期中检测考点分类专题（解答题十二大题型分类精析）- 2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

期中检测考点分类专题（解答题十二大题型分类精析） 考查范围：第1章 三角形 第2章 实数的初步认识 第3章勾股定理 第4章平面直角坐标系 目录 第一部分：代数运算与几何证明（基础篇） 1 【题型1】平方根、算术平方根、立方根的运算 1 【题型2】解方程 3 【题型3】平方根、立方根、实数及整数部分与小数部分 5 【题型4】三角形全等的证明 7 【题型5】等腰三角形、角平分线、垂直平分线的证明 11 【题型6】作图与求值 14 【题型7】勾股定理直接计算 19 第二部分：应用与证明（综合篇） 23 【题型8】实数的应用 23 【题型9】勾股定理的应用 24 【题型10】计算与证明综合 29 第三部分：综合与延伸探究（培优篇） 36 【题型11】实数与拓展探究 36 【题型12】三角形与勾股定理综合探究 42 第一部分：代数运算与几何证明（基础篇） 【题型1】平方根、算术平方根、立方根的运算 【例题1】（25-26八年级上·江苏·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）2；（2）3 【分析】本题考查零指数幂，绝对值，开平方，负整数指数幂，以及实数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂，绝对值，开平方，法则分别化简各项，再进行加减运算，即可解题； （2）根据开平方，零指数幂，实数的混合运算法则计算求解，即可解题． 解：（1）解： ； （2） 【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）化简：． （2）已知的平方根为，求的立方根． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算即可； （2）先根据平方根的意义求出，再根据立方根的定义计算即可． 解：（1）原式 ； （2）∵的平方根为， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，立方根，算术平方根等知识，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行二次根式的乘方，求立方根，求算术平方根运算，再进行实数的加减； （2）先进行平方，求算术平方根，求立方根运算，再进行加减． 解：（1）解： （2）解： 【变式3】（23-24七年级下·江苏南通·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式的乘法计算求解即可； （2）先分别计算立方根，算术平方根，绝对值，然后进行加减运算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了二次根式的乘法，立方根，算术平方根，绝对值．熟练掌握二次根式的乘法，立方根，算术平方根，绝对值是解题的关键． 【题型2】解方程 【例题2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的x． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的意义解方程， （1）移项后两边除以4，利用平方根的定义求解即可； （2）移项后两边除以2，然后根据立方根的定义求解即可． 解：（1）解：由， 得：， 开平方得：； （2）由， 得：， 开立方得：， 解得：． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的x． （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 解：（1）解： ， ∴； （2） ， ∴． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（）根据平方根的概念解方程即可； （）根据立方根的概念解方程即可； 本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解题的关键． 解：（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题考查了平方根，立方根，解决本题的关键是熟记平方根和立方根的定义． （1）根据平方根，即可解答； （2）根据立方根，即可解答． 解：（1）解：， ， ∴，即或； （2）解：， ， ， ∴． 【题型3】平方根、立方根、实数及整数部分与小数部分 【例题3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 解：（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 【变式1】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知a的平方根是，b的立方根是2，c是的整数部分． （1）求的平方根； （2）若x是的小数部分，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平方根和立方根的概念求出，再估算出得到，据此求出，再由平方根的概念即可得到答案； （2）由得到，再根据实数的运算法则求解即可． 解：（1）解：∵a的平方根是，b的立方根是2， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解；∵， ∴的小数部分为，即， ∴． 【点拨】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求一个数，无理数整数部分和小数部分有关的计算，实数的运算等等，熟知平方根，立方根，以及无理数的估算方法和实数的运算法则是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 解：（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 解：（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 【题型4】三角形全等的证明 【例题4】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】详见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，运用证明，即可作答． 解：证明：在和中 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见分析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于，于． （1）求证：． （2），，求的长度． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用，得出，利用，得出，则可得，结合，，即可证明； （2）利用全等性质得出，，再利用线段的和差即可求解． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 解：（1） 在与中 （2） 【题型5】等腰三角形、角平分线、垂直平分线的证明 【例题5】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． （1）若，，求四边形的周长； （2）与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）垂直，证明见分析 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，以及中垂线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，的长，进而可以求出周长； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可． 解：（1）解：是的高， 和均为直角三角形， 又、分别是、的中点 ， 四边形的周长为 （2）结论：垂直，证明如下： 由（1）可知，， 、在的垂直平分线上， 垂直． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，点C在上，，，，． （1）求证：； （2）请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． （1）根据题意的，，然后证明出即可； （2）首先根据全等三角形的性质得到，，进而求解即可． 解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 由（1）可知， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点分别在上，，相交于点，．求证：平分．    【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，先证明，得到，结合，根据角平分线的判定定理即可求证，熟悉定理内容和判定方法是解题的关键． 解：证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴点的角平分线上， ∴平分． 【变式3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，，，垂足分别是D，E，BE与CD相交于点O，且．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质；先由角平分线的性质得，再证，即可得出结论． 解：证明：，，且， ，， 在和中， ， ． 【题型6】作图与求值 【例题6】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小，此时 ； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；；（3）见分析 【分析】本题考查了画轴对称图形、正方形的性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）连接，与直线l的交点即为点Q． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 根据题意得：，，， ∴， ∴为直角三角形，且； 故答案为： （3）解：如图，点Q即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）已知图①是轴对称图形，在图①中作出该图形的对称轴； （2）如图②，直线是线段的垂直平分线，点是直线外一点，位置如图所示．作出点的对称点． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，再过交点和另外一个顶点作直线即可． （2）连接并延长，交直线于点，连接交直线于点，连接，再连接并延长交于点，则点即为所求． 解：（1）解：如图①，直线即为所求． （2）如图②，连接并延长，交直线于点，连接交直线于点，连接，再连接并延长交于点， 则点即为所求． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了画旋转图形，网格中秋图形面积，正确画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 解：（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． （1）作线段的垂直平分线交于点； （2）作的角平分线交于点； （3）的周长是 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）11 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可； （2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可； （3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 解：（1）解：如图，直线，点E即为所求． （2）解：如图，射线即为所求． （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为． 故答案为：11 【变式4】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A， B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． （1）在图中请画出平移后的； （2）利用格点画出的中线； （3）的面积是_____； （4）若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有 个（点P异于点A且与点A在直线的同一侧）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）8；（4）3 【分析】本题主要考查平移的性质及平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先作出点B、C的对应点E、F；然后顺次连接即可； （2）取格点G，连接即可； （3）利用割补法求的面积即可； （4）由等积法及平行线间的距离相等可进行求解． 解：（1）解：如图，平移后的； （2）如图，即为所求； （3）解：的面积为： ． （4）解：根据平行线间的距离相等可知：在格点图中画出与平行的直线，如图所示,直线与格点的交点，，即为所求， ∴满足条件的格点P共有3个． 【题型7】勾股定理直接计算 【例题7】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，再证明，得到，据此根据列式求解即可． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是公园中的一块空地，，． （1）连接，判断的形状并说明理由； （2）公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米需要费用200元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 【答案】（1）是直角三角形，理由见分析；（2）28800元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）连接，在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形； （2）先算出两个直角三角形的面积，即可得四边形的面积，即可算出费用． 解：（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图所示，连接，    在中，， 根据勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：， ， ∴， ∴元， 即铺满这块空地共需费用28800元． 【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断的形状．连接，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，再由即可得出结论． 解：连接， 是直角，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 【答案】（1），；（2），在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的结果，即可得出答案； （3）根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）代数式1：，代数式2：， 故答案为：，； （2）由（1）知， 用文字语言表达为在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方， 故答案为：；在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方； （3）在直角三角形ABC中，，，， ． 第二部分：应用与证明（综合篇） 【题型8】实数的应用 【例题8】（24-25七年级下·江苏南通·期中）南通蓝印花布图案朴素优美、吉祥如意，它是中国传统的手工印染工艺品，是中国国家地理标志产品．现有一块长、宽之比为的长方形蓝印花布，其面积为． （1）求蓝印花布的周长； （2）染坊的师傅想要把蓝印花布裁出一块面积为的完整正方形花布，她能裁出来吗？请说明理由． 【答案】（1）蓝印花布的周长为；（2）她能裁出来，理由见详解 【分析】本题主要考查算术平方根的计算，理解数量关系，正确列式求解即可． （1）设长为，宽为，由此列式求解得到长方形的长，宽，结合周长的计算即可求解； （2）根据题意得到正方形的边长，根据无理数的比较即可判定． 解：（1）解：长、宽之比为的长方形， ∴设长为，宽为， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴长为，宽为， ∴蓝印花布的周长为； （2）解：她能裁出来，理由如下， 面积为的完整正方形的边长为， ∵， ∴她能裁出来． 【变式】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某校开展了迎五一手抄报展览活动，为制作出精美的劳动节主题展览作品，要求：用一张面积为 的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景. （1）正方形卡纸的边长是 ； （2）小雯同学设计了一种方案：使长方形的长与宽之比为，她能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗?若能，请你帮助小雯设计裁剪方案；若不能，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不能，理由见分析 【分析】此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案． 解：（1）解：正方形卡纸的边长是， 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为． ， ， ， ， 又：， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小雯不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【题型9】勾股定理的应用 【例题9】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【答案】这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，， 则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，这堆油桶的最高点距地面的高度为． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地（图中的阴影部分）．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1）见分析；（2）此块空地全部种植花卉共需花费元． 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一定理． 根据可得，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，且；      过作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可得，利用勾股定理可求，根据可求种植花卉的面积，再根据每种植花卉需要花费元，求出总费用即可． 解：（1）证明：， ， 是直角三角形，且；                              （2）解：如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， （元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费元．   【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． （1）若，则______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的面积． 【答案】（1），；（2）是等腰三角形，见分析；（3） 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 解：（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 【变式3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 解：（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 【题型10】计算与证明综合 【例题10】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，，，，连接． （1）______； （2）已知，直线垂直平分分别交，于点，点，若点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设运动时间为秒．连接，，在点运动过程中，能否为以为腰的等腰三角形？若能，求出的值；若不能．请说明理由． 【答案】（1）10；（2）能，或 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理计算即可得解； （2）由题意可得：，求出，再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 解：（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：能， 由题意可得：， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 当时，如图，作于，则四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴的正半轴上，．以为斜边作等腰直角三角形，点落在第四象限内，连接．取边中点，连接交于点 （1）求的长； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的利用以上知识解题是关键． （1）直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案； （2）如图，过作于，过作于，记，的交点为，证明，可得，证明，可得，设，可得，由可得：，求解，利用可得答案． 解：（1）解：∵，，边中点为， ∴． （2）如图，过作于，过作于，记，的交点为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分，而， ∴， ∴，设， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由可得：， ∴， ∴ ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程． （1）请补全课本例2的证明过程； （2）运用上述结论解决下面的问题： ①已知：如图，中，的平分线与的平分线交于点I，连接并延长交于点F，且，，求的度数． ②如图，在中，，，，垂足为H，点D、E在上，且，连接并延长，交于点F，连接．求证：． 【答案】（1），，；（2）①；②证明见分析； 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，有一定难度，准确作出辅助线是解题的关键． （1）根据角平分线的性质即可证明； （2）先求出的度数，再由（1）的结论进行求解即可； （3）连接，证明、分别平分、，根据（1）的结论得出平分，再证明，即可判定． 解：（1）证明：如图，过点作、、，垂足分别为、、． 平分，点在上， ． 同理． ． 点在的平分线上． 故答案为：，，； （2）①∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点I， ∴平分， ∴； ②证明：如图1，连接． 在中，，，， 是线段的垂直平分线，，， 点、在上，， ，， 平分，， 又平分， 根据（1）的结论得出平分， ， ， ， ． 【变式3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理证明：如图，中，，，，，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，． 设正方形中，， 试求用含、、的代数式表示． 小明的方法 ， ，． ，， ①，解得②． 小丽的方法 利用可以得到与、、的关系 …… （1）请补全小明的求解过程，并根据小丽的思路完成她的求解过程． （2）请结合小明和小丽得到的结论完成勾股定理的证明． 【答案】（1），，见分析；（2）见分析 【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的性质； （1）根据列方程，即为①式，解①得到的值即为②，填入横线中即可；分别用代数式表示出，代入整理即可完成小丽的求解过程； （2）利用小明和小丽得到的的值相等，列出等式，整理即可完成证明． 解：（1）解：，， ，． ，， ， 解得：， 故答案为：，． 小丽的求解过程： ， 其中，，，， ， ； （2）证明：由小明的结论知：，由小丽的结论知：， ， 即， 即， ， ， 第三部分：综合与延伸探究（培优篇） 【题型11】实数与拓展探究 【例题11】（24-25七年级下·山东滨州·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【答案】（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． （1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； （3）根据定义求一个数的四次方根； （4）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 解：（1），，；表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①∵ ∴的四次方根是； ②0的四次方根是0； ③没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为为：①；②0；③没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）①； 故答案为：； ②， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】（1）B；（2），，，；（3）见分析 【分析】本题考查实数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）体现了数形结合的思想； （2）利用平移的思想，进行求解即可； （3）类比题干中的方法，作图即可． 解：（1）解：体现了数形结合的思想； 故选：B； （2）解：图3中的正方形相当于从图2的位置向右平移1个单位长度得到的， ∴的长为，，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，，，； （3）解：∵大正方形的面积为5， ∴小长方形的对角线长为， 如图所示，点P表示的数为． 【变式2】（24-25七年级下·山西忻州·期中）综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 【答案】（1），，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根；（2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方根和立方根的拓展，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）根据实数的乘方运算即可填表，仿照平方根和立方根的定义即可给四次方根下定义； （2）根据四次方根的定义结合平方根的性质解答即可； （3）根据四次方根的定义求解即可； （4）根据四次方根的定义求解即可． 解：（1）∵，，， ∴填写表格如下： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； 故答案为：，，，一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）探究性质：①1的四次方根是；②16的四次方根是；③0的四次方根是0；④没有四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质如下：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）； （4）． 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值． 同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）知识再现：求代数式的最小值； （2）知识运用：代数式有最___________（填“大”或“小”）值，这个最值是__________； （3）知识拓展：若，求的立方根． 【答案】（1）代数式的最小值是；（2）大，；（3）的立方根是． 【分析】本题考查了完全平方公式，立方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）按照题目所述方法，根据完全平方公式进行配凑，即可求得代数式的最小值； （2）按照题目所述方法，根据完全平方公式进行配凑，即可求得代数式的最大值； （3）按照题目所述方法，根据完全平方公式进行配凑，可解得和的值，代入求立方根即可． 解：（1）解： 因为， 所以，当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是． 答：代数式的最小值是． （2）解： 因为， 所以，当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以有最大值，最大值是， 故答案为：大，． （3）解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴的立方根是， 答：的立方根是． 【题型12】三角形与勾股定理综合探究 【例题12】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． （1）当时，求的面积； （2）当是等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）；（2）当为等腰三角形时，或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论动点的运动情况是解题的关键． （1）过点作，垂足为点，勾股定理求得，进而根据等面积法求得，再根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）依题意，，分三种情况讨论，当时，当时，当时，结合图形分别求解． 解：（1）解：过点作，垂足为点， ∵在中，，，， ∴， 在中， 即， ， 当时， ∴的面积为： （2）依题意得， 当时，， 当时，， ， ∴ ∴ ∴ 解得：； 当时，过点作，垂足为，则 在中，， ∴ ∴ ∴， 当或或时，为等腰三角形． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； （3）【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【答案】（1）①，  ②；（2）；（3）①  ② 【分析】本题是三角形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题.也考查了勾股定理和类比的方法. （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号） ，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （2）利用（1）中的方法画出图形，设 则利用勾股定理得到， 根据三角形三边的关系得到而 （当且仅当、、共线时取等号），过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理计算出长即可； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可. 解：（1）解：①，， 故答案为：，； ②连接， 由①可得， ∵（当且仅当、、共线时取等号）， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解：根据（1）可得，作，，，，，点是线段上的动点，连接，，设，． ∴，， ∴， 连接， ∵（当且仅当、、共线时取等号）， ∴最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （3）①解：画出边长为的正方形，在边上截取出长为，，的线段，作图如下： 则，， ， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号） ， ， 的最小值为， 的最小值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，取，的中点为， 连接， ，， 如图， 则，， ，， ∴以为边的三角形的面积， ， ∴以为边的三角形的面积为， 故答案为： ． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在中，， ，，将绕A按逆时针方向旋转，得到． （1）如图1，点F为与的交点，连接． ①求证：平分； ②求的面积． （2）如图2，点P为线段中点，点G是线段上的动点，在绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点，请直接写出线段长度的最大值与最小值的差 【答案】（1）①见分析，②；（2） 【分析】（1）①过点A作于点M，作于点N，证明AM=AN，即可得出结论； ②由①可得，求得，，，得到，根据三角形的面积公式即可求解； （2）①当G在上运动至垂足点F，绕点A旋转，使点G的对应点在线段上时，最小；②当G在上运动至点C，绕点A旋转，使点G的对应点在线段延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值． 解：（1）解：①过点A作于点M，作于点N， 根据旋转的性质可知：，， ∴，即， ∴， ∴平分． ②由①可得， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图，过点A作于点F， 在中，，， ∴， ∵，点P为线段中点， ∴， 当G在上运动，与垂直时，即点F与点G重合时，绕点A旋转，使点G的对应点在线段上时，最小， 最小值为：； ②如图，当G在上运动至点C， 绕点A旋转，使点G的对应点在线段延长线上时，最大， 最大值为：． 综上所述，线段长度的最大值为，最小值为，它们的差为． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·福建福州·期中）在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． （1）如图1，若点E是的中点，求证：． （2）如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 解：（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 【变式4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒． （1）当点P运动7秒时，的面积为______； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___． 【答案】（1）3；（2）3或6或或；（3） 【分析】（1）勾股定理求出的长，根据路程等于速度乘以时间，确定点位置，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）根据沿着过点P的直线，能将折叠到上，得到平分，过点作，根据角平分线的性质得到，等积法求出的长，易得为等腰直角三角形，进而得到的长，线段的和差求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴当点P运动7秒时，点移动的距离为，此时点在上，且， ∴， ∴的面积为：； 故答案为：3． （2）解：当为等腰三角形时，分中情况进行讨论： ①，此时点在上，，则； ②，当点在上时，过点作， 则：，， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，如图： ∵， ∴， ∴； ③当时，过点作，由②知：， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴； 综上：t的值为：3或6或或； （3）∵沿着过点P的直线，能将折叠到上， ∴平分， 过点作，则：， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，平分， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：． 【点拨】本题考查勾股定理，等腰三角形的判断和性质，三线合一，角平分线的性质，等积法求线段的长，熟练掌握相关知识点和分类讨论的思想，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中检测考点分类专题（解答题十二大题型分类精析） 考查范围：第1章 三角形 第2章 实数的初步认识 第3章勾股定理 第4章平面直角坐标系 目录 第一部分：代数运算与几何证明（基础篇） 1 【题型1】平方根、算术平方根、立方根的运算 1 【题型2】解方程 1 【题型3】平方根、立方根、实数及整数部分与小数部分 2 【题型4】三角形全等的证明 2 【题型5】等腰三角形、角平分线、垂直平分线的证明 3 【题型6】作图与求值 4 【题型7】勾股定理直接计算 6 第二部分：应用与证明（综合篇） 7 【题型8】实数的应用 7 【题型9】勾股定理的应用 8 【题型10】计算与证明综合 9 第三部分：综合与延伸探究（培优篇） 11 【题型11】实数与拓展探究 11 【题型12】三角形与勾股定理综合探究 14 第一部分：代数运算与几何证明（基础篇） 【题型1】平方根、算术平方根、立方根的运算 【例题1】（25-26八年级上·江苏·期中）计算： （1）； （2） 【变式1】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）化简：． （2）已知的平方根为，求的立方根． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式3】（23-24七年级下·江苏南通·期中）计算： （1）； （2）． 【题型2】解方程 【例题2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）求下列各式中的x． （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中的x． （1） （2）． 【变式2】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）求下列各式中的： （1）； （2）． 【变式3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【题型3】平方根、立方根、实数及整数部分与小数部分 【例题3】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【变式1】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知a的平方根是，b的立方根是2，c是的整数部分． （1）求的平方根； （2）若x是的小数部分，求的值． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． （1）求、的值； （2）求的平方根． 【变式3】（24-25七年级下·广东中山·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【题型4】三角形全等的证明 【例题4】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，．求证：． 【变式1】（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【变式2】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于，于． （1）求证：． （2），，求的长度． 【变式3】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【题型5】等腰三角形、角平分线、垂直平分线的证明 【例题5】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，是高，分别是的中点． （1）若，，求四边形的周长； （2）与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，点C在上，，，，． （1）求证：； （2）请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，点分别在上，，相交于点，．求证：平分．    【变式3】（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，，，垂足分别是D，E，BE与CD相交于点O，且．求证：． 【题型6】作图与求值 【例题6】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小，此时 ； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期中）仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）已知图①是轴对称图形，在图①中作出该图形的对称轴； （2）如图②，直线是线段的垂直平分线，点是直线外一点，位置如图所示．作出点的对称点． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）连接，，求四边形的面积． 【变式3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． （1）作线段的垂直平分线交于点； （2）作的角平分线交于点； （3）的周长是 ． 【变式4】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A， B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点． （1）在图中请画出平移后的； （2）利用格点画出的中线； （3）的面积是_____； （4）若的面积与的面积相等，满足条件的格点P有 个（点P异于点A且与点A在直线的同一侧）． 【题型7】勾股定理直接计算 【例题7】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，四边形中，，，求四边形的面积． 【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是公园中的一块空地，，． （1）连接，判断的形状并说明理由； （2）公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米需要费用200元，试问铺满这块空地共需费用多少元？ 【变式2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，用4个完全相同的直角三角形能围成一个大正方形和一个较小的正方形（问空白部分），其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为） 【探究发现】 （1）代数式1：_________.代数式2：________； （2）这个等式为　　　（直接写化简后的结果），用文字语言表达为_________； 【学以致用】 （3）在直角三角形中，，，.求的长. 第二部分：应用与证明（综合篇） 【题型8】实数的应用 【例题8】（24-25七年级下·江苏南通·期中）南通蓝印花布图案朴素优美、吉祥如意，它是中国传统的手工印染工艺品，是中国国家地理标志产品．现有一块长、宽之比为的长方形蓝印花布，其面积为． （1）求蓝印花布的周长； （2）染坊的师傅想要把蓝印花布裁出一块面积为的完整正方形花布，她能裁出来吗？请说明理由． 【变式】（24-25七年级下·江苏南通·期中）某校开展了迎五一手抄报展览活动，为制作出精美的劳动节主题展览作品，要求：用一张面积为 的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景. （1）正方形卡纸的边长是 ； （2）小雯同学设计了一种方案：使长方形的长与宽之比为，她能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗?若能，请你帮助小雯设计裁剪方案；若不能，请说明理由. 【题型9】勾股定理的应用 【例题9】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）把15只空油桶（每只油桶底面直径均为50cm）如图所示堆在一起，求这堆油桶的最高点距地面的高度． 【变式1】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地（图中的阴影部分）．经测量，，，，且． （1）试说明：； （2）该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【变式2】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． （1）若，则______，______； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，求的面积． 【变式3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【题型10】计算与证明综合 【例题10】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，，，，连接． （1）______； （2）已知，直线垂直平分分别交，于点，点，若点从点出发沿以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设运动时间为秒．连接，，在点运动过程中，能否为以为腰的等腰三角形？若能，求出的值；若不能．请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴的正半轴上，．以为斜边作等腰直角三角形，点落在第四象限内，连接．取边中点，连接交于点 （1）求的长； （2）若，求四边形的面积． 【变式2】（23-24八年级上·江苏盐城·期中）我们在学习《2.4线段、角的对称性（4）》这节课的时候，课本中的例2证明了“三角形的三条角平分线相交于一点”，我们再重温一遍证明过程． （1）请补全课本例2的证明过程； （2）运用上述结论解决下面的问题： ①已知：如图，中，的平分线与的平分线交于点I，连接并延长交于点F，且，，求的度数． ②如图，在中，，，，垂足为H，点D、E在上，且，连接并延长，交于点F，连接．求证：． 【变式3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理证明：如图，中，，，，，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，． 设正方形中，， 试求用含、、的代数式表示． 小明的方法 ， ，． ，， ①，解得②． 小丽的方法 利用可以得到与、、的关系 …… （1）请补全小明的求解过程，并根据小丽的思路完成她的求解过程． （2）请结合小明和小丽得到的结论完成勾股定理的证明． 第三部分：综合与延伸探究（培优篇） 【题型11】实数与拓展探究 【例题11】（24-25七年级下·山东滨州·期中）本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写下表 1 16 81 … … 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：_____； （2）探究性质：①的四次方根是_____；②0的四次方根是_____；③_____（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：_____； 【拓展应用】 （3）①计算：_____；②比较大小：_____． 【变式1】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）某位同学学习实数之后整理的一篇数学笔记，请仔细阅读，并完成相应的任务． *年*月*日    星期二    晴 今天我们学习了实数，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，明白了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．有这样一个探究：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，可以得到一个面积为2的大正方形，面积为2的大正方形的边长就是原边长为1小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图2，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A、，则点A对应的数为，点对应的数为． 类比思考：如图3，改变图2中正方形的位置，以数字1所在的点为圆心，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！ 按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！ （1）上述材料中说明问题的方式主要体现了下列哪种数学思想______． A．方程思想    B．数形结合思想    C．化归思想 （2）“类比思考”中，线段的长为______，的长为______；则点B表示的数为______，点表示的数为______． （3）拓展思考：通过动手操作，小敏同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图4所示的正方形．则请借鉴材料中的方法在数轴上找到表示的点P．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【变式2】（24-25七年级下·山西忻州·期中）综合与探究 本学期第八章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写表格： 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ． （2）探究性质：①1的四次方根是 ；②16的四次方根是 ；③0的四次方根是 ；④ （选填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ； （3） ； 【拓展应用】 （4） ． 【变式3】（24-25七年级下·广西梧州·期中）上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值． 同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 所以有最小值，最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： （1）知识再现：求代数式的最小值； （2）知识运用：代数式有最___________（填“大”或“小”）值，这个最值是__________； （3）知识拓展：若，求的立方根． 【题型12】三角形与勾股定理综合探究 【例题12】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，设点的运动时间为秒． （1）当时，求的面积； （2）当是等腰三角形时，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化．从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知，均为正实数、且，求的最小值． 通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此写出的最小值是______； （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是______； （3）【感悟探索】 ①已知，，为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若，为正数，试运用构图法，直接写出以，，为边的三角形的面积是______． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在中，， ，，将绕A按逆时针方向旋转，得到． （1）如图1，点F为与的交点，连接． ①求证：平分； ②求的面积． （2）如图2，点P为线段中点，点G是线段上的动点，在绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点，请直接写出线段长度的最大值与最小值的差 【变式3】（23-24八年级上·福建福州·期中）在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． （1）如图1，若点E是的中点，求证：． （2）如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【变式4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒． （1）当点P运动7秒时，的面积为______； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $