2.2 基本不等式（第二课时）-2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册)

第 2 章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（第二课时） 人教A版2019必修第一册 1.熟练掌握基本不等式的应用条件，能够利用基本不等式求最值. 2.掌握常见的利用基本不等式求最值的题型 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 教学目标 温故知新 01 情景导入 1．基本不等式的两种常用变形形式 (1)ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋b≥2(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)． 类型一：配凑法 02 概念讲解 例1. 求函数 (x＞ -1) 的最小值. 当且仅当即=0 取“=”号. 解: ∵ ＞-1，∴>0. ∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1 概念讲解 练习. 求函数 (x＞ -1) 的最小值. 当且仅当2（即=取“=”号. 解: ∵ ＞-1，∴>0. ∴ 函数 f(x) 的最小值是 概念讲解 配凑系数 解: ，∴. ∴ 例2. 若 ，求函数 的最大值. 当且仅当 时，取“=”号. 的最大值为 分析: 不是 常数.而 为常数 概念讲解 概念讲解 归纳小结 通过配凑法利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形。 （1）求和的最值时配凑出积为常数的形式，然后再利用基本不等式． （2）求乘积的最值时陪凑出和为常数的形式，然后在利用基本不等式。 注意：在应用基本不等式时要注意前提条件“一正”“二定”“三相等”是否成立。 概念讲解 例3. 已知 x>0, 则y=的最大值 . 解：y== ≤= ， 即y的最大值为 ,当x=2时，等号成立. 概念讲解 将分母视为一个整体，凑出分子的形式，从而得到基础题型。 类型二：常数替换 03 概念讲解 概念讲解 概念讲解 解：∵2x+y=xy 当且仅当时，即 练习：正数x、y满足2x+y=xy，则求2x+y的最小值 概念讲解 解：由=2，得+=1 所以 2x+y=[2x+(y+1)]-1 =[2x+(y+1)]()-1≥4-1=3 当x=y=1时，等号成立. 例5.已知x>0,y>0,且=2, 那么2x+y的最小值为 . 概念讲解 练习：已知x>0,y>0,且=，求xy的最小值. 解：由等式 = 变形得xy=x+y+8 所以xy≥2+8 解得xy最小值为16 当x=y=4时，等号成立. 课堂小结 04 课堂小结 2．几个重要的结论 (1)eq \f(a2＋b2,2) ≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up22(2). (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(ab＞0)． (3)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)． 练习：设0＜x＜eq \f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________． 解：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋(3－2x),2))) eq \s\up22(2)＝eq \f(9,2)， 当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立． 因为eq \f(3,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，所以函数y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq \f(9,2). 练习：求函数y＝(x>－1)的最小值． 解：∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y＝＝ ＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9. 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立． ∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值为9. 例4.已知正实数a，b满足a＋b＝4，则eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值为________． 解：∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，即eq \f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]＝1. ∴eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)＝eq \f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq \f(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b＋3,a＋1)＋\f(a＋1,b＋3)))≥eq \f(1,8)×(2＋2)＝eq \f(1,2)， 当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号， ∴eq \f(1,a＋1)＋eq \f(1,b＋3)的最小值为eq \f(1,2). 归纳小结 常值代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的问题， 通常先将eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)转化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值． $$