专题12基本作图与尺规作图问题-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（福建专用）

专题12基本作图与尺规作图问题 一、单选题 1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ） A．且 B．且 C．且 D．且 二、解答题 2．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 3．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 4．（2021·福建·中考真题）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 5．（2020·福建·中考真题）如图，为线段外一点． （1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上． 一、单选题 1．（2024·福建厦门·二模）综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程． （1）分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，相交于两点，作过这两点的直线交于O； （2）连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C； （3）连接，，则四边形即为所求． 在小明的作法中，可以直接用于判定四边形为平行四边形的依据是（    ）                  A．（两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 2．（2024·福建厦门·三模）如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 3．（2024·福建福州·三模）如图，在中，，．阅读以下作图步骤： ①以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线交于点． 则下列说法错误的是（    ） A．是的高 B．是的中线 C． D． 4．（2024·福建厦门·二模）如图，已知中，，阅读以下作图步骤： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接交于点G； ③以点G为圆心，的长为半径作弧交于点P，连接． 根据以上作图步骤，下列推理正确的是（    ） A．∵平分，∴ B．∵垂直平分，∴ C．∵点P在以为直径的圆上，∴ D．∵点P在以为直径的圆上，∴点P在直线上 5．（2024·福建龙岩·二模）如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．66° D．80° 6．（2024·福建泉州·一模）如图，在中，，是边的中线，根据下列作图步骤： ①分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧分别相交于两点； ②连接并延长，交于点； ③连接． 则下列结论正确的是（    ） A．延长，则垂直平分 B．平分 C．是等腰三角形 D． 7．（2024·福建漳州·一模）如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·福建南平·一模）如图，已知，，是高，用尺规作图的方法作出的内心O，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·福建莆田·一模）如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是 ． 10．（2024·福建厦门·二模）如图，是平行四边形的对角线，在和上分别截取，使，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，平行四边形面积为24，则的面积是 ． 11．（2024·福建福州·一模）如图，在等腰直角中，，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接与分别交于点G，H，则 ． 12．（2024·福建泉州·二模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点、，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点．若，则的周长是 ． 三、解答题 13．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，． (1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的值． 14．（2024·福建莆田·一模）（1）如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）中，若以为直径的圆上与相交于点，若，且，求弧的长　　　　　． 15．（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接．    (1)请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 16．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 17．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，是钝角．    (1)尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 18．（2024·福建福州·模拟预测）如图，是的直径，过点A作的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交于点D，连接． (1)请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)证明：是的切线． 19．（2024·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点． (1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点． 20．（2024·福建福州·模拟预测）已知，在中，．将绕点旋转使点落在直线上的点处，点落在点处，直线与直线相交于点，射线与射线相交于点，连接． (1)当时，用直尺和圆规作出图形，并求证：①；②； (2)当点与点的距离为5时，求的长． 21．（2024·福建福州·模拟预测）如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点O． (1)在边上求作一点E，使得沿着折叠后，C和F是对应点，且点F落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 22．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，，，点D为平面内一动点（点A，B，D三点不共线），且，连接BD． (1)在上确定一点E，连接，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转得到，连接． ①求证：； ②若直线与直线相交于点G，连接．当的面积最大时，求的值． 23．（2024·福建厦门·二模）如图，已知，    (1)尺规作图：求作点D，使得A，D两点关于直线对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）条件下，点E在线段上，，，连接，求的长度． 24．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． (1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证：是的切线． 25．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，四边形中，，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)作出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 26．（2024·福建漳州·二模）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 27．（2024·福建宁德·一模）如图所示，是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求菱形的面积．（，，） 28．（2024·福建南平·二模）已知矩形纸片． 第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E； 第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为； 第3步：连接并延长，交边于点． (1)当四边形为正方形，如图1． ①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）； ②求证： (2)如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值． 29．（2024·福建厦门·模拟预测）是的直径，点在线段的延长线上，射线与相切于点，，连接，扇形的面积为．是线段上的动点，且，连接并延长交射线于点．      (1)请在图中作出四边形，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，交射线于点M，交射线于点， ①当时，判断点与直线的位置关系，并说明理由； ②当时，探究线段之间的数量关系． 30．（2024·福建三明·二模）如图，已知，，，A为斜边上一点． (1)求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接DN，求证：． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12基本作图与尺规作图问题 一、单选题 1．（2023·福建·中考真题）阅读以下作图步骤： ①在和上分别截取，使； ②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； ③作射线，连接，如图所示． 根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）      A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：， ∵， ∴． ∴． ∴A选项符合题意； 不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意； 不能确定,故C选项不符合题意， 不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键． 二、解答题 2．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线． (1)在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想： （1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可； （2）分；；三种情况，结合三角形面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图， 直线就是所求作的直线． （2）①当时， ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：， ， ． ②当时， 分别过点作直线的垂线，垂足为， ． ，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离， ． ，， ，， ． 在中，由勾股定理得， ． ． ③当时，同理可得，． 综上所述，的面积为1或． 3．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 4．（2021·福建·中考真题）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据，点B在射线上，过点A作；根据等边三角形性质，得，分别过点A、B，为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案； （2）设直线与相交于点S、直线与相交于点，根据平行线和相似三角形的性质，得，从而得，即可完成证明． 【详解】（1）作图如下： 四边形是所求作的四边形； （2）设直线与相交于点S， ∵， ∴， ∴ 设直线与相交于点， 同理． ∵P，Q分别为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点S与重合，即三条直线相交于同一点． 【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解． 5．（2020·福建·中考真题）如图，为线段外一点． （1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）按要求进行尺规作图即可； (2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上． 【详解】解：（1） 则四边形就是所求作的四边形． （2）∵，∴，， ∴，∴． ∵分别为，的中点， ∴，，∴． 连接，，又∵， ∴，∴， ∵点在上∴，∴， ∴三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想． 一、单选题 1．（2024·福建厦门·二模）综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．（1）~（3）是其作图过程． （1）分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，相交于两点，作过这两点的直线交于O； （2）连接并延长，再以O为圆心，长为半径作弧，交延长线于点C； （3）连接，，则四边形即为所求． 在小明的作法中，可以直接用于判定四边形为平行四边形的依据是（    ）                  A．（两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：D． 2．（2024·福建厦门·三模）如图，在中，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点，．再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．画射线与交于点，点是上一点，连接．根据以上作图，下列结论正确的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作角平分线；由作图可知，是的角平分线，故，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，故B正确，符合题意； 而选项A，C，D都不一定正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·福建福州·三模）如图，在中，，．阅读以下作图步骤： ①以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线交于点． 则下列说法错误的是（    ） A．是的高 B．是的中线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，高线的画法，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质与概念是解题的关键．先通过画法确定是线段垂直平分线，再利用直角三角形依次进行判断即可． 【详解】解：由作图步骤可得，， ∴是的高， 选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴选项B正确，不符合题意； ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴选项C正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．（2024·福建厦门·二模）如图，已知中，，阅读以下作图步骤： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接交于点G； ③以点G为圆心，的长为半径作弧交于点P，连接． 根据以上作图步骤，下列推理正确的是（    ） A．∵平分，∴ B．∵垂直平分，∴ C．∵点P在以为直径的圆上，∴ D．∵点P在以为直径的圆上，∴点P在直线上 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线及其性质，圆周角定理的应用，根据的线段的垂直平分线与圆周角定理逐一分析即可． 【详解】解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴平分，故A不符合题意； ∵不一定在上， ∴错误，故B不符合题意； ∵点P在以为直径的圆上， ∴，故C符合题意； ∵点P在以为直径的圆上， ∴点P不一定在直线上，故D不符合题意； 故选C 5．（2024·福建龙岩·二模）如图，依据尺规作图痕迹，若，，则的度数为（   ） A．50° B．60° C．66° D．80° 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：是的角平分线， ∴； ∵， ∴ 故选：C． 6．（2024·福建泉州·一模）如图，在中，，是边的中线，根据下列作图步骤： ①分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧分别相交于两点； ②连接并延长，交于点； ③连接． 则下列结论正确的是（    ） A．延长，则垂直平分 B．平分 C．是等腰三角形 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，尺规作图作线段的垂直平分线，由作图可知是的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质得在同一条直线上，则点为 的重心，因此只有当为等边三角形时，延长垂直平分，据此可对选项进行判断；根据等腰三角形“三线合一”的性质可对选项进行判断；根据只有当 为等边三角形时，据此可对选项进行判断；根据只有当为等边三角形时，，据此可对选项进行判断，熟练掌握等腰三角形的性质，尺规作图作线段的垂直平分线是解决问题的关键． 【详解】解： 如图： 由作图可知：是的垂直平分线，交于点， ∴ 又 ∴在同一条直线上， 即是边上的中线， 又∵是边的中线， ∴点为的重心， 延长，则平分， 只有当为等边三角形时，垂直平分， 故选项不符合题意； 是边上的中线， 根据等腰三角形“三线合一”的性质得：平分 故选项符合题意； ∵点为的重心， ∴只有当为等边三角形时，即是等腰三角形， 故选项不符合题意； ∵点为的重心， ∴只有当为等边三角形时，， 故选项不符合题意． 故选：B． 7．（2024·福建漳州·一模）如图，在中，．阅读以下作图步骤： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②作直线，交于点，交于点，连接． 根据以上作图，下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图—作垂线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，由作图可得垂直平分，从而得出，，，即可判断A；推出，得出为的中点，，从而可以判断B，再由相似三角形的性质即可判断D，利用含角的直角三角形的性质可以判断C，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ，，，故A正确，不符合题意； ， ， ∴， 为的中点， ，， ，，故B、D正确，不符合题意； 当时，，故C不一定正确，符合题意； 故选：C． 8．（2024·福建南平·一模）如图，已知，，是高，用尺规作图的方法作出的内心O，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内心问题，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得平分，再由三角形的内心定义，即可求解． 【详解】解：∵，是高， ∴平分， ∴要用尺规作图的方法作出的内心O，只需作出或的角平分线，即可． 故选：C 二、填空题 9．（2024·福建莆田·一模）如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据证明得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出． 【详解】解：如图， 由作法得垂直平分， ，，， 平分， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为4． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10．（2024·福建厦门·二模）如图，是平行四边形的对角线，在和上分别截取，使，分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线交于点P，若，平行四边形面积为24，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的性质和尺规作图，先由平行四边形的性质得到，再由作图方法可知，平分，则由角平分线的性质得到，再根据三角形面积计算公式得到，则，即可得到． 【详解】解：∵平行四边形面积为24， ∴， 设点P到线段的距离分别为， 由作图方法可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024·福建福州·一模）如图，在等腰直角中，，尺规作图如下：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交边于点D，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画两条弧，两弧分别交于点E，F，连接与分别交于点G，H，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的作法与性质，等腰直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的作法与性质是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，由等腰直角三角形的性质结合三角形外角的性质即可得出结果． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·福建泉州·二模）如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点、，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点．若，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 首先根据平行线四边形的性质得到，然后由角平分线的作图得到，进而得到，然后求得，进而利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 由题意可得，平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 故答案为：10． 三、解答题 13．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，． (1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； （2）由（1）得：，，，结合，，由面积可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，作于M， 由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径， ∴是的切线，即， 由作图可得：是的切线， ∴即为所求． （2）解：由（1）得：，，， ∵， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作垂线，作圆，切线的判定，角平分线的性质，锐角的正切的含义，熟练的作图是解本题的关键． 14．（2024·福建莆田·一模）（1）如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）中，若以为直径的圆上与相交于点，若，且，求弧的长　　　　　． 【答案】（）作图见解析；（）． 【分析】（）先作的垂直平分确定的中点，再以点为圆心，为半径作圆，然后作交于点； （）连接，先证明为等腰直角三角形得到，再由（）作法得，利用三角形内角和计算出，则可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算； 本题考查了尺规作图，等边三角形和等腰三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，弧长计算公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，点为所求； （）连接，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（）作法得， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形, ∴， ∴弧的长度， 故答案为：． 15．（2024·福建福州·模拟预测）如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接．    (1)请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查作图相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）过点作于，点即为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 16．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）先证明，得到，设，再利用勾股定理可得，解方程即可． 【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示． ． （2）解：， ． 又， ， ． 点在以为直径的圆上， ， ． 又为的切线， ． ， ， ， ． 在和中， ． ，， 设， ， ， ， 解得：， 的半径为5． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，是钝角．    (1)尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【答案】(1)证作图见解析 (2)①证明见解析；②32 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点； （2）①连接，证明即可；②证明，推出，由，，得，由相似比，代值解得，推出． 【详解】（1）解：如图所示：   ，点即为所求； （2）①证明：连接，如图所示：     是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； ②解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理、正切函数求线段长等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 18．（2024·福建福州·模拟预测）如图，是的直径，过点A作的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交于点D，连接． (1)请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)证明：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在射线取一点P，连接，以点为圆心，的长为半径，画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径，画弧，交于点，最后以点H为圆心，的长为半径，画弧，两弧交于点G，连接并延长，交于点D即可； （2）连接，根据切线的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，再根据切线的判定得出即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解：证明：连接， ∵切于A， ∴，即， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定，切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键． 19．（2024·福建福州·二模）如图，在中，D是上一点． (1)在上确定一点O，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，当时，将绕点O旋转得到，其中，D，E分别是点A，B的对应点，若D是的中点，交于点G，求证：G是的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查作线段垂直平分线，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质： （1）连接，作的垂直平分线交于点，此时则点即为所求； （2）由旋转得，得，，．再证明得，从而得到，故可得结论 【详解】（1）解：如图，O为所求作的点． （2）证明：∵D是的中点， ∴． ∵绕点O旋转得到，D，E分别是点A，B的对应点， ∴，，， ∴，，． 在与中 ∴， ∴， ∴， 即， ∴G是中点 20．（2024·福建福州·模拟预测）已知，在中，．将绕点旋转使点落在直线上的点处，点落在点处，直线与直线相交于点，射线与射线相交于点，连接． (1)当时，用直尺和圆规作出图形，并求证：①；②； (2)当点与点的距离为5时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据题意，意点C为圆心，的长为半径画弧交延长线与点D，再分别以点C，点D，为圆心，的长为半径，画弧，交于点E，连接并延长，连接，延长分别交延长线于点F，点P即可，①根据旋转性质，得，进而得到，再根据，推出，即可证明结论；②由，易证，再根据，证明四边形是平行四边形．进而证明，由相似的性质即可得出结论； （2）分和两种情况讨论，利用三角形相似的性质，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求 证明：①由旋转性质，得， ． ， ． ． ． ②， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ， ； （2）解：①当时，点在边的延长线上． ， ， ． ， ，解得（负根舍去） ． ， ，即． 解得． ②当时，点在边上． 同理可得． ， ，即． 解得． 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 21．（2024·福建福州·模拟预测）如图是一张矩形纸片，对角线与相交于点O． (1)在边上求作一点E，使得沿着折叠后，C和F是对应点，且点F落在线段上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，垂线的尺规作图： （1）点的对应点为，则有，以为圆心，长为半径画弧，交线段于，折痕是对应点的连线段的垂直平分线，作的垂直平分线即可求解； （2）可证，从而可得，即可证明． 【详解】（1）解： 如图所示，是所求作的点； （2）解：如图，   四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ∴，即． 22．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，，，点D为平面内一动点（点A，B，D三点不共线），且，连接BD． (1)在上确定一点E，连接，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，将绕点A顺时针旋转得到，连接． ①求证：； ②若直线与直线相交于点G，连接．当的面积最大时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ② 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于即可； （2）①延长至点M，使得，连接，，证明四边形是平行四边形．证明， 再进一步可得结论；②如图， 证明，，可得点G在以为直径的的上运动． 过点G作于点H，当的面积最大时，点G，O，H在一条直线上，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段为所求． ． （2）①证明：延长至点M，使得，连接，， 则由（1）可知：四边形是平行四边形． ∴，， 由旋转得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，由①可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故点G在以为直径的的上运动． ， 过点G作于点H，则 ∵，， ∴，， ∴当的面积最大时，点G，O，H在一条直线上， ∴， 在中，， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，确定圆的条件，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23．（2024·福建厦门·二模）如图，已知，    (1)尺规作图：求作点D，使得A，D两点关于直线对称（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）条件下，点E在线段上，，，连接，求的长度． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）先过作的垂线，交于，再在垂线上截取即可； （2）如图，过作于，证明，可得，，由A，D两点关于直线对称，可得，再结合勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，过作于，    ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵A，D两点关于直线对称， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是作已知线段的垂线，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，熟练的画图是解本题的关键． 24．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，已知经过A，C，D三点，点D在边上，，． (1)求作；（请保留尺规作图痕迹，不写作法） (2)求证：是的切线． 【答案】(1)图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）结合圆周角定理可知，为的直径．作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． （2）连接，由题意可得，进而可得．结合切线的判定可知，是的切线． 【详解】（1）解：经过，，三点，， 为的直径． 如图，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． 由作图可知：点O为的中点， ∵ ∴ ∴ ∴经过A，C，D三点． （2）证明：连接， ， ， ， ， ． ， ， 即． 为的半径， 是的切线． 【点睛】本题考查尺规作图：作线段 垂直平分线，作圆，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 25．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，四边形中，，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)作出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角的判定和性质，等边三角形的判定及性质，旋转的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所作线段， （2）证明：如图， ∵， ∴是等边三角形， ∵绕点旋转得线段， ∴， ∴ 即 在和中 ， ∴ ∴． 26．（2024·福建漳州·二模）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 【答案】活动一：见解析；活动二：见解析 【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形； 活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点． 【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：∵在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴点F是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键． 27．（2024·福建宁德·一模）如图所示，是一张对边平行的纸片，点，分别在平行边上． (1)求作：菱形，使点，落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求菱形的面积．（，，） 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，尺规作图 （1）根据菱形的性质可以画出图，方法一，先连接，然后以B为圆心长为半径，与交于点C，再以C为圆心长为半径，与交于点D；方法二，先连接以为圆心长为半径，与交于点D，然后作的垂直平分线，可确定点C，再一次连接即可，方法三，先连接，再做出的角平分线，角平分线与的交点为点，然后以为圆心长为半径，与交于点C，最后连接即可做出菱形， （2）过点作于点，解直角三角形，求得，进一步求解即可； 【详解】（1）解：方法一： 方法二： 方法三： ∴菱形就是所求作的图形． （2）解：过点作于点，如图所示． 在中，，． ， ． ∵四边形是菱形，， ∴． ． 28．（2024·福建南平·二模）已知矩形纸片． 第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E； 第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为； 第3步：连接并延长，交边于点． (1)当四边形为正方形，如图1． ①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）； ②求证： (2)如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①以点C为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于F，连接，延长交于G即可； ②根据正方形的性质与折叠的性质得，，再证明，得，设，，则， ，+，根据勾股定理得：，解得，所以， ，即可得出结论． （2）根据矩形的性质与折叠的性质得，则，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证得，设，，则，根据勾股定理，解得，代入即可求解． 【详解】（1）解：①如图，点F，G即为所作的点，（答案不唯一） ∵，，， ∴ ∴将边沿翻折到的位置； ②四边形是正方形， ，， 由折叠可得， ，，， ，， 连接， ， ， ， 设，， 为的中点， ， ，+， 根据勾股定理得： ， 解得， ， ， ． （2）解：四边形是矩形， ，， 由折叠可得， ， ， 为的中点， 为的中点， ，， ， 即， 设，， ， 根据勾股定理， 解得， ． 【点睛】本题考查尺规作图，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，此题属中考试压轴题，综合性较强，灵活运用相关知识是解题的关键． 29．（2024·福建厦门·模拟预测）是的直径，点在线段的延长线上，射线与相切于点，，连接，扇形的面积为．是线段上的动点，且，连接并延长交射线于点．      (1)请在图中作出四边形，使得且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，交射线于点M，交射线于点， ①当时，判断点与直线的位置关系，并说明理由； ②当时，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①点在直线上，理由见解析 ②当时，当时， 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）①连接，设的半径为r，根据切线性质，求出，利用扇形面积求出半径，解直角三角形的应用求出，结合中位线性质，平行四边形的判定与性质就可得出，进而得出结论； ②由①知：，四边形是平行四边形，先证出，得到，当点与点重合时，求出，过点作于，设，证明，利用相似三角形性质求出，分情况求解即可． 【详解】（1）解：四边形即为所求，    （2）①连接，设的半径为r．   与相切于点， ． ， 在中，． 扇形的面积为， ． 可得． 是的直径， ． 在中，． ． ， ，即是的中点． 是的中点， 是的中位线． ． 又，， 四边形是平行四边形． ． 过直线外点有且只有一条直线与已知直线平行， 和为同一条线，即点在直线上． ②由（2）①知：，四边形是平行四边形． 在中，． ． 四边形是平行四边形， ，． ． ． ． ， ． ． ． ． 当点与点重合时， 设，则， ，又， 可得． ． 过点作于，设，    在中， ， ． ， ． ． ，即． 可得． ． 所以当时，点D，N重合，此时由，    可得． 当时，点在E，N之间， ， ． ． 当时，点在M，N之间，   ， ． ． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了作图——作已知直线的平行线，相等的线段，切线的性质，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积的求解，中位线的性质，平行公理的应用等知识，考查的知识点较多，准确熟练的掌握相关性质定理是解题关键． 30．（2024·福建三明·二模）如图，已知，，，A为斜边上一点． (1)求作：以点O为中心，A为一个顶点的正方形（点A，B，C，D按顺时针排列）；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接DN，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握基本作图是解题的关键． （1）作射线，过O点作AO的垂线，然后以O为圆心,OA长为半径作弧交射线和AO的垂线于点C、B、D，然后依次连接即可得到正方形； （2）证明，得到，进而证明结论． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所作； （2）证明：∵，， ∴ 由作图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ( 51 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$