精品解析：浙江省名校新高考研究联盟（Z20名校联盟）2024-2025学年高三上学期第一次联考（暑假返校考）数学试题

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考 数学试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方. 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 84 D. 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 若直线与圆交于不同的两点为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. D. 线段中点的轨迹长度为 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最大值为2 B. 若，则函数为奇函数 C. 存在，使得 D. 若，则 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知是两个单位向量，若，则向量夹角的余弦值为______． 13. 若复数满足，则__________. 14. 如图，设双曲线的左焦点为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上. （1）若∥平面，求证：为的中点； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，内角所对的边分别为，满足. （1）若，求； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）延长交椭圆于，若，求直线的方程. 18. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中为自然对数的底数），求的最大值； （3）实数满足，求证：. 19. 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列. （1）若数列为等比数列，求实数的取值范围； （2）若，证明： ①； ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考 数学试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方. 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求集合，再结合交集运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：B． 2. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 84 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理可得，令运算求解即可. 【详解】由题意可知：的展开式通项为， 令，解得， 所以项的系数是. 故选：D． 3. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的计算公式结合等差数列的性质可求. 【详解】. 故选：D. 4. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 5. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 6. 函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 7. 若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为，则此圆台与其内切球的体积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解. 【详解】将圆台母线延长交于点S，得圆锥，作圆锥的轴截面，等腰梯形为圆台的轴截面， 截内切球得大圆，并且是梯形的内切圆，令切圆于，如图， 设底面圆直径，依题意，，，， 设内切球半径为，则，，， ，于是，且为的中点，而内切球体积， 圆台的体积, 所以圆台与其内切球的体积比为. 故选：A 8. 设函数，若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数零点的定义，转化为函数，在上的图象有公共点求解. 【详解】由，得， 依题意，在上有解，记，， 因此函数在上的图象有公共点，，如图， 当时，，显然函数在上的图象无公共点， 当时，函数图象都关于对称， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：设，可得，结合对数函数性质分析判断；对于C：利用换底公式分析判断；对于D：可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A：若，则， 则，故A错误； 对于选项B：因为，设， 则， 又，可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 又因为,所以不成立。所以等号不成立， 所以，故D正确． 故选：BCD. 10. 若直线与圆交于不同的两点为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 的取值范围为 C. D. 线段中点的轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：求圆心到直线的距离，结合垂径定理运算求解；对于B：根据数量积可得，进而可得结果；对于C：分析可得，即可得结果；对于D：分析可知点的轨迹是以为直径的半圆(除去)，即可得结果. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为， 且直线过定点， 设线段中点为M， 对于选项A：当时，则直线为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，故A正确； 对于选项B：因为， 因为点不重合，所以，故B错误； 对于选项C：因为 ， 所以，故C正确； 对于选项D：因为线段中点满足， 设的中点为，圆C与x、y分别切于点、， 可知圆过点、，且， 可知点的轨迹是以为直径的半圆（除去）， 所以轨迹长为，故D错误． 故选：AC. 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最大值为2 B. 若，则函数为奇函数 C. 存在，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，结合二次函数求最值；对于B：举反例说明即可；对于C：取，代入检验即可；对于D：根据题意结合诱导公式可得，进而可得，运算求解即可. 【详解】因为，可知的定义域为， 对于选项A：当时，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最大值为2，故A正确； 对于选项B：当时，则， 令，则，可得， 所以函数不为奇函数，故B错误； 对于选项C：当时，，则， 且对任意，则， 所以，故C正确． 对于选项D：因为， 若， 可得， 则，解得，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于BC：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可. 第Ⅱ卷 三､填空题：本题共3小题，共15分. 12. 已知是两个单位向量，若，则向量夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直条件及数量积运算律，再由夹角公式即可求解. 【详解】由，得，则． 故答案为： 13. 若复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，结合复数相等、共轭复数及模的意义计算得解. 【详解】设，则，，解得， 由，得，解得，又， 所以. 故答案为： 14. 如图，设双曲线的左焦点为，过作倾斜角为的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义，结合余弦定理求出的关系即可得解 【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为，设，则， 由双曲线定义得，，由直线倾斜角为， 得，由余弦定理得， 即，整理得，于是，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：求出双曲线渐近线方程，关键是由给定条件，结合余弦定理求出值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上. （1）若∥平面，求证：为的中点； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连结，因为∥平面平面，平面平面， 则，又因为是的中点，所以是中点. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可得，即可得结果； （2）方法一：建系标点，利用空间向量求线面夹角；方法二：做辅助线，可证平面，进而可得线面夹角；方法三：利用等体积法求到平面的距离，进而可得线面夹的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：因为底面，如图建立坐标系， 则，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 因此直线与平面所成角的正弦值为； 方法二：取中点， 因为，则， 因为底面，底面，则， 且，，平面， 则平面， 由平面，可得， 且，平面，所以平面， 可知即为直线与平面所成角， 且则. 所以直线与平面所成角的正弦值为； 方法三：设到平面的距离为， 可得， 则， 即，解得， 则， 所有直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，内角所对的边分别为，满足. （1）若，求； （2）若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合即可得结果； （2）由锐角三角形可得，利用正弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 则， 整理得， 因为，则，则，即， 由，得，则，． 【小问2详解】 因为是锐角三角形，则，解得， 则， 由正弦定理得，得， 可得，所以的取值范围为. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）延长交椭圆于，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求，进而可得方程； （2）设直线，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在. 【小问1详解】 由条件得，即，则， 则，， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：，则，且直线与椭圆必相交， 若直线的斜率不存在，可知， 联立方程，解得， 不妨取，则， 可得，不合题意； 若直线的斜率存在，设直线， 则，， 与椭圆联列方程得，消去y得， 可得， 则 ， 可得，解得 所以直线的方程为； 综上所述：直线的方程为. 【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解. 18. 已知函数； （1）设函数，求函数的极值； （2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中为自然对数的底数），求的最大值； （3）实数满足，求证：. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）； （3）证明：依题意，， 令，由，得，令，求导得， 函数在上单调递增，，因此， 即，于是； ， 令，求导得，函数在上单调递减， ，因此，即，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数求出极值即得. （2）利用导数可得函数在上单调递增，由给定条件得，再利用二次函数求出最大值. （3）利用作差法变形并构造函数，利用导数求出最值即可推理得证. 【小问1详解】 由函数，得， 求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数，，求导得，函数在上单调递增， 依题意，，即，解得， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最大值是. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 19. 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列. （1）若数列为等比数列，求实数的取值范围； （2）若，证明： ①； ②. 【答案】（1）； （2） ①由知，，则， 由，得数列是递减数列，则； 又，则同号，有与同号，即，于是， 所以． ②由，得， 由①知，，则，又，因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合求解即得. （2）①把代入，变形得，再探讨的符号及数列的单调性推理得证；②由已知结合累加法得，再由①结合累加法求得即可推理得证. 【小问1详解】 由是等比数列，得，且， 依题意，，则， 于是，即，整理得， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $