精品解析：吉林省长春市第二实验中学2024-2025学年八年级上学期开学测试数学试题

2024-2025学年度上学期 初二数学优效作业（一） 开学测试 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 若，下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（ ） A B. C. D. 6. 如图，数轴上表示2、对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（　　） A. B. C. D. 7. 若，则的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 8. 如图，长方形中，．点Q为中点，点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿的方向运动，当点P运动到点A时，点P停止运动．设点P运动的时间为t（秒），在整个运动过程中，当是面积为2的钝角三角形时，则此时t的值是（　　） A 或6 B. C. D. 6 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 因式分解：___________． 10. 如图，将沿方向平移到，若、之间的距离为，，则=_____． 11. 如图，将三角形纸片沿直线折叠，使点落在四边形的内部的处，若，，则________． 12. 关于的不等式组仅有个整数解，则的取值范围是_____． 13. 已知，，则的值是_______． 14. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，则__________． 三、解答题（共78分） 15. 解方程：． 16. 在等式中，当时，，当，．求k、b的值． 17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18. 在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 （1）求的值； （2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图①、图②、图③中画出不同的，使和关于某条直线成轴对称． 20. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）度数； （2）度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 21. 某超市采购A，两种品种的苹果进行销售，A品种苹果的进货价格为每千克元，品种苹果的进货价格为每千克元，该超市销售千克A品种苹果和千克品种苹果时售价为元，销售千克A品种苹果和千克品种苹果时总售价为元． （1）求该超市销售千克A品种苹果和千克品种苹果的售价分别是多少元？ （2）该超市准备采购A，两种品种苹果共千克，若这批苹果全部售出，且利润不低于元，则该超市最多采购A品种苹果多少千克？ 22. 因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： （1）分别求的整数部分a和小数部分b的值 （2）若m是的小数部分，n是的小数部分，求的值． 23. 数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：求为何值时，代数式有最小值，并求出这个值； （2）知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______． 24. 如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． （1）图中的度数是 　　°； （2）将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； （3）将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度上学期 初二数学优效作业（一） 开学测试 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 若，下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，∴，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案， 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：， 故选：B． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大与第三边，任意两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可． 【详解】解：A、，故、、不能组成三角形，A不符合题意； B、，故、、能组成三角形，故B符合题意； C、，故、、不能组成三角形，故C不符合题意； D、，故、、不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，掌握以上运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，故不符合题意； D、与不同类项，不能合并，故不符合题意；； 故选：B． 5. 若一个多边形每一个内角都为，则这个多边形的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．解题的关键是掌握多边形的内角和公式：边形的内角和等于． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个多边形的边数是． 故选：C． 6. 如图，数轴上表示2、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上之间的距离是． 设点表示的数是，求出之间的距离，求出，即可得出关于的方程，求出即可． 【详解】解：设点表示的数是， 在数轴上数表示2，的对应点分别是C、B， 、之间的距离是， 点C是的中点， ， 点表示的数是2，点表示的数是， ， 解得：． 故选：C． 7. 若，则的值为( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，长方形中，．点Q为中点，点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿的方向运动，当点P运动到点A时，点P停止运动．设点P运动的时间为t（秒），在整个运动过程中，当是面积为2的钝角三角形时，则此时t的值是（　　） A. 或6 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的几何应用，三角形的面积计算等知识点，根据点Q为中点得，①当点P在边上运动时，始终为直角三角形，不存在钝角，②当点P在边上运动时，，不存在面积为2的钝角，③当点P在边上运动时，由得，进而得，则，进而得，据此可求出点P运动的时间t的值． 【详解】解：∵四边形为长方形，， ， ∵点Q为中点， ， ①当点P在边上运动时，始终为直角三角形，如图1所示： 故当点P在边上运动时，不存在钝角， ②当点P在边上运动时，，如图2所示： 故当点P在边上运动时，不存在面积为2的钝角 ， ③当点P在边上运动时，如图3所示： ， ， 即， ， ， ， ∵点P以每秒3个单位的速度运动， ∴，解得， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法、公式法是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 10. 如图，将沿方向平移到，若、之间的距离为，，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：将沿方向平移到，若，之间的距离为， ， ， ． 故答案为：． 11. 如图，将三角形纸片沿直线折叠，使点落在四边形的内部的处，若，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用；根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得． 【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得． 又， ， ， 故答案为：． 12. 关于的不等式组仅有个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是由不等式组解集的情况，求参数的取值范围，熟练掌握以上知识是解题的关键． 不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：不等式组， 解得：， 由不等式组有个整数解，即整数解为，，， 则的取值范围是． 故答案为：． 13. 已知，，则的值是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法和幂的乘法逆用，首先根据，求出的值是多少，然后根据同底数幂的乘法的运算方法，求出的值是多少即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：20． 14. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，则__________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可知，，，由点恰好在的延长线上，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵点恰好在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，按照解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 16. 在等式中，当时，，当，．求k、b值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 把x、y的值代入得出方程组，再求出方程组的解即可． 【详解】解：根据题意得： 由①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 即，． 17. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∴ 如图， 18. 在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 （1）求的值； （2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________． 【答案】（1）5 （2）2，5 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，多边形的对角线： （1）设每个内角的度数为，每个外角的度数为，列出方程进行求解即可； （2）根据从一个多边形的顶点出发可以引出条对角线，总共有条对角线，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为， 则：， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，正五边形对角线的总条数为：； 故答案为：2，5 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图①、图②、图③中画出不同的，使和关于某条直线成轴对称． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如图所示． 20. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角： （1）根据垂直的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴， ∴（三角形外角的性质） ∴（等量代换）． （2）∵， ∴（等式的性质）， ∴（已知）， ∴（等量代换）． 21. 某超市采购A，两种品种的苹果进行销售，A品种苹果的进货价格为每千克元，品种苹果的进货价格为每千克元，该超市销售千克A品种苹果和千克品种苹果时售价为元，销售千克A品种苹果和千克品种苹果时总售价为元． （1）求该超市销售千克A品种苹果和千克品种苹果的售价分别是多少元？ （2）该超市准备采购A，两种品种苹果共千克，若这批苹果全部售出，且利润不低于元，则该超市最多采购A品种苹果多少千克？ 【答案】（1）该超市销售千克A品种苹果的售价是元，千克品种苹果的售价是元 （2）该超市最多采购品种苹果千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该超市销售1千克品种苹果的售价是元，1千克品种苹果的售价是元，根据“该超市销售2千克品种苹果和5千克品种苹果时售价为37元，销售3千克品种苹果和4千克品种苹果时总售价为38元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该超市采购千克品种苹果，则采购千克品种苹果，利用总利润每千克的销售利润销售数量（购进数量），结合总利润不低于528元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该超市销售千克A品种苹果的售价是元，千克品种苹果的售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市销售千克A品种苹果的售价是元，千克品种苹果的售价是元； 【小问2详解】 解：设该超市采购千克A品种苹果，则采购千克品种苹果， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：该超市最多采购A品种苹果千克． 22. 因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： （1）分别求的整数部分a和小数部分b的值 （2）若m是的小数部分，n是的小数部分，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料知，的整数部分是3，然后再去求其小数部分； （2）仿照例子，找出整数部分和小数部分后即可得出的值； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 即的整数部分为7， 同理，的整数部分为14， ∵m是的小数部分，n是的小数部分， ∴， ． 【点睛】本题考查了无理数的估算和实数的混合运算，熟悉无理数的大小估算是解题关键． 23. 数学课时，老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：求为何值时，代数式有最小值，并求出这个值； （2）知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______． 【答案】（1）当时，的值最小，最小值为2 （2）2，大，9 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形得，可得当时代数式可取最小值2； （2）利用完全平方公式对的右边变形得，可得当时，y有最大值9． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为2， ∴当时，的值最小，最小值为2； 【小问2详解】 解： ， ∵， 当时，的值最大，最大值为9， ∴当时，的值最大，最大值为9； 故答案为：2，大，9． 24. 如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，． （1）图中的度数是 　　°； （2）将沿直线平移，当点D在上时，求的度数； （3）将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数． 【答案】（1）45 （2）15° （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出答案； （2）根据三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，再次利用三角形内角和定理可求出答案； （3）结合题意，画出图形：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，分两种情况进行讨论，画出图形，分别进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； 小问2详解】 解：如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：或或或， 理由如下： 分两种情况，Ⅰ．当向上平移时， ①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴； ②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵ ∴， ∵， ∴； ③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时 ∵，， ∴， ∵， ∴； Ⅱ．当向下平移时，如图4所示： ④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时， ∵， ∴， ∴； 综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，解题关键是识别图形，找出角与角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$