2024～2025学年青岛版九年级上册 第1次调研 数学试题+答案+答题卡

绝密★启用前 2024～2025学年9年级第1次调研（青岛版） 数学问卷 时间：120分钟 分值 ：120分 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1．某同学利用数学知识测量建筑物的高度，他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，点在同一平面内，建筑物和测角仪与水平方向垂直，若米，则此建筑物的高度约为（　　）（精确到米，参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，在中，，，．现在内叠放边长为1的小正方形纸片，第一层小纸片的一条边都在上，首尾两个正方形各有一个顶点，分别在，上，依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（　　） A．16个 B．13个 C．14个 D．15个 3．如图，点，分别在的边，上，且，点在边上，与交于点，则图中相似三角形共有（ ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 4．在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（    ）   A． B． C． D． 5．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，连接CE，若BC＝6，tan∠ECB＝，则△AEC的面积为（    ） A． B．2 C． D．2 7．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图． （1）作线段，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①；②；③；④．其中正确个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（　　） A．1 B． C．1或 3 D．或5 9．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图中，，，，为上一动点，，当时，的长为（    ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题（本题包括6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在周长为9cm的四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AC=BD=3cm，顺次连接OA、OB、OC、OD的中点得四边形A1B1C1D1，顺次连接OA1、OB1、OC1、OD1的中点得四边形A2B2C2D2，依此作下去…，得四边形AnBnCnDn，则AnBnCnDn的周长为 cm，面积为 cm2．（用含n的代数式表示） 12．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，∠A=60°，那么AB= ． 13．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝ ． 14．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点分别在边上，点的对应点分别在．且点在矩形内部，的延长线交边于点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为 ． 15．如图，梯形中，，，点在边上，，，，若与相似，则的长为 ． 16．如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则的值为 ． 三、解答题（本题包括8小题，共72分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（本题6分）如图，世博园段的浦江两岸互相平行，C、D是浦西江边间隔200m的两个场馆．海宝在浦东江边的宝钢大舞台A处，测得∠DAB=30°， 然后沿江边走了500m到达世博文化中心B处，测得∠CBF=60°， 求世博园段黄浦江的宽度(结果可保留根号)． 18．（本题6分）如图，一艘渔船以60海里每小时的速度向正东方向航行．在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上；继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上．已知在灯塔C周围50海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险？ 19．（本题8分）如图，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大树A，这时此人在C处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上．又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700） 20．（本题8分）[利用相似探究线段之间的关系]如图，已知在矩形ABCD中，，，P是AD边上的任意一点（不与点A，D重合），连接PC，过点P作PEPC交AB于E.在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由. 21．（本题10分）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走13米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡AF的坡度为1：2.4． (1)求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； (2)大树BC的高度约为多少米？（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°≈0.60） 22．（本题10分）在矩形ABCD中，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF. (1)求证：△DEC∽△FDC； (2)若DE=2，F为AD的中点，求BD的长度. 23．（本题12分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（本题12分）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】（1）如图①，在中，，边上的高，是的内接正方形，设正方形的边长是x，求证：； （2）在中，，，，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角中，，，，且，请问当正方形的一边落在三角形的 边上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 数学问卷1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$数学问卷 1 / 3 绝密★启用前 2024～2025 学年 9 年级第 1 次调研（青岛版） 数学问卷 时间：120 分钟 分值 ：120 分 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、单项选择题（本题包括 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度，他从点A出发沿着坡度为 1 2.4i  ∶ 的斜坡 AB步 行13米到达点 B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为52，建筑物底端 E的俯角为 45．若 AF 为水平的地面，点 A B C D E F G、 、 、 、 、 、 在同一平 面内，建筑物DEFG和测角仪 BC与水平方向垂直，若 2.5BC  米，则此建 筑物的高度DE约为（ ）（精确到 0.1米，参考数据： sin52 0.79  ， cos52 0.62  ， tan52 1.28  ） A．13.4米 B．17.1米 C．9.6米 D．5.9米 2．如图，在Rt ABC△ 中， 90C  ， 8AC  ， 6BC  ．现在Rt ABC△ 内叠放边长为 1 的小正方形 纸片，第一层小纸片的一条边都在 AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在 AC，BC上， 依次这样叠放上去，则最多能叠放多少？（ ） A．16 个 B．13 个 C．14 个 D．15 个 3．如图，点 E， F 分别在 ABC 的边��， AC上，且 / /EF BC，点M 在边 BC上， AM 与 EF交于 点D，则图中相似三角形共有（ ） A．4 对 B．3对 C．2对 D．1对 4．在 ABCV 中，D．F．E分别在边 BC．AB．AC 上一点，连接 BE 交 FD 于点 G，若四边形 AFDE 是平 行四边形，则下列说法错误的是（ ） A． AF BG AB BE  B． FG BG GD GE  C． FG DG AE EC  D． AF EC BF AE  5．已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确 的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形纸片 ABC 中，点 D 是 BC 边上的中点，连接 AD，把△ABD 沿着 AD 翻折，得到△AED， 连接 CE，若 BC＝6，tan∠ECB＝ 5 2 ，则△AEC 的面积为（ ） A． 2 B．2 C． 5 5 4 D．2 5 7．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直 角，其作法是：如图． （1）作线段 AB，分别以点 A，B 为圆心， AB长为半径作弧，两弧交于点 C； （2）以点 C 为圆心，仍以 AB长为半径作弧交 AC的延长线于点 D； （3）连接 BD， BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论：① 90ABDÐ = °；②CA CB CD  ； ③ 3sin 2 A  ；④ 1cos 2 D  ．其中正确个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 数学问卷 2 / 3 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点 D 是 AB 的中点，点 P 是直线 BC 上一点，将△BDP 沿 DP 所在的直线翻折后，点 B 落在 B1处，若 B1D⊥BC， 则点 P与点 B 之间的距离为（ ） A．1 B． 5 4 C．1 或 3 D． 5 4 或 5 9．如图，直线 1 2 3// //l l l ，直线 a、b与 1l 、 2l 、 3l 分别交于点A、B、C和点D、E、 F ，若 : 1: 2AB BC  ， 6DF  ，则 EF的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图 Rt ABC 中， 90ABC  ， 4AB  ， 3BC  ，D为 BC上一动点，DE BC ， 当 BD CE 时， BE 的长为（ ）． A． 5 2 B． 12 5 C． 5 15 8 D． 3 41 8 第Ⅱ卷（选择题 共 90 分） 二、填空题（本题包括 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在周长为 9cm 的四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 O，且 AC=BD=3cm，顺次连接 OA、OB、OC、 OD 的中点得四边形 A1B1C1D1，顺次连接 OA1、OB1、OC1、OD1的中点得四边形 A2B2C2D2，依此作下去…， 得四边形 AnBnCnDn，则 AnBnCnDn的周长为 cm，面积为 cm 2．（用含 n的代数式表示） 12．已知在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，∠A=60°，那么 AB= ． 13．小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中， 分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分 割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两 个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图 1、图 2，直线 CG、DH 分别是两个不相似的 Rt△ABC 和 Rt△DEF 的相似分割线，CG、DH 分别与斜边 AB、EF 交于点 G、 H，如果△BCG 与△DFH 相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么 AG＝ ． 14．如图，将矩形纸片 ABCD折叠，折痕为MN，点M N， 分别在边 AD BC， 上，点C D， 的对应点 分别在E F， ．且点 F 在矩形内部，MF的延长线交边 BC于点G， EF交边 BC于点 H ． 1EN  ， 4AB  ，当点 H 为GN三等分点时，MD的长为 ． 15．如图，梯形 ABCD中， / /AB CD， 90B C    ，点 F 在 BC边上， 8AB  ， 2CD  ， 10BC  ， 若 ABF 与 FCD 相似，则��的长为 ． 16．如图是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角 三角形与二个正方形拼成的．如果大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25，则 cos 的值为 ． 三、解答题（本题包括 8 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 17．（本题 6 分）如图，世博园段的浦江两岸互相平行，C、D是浦西江边间隔 200m 的两个场馆．海 宝在浦东江边的宝钢大舞台 A 处，测得∠DAB=30°， 然后沿江边走了 500m 到达世博文化中心 B 处， 测得∠CBF=60°， 求世博园段黄浦江的宽度(结果可保留根号)． 18．（本题 6 分）如图，一艘渔船以 60 海里每小时的速度向正东方向航行．在 A 处测得灯塔 C 在北 偏东 60°方向上；继续航行 1小时到达 B处，此时测得灯塔 C在北偏东 30°方向上．已知在灯塔 C 周围 50 海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险？ 数学问卷 3 / 3 19．（本题 8 分）如图，某人在 C 处看到远处有一凉亭 B，在凉亭 B正东方向有一棵大树 A，这时此 人在 C处测得 B在北偏西 45°方向上，测得 A在北偏东 35°方向上．又测得 A、C之间的距离为 100 米，求 A、B之间的距离．（精确到 1 米）．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35° ≈0.700） 20．（本题 8 分）[利用相似探究线段之间的关系]如图，已知在矩形 ABCD 中， 2AB  ， 3BC  ，P 是 AD 边上的任意一点（不与点 A，D重合），连接 PC，过点 P 作 PE PC 交 AB 于 E.在线段 AD 上是否存 在不同于 P的点 Q，使得QC QE ？若存在，求线段 AP 与 AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明 理由. 21．（本题 10 分）如图，小明为了测量小河对岸大树 BC 的高度，他在点 A 测得大树顶端 B 的仰角为 45°，沿斜坡走 13 米到达斜坡上点 D，在此处测得树顶端点 B的仰角为 31°，且斜坡 AF 的坡度为 1： 2.4． (1)求小明从点 A 到点 D 的过程中，他上升的高度； (2)大树 BC 的高度约为多少米？（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°≈0.60） 22．（本题 10 分）在矩形 ABCD 中，CF⊥BD 分别交 BD、AD 于点 E、F，连接 BF. (1)求证：△DEC∽△FDC； (2)若 DE=2 3，F 为 AD 的中点，求 BD 的长度. 23．（本题 12 分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点A、 B的坐标 分别为  4,0A  ，  0,3B ．  1 求��的长；  2 过点 B作 BC AB ，交轴于点C，求点C的坐标； (3)在  2 的条件下，如果 P、Q分别是��和 AC上的动点，连接 PQ， 设 AP CQ x  ，问是否存在这样的使得 APQ 与 ABC 相似？若存在， 请求出的 x值；若不存在，请说明理由． 24．（本题 12 分）【模型定义】 如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正 方形叫做三角形的内接正方形． 【问题探究】（1）如图①，在 ABCV 中， BC a ， BC边上的高 aAD h ， EFGH 是 ABCV 的内接正 方形，设正方形 EFGH 的边长是 x，求证： a a ahx a h   ； （2）在Rt ABC△ 中， 4AB  ， 3AC  ， 90BAC  ，图②和图③是两种不同的内接正方形，请计 算回答哪个内接正方形的面积最大； 【拓展延伸】 （3）在锐角 ABCV 中，BC a ，AC b ，AB c ，且a b c  ，请问当正方形的一边落在三角形的 边 上时，这个三角形的内接正方形的面积最大．不需要说明理由． 2024～2025学年9年级第1次调研（青岛版） 数学答案 1．B 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，由坡度的定义和勾股定理得出的长，再由等腰直角三角形的性质得出的长，然后由锐角三角函数定义求出的长，即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，过作于， 则， ∵， ∴设米，则米， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴， ∴米， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：． 2．A 【分析】 本题考查了勾股定理、相似三角形的性质：相似三角形的对应边上的比等于相似比．首先求得斜边上的高线的长度，即可确定小正方形的排数，然后确定每排的个数即可． 【详解】 解：作于点． 在中，，，，则由勾股定理，得 ． ． 则小正方形可以排4排． 最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与的边交于、． ∵， ，则， 解得：整数部分是7． 则最下边一排是7个正方形． 第二排正方形的上边的边所在的直线与的边交于、． 则， 解得，整数部分是5，则第二排是5个正方形； 同理：第三排是：3个； 第四排是：1个． 则正方形的个数是：． 故选：A． 3．B 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论. 【详解】 解：∵EF∥BC，∴DE∥BM，DF∥CM，∴△AED∽△ABM，△ADF∽△AMC，△AEF∽△ABC，∴图中相似三角形共有三对.故选：B. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 4．A 【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论． 【详解】解：∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DF∥AC， DE∥AB． ∴． 故A错误； ∵ DE∥AB， ∴． 故B正确； ∵DF∥AC， ∴，． ∴． 故C正确； ∵DF∥AC，DE∥AB， ∴，． ∴． 故D正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能准确找出成比例的对应线段是解题的关键． 5．C 【详解】根据黄金分割的定义可知：．故选C． 6．D 【分析】如图，连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M，由中点定义可得BD＝CD，由折叠性质可得BD＝DE，AD⊥BE，根据等腰三角形的性质及三角形内角和可得∠BEC＝90°，即可证明EC∥AD，可得S△AEC＝S△DEC，根据等腰三角形“三线合一”的ME＝MC，根据tan∠ECB＝列方程可求出DM，MC的值，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】如图，连接BE，过点D作DM⊥EC，垂足为M， ∵点D是BC边上的中点，BC＝6， ∴BD＝CD＝3， 由折叠得，BD＝DE，AD⊥BE， ∴DE＝DB＝DC， ∴∠BED=∠EBD，∠DEC=∠DCE， ∴∠BED+∠DEC=∠EBD+∠DCE， ∵∠BED+∠EBD+∠DEC+∠DCE=180°， ∴∠BEC＝90°，即BE⊥EC， ∴EC∥AD， ∴S△AEC＝S△DEC， 在△DEC中，DE＝DC＝3，DM⊥EC， ∴ME＝MC， ∵tan∠MCD＝＝， 设MC＝2m，则DM＝m， 由勾股定理得，DM2+MC2＝DC2，即4m2+5m2＝32， 解得：m＝1， ∴DM＝，MC＝2， ∴S△DEC＝EC•DM＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质及三角函数的定义，熟练掌握相关性质及定义是解题关键． 7．C 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆．也考查了圆周角定理和解直角三角形．由作法得，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义计算出，，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】解：由作法得，故②正确； ∴点B在以为直径的圆上， ∴，故①正确； 在中，， ∴，， ∴，故③正确；，故④错误， 故选：C． 8．D 【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长． 【详解】解：如图，若点B1在BC左侧， ∵∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB= ∵点D是AB的中点， ∴BD=BA= ∵B1D⊥BC，∠C=90° ∴B1D∥AC ∴ ∴BE=EC=BC=2，DE=AC= ∵折叠 ∴B1D=BD=，B1P=BP ∴B1E=B1D-DE=1 ∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2， ∴BP2=1+（2-BP）2， ∴BP= 如图，若点B1在BC右侧， ∵B1E=DE+B1D=+， ∴B1E=4 在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2， ∴BP2=16+（BP-2）2， ∴BP=5 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 9．C 【分析】连接AF交于点G，根据平行线分线段成比例，得出和，则，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接AF交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质． 10．D 【分析】利用，得到相似三角形，利用相似三角形的性质求解再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：， 设 ， ，    故选D． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定与性质，勾股定理的计算求解，掌握相关知识点是解题关键． 11． 【详解】试题分析：根据题意可知，每次得到的四边形的各边的长都是上一个四边形各边长的，因此第n个四边形AnBnCnDn和四边形ABCD的相似比应该是：1，然后根据相似多边形的性质求解即可． 解：由于A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点， 因此A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD， 易证得四边形A1B1C1D1∽四边形ABCD，且相似比为1：2，即：1； 同理可证得四边形AnBnCnDn与四边形ABCD的相似比为：：1，则面积比为：：1； ∵四边形ABCD的周长为9cm，面积为AC×BD=cm2， ∴四边形AnBnCnDn的周长为cm，面积为cm2． 考点：相似多边形的性质；三角形中位线定理． 点评：此题主要考查的是三角形中位线定理和相似多边形的性质，相似多边形的性质与相似三角形的性质类似，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 12． 【详解】因为在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,∠A=60°,所以,即, 所以,故答案为. 13．3 【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽△DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可． 【详解】解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5， ∴由勾股定理得：BC＝4， ∵△BCG∽△DFH， ∴＝， 已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x， ∴＝， ∴DH＝10﹣2x， ∵△BCG∽△DFH， ∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF， ∴∠AGC＝∠DHE， ∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°， ∴∠A＝∠EDH， ∴△AGC∽△DHE， ∴＝， 又DE＝4， ∴＝， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意． ∴AG＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质,掌握相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 14．或 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，分两种情况：当时，；当时，，分别利用折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：当时，， ∵将矩形纸片折叠，折痕为， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，则， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述的长为或， 故答案为：或． 15．或 【分析】分△ABF∽△FCD和△ABF∽△DCF两种情况，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：当△ABF∽△FCD时， ，即， 解得，CF=8； 当△ABF∽△DCF时， ，即， 解得，CF=2， 故答案为2或8． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 16． 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为 ，小正方形的边长为5 ，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解； 【详解】∵ 大正方形的面积是125，小正方形的面积为25， ∴ 大正方形的边长为 ，小正方形的边长为5 ， 设直角三角形中所对的直角边为x， 则 ， 解得：x1=5，x2=-10（舍去）， ∴ sin= ， ∴ cos= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中． 17．150 【详解】试题分析：构造平行四边形AECD，利用平行四边形的性质及等腰三角形的判定可得CB的长度，进而利用60°的正弦值可得世博园段黄浦江的宽度． 试题解析：解：过点C作CE∥DA交AB于点E．∵DC∥AE，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE=DC=200m，EB=AB﹣AE=300m．∵∠CEB=∠DAB=30°，∠CBF=60°，∴∠ECB=30°，∴CB=EB=300m．在Rt△CBF中，CF=CB•sin∠CBF=300×sin60°=m． 答：世博园段黄浦江的宽度为m ． 点睛：本题考查了解直角三角形的应用；构造平行四边形得到BC的长度是解决本题的突破点． 18．渔船继续向正东方向航行是安全的，理由详见解析． 【分析】作CH⊥AB于H．利用解直角三角形，求出PH的值即可判定； 【详解】解：作CH⊥AB于H． ∵∠CAB＝30°，∠ABC＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°， ∵∠BAC＝∠BCA＝30°， ∴BA＝BC＝60海里， 在Rt△CBH中，CH＝CB•sin60°＝60×＝30（海里）， ∵30＞50， ∴渔船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 19．139米 【详解】解：作CD⊥AB于点D．根据题意， 在Rt△ADC中，sin∠ACD＝， ∠ACD＝35°，AC＝100米， ∴AD＝AC·sin35°≈100×0.574＝57.4(米) cos∠ACD＝， CD＝AC·cos35°≈100×0.819＝81.9(米)， ∵在Rt△BDC中，∠BCD＝45°， ∴∠B＝45° ∴BD＝CD＝81.9(米)，    ∴AB＝AD＋BD＝57.4＋81.9＝139.3(米)≈139(米)． 答：AB之间的距离是139米． 20．不一定存在 【分析】先假设存在这样的点Q，根据两角对应相等可证，由相似三角形对应线段成比例的性质可得，，等量代换即可确定线段AP与AQ之间的数量关系. 【详解】解：不一定存在.理由如下：假设存在这样的点Q， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，. 同理可得， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即P不能是AD的中点. ∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在；当P不是AD的中点时，总存在这样的点Q满足条件，此时. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，结论探索题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定，解决这类问题的策略是先探索结论，然后去论证结论，或从结论的一方面入手进行推理，得到肯定的结果. 21．(1)小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为5米 (2)大树的高度约为30.5米 【分析】（1）作DH⊥AE于H，根据，可得5AH=12DH，勾股定理即可求解； （2）延长BD交AE于点G，设BC=xm，根据正切的定义可得，，，根据GC-AC=AG，列出方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：作DH⊥AE于H，如图所示：在Rt△ADH中， ∵， ∴5AH=12DH， ∵AH2+DH2=AD2， ∴DH=5， ∴AH=12． 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为5米． （2）延长BD交AE于点G，设BC=xm， 由题意得，∠G=31°， ∴， ∵AH=2.4，DH=12， ∴GA=GH+AH=+12=， 在Rt△BGC中，tan∠G=， ∴， 在Rt△BAC中，∠BAC=45°， ∴AC=BC=x． ∵GC-AC=AG， ∴， 解得：x=30.5． 答：大树的高度约为30.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由矩形的性质可知∠FDC=∠DEC=90°，结合公共角可证明△DEC∽△FDC； （2）由DFBC可知，可求得BE，进一步可求出BD． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，CF⊥BD， ∴∠FDC=∠DEC=90°，且∠DCE=∠DCF， ∴△DEC∽△FDC； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴，且F为中点， ∴，且DE=2， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 23．的长为；的坐标为；存在，的值为或． 【分析】（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB． （2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标． （3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值． 【详解】(1)∵点A.B的坐标分别为A(−4,0),B(0,3)， ∴OB=3，AO=4， ∴ (2)∵BC⊥AB，BO⊥AC， ∴ 即 ∴C点的坐标是(2.25,0)； (3) 当△APQ与∽△ABC时,PQ∥BC， ∴ ∵AP=CQ=x， ∴ 解得 当△APQ与∽△ACB时,   即 解得：. 答：(1)AB的长为5;(2)C的坐标为(2.25,0);(3)存在,x的值为或． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 坐标与图形性质, 勾股定理, 射影定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 24．（1）见解析；（2）图③的情况面积大；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，新定义内容，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由，可得，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果； （2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高，然后根据题意得到正方形的一边落在三角形的最短一边上的内接正方形的面积最大． 【详解】证明：（1）∵是的内接正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 故 ∴； （2）如图所示， 当图②的情况，， 由等面积法，得 即， 此时正方形的边长是； 当图③时，正方形的边长是， 因为，且正方形的面积等于边长的平方， 故图③的情况面积大； （3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，是指三角形的任意一条边，是该边上的高， 即 则， ∵在锐角中，，，，且， ∴当正方形的一边落在三角形的最短一边上时，即最小，则最大， ∵正方形的面积等于边长的平方，此时内接正方形的面积最大． 答案第1页，共2页 数学答案1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$