第03讲 有理数的乘法（2个知识点+5大题型+20道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第03讲 有理数的乘法（2个知识点+5大题型+20道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则； 2.掌握有理数的乘法运算律； 1、引导学生积极参与思考，理解并掌握有理数乘法法则 2、鼓励学生参与到数学学习活动中，自己动手，总结规律。 3、通过学生自己动手实际操作，证明有理数运算中乘法的交换律、结合律以及分配律依然成立。 4、培养学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并用实例来给予证明，对数学有好奇心与求知欲。 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即学即练1】 1．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几个有理数的乘法．熟练掌握几个有理数的乘法的符号法则，是解决问题的关键．几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积为零． 根据几个有理数的乘法的符号法则逐一判断，即可以得到答案． 【详解】A、有两个负因数，积为正，故A不符合题意． B、有三个负因数，积为负，故B符合题意． C、有一个因数0，积为0，故C不符合题意． D、有四个负因数，积为正，故D不符合题意． 故选：B． 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即学即练2】 2．下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．5和 B．0.25和 C．100和0.001 D．和 【答案】D 【分析】本题考查的是倒数．根据倒数的定义“乘积是1的两数互为倒数”解答即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 题型01 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果为（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则．根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值非负数的性质．根据非负数的性质及有理数的乘法解答即可． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，； ∴， 故选：C． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，根据乘法法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法，先确定符号再计算即可． 【详解】， 故答案为：． 5．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)0； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)； (7)1； (8) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，正确运用有理数的乘法法则，尤其是符号法则，是解题的关键． （1）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （2）根据两数相乘，异号得负进行计算； （3）根据两数相乘，异号得负进行计算； （4）根据两数相乘，同号得正进行计算； （5）根据0与任何数相乘都得0进行计算； （6）根据两数相乘，异号得负进行计算； （7）先利用乘法交换律，再根据两数相乘，同号得正进行计算； （8）先计算括号中的式子，再根据两数相乘，异号得负进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 题型02 多个有理数的乘法运算 1．下列算式中，积为负数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数相乘的法则：““几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．中有4个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意； C．中有3个负数，因此积是负数，故本选项符合题意； D．中有2个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，结果为正数，符合题意； B、，结果既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、，结果是负数，不符合题意； D、，结果是负数，不符合题意； 故选：A． 3．计算 ． 【答案】 【分析】根据0乘以任何数都得0可直接得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟知0乘以任何数都得0是解题的关键． 4．从，，，0，5，6中取三个不同的数相乘，所得的最小乘积为 . 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，解题的关键是取出两个正数，一个负数，使其积最小． 【详解】解：从，，，0，5，6中取3个不同的数相乘，可得到的最小乘积为， 故答案为：． 5．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型03 有理数乘法的实际应用 1．学校中午配餐提供4种主食，2种菜色，如果只选择一种主食和一种菜色搭配，则不同搭配方法有（　　）种． A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法的实际应用，直接用主食数乘以菜色数即可得到答案． 【详解】解：根据题意分析可知，每一种主食都可以与2种菜色搭配成2种不同的方法， 所以4种主食可以搭配出种不同的方法， 故选：B． 2．远古时期人们用结绳来计数，猎人在从右往左依次排列的绳子上打结来表示猎物的数量．如果按照满八进一的方法，如图表示有只猎物，如果按照满六进一的方法，图中猎物的只数应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了古代计数的方法，理解每个绳结代表猎物的数量是解题的关键．如果按满八进一的方法，左边绳子上一个绳结代表只猎物，右边绳子上一个绳结代表只猎物，据此解答． 【详解】解： （只） 如果按照满六进一的方法，图中猎物的只数应该是只， 故选：B． 3．如图是王老师在电脑上下载一份文件的过程示意图，电脑显示，下载这份文件一共需要50分钟，照这样的速度，王老师还要等 分钟能下载完这份文件． 【答案】18 【分析】此题考查了有理数的乘法，用总时间乘以剩余的百分比即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，（分钟）， 故答案为：18 4．某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得分，不选得零分．王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是 ． 【答案】78 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．根据规则列出得分的算式计算即可． 【详解】解：∵选对一道得5分，选错一道得分，不选得零分． ∴他的得分是． 故答案为：78． 5．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均为为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的重量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（kg） 0 ● (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的重量； (2)若七年级计划总共收集废纸，他们达到预期目标了吗？请说明理由； (3)若七年级六个班将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的单价为1元，超出的部分单价为元，求废纸卖出的总钱数． 【答案】(1)六班收集废纸的质量为千克 (2)他们达到预期目标，见解析 (3)废纸卖出的总钱数为元 【分析】本题主要考查正负数表示的意义、有理数的加法，熟练掌握正负数表示的意义、有理数的加法运算法则是解决本题的关键． （1）根据正负数表示的意义、有理数的加法法则解决此题． （2）根据正负数表示的意义、有理数的加法法则解决此题． （3）根据正负数表示的意义、有理数的乘法运算法则解决此题． 【详解】（1）解：经分析，六班收集废纸的重量最多，超出标准质量为：， ∴六班收集废纸的重量为． 答：六班收集废纸的质量为； （2）解：他们达到了预期目标， 理由：， 答：他们达到预期目标； （3）解：废纸卖出的总价格为（元）． 答：废纸卖出的总钱数为元． 题型04 倒数 1．2024的倒数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键；根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：， 2024的倒数是， 故选：C． 2．已知一个数的倒数是，那么这个数的相反数是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相反数，倒数的概念．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数，相反数的概念可知：的倒数是，的相反数是，从而得出答案． 【详解】解：一个数的倒数是， 这个数是， 这个数的相反数是； 故选：A 3．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了倒数，关键是掌握倒数定义：乘积是的两数互为倒数可得倒数是它本身的数是． 【详解】解：如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是， 故答案为：． 4．的相反数是 ，的绝对值是 ，2023的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值、相反数等知识点，掌握乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0成为解题的关键． 根据倒数、绝对值、相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是3，2023的倒数是 故答案为：，3，． 5．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将小数化为分数，带分数化为假分数，根据倒数的定义求解即可． 【详解】（1），所以的倒数是． （2）的倒数是4． （3）的倒数是． （4），所以的倒数是． 【点睛】本题主要考查倒数，牢记倒数的定义以及求倒数的方法是解题的关键． 题型05 有理数乘法运算律 1．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【详解】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 2．计算的结果是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘法分配律的应用，直接利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】解： ； 故选C 3．填空： （1） ； （2） [ ]； （3） ． 【答案】 【分析】（1）直接利用乘法的交换律即可得到答案； （2）直接利用乘法的结合律即可得到答案； （3）直接利用乘法的分配律即可得到答案； 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是乘法的交换律，结合律，分配律的应用，熟记乘法的运算律的解本题的关键． 4．计算： ． 【答案】25 【分析】根据乘法分配律将25提出来之后，再根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：25． 【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意计算过程中的符号，正确运用乘法分配律是解题的关键． 5．计算下列各题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘法分配律求解即可； （2）根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 1．若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数比较大小，根据减去一个数等于加上这个数的相反数，由于，故，进而得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴最大的一个数是； 故选A． 2．若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的意义，有理数的加法等知识．先根据题意得到，，再分和两种情况即可求出的值． 【详解】解：因为a的绝对值为7， 所以， 因为b的倒数为， 所以， 当是，； 当是，． 故选：D． 3．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 4．如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴在有理数加减乘除法运算中的应用，数形结合，是解题的关键． 先由数轴得出，再根据有理数的加法法则、有理数的乘除法法则分析，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴结论①错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴结论③正确； ∵， ∴，又 ∴， ∴结论④错误； 综上，正确的个数为2个． 故选：B． 5．的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义成为解题的关键． 先求出，再根据互为倒数的两个数的积为1即可解答． 【详解】解：，的倒数是． 故选C． 6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 7．从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘法计算，先求出取出的这三个数的和为20，再由，得到这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数，据此讨论分别取到1到10这10个数时的最大乘积即可得到答案． 【详解】解：， 所以取出的这三个数的和为20， 因为， 所以这10个不同的非零自然数即为从1到10的10个自然数， 当取的数有10时，由于， 此时三个数的积最大为， 同理取的数有9时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有8时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有7时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有6时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有5时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有4时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有3时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有2时，此时三个数的积最大为， 同理取的数有1时，此时三个数的积最大为， 综上所述，这三个数的积的最大值为280， 故选A． 8．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 9．从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算即可求解，解题的关键是几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正． 【详解】积的最大值是，积的最小值为， 故答案为：，． 10．若，，且，则 ． 【答案】或1/1或 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，解决此类问题的关键是由，得出；，得出．再利用这一条件确定x和y的具体取值，然后代入，从而得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，；，， ∴或， 故答案为：或1． 11．已如a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意或，根据，得出或，求出m的值即可． 【详解】解：∵a、b、c是三个不同整数，（不妨设），m为整数， ， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 12．已知． （1）写出一个大于且小于的负整数： ； （2）若c的倒数是a与b的差，则c的值为 ． 【答案】 （答案不唯一）． 【分析】（1）本题根据绝对值和平方的非负性解出a与b的值，再根据题意和有理数的大小写出数字即可． （2）本题考查倒数的意义和有理数的减法运算，根据a与b的值，算出a与b的差，再根据倒数的概念即可得到c的值． 【详解】解：（1）， 且， 解得，． 大于且小于的负整数有、、、，写这4个数中任意一个即可． 故答案为：（答案不唯一）． （2）由题知，，即c的倒数是，则c的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性、有理数的大小比较、倒数的意义、有理数的减法运算，熟练掌握相关概念即可解题． 13．对于有理数x，y，若，则的值是 . 【答案】 【分析】由，不妨设，然后根据绝对值性质取绝对值，最后进行计算即可；掌握绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由，不妨设， 则 ． 故答案为：． 14．若，，为有理数，且，则 ． 【答案】5或1或 【分析】此题主要考查了乘法法则的运用，绝对值的性质，绝对值化简求值，根据有理数的乘法法则可得a、b、c、d四个数中有2个负数或4个负数或没有负数，然后分情况计算出a、b、c、d四个数中有2个负数时：的值，再计算出a、b、c、d四个数中有4个负数时：的值，再计算出a、b、c、d四个数中没有负数时：的值，即可求解． 【详解】解：， a、b、c、d四个数中有2个负数或4个负数或没有负数， 当b、c、d四个数中有2个负数时：在中，有任意两个的值为，， ， 当b、c、d四个数中有4个负数时：在中，四个的值为， ， 当b、c、d四个数中没有负数时：在中，四个的值为， ， 综上所述，的值为：5或1或， 故答案为：5或1或． 15．已知，． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘法，正确分类讨论是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案； （2）直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：，， ，， （1）若，所以，异号， 当，时，， 当，时，， 综上，； （2）若，则， 当，时，， 当，时，， 综上，． 16．有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克． (2)这8筐白菜中最重的重 千克；最轻的重 千克． (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)24.5 (2)27；22 (3)出售这8筐白菜可卖389元 【分析】本题考查了有理数的加减法和乘法运算在实际中的应用．体现了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）纪录中绝对值最小的数，就是最接近标准重量的数； （2）找到记录中最大的数和最小的数，然后根据标准求解即可； （3）计算出8筐白菜的实际重量，然后乘以每千克售价可得答案． 【详解】（1）解：最接近标准重量的是纪录中绝对值最小的数，因而是（千克）， 故答案为：24.5； （2）记录中最大的数为2，最小的数为 （千克），（千克） 这8筐白菜中最重的重27克；最轻的22千克， 故答案为：27；22． （3）（千克） （元， 答：出售这8筐白菜可卖389元． 17．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：）为：、、、、、、、、、 ． (1)问收工时距A地多远？ (2)若每千米耗油，问从A地出发到收工时，共耗油多少千克？ 【答案】(1)收工时距A地； (2)从A地出发到收工时，共耗油千克． 【分析】本题考查了正负数的实际意义，有理数加法和乘法的应用，绝对值，理解绝对值的意义是本题的解题关键． （1）根据题意，有理数相加，并求和的绝对值即可得到答案； （2）根据题意，计算各段绝对值的和，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， 即收工时距A地； （2）解：， ， 即从A地出发到收工时，共耗油千克． 18．随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的苹果梨．下表为小李月份第一周销售苹果梨的情况（以为标准，超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)小李在第一周星期一到星期三这三天共卖出苹果梨_______； (2)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________苹果梨； (3)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 【答案】(1)； (2)； (3)小李这周直播销售苹果梨的总收入为元． 【分析】（）根据前三天销售量相加计算即可； （）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （）将总数量乘以价格解答即可； 本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： （元）， 答：小李这周直播销售苹果梨的总收入为元． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数的加减混合运算法则求解即可； （）先化简绝对值，再利用有理数的加减混合运算法则求解即可； （）利用有理数乘法分配律的逆运算进行求解即可； （）利用有理数乘法分配律进行求解即可； 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 20．小张上星期天买进某公司股票2000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （注：正号表示每股价格比前一天上涨，负号表示每股价格比前一天下跌．） (1)星期二收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)请用折线统计图表示该股市这几天的股票涨跌情况． (4)已知小张买进股票时付了1%的手续费，卖出时需付成交额的1.5%的手续费和1%的交易税，如果小张在星期六将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)星期二收盘时，每股是24.5元 (2)本周内最高价是每股27元，最低价是每股23.5元 (3)见解析 (4)小张盈利了元 【分析】此题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用及折线统计图． （1）由图可以算出星期二收盘的价格； （2）先进行计算每天的收盘价，再进行判断即可； （3）由（2）的数据画出图形即可； （3）收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费，代入求值即可． 【详解】（1）（元， 答：星期二收盘时，每股是24.5元； （2）星期一收盘价：（元， 星期二收盘价：（元， 星期三收盘价：（元， 星期四收盘价：（元， 星期五收盘价：（元， 星期六收盘价：（元， 所以本周内最高价是每股27元，最低价是每股23.5元； （3） （4）（元， （元， （元． 所以小张盈利了元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的乘法（2个知识点+5大题型+20道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则； 2.掌握有理数的乘法运算律； 1、引导学生积极参与思考，理解并掌握有理数乘法法则 2、鼓励学生参与到数学学习活动中，自己动手，总结规律。 3、通过学生自己动手实际操作，证明有理数运算中乘法的交换律、结合律以及分配律依然成立。 4、培养学生积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并用实例来给予证明，对数学有好奇心与求知欲。 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即学即练1】 1．下列式子中，积的符号为负的是（　　） A． B． C． D． 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即学即练2】 2．下列各组数中，互为倒数的是（    ） A．5和 B．0.25和 C．100和0.001 D．和 题型01 两个有理数的乘法运算 1．计算的结果为（    ） A．1 B． C．2024 D． 2．若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．9 3．计算： ． 4．计算的结果为 ． 5．计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 题型02 多个有理数的乘法运算 1．下列算式中，积为负数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列运算结果为正数的是（    ） A． B． C． D．． 3．计算 ． 4．从，，，0，5，6中取三个不同的数相乘，所得的最小乘积为 . 5．计算： (1) (2) 题型03 有理数乘法的实际应用 1．学校中午配餐提供4种主食，2种菜色，如果只选择一种主食和一种菜色搭配，则不同搭配方法有（　　）种． A．10 B．8 C．6 D．5 2．远古时期人们用结绳来计数，猎人在从右往左依次排列的绳子上打结来表示猎物的数量．如果按照满八进一的方法，如图表示有只猎物，如果按照满六进一的方法，图中猎物的只数应该是（    ） A． B． C． D． 3．如图是王老师在电脑上下载一份文件的过程示意图，电脑显示，下载这份文件一共需要50分钟，照这样的速度，王老师还要等 分钟能下载完这份文件． 4．某次数学测验共20道选择题，规则是：选对一道得5分，选错一道得分，不选得零分．王明同学的卷面成绩是：选对16道题，选错2道题，有2道题未做，他的得分是 ． 5．某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均为为标准，超过的记为“”，不足的记为“”，七年级六个班的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的重量差为． 班级 一 二 三 四 五 六 超过（不足）（kg） 0 ● (1)请你计算七年级六班同学收集废纸的重量； (2)若七年级计划总共收集废纸，他们达到预期目标了吗？请说明理由； (3)若七年级六个班将本次活动收集的废纸集中卖出，（包括）以内的单价为1元，超出的部分单价为元，求废纸卖出的总钱数． 题型04 倒数 1．2024的倒数是（    ） A．2024 B． C． D． 2．已知一个数的倒数是，那么这个数的相反数是（    ） A． B．5 C． D． 3．如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是 ． 4．的相反数是 ，的绝对值是 ，2023的倒数是 ． 5．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05 有理数乘法运算律 1．在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 2．计算的结果是（    ） A．9 B． C． D． 3．填空： （1） ； （2） [ ]； （3） ． 4．计算： ． 5．计算下列各题： (1)； (2)； 1．若，则中最大的一个数是（    ） A． B． C． D． 2．若a的绝对值为7，b的倒数为，则的值为（    ） A．5 B．9 C．或9 D．5或 3．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 4．如图，数轴上点对应的有理数分别为a，b，c，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(    )个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 7．从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的，则取出的3个数的积最大等于（    ） A．280 B．270 C．252 D．216 8．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 9．从数，，，，中任意选取两个数相乘，其积的最大值是 ，最小值是 ． 10．若，，且，则 ． 11．已如a、b、c满足的三个不同整数，整数满足，则 ． 12．已知． （1）写出一个大于且小于的负整数： ； （2）若c的倒数是a与b的差，则c的值为 ． 13．对于有理数x，y，若，则的值是 . 14．若，，为有理数，且，则 ． 15．已知，． (1)若，求的值． (2)若，求的值． 16．有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克． (2)这8筐白菜中最重的重 千克；最轻的重 千克． (3)若白菜每千克售价2元，则出售这8筐白菜可卖多少元？ 17．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走路线（单位：）为：、、、、、、、、、 ． (1)问收工时距A地多远？ (2)若每千米耗油，问从A地出发到收工时，共耗油多少千克？ 18．随着短视频软件的普及，许多人利用各种直播平台做电商，小李也将自己家果园的苹果梨在某直播平台进行销售，经过一段时间的销售，小李发现每天能销售左右的苹果梨．下表为小李月份第一周销售苹果梨的情况（以为标准，超额记为正，不足记为负，单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准销售量的差值 根据以上内容回答下列问题： (1)小李在第一周星期一到星期三这三天共卖出苹果梨_______； (2)这周销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________苹果梨； (3)若苹果梨的售价为元，不考虑其他因素，求小李这周直播销售苹果梨的总收入． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．小张上星期天买进某公司股票2000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （注：正号表示每股价格比前一天上涨，负号表示每股价格比前一天下跌．） (1)星期二收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)请用折线统计图表示该股市这几天的股票涨跌情况． (4)已知小张买进股票时付了1%的手续费，卖出时需付成交额的1.5%的手续费和1%的交易税，如果小张在星期六将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$