1.4：充分条件与必要条件（7大题型）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.4：充分条件与必要条件 【考点梳理】 · 考点一、充分、必要条件的判断 · 考点二：充要条件的判断 · 考点三：根据充分不必要条件求参数 · 考点四：根据必要不充分条件求参数 · 考点五：根据充要条件求参数 · 考点六、充要条件的证明 · 考点七：充分条件与必要条件综合 【知识梳理】 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【例题详解】 题型一、充分、必要条件的判断 1．（23-24高一上·四川遂宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 3．（23-24高一上·福建福州·期中）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：充要条件的判断 4．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 5．（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 6．（20-21高二下·重庆渝中·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：根据充分不必要条件求参数 7．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型四：根据必要不充分条件求参数 10．（23-24高一上·广东佛山）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据充要条件求参数 13．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 14．（20-21高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 题型六、充要条件的证明 16．（24-25高一上·全国）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 17．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 18．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 题型七：充分条件与必要条件综合 19．（24-25高一上·全国）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 20．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·全国·单元测试）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 22．（25-26高一上·全国）甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 24．（24-25高一上·全国·随堂练习）“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 25．（24-25高一上·全国·课后作业）集合A，B之间的关系如图所示，p：，q：，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 26．（24-25高一上·上海）下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 27．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题 30．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中正确的是（    ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 31．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 33．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 34．（25-26高一上·全国）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 35．（23-24高二下·江苏扬州）“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 36．（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 38．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 39．（22-23高一上·江西南昌）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 40．（25-26高一上·全国·课前预习）下列各组p，q中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 41．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 42．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 43．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 44．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4：充分条件与必要条件 【考点梳理】 · 考点一、充分、必要条件的判断 · 考点二：充要条件的判断 · 考点三：根据充分不必要条件求参数 · 考点四：根据必要不充分条件求参数 · 考点五：根据充要条件求参数 · 考点六、充要条件的证明 · 考点七：充分条件与必要条件综合 【知识梳理】 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【例题详解】 题型一、充分、必要条件的判断 1．（23-24高一上·四川遂宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】比较两个不等式表示范围的大小，即可得出答案. 【详解】因为所表示的范围要小于所表示的范围， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 3．（23-24高一上·福建福州·期中）“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利充分性以及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，取，此时不成立，故充分性不成立； 当时，，显然成立，故必要性成立； 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 题型二：充要条件的判断 4．（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 5．（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】C 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. 6．（20-21高二下·重庆渝中·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先根据不等式的性质变形为，再分情况讨论，判断充分，必要条件. 【详解】结论， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：． 故选：C 题型三：根据充分不必要条件求参数 7．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 8．（22-23高一上·宁夏银川·阶段练习）已知，条件，条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质，由的取值范围，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，则，由是的充分不必要条件，则， 所以. 故选：D. 9．（23-24高一上·天津北辰·阶段练习）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 题型四：根据必要不充分条件求参数 10．（23-24高一上·广东佛山）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 11．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 12．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系即可求解. 【详解】因为，，又是的必要不充分条件， 所以，解得，经检验满足题意. 故选：D. 题型五：根据充要条件求参数 13．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 14．（20-21高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数． 【详解】由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． 15．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 题型六、充要条件的证明 16．（24-25高一上·全国）求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得，代入方程，因式分解可得方程有一个根为1，可证充分性；把代入方程，可得，可证必要性. 【详解】证明：充分性：因为，所以， 代入方程，得， 即． 所以方程有一个根为1． 必要性：因为方程有一个根为1， 所以满足方程， 所以，即． 故关于的方程有一个根为1的充要条件是． 17．（23-24高一上·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 18．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 题型七：充分条件与必要条件综合 19．（24-25高一上·全国）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【分析】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 20．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 21．（24-25高一上·全国·单元测试）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 【高分演练】 一、单选题 22．（25-26高一上·全国）甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】当时，实数满足，但此时不成立； 反过来由得． 综上所述，“实数满足”是“实数满足”的必要不充分条件， 故选：A． 23．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意可得（等号不同时成立），求出的范围，再检验端点值是否符合题意. 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 24．（24-25高一上·全国·随堂练习）“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】四边相等的四边形不一定是正方形，可能是菱形，但是正方形的四边一定相等， 故“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要而不充分条件. 故选：B 25．（24-25高一上·全国·课后作业）集合A，B之间的关系如图所示，p：，q：，则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合集合A，B之间的关系图分析判断即可， 【详解】由图可知，当时，不一定成立， 当时，则一定成立， 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 【答案】C 【分析】对于AC，由一元二次方程的相关知识结合必要、充分条件的概念即可判断；对于B，由不等式的性质以及必要、充分条件的概念即可判断；对于D，直接由必要、充分条件的概念即可判断. 【详解】对于A，“”等价于“或”，所以“”是“”的必要非充分条件，故A不符合题意； 对于B，一方面：若“且”，则“”，另一方面：若，仍满足，但此时， 所以“且”是“”的充分非必要条件，故B不符合题意； 对于C，当时，“”是“方程有解”的既不充分也不必要条件，故C符合题意； 对于D，若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件，故D不符合题意. 故选：C. 27．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 28．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】充分性好判断；必要性，满足等式，反例可以举出互为倒数的情形. 【详解】充分性，若，则，则，满足充分性； 必要性，当时，，但不满足，不满足必要性； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 29．（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】假设为真，验证能否得到，再假设为真，验证能否得到即可得. 【详解】若，则可化为， 则与的解集不同， 故不是的必要条件； 若、的解集都为空集， 如、，此时两不等式解集都为空集， 不满足，故不是的充分条件； 综上所述，是成立的既不充分又不必要条件. 故选：D. 二、多选题 30．（24-25高一上·全国·课后作业）下列选项中正确的是（    ） A．点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分而不必要条件 C．是的必要而不充分条件 D．或为有理数是为有理数的既不充分又不必要条件 【答案】AD 【分析】根据充分、必要条件的判定进行判断. 【详解】由“点到圆心的距离大于圆的半径”可得“点在外”，由“点在外” 可得“点到圆心的距离大于圆的半径”，故点到圆心的距离大于圆的半径是点在外的充要条件，故A正确； 由“两个三角形的面积相等”推不出“两个三角形全等”，由“两个三角形全等”可得“两个三角形的面积相等”，所以“两个三角形的面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件，故B错误； 由“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故C错误； 由“或为有理数”推不出“为有理数”，如，，不是有理数；由“为有理数”推不出“或为有理数”，如，此时为有理数，但“或为有理数”不成立.故“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：AD 31．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即， 对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，. 故选：CD. 32．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 33．（22-23高一上·福建泉州·期中）下面命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 三、填空题 34．（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【分析】先化简得出，再结合充分不必要条件判断各个选项. 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 35．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得， 所以由推得出一元二次方程有实数解，故充分性成立， 由一元二次方程有实数解推不出，故必要性不成立； 所以“”是“一元二次方程有实数解”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 36．（24-25高一上·上海·期中）不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的有 ． （1）若，则； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若，则； （4）若，则，． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】（1）由，可以推出，所以命题（1）符合题意； （2）由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以命题（2）符合题意； （3）由，可以推出，所以命题（3）符合题意； （4）由，得或，所以不一定推出，所以命题（4）不符合题意. 故答案为：（1）（2）（3） 38．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 39．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断在上的单调性，可求得集合A，进而由“”是“”的充分不必要条件，可得，求解即可． 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上递增， 当时，；当时，．所以． ，由于“”是“”的充分不必要条件， 所以，，解得或， 所以m的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 40．（25-26高一上·全国·课前预习）下列各组p，q中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 【答案】(1)充要条件 (2)必要而不充分条件 (3)必要而不充分条件 (4)充分而不必要条件 【分析】结合充分条件，必要条件的定义判断即可得到结果. 【详解】（1）若三角形为等腰三角形，则三角形存在两角相等， 若三角形存在两角相等，则对应的两边一定相等，则三角形为等腰三角形， 所以，所以 p是q的充要条件. （2）若⊙O内两条弦相等，则所对圆周角相等或者互补， 若⊙O内两条弦所对的圆周角相等，则⊙O内两条弦相等， 故，，所以 p是q的必要而不充分条件. （3）取，则， 所以，推不出A与B之一为空集， 但A与B之一为空集，则， 所以p是q的必要而不充分条件. （4）若a能被6整除，故也能被3和2整除，故， 若a能被3整除，如，则a不能被6整除，故. 所以p是q的充分而不必要条件. 41．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 42．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 43．（23-24高一上·天津·期中）已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 44．（23-24高一上·河南驻马店·期末）在①；②“（是非空集合）”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合． (1)当时，求和； (2)若________，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）先求出集合，再求出，进而可得集合； （2）分情况处理，若选择①，考虑的情形即可，要分和两种情况分析；若选择②，考虑且的情形即可；若选择③，考虑的情形即可，要分和两种情况分析. 【详解】（1）当时，集合， 所以， 又因为，所以. （2）若选择①，，则， 当时，，解得：， 当时，又， 所以，得， 所以实数a的取值范围是． 若选择②，““是“”的充分不必要条件， 则且， 因为， 或，解得：， 由于无解，不成立， 所以实数a的取值范围是．（不检验扣1分） 若选择③，， 当时，，解得：， 当时，又，则， 解得：或， 所以实数a的取值范围是． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$