3.3勾股定理的简单应用专题讲义2024-2025学年苏科版数学 八年级上册

勾股定理的应用 1、 教学要求： 1、 会用勾股定理求平面与曲面上两点间的距离，能够将实际问题转化为数学问题； 2、 熟练掌握勾股定理，灵活应用到实际问题中。 二、基础练习： 三、知识梳理： 1.甲、乙两人在沙漠中进行探险，某日早晨8:00甲先出发，以6km/h的速度向东南方向行走，1小时后乙出发，以5km/h的速度向西南方向行走，如图，上午10:00时，甲、乙两人相距多少远？ 知识点一：利用勾股定理求两点之间的距离。 东南方向与西南方向，东南方向与东北方向，东北方向与西北方向，西北方向与西南方向都互相垂直。 2.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？ 知识点二：求最短路程问题。 圆柱体表面积展开后，把立体图形表面上两点之间的最短路线问题转化为平面两点之间的距离，在具体问题中，关键是画出展开后的长方形，并正确标出所求距离。 3. 如图，铁路上A、B两点相距25km,C,D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知AD=10km，BC=15km，现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站为E，使得C，D两村到土特产收购站E的距离相等，则土特产收购站E应修建在离A点多少千米处？ 知识点三：勾股定理在实际生活中的应用 4.如图，在公路旁有一块山地正在开发，先有C处需要爆破，已知点C与公路停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，需要暂时封锁吗？ 知识点四：勾股定理及其逆定理的实际应用 四、专题巩固练习 专项训练一：分类讨论思想 1.三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是_______. 2.若△ABC中，，高AD=12,则BC的长为（ ） A.14 B.4 C.14或4 D.以上都不对 专题训练二：整体思想 3.如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为,且,则=_________. 第3题 第5题 4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若，，则Rt△ABC的面积是_____. 5.如图，Rt△ABC的面积为20cm2，在AB的同侧，分别以AB，BC，AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． 专题训练三：等积思想 6.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 ； 7.△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是_________. 专项训练四：转化思想（立体图形转化成平面展开图）最短路径问题 8.如图,在正方形中，边上有一点,,在上有一点,使为最短,则的最短距离是______. 9.如图，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 10.有一个长方体纸盒(如图所示)，小明所在的数学小组研究由长方体的底面点到长方体中与点相对的点的最短距离，若长方体的长为12，宽为9，高为5，请你帮助该小组求出点到点的最短距离.( ，结果保留两位小数) 专项训练五：构造思想 11.在等腰△ABC，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°，求证：． 专项训练六：方程思想 12.如图，一棵树高4.5米，被大风刮断，树尖着地点B距树底部C为1.5米，求折断点A离地高度多少米. 13.在长方形纸片中,如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点也随之移动．若限定点分别在边上移动，则点在边上可移动的最大距离为   ． 14.如图，沿折痕折叠矩形的一边，使点落在边上一点处。若，且的面积为，求的长. 15.如图所示,四边形是矩形,把沿折叠得到,与与交于点,若,求的长. 专项训练七：勾股定理的生活中实际应用 16.一辆装满货物的卡车,高2.5米,宽1.6米,要开进上边是半圆,下边是长方形的桥洞,如图所示,已知半圆的直径为2m,长方形的另一条边长是2.3m. （1）此卡车是否能通过桥洞?试说明你的理由. （2）为了适应车流量的增加,先把桥洞改为双行道,要使宽为1.2m,高为2.8m的卡车能安全通过,那么此桥洞的宽至少增加到多少? 17.如图所示,MN为我国领海线,MN以左为我国领海,以右为公海.上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C正以每小时16海里的速度偷偷向我国领海开来,便立即通知距其6海里,正在MN上巡逻的缉私艇B密切注意,并告知A和C两艇的距离是10海里,缉私艇B测得C与其距离为8海里,若走私艇C的速度不变,最早在什么时间进入我国领海? 四．课后练习 1.下列命题中是假命题的是( ) A.在中，若，则是直角三角形 B.在中，若 ，则是直角三角形 C.在中，若，则是直角三角形 D.在中，若，则是直角三角形 2.如图,由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形面积是9,小正方形面积是1,直角三角形较长直角边为,较短直角边为,则的值是(  ) A.4 B.6 C.8 D.10 第2题 第3题 第4题 3.如图,已知矩形沿着直线折叠,使点落在处,交点,,则的长为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在中，，点为中点，于点，则的长为（  ） A. B. C. D. 5.如图，底面周长为12,高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点,则蚂蚁爬行的最短距离是(  ) A.10 B.8 C.5 D.4 6.如图，在中，，则为（  ） A. B. C. D. 第5题 第6题 第9题 7.若△ABC的三边长为满足,则△ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是_________. 9.已知：如图,△ABC中,∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于_______. 10.如图,有一块直角三角形纸片,,将斜边翻折,使点落在直角边的延长线上的点处,折痕为,则的长为_______. 11.如图为一个矩形场地,米,米,如图堆放着一根长方体的木块,木块的棱与矩形场地的边平行,且木块的正视图是边长为0.2米的正方形,一只蚂蚁从处到达处需要走的最短路程是______米（精确到0.1米）。 第10题 第11题 第12题 12.如图,在中,于点,是上的动点,且,下列结论:(1)；(2)四边形的面积为定值；(3)；(4)平分. 其中正确的是____________. 13.如图所示,在月港有甲、乙两艘渔船,若甲渔船沿北偏东方问以每小时8海里的速度前进,乙渔船沿南偏东方向以每小时15海里的速度前进,两小时后,甲船到达岛,乙船到达岛.求岛与岛之间的距离. 14.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3. (1)将△ABP绕点B顺时针旋转90°，得到△BEC，请你画出△BEC； (2)连接PE，求证：△PEC是直角三角形； (3)求∠APB的度数. 15.如图，在△ABC中，AB=AC。 (1)P为BC上的中点,求证：； (2)若P为BC上的任意一点,(1)中的结论是否成立，并证明； (3)若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$