24.6实数与向量相乘（2大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

24.6 实数与向量相乘 知识点一 实数与向量相乘 ★1. 实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. ★2. 实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 知识点二 实数与向量相乘满足的运算律 ★1. 实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） ★2. 实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 知识点三 平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 知识点四 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 题型一 向量的相关概念 解题技巧提炼 1. 判断两个向量平行的方法：（1）平行的传递性；（2）平行向量定理. 2. 单位向量：长度为1的向量. 1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列条件中，不能判定的是（） A．，； B．， C． D． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（    ） A．向量与方向相同，且向量与方向相同 B．向量与方向相同，且向量与方向相同 C．向量与方向相反，且向量与方向相反 D．向量与方向相反，且向量与方向相反 5．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知，下列说法中不正确的是（    ） A．与方向相反 B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 7．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果（为非零向量），那么 8．（2023·上海杨浦·一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2023·上海松江·一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 10．（2022·上海青浦·一模）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是(　　) A．| B． C．与方向相同 D． 11．（2023·上海静安·一模）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·上海·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．如果、为实数，那么 B．如果或，那么 C．如果，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 13．（2023·上海徐汇·一模）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·上海青浦·期末）已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 15．（23-24九年级上·上海宝山·期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 题型二 实数与向量相乘 解题技巧提炼 实数与向量相乘满足分配律和结合律，解题时要利用实数与向量的乘积所满足的运算律以及向量加减法所满足的运算律即可得出结论. 16．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 18．（2024·上海普陀·一模）化简： ． 19．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 20．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么 ，（用表示） 21．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 22．（20-21九年级上·上海静安·期中）已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 23．（2023·上海长宁·二模）如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    24．（2023·上海长宁·一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 25．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）计算： ． 26．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么用、表示为 ． 27．（22-23九年级上·上海崇明·期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 28．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 29．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 30．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.6 实数与向量相乘 知识点一 实数与向量相乘 ★1. 实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. ★2. 实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 知识点二 实数与向量相乘满足的运算律 ★1. 实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） ★2. 实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 知识点三 平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 知识点四 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 题型一 向量的相关概念 解题技巧提炼 1. 判断两个向量平行的方法：（1）平行的传递性；（2）平行向量定理. 2. 单位向量：长度为1的向量. 1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期末）已知非零向量，下列条件中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，解题关键是对向量性质的理解．根据向量的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、只能判定的模的数量关系，不能判定，符合题意； B、，能判定，不符合题意； C、，根据平行的传递性得到，不符合题意； D、，得到，平行的传递性得到，不符合题意； 故选A． 3．（23-24九年级上·上海松江·期末）下列条件中，不能判定的是（） A．，； B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的平行，熟记平面向量平行的定义是解题的关键． 根据平面向量的相关定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ， 由不能得到， 故选：D． 4．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（    ） A．向量与方向相同，且向量与方向相同 B．向量与方向相同，且向量与方向相同 C．向量与方向相反，且向量与方向相反 D．向量与方向相反，且向量与方向相反 【答案】D 【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图： 向量与方向相反，且向量与方向相反， 故选D． 5．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知，下列说法中不正确的是（    ） A．与方向相反 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴与方向相反，故正确； B．∵，∴或与共线，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，故正确； 故选：B． 6．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（    ） A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量 C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量，根据零向量的意义，共线向量以及模的定义进行判断即可．解题的关键是掌握平面向量的性质，平面向量既有大小，也有方向． 【详解】解：A、若，那么，故本选项正确； B、若，则可能是零向量，也可能是非零向量， ∴可能是零向量，也可能是非零向量，故本选项错误； C、若，那么与的方向相反，故本选项正确； D、若是单位向量，那么的模是，故本选项正确； 故选：B． 7．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）下列说法中，正确的是（　　） A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果（为非零向量），那么 【答案】D 【分析】根据向量的定义与性质，逐一对选项判断即可． 【详解】解：A、相反向量的和为零向量，而不是数字0，故本选项不符合题意； B、平行向量为方向相同或相反，模不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个向量的模相等，不能保证方向相同，故本选项不符合题意； D、两个向量方向相同，所以是平行向量，故本选项符合题意； 答案：D． 【点睛】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解本题的关键． 8．（2023·上海杨浦·一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．（2023·上海松江·一模）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义进行判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，故本选正确； B、如果，那么，故本选正确； C、如果，没法判断与之间的关系，故本选项错误 D、如果为单位向量，且，那么，故本选正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平面向量，熟记单位向量、平行向量以及模的定义是解题的关键． 10．（2022·上海青浦·一模）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是(　　) A．| B． C．与方向相同 D． 【答案】C 【分析】根据向量的相关概念逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵非零向量、，且有， ∴，， ，与方向相反， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了向量的相关概念，掌握向量的相关概念是解题的关键． 11．（2023·上海静安·一模）如果非零向量、互为相反向量，那么下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】非零向量、互为相反向量，则非零向量、大小相等，方向相反，据此分析即可． 【详解】∵非零向量、互为相反向量， ∴，，， ∴，则C选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查相反向量的概念，属基础题，正确理解定义是解决问题的关键． 12．（2023·上海·一模）下列说法中不正确的是（    ） A．如果、为实数，那么 B．如果或，那么 C．如果，且，那么的方向与的方向相同 D．长度为1的向量叫做单位向量 【答案】C 【分析】由平面向量的性质，即可得A与B正确，又由长度为l的向量叫做单位向量，可得D正确，向量是有方向性的，所以C错误． 【详解】解∶A、根据向量的性质得，故本选项正确； B、如果或，那么，故本选项正确； C、因为向量是有方向性的，所以C错误； D、长度为l的向量叫做单位向量， 故本选项正确． 故选∶ C． 【点睛】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键． 13．（2023·上海徐汇·一模）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断即可． 【详解】解：A、单位向量的模相等，故该选项正确； B、单位向量与单位向量方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、单位向量与单位向量方向相同时，该等式才成立，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向． 14．（23-24九年级上·上海青浦·期末）已知向量与单位向量方向相同，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键．根据“单位向量是指模等于1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答． 【详解】解：∵向量与单位向量方向相同，， ∴， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·上海宝山·期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【答案】 【分析】本题考查了向量的定义，根据向量和单位向量的方向相反，且向量的长度为即可求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案：． 题型二 实数与向量相乘 解题技巧提炼 实数与向量相乘满足分配律和结合律，解题时要利用实数与向量的乘积所满足的运算律以及向量加减法所满足的运算律即可得出结论. 16．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答： ． 【答案】否 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，若向量与平行，则（k为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴（k为常数，且）， ∴向量与不平行， 故答案为：否． 18．（2024·上海普陀·一模）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与向量相乘，根据其运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 19．（2024·上海杨浦·一模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，正确掌握运算的法则是解题的关键． 【详解】 ． 20．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么 ，（用表示） 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵的长度为4，向量是单位向量， ∴， ∵与单位向量的方向相反， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向． 21．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么 ．（用向量的式子表示） 【答案】 【分析】根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案. 【详解】∵向量与单位向量方向相反，且 故答案为： 【点睛】此题考查了平面向量的知识. 此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向量的定义. 22．（20-21九年级上·上海静安·期中）已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【分析】利用解一元一次方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 化系数为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量的简单计算，借助一元一次方程的解法步骤求解是解答的关键． 23．（2023·上海长宁·二模）如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）    【答案】 【分析】由，即可证得，又由，即可求得和，再运用向量的和差即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明确向量是有方向的是解题的关键． 24．（2023·上海长宁·一模）如果向量与单位向量的方向相反，且，那么用向量表示向量为 ． 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接得出答案． 【详解】解：，向量是单位向量， ， 向量与单位向量的方向相反， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量有关知识，难度较小，解题的关键是掌握单位向量的定义． 25．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用实数与向量相乘及平面向量的加减运算法则去括号求解即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号变化是解此题的键． 26．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果，那么用、表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法． 27．（22-23九年级上·上海崇明·期中）已知向量关系式，如果用向量、表示向量，可以表示为 ． 【答案】 【分析】根据运算法则可得，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查的是平面向量，掌握平面向量法则是解决此题的关键． 28．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么 ．（用示） 【答案】 【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：的长度为5，向量是单位向量， ， 与单位向量的方向相反， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面向量的知识，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，解决本题的关键是注意单位向量只规定大小没规定方向． 29．（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数与向量相乘，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，A错误，故不符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C正确，故符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与向量相乘．解题的关键在于熟练掌握实数与向量相乘结果是向量． 30．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且． (1)求的长； (2)如果，，试用、表示向量． 【答案】(1)的长为 (2) 【分析】（1）根据，可得，再由，求得； （2）根据向量的表示法进行求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质和向量的表示，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$