专题10圆-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（福建专用）

专题10圆的有关计算与证明 一、单选题 1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 2．（2023·福建·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ∵， ∴， 则， 故正十二边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正十二边形面积近似估计的面积可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键． 3．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，CP，DP是⊙O的切线，根据定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可． 【详解】解：连接OC， CP，DP是⊙O的切线，则∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD， ∴∠CAD=2∠CAP， ∵OA=OC ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠COP＝2∠CAO ∴∠COP＝∠CAD ∵ ∴OC=3 在Rt△COP中，OC=3，PC=4 ∴OP=5． ∴== 故选：D． 【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解． 4．（2020·福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案． 【详解】∵为中点， ∴, ∴∠ADB=∠ABD，AB=AD， ∵， ∴∠CBD=∠ADB=∠ABD， ∵四边形内接于， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴3∠ADB+60°=180°， ∴=40°， 故选：A． 【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补． 二、填空题 5．（2020·福建·中考真题）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为90°， ∴扇形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记扇形的面积公式是解题的关键． 三、解答题 6．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：与互相平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果； （2）过点作，交延长线于点，先证明，可得 ，再证得，再由相似三角形的判定可得结论； （3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，从而得出， 得出，再上平行线判定得出，再证得，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果． 【详解】（1），且是的直径， ． ， 在中，． ， 在中，． ， ； （2）过点作，交延长线于点． ． ， ， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ． （3）如图，连接． 是的直径， ． ， ． 由（2）知，， ， ， ． ． ， ． 由（2）知，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等． 7．（2023·福建·中考真题）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 （1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答； （2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论． 【详解】（1）证明是的切线， ，即． 是的直径， ． ∴． ， ， ，即， ． （2）解：与都是所对的圆周角， ． ， ， ． 由（1）知， ， 平分． 【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 8．（2022·福建·中考真题）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案； （2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养． 9．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键． 10．（2020·福建·中考真题）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 【答案】（1）60°；（2）详见解析 【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值； (2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°． 【详解】解：(1)连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，∴， ∴，则． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知： ． 故答案为：． (2)连接， 由(1)得，， ∵，，∴， ∴，∴． 在与中， ∴， ∴． 又点在上，故与相切． 【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 一、单选题 1．（2024·四川乐山·二模）如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（    ）      A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于，连接，由角平分线的定义可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等得出，进而可得出，由直径所对的圆周角等于得出，用勾股定理求出，即可求出的半径． 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中， ， ∴的半径为， 故选：C． 2．（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键． 先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是内接四边形， ， ， 故选：D． 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、扇形面积公式、弧长计算，连接，由等边对等角结合平行线的性质得出，证明得出，从而得出，设，利用弧长公式得出，得到，最后由计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 的长度为， ， 解得：， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，正方形内接于为的中点，直线交于点，如果的半径为，则的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】连接，，，如图所示，根据圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的边角关系，在中得到，在中，由勾股定理求出，再由三角形相似的判定与性质，得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，，，如图所示： 正方形内接于，点是的中点， ，， 在中，，，则， 在中，，，则， ，， ， ，即， ，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的边角关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质是正确解答的关键． 5．（2024·福建厦门·二模）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的切线的性质，同弧所对圆周角和圆心角的关系，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解答本题的关键．连接，根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，求出的度数，再根据为的切线，得到，再求出的大小即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，是所对的圆周角和圆心角，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数，根据题意作辅助线是解决问题的关键．连接，证明，得出，则，由得出结论． 【详解】解：连接 ∵恰好与相切于点D ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：B． 7．（2024·福建漳州·二模）如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：四边形内接于，， ， 由圆周角定理得，， 故选：D． 8．（2024·福建福州·三模）如图，是的直径，，是的弦，交于点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角等于可得出，由三角形内角和得出 ，设，由圆周角定理可知，由等边对等角可得出，由对顶角相等可得出，由三角形内角和定理可得出关于x的一元一次方程，求解出 ，再利用三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 设，则， ， ， ， ， 解得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，等边对等角等知识，掌握这些知识是解题的关键． 9．（2024·福建三明·三模）如图，正六边形的外接圆的半径为4，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，为等边三角形， ∴， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过O作于K， ∴， ∴； 故选：C． 10．（2024·福建·三模）如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，四边形内角和定理．连接，由切线的性质可得，由四边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，      由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．（2024·福建厦门·二模）如图，已知中，，阅读以下作图步骤： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接交于点G； ③以点G为圆心，的长为半径作弧交于点P，连接． 根据以上作图步骤，下列推理正确的是（    ） A．∵平分，∴ B．∵垂直平分，∴ C．∵点P在以为直径的圆上，∴ D．∵点P在以为直径的圆上，∴点P在直线上 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线及其性质，圆周角定理的应用，根据的线段的垂直平分线与圆周角定理逐一分析即可． 【详解】解：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴平分，故A不符合题意； ∵不一定在上， ∴错误，故B不符合题意； ∵点P在以为直径的圆上， ∴，故C符合题意； ∵点P在以为直径的圆上， ∴点P不一定在直线上，故D不符合题意； 故选C 12．（2024·福建厦门·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（    ） A． B． C．2m D．3m 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，勾股定理的应用．作出图形，求得是等边三角形，证明在同一直线上，利用圆周角定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：接水槽距离水面的最大高度是指盛水筒离开水面开始倒水的位置，如图， 直线表示接水槽距离水面的最大高度的位置，即盛水筒A恰好转到的位置倒水， 直线表示水面，筒车的圆心为，则， 由题意得， ∴， ∴是等边三角形，， ∵每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出， ∴， ∴， ∵， ∴点在同一直线上， ∴为直径且， ∴， ∴， ∴接水槽距离水面的最大高度是， 故选：B． 13．（2024·福建宁德·一模）如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接，利用切线的性质得，再根据三角函数的性质由求出，即可解决问题． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 14．（2024·福建三明·二模）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的弧长公式，构造扇形求弧长是解题的关键． 连接，根据圆周角定理求的度数，根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 15．（2024·福建福州·一模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，切线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，正确地找出辅助线是解题的关键． 连接，先求出，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点作的切线， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 16．（2024·福建厦门·二模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为0.6米，圆心角，则马面裙的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式．由题意知，，求得，得到米，由马面裙的面积，结合扇形的面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， ∴马面裙的面积． 故答案为：． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点是矩形的边的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，矩形的面积为8，则图中扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，扇形的面积公式等知识，利用得到，设，则，，根据“矩形的面积为8，”建立方程求解，求出的值，得到，最后利用，扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是边的中点， ， 以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ， ， ， 即，整理得， 设，则，， 矩形的面积为8， ，解得， ， 图中扇形的面积为． 故答案为：． 18．（2024·福建莆田·一模）一个扇形的半径为4，圆心角是，该扇形的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长．熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 根据弧长的计算公式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，扇形的弧长为， 故答案为：． 19．（2024·福建福州·模拟预测）如图，四边形内接于，的半径为3，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆内接四边形的性质，求出，再根据圆周角定理求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2024·福建泉州·三模）如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数点的坐标特征，切线的性质，三角形面积等知识点，构造三角形面积的等式是解题的关键． 根据点在反比例函数上设，表达出三角形的底和高，再利用三角形的面积公式建立等式求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴设， ∵轴切于点， ∴轴， ∴，，则点到的距离为， ∵为的直径， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：． 21．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据切线性质，利用勾股定理，垂径定理计算即可．本题考查了切线性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：如图：连接， ∵弦是小圆的切线，点P为切点， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 22．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在中，是优弧上一点，，连接，，延长交于点，则图中角度大小为的角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质等知识，根据圆周角以及三角形的相关知识确定图中各个角的数量关系即可作答． 【详解】连接，如图， ∵是优弧上一点，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴结合图形有：，， ∴， ∵， ∴， 即可以确定角度大小为的角为：， 故答案为：． 23．（2024·云南昆明·一模）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键． 根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3 ∴母线长为 ∴圆锥模型的侧面积为． 故答案为：． 24．（2024·福建福州·二模）如图，是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在上．过点C作交半圆O于点D，连接，过点C作于点E，设，，则图中长度一定等于的线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，由，推出，得到，求出，由，推出，即可求出． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（2024·陕西·模拟预测）如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若，则圆弧三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，根据弧长公式计算出每段弧的长度，即可求出圆弧三角形的周长．理解题意求出一段弧的长度是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵半径都为的长， ∴这三段弧的长度相等， ∴每段弧的长度为：， ∴圆弧三角形的周长为， 故答案为：． 三、解答题 26．（2024·福建南平·二模）如图，为的直径，E为的延长线上一点，是的切线，切点为C，过点A作，交延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，三角函数等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，先得出，即可得出； （2）设半径为r，则，，先求出，再根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是的切线， ， ，即， 为的直径， ，即， ， ， ， ． （2）解：设半径为r，则，， 在中， ， ， ， ， 在中， ， ． 27．（2024·福建莆田·一模）（1）如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）中，若以为直径的圆上与相交于点，若，且，求弧的长　　　　　． 【答案】（）作图见解析；（）． 【分析】（）先作的垂直平分确定的中点，再以点为圆心，为半径作圆，然后作交于点； （）连接，先证明为等腰直角三角形得到，再由（）作法得，利用三角形内角和计算出，则可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算； 本题考查了尺规作图，等边三角形和等腰三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，弧长计算公式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，点为所求； （）连接，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（）作法得， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形, ∴， ∴弧的长度， 故答案为：． 28．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)5 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）先证明，得到，设，再利用勾股定理可得，解方程即可． 【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示． ． （2）解：， ． 又， ， ． 点在以为直径的圆上， ， ． 又为的切线， ． ， ， ， ． 在和中， ． ，， 设， ， ， ， 解得：， 的半径为5． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．（2024·福建福州·模拟预测）某学校的学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）． 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，设1号轿厢运动到最高点A时，4号轿厢位于B点，连接，则______； （2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 【答案】（1）45；（2）米；（3）写字楼的实际高度约为82米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，圆周定理，将实际问题转化为数学模型是解题的关键． （1）由题可知，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢，因此； （2）过点作于点，由题可知，点此时的高度为最高为128米，半径为60米，因此点高度为68米，根据，，可得，即可； （3）连接，，，由素材1，素材3可得，，则，过点作于点，令，由素材2，3得：，，可得，即，因此点的高度为：（米，即可． 【详解】解：（1）连接、，如下图所示： “海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中包含了3个桥厢， ， 故答案为：45． （2）过点作于点， 点此时的高度为最高为128米，半径为60米， 点高度为68米， ，， ， 点的高度为米， 答：点的高度为米． （3）连接，，， 由素材1，素材3可得，， 则，过点作于点， 令，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：，， ，即， 点的高度为：（米， 答：写字楼的实际高度约为82米． 30．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，． (1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； （2）由（1）得：，，，结合，，由面积可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，作于M， 由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径， ∴是的切线，即， 由作图可得：是的切线， ∴即为所求． （2）解：由（1）得：，，， ∵， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作垂线，作圆，切线的判定，角平分线的性质，锐角的正切的含义，熟练的作图是解本题的关键． 31．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）过点作，垂足为．由题意得，进而得，由，得，问题得证； （）由勾股定理求得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即为的半径， ∴是的切线． （2）解：的半径为，， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线性质定理，切线的判定等知识．熟练掌握切线的判定及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 32．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，是钝角．    (1)尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【答案】(1)证作图见解析 (2)①证明见解析；②32 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点； （2）①连接，证明即可；②证明，推出，由，，得，由相似比，代值解得，推出． 【详解】（1）解：如图所示：   ，点即为所求； （2）①证明：连接，如图所示：     是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； ②解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理、正切函数求线段长等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 33．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，点在边上，以为直径的与相切，切点为点，连接，． (1)求证∶平分； (2)若的直径为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质，角平分线定义，平行线的判定和性质相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）连接，则，通过证明，得出，进而得出，即可求证平分； （2）通过证明，得出，进而求出，则 再证明得出即可求解． 【详解】（1）证明∶连接，则， ， 是的切线， ， ， ， ∴， ， 平分； （2）解：是的直径， ， 由（1）得， ， ， ， ，（负值舍去） ∵， ． 34．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解答的关键． （1）连接，先根据圆周角定理证得为直径，进而，再利用等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）连接．根据已知和（1）中结论，结合等腰三角形的性质得到，再根据三角形的内角和定理得到，再利用圆周角定理得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． 三点共圆，且， 为直径， ，即 又 即是的中点． （2）证明：连接． ， 则， 又， ， ． 35．（2024·福建厦门·模拟预测）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，为半圆O的切线，为切点，，交延长线于点E，已知，．如图2，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点，，过点P作于点H．设，． (1)求的长； (2)求y关于x的函数表达式； (3)延长交半圆O于点Q，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）连接，利用切线得，利用勾股定理求解即可； （2）连接，判定四边形是平行四边形，得，利用， 求得，利用列式即可； （3）过Q作于R，连接和，利用四边形为矩形，求出，得，利用，求得，得出，解得，即可求． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴； （2）如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （3）过Q作于R，连接和， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合运用，结合相似的判定与性质，勾股定理，特殊四边形的判定与性质，解三角形的应用，熟练掌握圆与这些性质的结合是解题的关键． ( 52 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10圆的有关计算与证明 一、单选题 1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 3．（2021·福建·中考真题）如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2020·福建·中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2020·福建·中考真题）一个扇形的圆心角是，半径为4，则这个扇形的面积为 ．（结果保留） 三、解答题 6．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：与互相平分． 7．（2023·福建·中考真题）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分． 8．（2022·福建·中考真题）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 9．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 10．（2020·福建·中考真题）如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，． （1）求的大小； （2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切． 一、单选题 1．（2024·四川乐山·二模）如图，是的外接圆，是直径，平分，，则的半径为（    ）      A．2 B．1 C． D． 2．（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，正方形内接于为的中点，直线交于点，如果的半径为，则的长度为（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·福建厦门·二模）如图，点A、B、C在上，，过点C作的切线交的延长线于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·福建漳州·二模）如图，是四边形的外接圆，连接，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·福建福州·三模）如图，是的直径，，是的弦，交于点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·福建三明·三模）如图，正六边形的外接圆的半径为4，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积和为（　　） A． B． C． D． 10．（2024·福建·三模）如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．（2024·福建厦门·二模）如图，已知中，，阅读以下作图步骤： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②连接交于点G； ③以点G为圆心，的长为半径作弧交于点P，连接． 根据以上作图步骤，下列推理正确的是（    ） A．∵平分，∴ B．∵垂直平分，∴ C．∵点P在以为直径的圆上，∴ D．∵点P在以为直径的圆上，∴点P在直线上 12．（2024·福建厦门·二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中广泛使用．如图，筒车的半径为2m，筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中A，B，C是相邻的三个盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动．通过观察，当A离开水面时，C恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能多地接到水，则接水槽距离水面的最大高度是（    ） A． B． C．2m D．3m 13．（2024·福建宁德·一模）如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（   ） A． B． C． D．2 14．（2024·福建三明·二模）为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·福建福州·一模）我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形的边固定，向右推动该正五边形，使得为的中点，且点在以点为圆心的圆上，过点作的切线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（2024·福建厦门·二模）传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长度为米，裙长为0.6米，圆心角，则马面裙的面积为 平方米． 17．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点是矩形的边的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，若，矩形的面积为8，则图中扇形的面积为 ． 18．（2024·福建莆田·一模）一个扇形的半径为4，圆心角是，该扇形的弧长是 ． 19．（2024·福建福州·模拟预测）如图，四边形内接于，的半径为3，，则的长是 ． 20．（2024·福建泉州·三模）如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ． 21．（2024·福建福州·模拟预测）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为 ． 22．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在中，是优弧上一点，，连接，，延长交于点，则图中角度大小为的角是 ． 23．（2024·云南昆明·一模）草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为 ． 24．（2024·福建福州·二模）如图，是半圆O的直径，点C（不与点O重合）在上．过点C作交半圆O于点D，连接，过点C作于点E，设，，则图中长度一定等于的线段是 ． 25．（2024·陕西·模拟预测）如图，分别以等边三角形的顶点A，B，C为圆心，以长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形就叫做圆弧三角形．若，则圆弧三角形的周长为 ． 三、解答题 26．（2024·福建南平·二模）如图，为的直径，E为的延长线上一点，是的切线，切点为C，过点A作，交延长线于点D，连接，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 27．（2024·福建莆田·一模）（1）如图，在锐角的外部找一点，使的面积与的面积相等且点在以为直径的圆上，请用尺规作图的方法确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（）中，若以为直径的圆上与相交于点，若，且，求弧的长　　　　　． 28．（2024·福建厦门·二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的半径． 29．（2024·福建福州·模拟预测）某学校的学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）． 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计）． 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，设1号轿厢运动到最高点A时，4号轿厢位于B点，连接，则______； （2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度．（结果用四舍五入法取整数，） 30．（2024·福建福州·模拟预测）如图，在中，． (1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，已知，，求的值． 31．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 32．（2024·山东济宁·二模）如图，在中，是钝角．    (1)尺规作图：在上取一点，以为圆心，作出，使其过、两点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 33．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，点在边上，以为直径的与相切，切点为点，连接，． (1)求证∶平分； (2)若的直径为，求的长． 34．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，四边形中，，，过三点的圆与交于点． (1)求证：是的中点； (2)若，求证：． 35．（2024·福建厦门·模拟预测）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，为半圆O的切线，为切点，，交延长线于点E，已知，．如图2，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点，，过点P作于点H．设，． (1)求的长； (2)求y关于x的函数表达式； (3)延长交半圆O于点Q，当时，求的长． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$