专题3.4 勾股定理的逆定理（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.4 勾股定理的逆定理（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 【知识点二】勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 【例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求：（1）的周长；（2）判断是否是直角三角形？为什么？ 【变式1】（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）的三边满足，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【题型2】勾股定理及其逆定理综合应用（求线段长） 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． （1）求证：；（2）求线段的长． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·重庆·期中）已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ． 【题型3】勾股定理及其逆定理综合应用（求角度） 【例3】（22-23八年级上·四川达州·期中）如图，在中，于点D，，，． （1）求的长； (2）求的度数． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）在中，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【题型4】勾股定理及其逆定理综合应用（求面积） 【例4】（23-24八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【题型5】勾股定理及其逆定理的实际应用 【例5】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【变式1】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【变式2】（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 【题型6】与勾股数有关的规律探究问题 【例6】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． （2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【变式1】（22-23八年级下·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（    ）    A．14 B．16 C．35 D．37 【变式2】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数： ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则 （填“”“”“”中的一个）． 2、拓展延伸 【例1】（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 （1）如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； （2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【例2】（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在中，内角所对的边分别为．   （1）若，请直接写出与的和与的大小关系； （2）求证：的内角和等于； （3）若，求证：是直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 勾股定理的逆定理（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 【知识点二】勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 【例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求：（1）的周长；（2）判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． （1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 解：（1）∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 【变式1】（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）的三边满足，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】首先利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出，，的值，进而利用勾股定理的逆定理求出答案．此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质和勾股定理的逆定理，正确得出，，的值是解题关键． 解：， ， 解得：， ， 为直角三角形． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知中，，，，是的中点，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边中线的性质，关键是证明是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据直角三角形的性质得出的长． 解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ． 故答案为：． 【题型2】勾股定理及其逆定理综合应用（求线段长） 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，中，，长为10，点是上的一点，，． （1）求证：；（2）求线段的长． 【答案】(1）见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）设，则，得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 解：（1）证明：，，， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 解得：， ． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键. 解：连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴, 解得，负的舍去， 故选C. 【变式2】（22-23八年级上·重庆·期中）已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得出，设，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． 解：设， ，，， ∴， ，即， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 故答案为：． 【题型3】勾股定理及其逆定理综合应用（求角度） 【例3】（22-23八年级上·四川达州·期中）如图，在中，于点D，，，． （1）求的长； (2）求的度数． 【答案】(1)的长为12； (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 解：（1）∵， ∴， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， 即的长为12； （2）解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， 即的度数为． 【变式1】（23-24八年级下·全国·课后作业）在中，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据得到是直角三角形，结合直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； 解：∵， ∴， ∴是直角三角形，为斜边， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西 方向上. 【答案】/52度 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 【题型4】勾股定理及其逆定理综合应用（求面积） 【例4】（23-24八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 解：∵，，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【变式1】（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，，则阴影部分的面积（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判断出为直角三角形是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 解： ，， ，， ，， ， 为直角三角形，， ， 阴影部分的面积为． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 【题型5】勾股定理及其逆定理的实际应用 【例5】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 解：（1）∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； （2）在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 【变式1】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 【变式2】（22-23八年级下·湖北黄冈·期中）如图，电工黄师傅为了确定新栽的电线杆与地面是否垂直，他从电线杆上离地面处向地面拉一条长的缆绳，当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为 时，这根电线杆便与地面垂直了． 【答案】6 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 解：标记点如下图： 要使得这根电线杆便与地面垂直，即， 则只需保证， 由题意可知： ∴， ∴当黄师傅量得这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部距离为时，这根电线杆便与地面垂直了． 故答案为：6． 【题型6】与勾股数有关的规律探究问题 【例6】（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． （1）请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． （2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 解：（1）由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点拨】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·贵州铜仁·期末）成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（    ）    A．14 B．16 C．35 D．37 【答案】C 【分析】依题意，设斜边为x，则股为，根据勾股定理即可求出x的值． 解：依题意，设斜边为x，则股为， ∴， 解得：， ∴股为， 故选：C． 【点拨】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 【变式2】（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数： ． 【答案】15，112，113 【分析】本题考查了勾股数，先根据给出的数据找出规律：发现第一个数是从3，5，7，9，…的奇数，第二、第三个数相差为一．再根据勾股定理进行求解即可． 解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第⑥组勾股数的第一个数是13，第⑦组勾股数的第一个数是15， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为， 根据勾股定理，得：， 解得． ∴ 则得第⑦组数是：15，112，113． 故答案为：15，112，113． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可． 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱， ∴直棱柱的高， ∴，，，， ∵， ∴选B． 【点拨】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键． 【例2】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则 （填“”“”“”中的一个）． 【答案】= 【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到． 解：连接DE，如图 ∵点，点，点，点，点， 由勾股定理与网格问题，则 ，， ∴△ABC是等腰直角三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴△ADE是等腰直角三角形； ∴； 故答案为：=． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握掌握所学的知识，正确判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形． 2、拓展延伸 【例1】（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 （1）如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； （2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明； （2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． 解：（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． （2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下： 延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM， ∵，CM＝CB， ∴ 垂直平分BM， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键． 【例2】（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在中，内角所对的边分别为．   （1）若，请直接写出与的和与的大小关系； （2）求证：的内角和等于； （3）若，求证：是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论； （2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案； （3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论 解：在中，， ； 如图，过点作，    ， （两直线平行，内错角相等）， （平角的定义）， （等量代换）， 即：三角形三个内角的和等于； （3）， ， ， ， 是直角三角形． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$