2.1 等式性质和不等式性质（第一课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质（第一课时） 人教A版2019必修第一册 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.会运用作差、作商、综合法等比较两个数或式子的大小. 3. 通过大小比较，培养逻辑推理素养 4.掌握并会应用重要不等式. 教学目标 情境引入 01 情景导入 在生活中，存在着大量相等关系和不等关系，例如大与小、长与短、高与矮、轻与重、不超过和不少于等等。 类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的式子 不等关系及其表示 02 概念讲解 问题1： 用不等式（组）表示下列问题中的不等关系？ v≤40 km/h m≤10 t （1） 概念讲解 （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 设三角形三边分别为，则 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ A B C P Q 概念讲解 问题2:某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查发现,杂 志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使涨价后的总收 入不低于20万元? 设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， ≥20，求出不等式的解，即可求出定价 所以用不等式表示为： 单价涨了多少元 单价涨了多少个0.1元 销量少了多少个2000元 概念讲解 小结：用不等式表示实际问题中的不等关系： 从实际问题中抽象出不等关系 用字母表示不等关系中的量 用不等号连接字母，建立不等式 概念讲解 思考：常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号语言表述吗？ 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 符号 语言     > ≥ < ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ 概念讲解 练习1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为( 　　) A．T<40　　B．T>40　　C．T≤40　　 D．T≥40 C 2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A 比较实数或式子的大小 03 概念讲解 我们可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，. A B B A A(B) 实数大小比较的基本事实① ① ② ③ 作差法 概念讲解 ① ② ③ 实数大小比较 的基本事实② ① ② ③ 作商法 概念讲解 例1：比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． ∵(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4) =(a2-2a-15)-(a2-2a-8) =-7 ∴(a＋3)(a－5)-(a＋2)(a－4)<0 ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4) 解： 作差 变形 定符号 定大小 作差比较法 概念讲解 小结：作差法比较两个实数大小的基本步骤： 概念讲解 练习1：已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 解：　∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)． 概念讲解 . 练习2.若，比较和的大小. 因为， 所以， 即 ，所以 法一 作商法 与“1”比较 法二 因为 作差法 与“0”比较 重要不等式 04 概念讲解 ICM2002会标 北京——第24届国际数学家大会会标． 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图中国找出一些相等和不等关系吗？ (1)正方形ABCD的面积S=________； 四个直角三角形的面积和S' =_____; (2) S与S'有什么样的不等关系，如何表示？ （3）S与S'会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 概念讲解 设直角三角形的两直角边分别为,b，则 S大于S'，即 A B C D E(FGH) 当=b时，S=S'，即 A B C D E F G H a b 当a=b时 综上， 将风车图抽象成左图，则 课堂小结 05 课堂小结 $$