第05讲 有理数的乘方（1个知识点+5大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 有理数的乘方（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握有理数乘方的概念； 2.掌握有理数的乘方的运算； 1、通过实例，经历乘方概念的产生过程。 2、理解乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法。 3、理解幂的符号法则，会进行有理数乘方运算。 4、会进行乘方、乘、除的简单混合运算。 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即学即练1】 1．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值，乘方运算，先根据倒数和相反数的性质求出a，b的值，再代入解析式求解即可． 【详解】∵有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数， ∴， 当时，原式， 当时，原式， 综上，的值是， 故选：D． 【即学即练2】 2．下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：， ∴；故选项A不符合题意； ， ∴与不相等，故选项B不符合题意； ， ∴与不相等，故选项C不符合题意； ， ∴与相等，故选项D符合题意； 故选D． 题型01 有理数幂的概念理解 1．对于式子，下列说法错误的是（      ） A．表示3个2相乘 B．指数是3 C．底数是 D．幂为 【答案】A 【分析】本题考查有理数幂的定义，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、表示3个相乘，原说法错误，符合题意； B、指数是3，原说法正确，不符合题意； C、底数是，原说法正确，不符合题意； D、幂为，原说法正确，不符合题意； 故选A． 2．代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【答案】D 【分析】根据幂的定义，乘法的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，幂的概念理解，解题的关键是：理解幂的概念． 【详解】解： A、6个n相加，表示为：，不符合题意， B、6个n相乘，表示为：，不符合题意， C、n个6相加，表示为：，不符合题意， D、n个6相乘，表示为：，符合题意， 故选：D． 3．9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 4．在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 5．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 题型02 有理数的乘方运算 1．下列各组数中，两数不相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】此题考查的是有理数乘方的运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键．根据有理数乘方的意义逐一计算并判断即可． 【详解】解：A． ，，所以，故本选项符合题意；     B． ，，所以，故本选项不符合题意；     C． ，，所以，故本选项不符合题意；     D． ，，所以，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，乘方运算．根据尾数的循环性得出结论即可， 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 3．计算： ， ， ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方的运算法则．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘法，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)16 (3) (4) (5)8 (6)36 【分析】本题考查了乘方的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题． （1）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （2）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （3）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （4）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （5）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． （6）根据乘方的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 题型03 有理数乘方逆运算 1．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 2．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 3．的次幂是 ，是 的平方数． 【答案】 16 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，乘方运算的逆运算，根据运算法则可得答案． 【详解】解：， 是的平方数， 故答案为：， 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，理解新运算是解题的关键．根据，再由新运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 5．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 题型04 乘方运算的符号规律 1．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 2．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 3．计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 4．如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 【答案】负数 【分析】根据一个数的15次幂是负数，得到这个数为负数，进而得到这个数的2021次幂也是负数． 【详解】解：因为正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数， 故一个数的15次幂是负数，可知这个数为负数， 所以这个数的2021次幂还是负数； 故答案为：负数． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握正数的奇次幂是正数，负数的奇次幂是负数，是解题的关键． 5．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)正 (2)负 (3)负 (4)负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】（1）解： ∵的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数， ∴的结果为正； （2）解：∵的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负； （3）解：∵表示的是的相反数，正数的任何次幂都是正数， 的结果为正，所以的结果为负； （4）解：∵的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 题型05 乘方的应用 1．如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为10，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（   ）上 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴．先根据，计算出每一个线段的长度，再把的长度与进行比较即可． 【详解】解：点表示数为10，点表示的数为， ， ， ， 点表示的数为， ， ， 数所对应的点在点左侧， 数所对应的点在点之间， 故选：A． 2．为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【分析】此题考查非负数的性质，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，，解题的关键是掌握偶次方的非负性． 【详解】解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则， ∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3．一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，列出正确的算式是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解析：解：根据题意得：， 则截第四次后，剩下的小木棒的长度为． 故答案为：． 4．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 【答案】516 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意以及图形分析，根据满七进一求解是解题的关键． 【详解】解：绳结表示的数为， 故答案为：516； 5．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】(1) (2)32000 (3)32倍 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数． （1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）先算出两个小时后的数量是，计算可得答案． 【详解】（1）解：根据题意：一个细菌在分裂n次后，数量变为个； （2）解：， 1小时后，盘子里有个细菌； （3）解：， 两个小时后的数量是， ∴两个小时后的数量是1小时后的（倍）． 1．下列各组数种，值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质，根据有理数的乘方，相反数的定义，绝对值的性质逐项判断即可，熟记性质是解题的关键． 【详解】、由，，则，符合题意； 、由，，则，不符合题意； 、由，，则，不符合题意； 、由，，则，不符合题意； 故选：． 2．随着国家疫情防控政策的调整，伴随公众长达三年之久的“通信行程卡”服务于2022年12月13日0时起正式下线，据统计，截至下线日，通信大数据行程卡用户查询次数累计达到726亿（72600000000）次以上，请问文中的“”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：726亿， 故选：A． 3．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数的性质，绝对值的概念，有理数的乘法运算，根据题意可知，，，代入计算即可，解题的关键是掌握互为相反数的两数和为、互为倒数的两数积是，注意整体代入思想的运用． 【详解】解：由题意得：，，， ∴原式 ， 则或， 故选：． 4．截止2023年1月16日，银川市在新能源产业建成光伏、风电装机容量万千瓦．将数据万用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， ∴的值为， 故选：C． 5．如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图形，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是， 故选：C． 6．设，则的个位数字与十位数字之和为（    ）． A．8 B．11 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案． 【详解】解：的后两位为49， 的后两位为64， 的后两位为81， ， 个位上的数字为4，十位上的数字为9，， 故选：C． 7．截止2022年12月22日，全球新冠累计感染人数已经达到630000000人，630000000 用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 8．若a、b互为相反数，c、a互为倒数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握倒数，相反数，代数式求值，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，然后代值求解即可． 【详解】a、b互为相反数，c、a互为倒数， ，即 ，即 故答案为：0． 9．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题主要考查了相反数的定义，倒数的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，以及数轴上两点之间距离的表示方法．根据题意得出，，或，将其代入求解即可． 【详解】解：∵a、b互为相反数， ∴， ∵c、d互为倒数， ∴， ∵数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度， ∴或， ∴， 或， 故答案为：2或． 10．如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 ． 姓名：张小琴 得分： 填空（每小题25分，共100分） ①的底数是 ②的立方是 ③若，则； ④若，则． 【答案】25 【分析】本题考查了幂的定义，有理数的乘方运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：①的底数是2，故错误； ②的立方是，故错误； ③∵， ∴，， ∴，， ∴，故正确； ④若，则，故错误； 则小琴同学的得分是． 故答案为：25． 11．若x，y为有理数，且则的值为 ． 【答案】1 【分析】直接利用绝对值和偶次方的非负数的性质得出x，y的值，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ，， 解得，， ． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键． 12．李老师给同学们布置了一道作业题，要求每位同学写出一个式子，发到班级QQ群里，要求男同学发的式子结果为正数，女同学发的式子结果为负数，下面是其中的10个式子： ，，，，，，，，，． 则发这些式子的同学中，有男同学 人 【答案】4 【分析】分别计算每个式子的数，看有几个正数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 共4个正数，有男同学4人， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则，涉及到了正数和负数、绝对值，掌握有理数的运算法则． 13．已知：互为相反数的倒数是是最小的正整数． (1)填空：__________； (2)求的值； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的除法、相反数、倒数和有理数的加减混合运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行解题即可； （2）先根据题意得出各数的值再进行加减即可； （3）先计算的值再进行比较即可． 【详解】（1），互为相反数，则，则． 故答案为：； （2）的倒数是，则，是最小的正整数，则， 故； （3）由题可知，， 则， ， 则． 14．（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，则的值为 ． （2）如果a，b表示有理数，且，求的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，有理数的除法和绝对值的意义，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）由题意可得，，，，再把相应的值代入所求的式子运算即可． （2）根据有理数的乘法，可得a、b异号，化简绝对值，根据有理数的除法，可得答案． 【详解】(1)解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：8． （2）解：∵， ∴a，b异号， ∴． 15．对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 【答案】(1)16 (2)64 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算．理解题意，正确的运算是解题的关键． （1）由，可得，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． (1)【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①；②； ③若，则______；④若，则______； (2)【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有______个，它们互为______； 平方等于一个正数的数有______个，它们互为______； (3)【知识运用】运用上述结论解答：已知，求的值． 【答案】(1)； (2)两，相反数；两，相反数 (3) 【分析】此题考查了有理数的乘方，绝对值“有理数的绝对值都是非负数”，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用绝对值以及平方根的定义计算即可得到结果； （2）根据运算结果归纳即可； （3）利用绝对值以及平方根的定义求出x与y的值，即可确定出的值． 【详解】（1）若，则；若，则； （2）根据上述知识，能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 平方等于一个正数的数有两个，它们互为相反数； 故答案为：两，相反数；两，相反数； （3）因为，所以，因此或； 因为，所以，因此或； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以的值为． 17．在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的5A级景区为太姥山风景．正所谓“不到长城非好汉，不去太姥山很遗憾”景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化（万） (1)若9月28日的游客人数为1.2万人，则10月4日的游客人数是多少万人？ (2)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (3)如果每万人带来的经济收入约为70万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数来表示） 【答案】(1)1.7万人 (2)1.5万人 (3)元 【分析】本题考查正数和负数的应用、有理数加减法的应用，科学记数法，解答本题的关键是正负数在题目中的实际意义和科学记数法的表示方法． （1）根据题意和表格中的数据可以计算出10月4日的游客人数； （2）根据表格中的数据可以计算出每天的游客人数，再比较大小，即可以求解； （3）用8天的总人数乘以70万元，计算出结果 ，再用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：(万人)， 答：10月4日的游客人数是1.7万人； （2）解：由表格可得， 9月28日的游客人数是1.2万人， 9月29日的游客人数是(万人)， 9月30日的游客人数是(万人)， 10月1日的游客人数是(万人)， 10月2日的游客人数是(万人)， 10月3日的游客人数是(万人)， 10月4日的游客人数是(万人)， 10月5日的游客人数是(万人)， 10月6日的游客人数是(万人)， ∴最多一天人数为1.8万人，最少一天人数为0.3万人， 则8天中游客人数最多的一天比最少的一天多：(万人)， 答：8天中游客人数最多的一天比最少的一天多1.5万人； （3）解：(元)， 答：该风景区在这8天假期的旅游总收入约为元． 18．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等 (2) (3)1 【分析】本题考查有理数的乘方， （1 ）根据乘方的定义分别计算可得； （2 ）根据（1 ）中计算结果可得； （3 ）根据所得结论得出，再进一步计算可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ∴每组两个算式的计算结果相等． （2）解：； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方（1个知识点+5大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握有理数乘方的概念； 2.掌握有理数的乘方的运算； 1、通过实例，经历乘方概念的产生过程。 2、理解乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法。 3、理解幂的符号法则，会进行有理数乘方运算。 4、会进行乘方、乘、除的简单混合运算。 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即学即练1】 1．有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则的值是（　　） A． B．1 C．0 D． 【即学即练2】 2．下列各组数中，结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型01 有理数幂的概念理解 1．对于式子，下列说法错误的是（      ） A．表示3个2相乘 B．指数是3 C．底数是 D．幂为 2．代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 3．9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 4．在中底数是 ，指数是 ． 5．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 题型02 有理数的乘方运算 1．下列各组数中，两数不相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即；，，，，，…，请你推算的个位数字是（    ） A．6 B．4 C．2 D．8 3．计算： ， ， ． 4．计算： ． 5．计算： (1)； (2)； (3) (4)； (5)； (6)． 题型03 有理数乘方逆运算 1．若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 3．的次幂是 ，是 的平方数． 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 5．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 题型04 乘方运算的符号规律 1．如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 2．通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 3．计算： 4．如果一个数的15次幂是负数，那么这个数的2021次幂是 ．（填“正数”或“负数”） 5．判断下列各式计算结果的正负： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 乘方的应用 1．如图，A，B，C，D，E是数轴上5个点，A点表示的数为10，E点表示的数为，，则数所对应的点在线段（   ）上 A． B． C． D． 2．为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 3．一根长的小木棒，如果第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，如此下去，截第四次后，剩下的小木棒的长度为 ． 4．在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”，当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天 5．当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． (1)一个细菌在分裂n次后，数量变为 个． (2)有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有 个细菌． (3)求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 1．下列各组数种，值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．随着国家疫情防控政策的调整，伴随公众长达三年之久的“通信行程卡”服务于2022年12月13日0时起正式下线，据统计，截至下线日，通信大数据行程卡用户查询次数累计达到726亿（72600000000）次以上，请问文中的“”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 4．截止2023年1月16日，银川市在新能源产业建成光伏、风电装机容量万千瓦．将数据万用科学记数法表示为，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．设，则的个位数字与十位数字之和为（    ）． A．8 B．11 C．13 D．14 7．截止2022年12月22日，全球新冠累计感染人数已经达到630000000人，630000000 用科学记数法表示为 ． 8．若a、b互为相反数，c、a互为倒数，则 ． 9．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，数轴上表示m的点与表示的点距离5个单位长度，则 ． 10．如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 ． 姓名：张小琴 得分： 填空（每小题25分，共100分） ①的底数是 ②的立方是 ③若，则； ④若，则． 11．若x，y为有理数，且则的值为 ． 12．李老师给同学们布置了一道作业题，要求每位同学写出一个式子，发到班级QQ群里，要求男同学发的式子结果为正数，女同学发的式子结果为负数，下面是其中的10个式子： ，，，，，，，，，． 则发这些式子的同学中，有男同学 人 13．已知：互为相反数的倒数是是最小的正整数． (1)填空：__________； (2)求的值； (3)比较与的大小． 14．（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于3，则的值为 ． （2）如果a，b表示有理数，且，求的值． 15．对于任意有理数a，b定义一种新运算“△”：当时，；当时，．例：；． (1)求； (2)求的值； 16．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． (1)【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①；②； ③若，则______；④若，则______； (2)【知识归纳】根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有______个，它们互为______； 平方等于一个正数的数有______个，它们互为______； (3)【知识运用】运用上述结论解答：已知，求的值． 17．在今年的“国庆+中秋”的8天长假中，我市景区再度上演“人从众”，其中最火爆的5A级景区为太姥山风景．正所谓“不到长城非好汉，不去太姥山很遗憾”景区每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 人数变化（万） (1)若9月28日的游客人数为1.2万人，则10月4日的游客人数是多少万人？ (2)8天中游客人数最多的一天比最少的一天多几万人？ (3)如果每万人带来的经济收入约为70万元，则该风景区在这8天假期的旅游总收入约为多少元？（结果用科学记数来表示） 18．观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$