200（1+x）+200（1+x）2=2500， 故选B． 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 9．【答案】C 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：∵第一次受击进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ，铁钉的长度为1， ∴第一次受击进入木板部分的铁钉长度是 ， ∵每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的x倍， ∴第二次受击进入木板部分的铁钉长度是 x， ∴第三次受击进入木板部分的铁钉长度是 x×x= x2， ∴可列方程为： + k+ k2=1． 故选C． 【分析】分别得到每次钉入木板的钉子的长度，等量关系为：第一次钉入的长度+第二次钉入的长度+第三次钉入的长度=1，把相关数值代入即可求解． 10．【答案】C 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解： 将得， （x﹣1）3+2025（x﹣1）+（y﹣1）3+2025（y﹣1）=0 ⇒[（x﹣1）3+（y﹣1）3]+[2025（x﹣1）+2025（y﹣1）]=0 ⇒（x﹣1+y﹣1）[（x﹣1）2﹣（x﹣1）（y+1）+（y﹣1）2]+2025（x﹣1+y﹣1）=0 ⇒（x﹣1+y﹣1）[（x﹣1）2﹣（x﹣1）（y﹣1）+（y﹣1）2+2025]=0 ∵（x﹣1）2﹣2（x﹣1）（y﹣1）+（y﹣1）2≥0 ∴（x﹣1）2+（y﹣1）2≥2|（x﹣1）（y﹣1）|≥|（x﹣1）（y﹣1）| ∴（x﹣1）2﹣（x﹣1）（y﹣1）+（y﹣1）2+2025＞0 ∴x﹣1+y﹣1=0，即x+y=2． 故选C． 【分析】观察方程组，发现两方程相加后，所得方程等号坐标再利用平方和公式、提取公因数后，可转化为（x﹣1+y﹣1）[（x﹣1）2﹣（x﹣1）（y﹣1）+（y﹣1）2+2025]，右边恰好为0．再一步分析（x﹣1）2﹣（x﹣1）（y﹣1）+（y﹣1）2+2025＞0，因而只能是x﹣1+y﹣1=0，原题得解． 11．【答案】或 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用；定义新运算 【解析】【解答】当x＞1时， x2-6=x，整理得 x2-x-6=0，解得x=3或-2（舍）； 当x＜1时， x2-6=1，整理得 x2=7，解得x=或（舍）； 综上， 方程的解为或 【分析】本题考查解一元二次方程和新定义运算。根据定义，分情况x＞1和x＜1进行讨论，得出方程求解，注意结合范围对根进行取舍。 12．【答案】4或-2 【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算 【解析】【解答】 解：由题意，[-x，3]*[x-2，-6]=10化为， ， 化简得：， ∴. 故答案为： 4或-2 . 【分析】由题意把式子化为一元二次方程，然后根据一元二次方程的解法，即可求解. 13．【答案】15 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，由题意可得： 1+x+x2=241，解得：x=15或16（舍去） 故答案为：15. 【分析】设每个支干长出小分支的个数是x，根据分支，主干、支干、小分支的总数是241可列出方程，解方程即可求出答案. 14．【答案】7 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：∵m的差倒数是m， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故答案为：7. 【分析】根据题目差倒数的定义可得，按照一般思路可解一元二次方程求出m的值，再分别代入求值，但m的值比较复杂，再代入求就更复杂了，因此本题可考虑整体带入法求值，由得，代入后整理即可得到答案. 15．【答案】10 【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8＝0， 得x1＝2，x2＝4， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形， ∴等腰三角形周长=4+4+2＝10． 故答案为：10． 【分析】首先求出一元二次方程的根，再根据三角形三边关系判断符合题意的三边，再把三边相加即可求解. 16．【答案】（1）①② （2）解：一元二次方程x2－2x＝0的解为， 当相同的根是x＝0时，则m－1＝0，解得m＝1； 当相同的根是x＝2时，则4＋2＋m－1＝0，解得m＝－5； 综上，m的值为1或－5； （3）解：∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是； ∵（x－n）（x＋3）＝0的两个根是， ∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）与（x－n）（x＋3）＝0互为“知己方程”， ∴n＝－1或3 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【解答】解：（1） ①（x－1）2＝9 ，x-1=3或x-1=-3，解得：x1=4，x2=-2； ②x2＋4x＋4＝0 ，分解因式，得（x+2)2=0，解得：x1=x2=-2， ③x2＋2x－8＝0 ，分解因式，得（x+4)(x-2)=0，解得：x1=-4，x2=2； ∴ 于“知己方程”的是①② 。 故答案为： ①② 。 【分析】（1）先解三个一元二次方程，再结合”知 己方程 “的定义判定即可； （2）先解方程x2－2x＝0 ，确定相同的实数根代入求出m的值； （3）由 同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0， 可得方程的根为，再利用“知己方程”的定义求解即可。 17．【答案】（1）解：∵AB＝x， ∴BC＝36-2x， y＝x（36-2x）， ∵0＜36-2x≤18， ∴9≤x＜18． ∴y与x之间的函数关系式为y＝-2x2+36x（9≤x＜18）． （2）解：由题意：-2x2+36x＝160， 解得x1＝10，x2＝8， ∵x2＝8时，36-2×8＝20＞18，不符合题意，舍去， ∴x的值为10． （3）解：∵y＝-2x2+36x＝-2（x-9）2+162， ∴x＝9时，y有最大值162（m2）， 设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵， 由题意：14（400-a-b）+16a+28b＝8600， ∴a+7b＝1500， ∴b的最大值为214，此时a＝2． 需要种植的面积＝0.4×（400-214-2）+1×2+0.4×214＝161.2（m2）＜162m2， ∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【分析】（1）根据AB＝x，求得BC＝36-2x，利用矩形的面积公式计算即可. （2）把面积为160m2 代入（1）中解析式，构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意. （3）利用二次函数的性质求出y的最大值，设购买了乙种绿色植物a棵，购买了丙种绿色植物b棵，由题意： 14（400-a-b）+16a+28b＝8600， 可得a+7b=1500，推出b的最大值为214，此时a=2，再求出实际植物面积即可判断. 18．【答案】解：设经过秒钟，的面积等于， ∴，，， ∴， 整理得，， ∴， 令，， 解得，， ∴经过2或4秒钟，的面积等于． 【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形的面积 【解析】【分析】根据题意、三角形面积可列出方程，解方程即可求出答案. 19．【答案】解：设每件衬衫应降价 元，可使商场每天盈利2750元． 根据题意，得 ． 解得： ， ． 因尽快减少库存，故x=30 因此定价为150－30=120 答：衬衫单价应为120元． 【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】设每件衬衫的价格为x元，根据商场盈利2750元，即可得到方程，计算得到方程的两个根即可，结合题意可知，商场要尽快减少库存，降价的幅度要选择大的，进行求解即可。 20．【答案】解：∵150×25=3750＜4800，∴购买的团体票超过25张，设共购买了x张团体票，由题意列方程得x×[150﹣2（x﹣25）]=4800，x2﹣100x+2400=0，解得x1=60，x2=40，当x1=60时，超过25人的人数为35人，票价降70元，降价后为150﹣70=80元＜100元，不符题意，舍去，x2=40符合题意，∴x=40，答：共购买了40张团体票 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【分析】首先判断阳光旅行社购买的团体票所在的的范围，再根据题意得出每张票的价格为[150-2（x﹣25）]元，由团体票张数×每张票的单价=阳光旅行社支付团体票总价列方程即可求解。 21．【答案】（1）解：设平均每年下调的百分率为x， 根据题意得：5000（1﹣x）2=4050， 解得：x1=10%，x2=190%（舍去）． 答：平均每年下调的百分率为10%． （2）解：如果下调的百分率相同，2016年的房价每平方米为：4050×（1﹣10%）=3645（元）， 买100平方米的住房需3645×100=364500（元）=36.45（万元）， ∵45万元＞36.45万元， ∴张强的愿望能实现． 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【分析】（1）设每年下调x，根据2年后每平方米为4050元的等量关系列出函数关系式，根据实际情况舍去不合题意的根即可。 （2）根据相同的下降比例，计算2016年的楼房均价，既而计算100平方米的房子的价格，与张强持有的现金进行对比即可。 22．【答案】解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2=10x+（x﹣4）﹣4解得x1=8，x2=1.5（舍），∴x﹣4=4，∴10x+（x﹣4）=84．答：这个两位数为84． 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和=这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 23．【答案】解：由已知得，正五边形周长为5（x2+17）cm，正六边形周长为6（x2+2x）cm， ∵正五边形和正六边形的周长相等， ∴5（x2+17）=6（x2+2x）， 整理得x2+12x-85=0，配方得（x+6）2=121， 解得x1=5，x2=-17（舍去）， 故正五边形的周长为5（52+17）=210(cm). 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm. 答：这两段铁丝的总长为420cm. 【知识点】一元二次方程的其他应用 【解析】【分析】根据正五边形和正六边形的周长相等，列一元二次方程求x的值，得出正六边形的边长，再根据所求边长即可求两段铁丝的总长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $