第一章 空间向量与立体几何（共12课时，同步练，含pdf版可打印）-2024-2025学年高二数学新人教A版2019选择性必修系列课时同步训练

深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 1 第一章 1.1.1 空间向量及其线性运算 A 组：基础巩固 一、选择题 1.在空间四边形 OABC 中，�� + �� − ��等于( ) A.�� B.�� C. �� D.�� 2.下列条件能使点M 与点 , ,A B C一定共面的是（ ） A.OM OA OB OC       B.OM OA OB OC       C. 1 2 OM OA OB OC        D. 3OM OA OB OC        3.已知在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1AD xCD yCC zBD       ，则 x y z  （ ） A.3 B.2 C.1 D.−2 4.如图，已知空间四边形 ABCD 的对角线为 AC，BD， 设 G 是 CD 的中点，则 1 ( ) 2 AB BD BC     等于（ ） A. AG  B.CG  C. BC  D. 1 2  BC 二、多选题 5.判断下列各命题正确的是( ) A.向量� 与� 平行，则� 与� 的方向相同或相反 B.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相 同 C.两个有公共终点的向量，不一定是共线向量 D.有向线段就是向量，向量就是有向线段 6.O为空间任意一点，使 , ,A B C三个点共线的一 个条件是 ( ) A． OBOAOC 2 1 2 1  B. 1 2 3 3 OC OA OB     C. 1 1 3 4 OC OA OB     D. 1 1 2 4 OC OA OB     三、填空题 7. 1AB BD AC      ________. 8.如图，设 O为▱ABCD所 在平面外任意一点，E为 OC 的中点，若 AE ―→ ＝ 1 2 OD ―→ ＋x OB ―→ ＋y OA ―→ ，则 x＝______，y＝_____. B 组：能力提升 9.平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，化简 1AB AD CC      （ ） A. 1AC  B. 1CA  C. 1BD  D. 1DB  10.如图，在四面体 ABCD中， ,E F 分别为 ,BC AE 的中点，G为 ACD 的重心，则 FG   （ ） A. 1 1 1 3 12 4 AB AC AD      B. 1 1 1 4 12 3 AB AC AD      C. 1 1 1 4 12 3 AB AC AD     D. 1 1 1 3 12 4 AB AC AD     11.（多选）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中，P为 空间一点，且满足 1BP BC BB      ，  , 0,1  ， 则（ ） A.当 1  时，点 P 在棱 1BB 上 B.当 1  时，点 P 在棱 1 1B C 上 C.当 1   时，点 P 在线段 1BC上 D.当  时，点 P 在线段 1BC 上 12.设�1 ，�2 是空间两个不共线的向量，已知�� = 2�1 + ��2 , �� = �1 + 3�2 , �� = 2�1 − �2 ,且 A，B， D三点共线，则 k＝________. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 2 1.1.2 空间向量的数量积运算 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知两异面直线的方向向量分别为 a，b，且|a|＝ |b|＝1，a·b＝－1 2 ，则两直线的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 2.在正四面体 ABCD中，BC  与CD  的夹角等于（ ） A.30° B.60° C.150° D.120° 3.已知空间向量 13a   ， 5b   ，且a与b  夹角的 余弦值为 9 13 65  ，则 a  在b  上的投影向量为（ ） A. 9 13 13 b  B. 9 13 13 b  C. 9 25 b  D. 9 25 b  4.已知在平行六面体 ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB ＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是 60°， 则 AC1的长为( ) A.6 B. 6 C.3 D. 3 二、多选题 5.正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1，体对角线 1AC 与 1BD ，相交于点О，则（ ） A. 1 1 1AB AC    B. 1 2AB AC    C. 1 2 AB AO    D. 1 1BC DA    6.空间有一四面体 A­BCD，满足 AD AB ， AD AC ，则正确的为（ ） A. 2DB DC DA AB AC         ； B.若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角； C.若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角； D.若 AB DA 且 AC DA ，则∠BDC是锐角 三、填空题 7.如图，在棱长为 2的正四面体 ABCD中， ,E F 分 别为棱 ,CD AD的中点，则 BE BF    . 8.如图,已知正三棱柱 ABC­A1B1C1的各条棱长都相 等,M 是侧棱 CC1的中点,则异面直线 AB1和 BM 所成的角的大小是 . 第 7 题 第 8 题 B 组：能力提升 9.已知 a，b  均为空间单位向量，它们的夹角为 60°， 那么 3a b  等于（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D.4 10.在三棱锥 A-BCD中,若 AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1, 则�� ·�� = ( ) A.1 2 B.1 C. 3 D.0 11.（多选）如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 其中以顶点 A为端点的三条棱长均为 6，且彼此 夹角都是60，下列说法中不正确的是（ ） A. 1 6 6AC  B. 1AC BD C.向量 1BC  与 1AA  夹角是60 D.向量 1BD  与 AC  所成角的余弦值为 6 3 12.如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 11, 2AB AD AA   ， 1 120 ,BAD BAA     1 60DAA   ，则线段 1AC 的长度是_______ . 第 10 题 第 11题 第 12 题 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 3 1.2 空间向量基本定理 A 组：基础巩固 一、单选题 1.若 1 2 3, ,e e e    是空间的一个基底，且向量  1 2 3 1 2 3 1 2 3, 2 2 , 3 2OA e e e OB e e e OC ke e e                     不能构成空间的一个基底，则 k （ ） A. 8 3 B. 5 2 C. 1 4  D. 9 4 2.已知 , ,a b c    是空间的一组基底，其中 2 3AB a b     ， AC a c     ， 2AD b c     .若 A， B，C，D四点共面，则λ=（ ） A. 3 4  B. 3 4 C. 4 3 D. 4 3  3.四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， 点 E为棱 PC的中点，若 AE xAB yAD zAP       ， 则 x y z  等于（ ） A. 3 2 B.1 C. 5 2 D.2 4.设{�, �, � }是单位正交基底，已知向量� 在基底 {� , � , � }下的坐标为(8,6,4)，其中� = �+ �，� = � + � ，� = � + �，则向量� 在基底{�, �, � }下的坐标是 （ ） A.(10,12,14) B.(12,14,10) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 二、多选题 5.设 , ,a b c   构成空间的一个基底，下列说法正确的 是（ ） A. a  ，b  ， c  两两不共线，但两两共面 B.对空间任一向量 p  ，总存在有序实数组  , ,x y z ， 使得 p xa yb zc       C. a  ，a c   ，a c   能构成空间另一个基底 D.若 0xa yb zc       ，则实数 x， y， z全为零 6.如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，以顶点 A为端点的三条棱长都是 1，且它们彼此的夹角 都是 60°，M为 1 1AC 与 1 1B D 的交点，若 1, ,AB A b ca D AA       ，则下列正确的是（ ） A. 1 1 2 2 BM a b c      B. 1AC a b c      C. 1AC 的长为 5 D. 1 6cos , 3 AB AC    三、填空题 7.如图，在空间四边形 OABC中， 2BD DC   ，点 E 为 AD的中 点，设 , ,OA a OB b OC c       . 向量 , ,a b c   表示向量OE   __________. 8.已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是平行四边 形，若 PD xPA yPB zPC       ，则 xyz  ______. B 组：能力提升 9.如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 2AB  ， 2AD  ， 1 2AA  ， 1 1 60BAA DAA     ， 90BAD  ，则 1BC 与 1CA所成角的余弦值为 （ ） A. 3 6  B. 3 6 C. 2 4  D. 2 4 10.在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1 1AA  ， 2AB AD  ，且 1 1 45A AD A AB     ， 60DAB  ，则 1BD （ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 2 11.（多选）在三棱锥 A­BCD中， AB  ， AC  ， AD  两两夹角均为 π 3 ，且 1 1 2 AB AC AD      ，若 G，M 分别为线段 AD，BC的中点，则（ ） A． 3 3 4 MG   B． 3 2 MG   C．异面直线 AC与 DB所成角的正弦值为 33 6 D．异面直线 AC与 DB所成角的正弦值为 3 6 12.如图，两个正方形 ABCD，CDEF的边长都是 3， 且二面角 A CD E  为60，M 为对角线 AC靠 近点A的三等分点， N为对角线DF的中点，则 线段MN  ______. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4 1.3.1 空间直角坐标系 A 组：基础巩固 一、单选题 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A.y轴上 B.xOy平面上 C.xOz平面上 D.第一象限内 2.点 P(a，b，c)到坐标平面 xOy的距离是( ) A. �2 + �2 B.|a| C.|b| D.|c| 3.在空间直角坐标系中，点 P（－2，1，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）. A.（－2，1，－4） B.（－2，－1，－4） C.（2，－1，4） D.（2，1，－4） 4.如图，长方体 1 1 1 1ABCO ABC O 中， |OA|=4， |OC|=6， 1 2OO  ， 1BC 与 1BC相交于点 P，则 点 P的坐标是（ ） A.（6，2，1） B.（1，2，6） C.（4，6，2） D.（2，6，1） 二、多选题 5.已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 2，建立如 图所示的空间直角坐标系Dxyz，则（ ） A.点 1C 的坐标为（2，0，2） B.  1 2, 2, 2C A     C. 1BD 的中点坐标为（1，1，1） D.点 1B 关于 y轴的对称点为（－2，2，－2） 6.如图，在正三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中，已知 ABC 的 边长为 2，三棱柱的高为 1 11, ,BC BC 的中点分别为 1,D D ，以D为原点，分别以 1, ,DC DA DD    的方向 为 x轴､ y轴､ z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则下列空间点及向量坐标表示正确的是（ ） A．  1 0, 3,1A B.  1 1,0,1C C.  1 0, 3,1AD    D.  1 3, 3, 1B A    三、填空题 7. 如 图 ， 在 长 方 体 ABCD­A1B1C1D1 中建立空间 直角坐标系.已知 AB＝AD＝2 BB1＝1，则��1 的坐标为____. 8.点 P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是 ________，________，_______ B 组：能力提升 9.△ABC三个顶点的坐标分别为 A（1，－2，11）， B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC 的 形状为（ ）. A.正三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 10.如图，棱长为 2的正四面体 ABCD的三个顶点 A， B，C分别在空间直角坐标系的 x轴、y轴、z轴上，则点 D的 坐标为( ) A.(1,1,1) B.( 2， 2， 2) C.( 3， 3， 3) D.(2,2,2) 11.（多选）在空间直角坐标系 O xyz 中，若      1,2,3 , 2, 1,0 , 1,2,0 ,A B C D  四点可以构成 一个平行四边形，则D的坐标可以为（ ） A.  0, 1, 3  B.  2,5,3 C.  4, 1,3 D.  3, 2,0 12.如图所示，在长方体 OABC­O1A1B1C1中，OA＝ 2，AB＝3，AA1＝2，M是 OB1与 BO1的交点， 则 M点的坐标是________ 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 5 1.3.2 空间向量的坐标运算 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知�＝(1,0,1)，�＝(－2，－1,1)，�＝(3,1,0)， 则�－�＋2�＝( ) A.(－9，－3,0) B.(0,2，－1) C.(9,3,0) D.(9,0,0) 2.已知 a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a －b)，则( ) A.x＝1 3 ，y＝1 B.x＝1 2 ，y＝－4 C.x＝2，y＝－1 4 D.x＝1，y＝－1 3.已知 A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则 向量��与�� 的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)， C(4,0，－2k)，则 k的值为( ) A. 10 B.－ 10 C.2 5 D.± 10 二、多选题 5.若向量 a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则( ) A.cos〈a，b〉＝－2 5 B.a⊥b C.a∥b D.|a|＝|b| 6.已知点    1,2,2 , 1, 3,1A B  ，点C在 yOz平面上， 且点C到点 ,A B的距离相等，则点C的坐标可以 为（ ） A.  0,1, 1 B.  0, 1,4 C.  0,1, 6 D.  0,2,10 三、填空题 7.若 m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且 m⊥(m－n)， 则λ＝________ 8.已知 A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10， 则 z=________. B 组：能力提升 9.已知向量 a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝ 14， 若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 10.已知 O为坐标原点，��＝(1,2,3)，��＝(2,1,2)， ��＝(1,1,2)，点 Q在直线 OP上运动，则当�� ·�� 取得最小值时，点 Q的坐标为( ) A. 1 2 ， 3 4 ， 1 3 B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 C. 4 3 ， 4 3 ， 8 3 D. 4 3 ， 4 3 ， 7 3 11.（多选）已知空间向量  2, 1,3a   ，  4,2,b x    ， 下列说法正确的是（ ） A.若 a b   ，则 10 3 x  B.若  3 2, 1,10a b     ，则 1x  C.若 a在b  上的投影向量为 1 3 b  ，则 4x  D.若 a与b  夹角为锐角，则 10 , 3 x       12.已知空间三点 O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)， 若直线 OA上的一点 H满足 BH⊥OA，则点 H的 坐标为________ 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 6 1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 A 组：基础巩固 一、单选题 1.若μ=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中 能作为平面α的法向量的是 ( ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 2.下列说法不正确的是( ) A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所 有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面 也垂直 D.如果� ，� 与平面α共面，且� ⊥ � ，� ⊥ � ，那么 � 就是平面α的一个法向量 3.已知平面α经过点 A(1,1,1)和 B(-1,1,z),n=(1,0,-1)是 平面α的一个法向量,则实数 z=( ) A.3 B.-1 C.-2 D.-3 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,以 D 为原点建立 空间直角坐标系,E为 BB1的中点,F为 A1D1的中点, 则下列向量中 ,能作为平面 AEF 的法向量的是 ( ) A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 二、多选题 5.已知平面α过点 M(1, 3,2),其法向量 m=( 3,1,0), 则下列点不在平面α内的是 ( ) A.S(2,0,0) B.Q(2,0,4) C.R(0,2, 3) D.T(-2, 3,0) 6.在如图所示的空间直角坐标系中 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则下列结论中正确的 是( ) A.直线 BD1的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线 BD1的一个方向向量为(2,2,2) C.平面 B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D.平面 B1CD 的一个法向量为(1,1,1) 三、填空题 7.若 A 0,2, 19 8 ,B 1, − 1, 5 8 ,C -2,1, 5 8 是平面内的三 点,求平面的一个法向量：_________. 8.如图,放置于空间直角坐标系中的棱长为 2的正四 面体 A-BCD中,H是底面中心,DH⊥平面 ABC,写出: (1)直线 BC 的一个方向向量:________; (2)直线 OD 的一个方向向量:________; (3)平面 BHD 的一个法向量:________. B 组：能力提升 9.若直线 l的方向向量为� ，平面 的法向量为� ， 则可能使 l//α的是( ) A. (1,0,0), ( 2,0,0)a n    B. (1,3,5), (1,0,1)a n   C. (0,2,1), ( 1,0, 1)a n     D. (1, 1,3), (0,3,1)a n    10.已知直线 l过点 P(1,0,-1)且平行于向量� =(2,1,1), 直线 l与点 M(1,2,3)在平面α内,则平面α的法向量 不可能是( ) A.(1,-4,2) B. 1 4 ,-1, 1 2 C. - 1 4 ,1,- 1 2 D.(0,-1,1) 11.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，�� = �� = 2， AA1=3，以 D 为原点，�� , �� ,��1的方向分别为 x 轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下 列说法正确的是 ( ) A. 1B 的坐标为（2，2，3） B. 1 ( 2,0,3)BC    C.直线 1AA 的一个方向向量为（0，0，-3） D.平面 1 1A BC 的一个法向量为 ( 3,3, 2)  12.在空间直角坐标系 O-xyz中,已知平面α的一个法 向量为 n=(1,-1,2),且平面α过点 A(0,3,1).若 P(x,y,z) 是平面α内任意一点,则点 P 的坐标满足的方程是 _______. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 7 1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知直线 l1的一个方向向量为 v1=(1,2,3),直线 l2 的一个方向向量为 v2=(λ,4,6),若 l1∥l2,则λ=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若直线 m(在平面α外)的方向向量为 a,平面α的法 向量为 u,则能使 m∥α的是( ) A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0) B.a=(1,-1,3),u=(0,3,1) C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1) D.a=(1,3,5),u=(1,0,1) 3.已知直线 l 的一个方向向量为 m=(-2,-8,1),平面α 的一个法向量为 n= �, 12 ,2 ,且 l∥α,则实数 t的值 ( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个 法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ 的值是( ) A.- 310 B.-6 C. 10 3 D.6 二、多选题 5.若直线 l 的方向向量为m  ，平面α的法向量为 n  ， 则不可能使 l // α的是（ ） A.m  =(1，0，0)， n  =(-2，0，0) B.m  =(1，3，5)， n  =(1，0，1) C.m  =(0，2，1)， n  =(-1，0，-1) D.m  =(1，-1，3)， n  =(0，3，1) 6.已知 v  为直线 l 的方向向量， 1n ur ， 2n uur 分别为平面α， β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中， 正确的是（ ） A. 1n ur ∥ 2n uur ⇔α∥β B. 1n ur ⊥ 2n uur ⇔α⊥β C. v  ∥ 1n ur ⇔l∥α D. v  ⊥ 1n ur ⇔l∥α 三、填空题 7.已知� = (1,2,1)是直线�的方向向量，� = (2, �, 2) 为平面�的法向量，若�//�，则�的值为 . 8.已知平面α的法向量 u=(x,1,-2),平面β的法向量 v=(-1,y,2),α∥β,则 x+y= . B 组：能力提升 9.如图，正方形 ABCD与矩形 ACEF 所在平面互相 垂直， 2AB  ， 1AF  ，M 在 EF 上，且 / /AM 平面 BDE，则M 点的坐标为 ( ) A． (1，1，1) B. 2( 3 ， 2 3 ，1) C. 2( 2 ， 2 2 ，1) D. 2( 4 ， 2 4 ，1) 10.如图所示 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,E 是棱 DD1的中点,点 F 在棱 C1D1上,且�1� =λ�1�1 ,若 B1F∥平面 A1BE,则λ= ( ) A.14 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 11.（多选）已知四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是 正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AB=1,E是 PB的中 点,F是PC的中点,建立如图所示的空间直角坐标 系,则下列说法中正确的是 ( ) A.平面 ADE的一个法向量是(0,-1,1) B.直线 AE∥平面 PCD C.直线 FE∥平面 PAD D.直线 DF∥平面 PAB 12.如图所示,在四棱锥 P-ABCD中, PC⊥平面 ABCD,PC=2,在梯形 ABCD中, ∠ABC=∠ BCD=90°,AB=4,CD=1, 点 M 在 PB 上,PB=4PM,∠PBC=30°,则直线 CM与平面 PAD 的位置关系为 . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 8 1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知直线�的方向向量为� ，平面�的法向量为� ， 若� = − 1, 0,   − 1 ，� = (1,0,1)，则直线�与平 面�( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.位置关系无法确定 2.已知平面�，�的法向量分别为� = (3, − 1,4), � = ( − 2,3, − 5)，则（ ） A.�//� B.� ⊥ � C.�，�相交但不垂直 D.�，�的位置关系不确定 3.若直线 l的方向向量为 (2,1, )m ，平面 的法向量 为 1(1, ,2) 2 ，且 l  ，则 =m ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设 a  ，b  是两条直线， a  ，b  分别为直线 a，b的 方向向量，α，β是两个平面，且 a  ，b  ， 则“  ”是“ a b   ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 二、多选题 5. 已知 e为直线 l的方向向量， 1 2,n n   分别为平面 ,  的法向量 ( ,  不重合 )，那么下列说法中 正确的有( ) A. 1 //e n l    B. 1 2n n       C. 1 2// //n n     D. 1e n l     6.在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，O是底面 ABCD 的中心，M，N分别是棱 DD1，D1C1的中点，则 直线 OM（ ） A.和 AC垂直 B.和 AA1垂直 C.和 MN垂直 D.与 AC，MN都不垂直 三、填空题 7.已知平面�，�的法向量分别为� = ( − 2, �, 1), � = (�, 1,4)，且� ⊥ �，则� = 8. 如 图 所 示 ， 在 正 方 体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，O是底 面正方形 ABCD 的中心，M 是 1D D的中点，N是 1 1A B 的中点， 则直线 ON，AM的位置关系是 __________. B 组：能力提升 9.已知 (1,5, 2)AB    ， (3,1, )BC z  ，若 AB BC   ， ( 1, , 3)PB x y    ，且 BP ABC  面 ，则 PB   ( ) A. 40 15( , , 4) 7 7   B. 40 15( , , 3) 7 7   C. 33 15( , , 4) 7 7  D. 33 15( , , 3) 7 7   10.如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M， N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足 直线MN OP 的是（ ） A. B. C. D. 11.（多选）给定下列命题，其中正确的命题是（ ） A.若 n  是平面 的法向量，且向量 a  是平面 内 的直线 l的方向向量，则 0a n    B.若 1n ur ， 2n uur 分别是不重合的两平面 ,  的法向量， 则 1 2/ / 0n n       C.若 1n ur ， 2n uur 分别是不重合的两平面 ,  的法向量， 则 1 2 1 2/ / n n n n          D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一 定不垂直 12.如图，直三棱柱 ABC一 1 1 1A BC 中，侧棱长为 2， 1AC BC  ， 90ACB   ，D是 1 1A B 的中点， F 是 1BB 上的动点， 1AB ，DF 交于点 E，要使 1AB 平面 1C DF ，则线段 1B F 的长为______. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 9 1.4.2.1 用空间向量研究距离问题 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知 A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点 A到直线 BC的距离为( ) A.2 2 3 B.1 C. 2 D.2 2 2.若三棱锥 P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足 PA＝PB＝PC＝1，则点 P到平面 ABC的距离是 ( ) A. 6 6 B. 6 3 C. 3 6 D. 3 3 3. 如 图， 正 方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 1，O是 平面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1 的距离是 ( ) A.1 2 B. 2 4 C. 2 2 D. 3 2 4.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)， 且两平面的一个法向量 n＝(－1,0,1)，则两平面 间的距离是( ) A.3 2 B. 2 2 C. 3 D.3 2 二、多选题 5.下列选项正确的是（ ） A.空间向量  1, 1,2a    与向量  2,2, 4b     共线 B.已知向量  2, , 4a x  ，  0,1,2b   ，  1,0,0c   ， 若 a  ，b  ， c  共面，则 2x  C.已知空间向量  1,1,0a  r ，  1,0, 2b   r ，则 a  在 b  方向上的投影向量为 1 2,0, 5 5      D.点 (2,1,1)A 是直线 l上一点， (1,0,0)a   是直线 l的一个方向向量，则点 (1, 2,0)P 到直线 l的距 离是 3 6.在棱长为 4的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E， F 分别是棱 BC， 1CC 的中点，则（ ） A. 1D E DF B. 1AD ∥平面DEF C.平面 1 1BC D与平面DEF相交 D.点 B到平面DEF的距离为 4 3 三、填空题 7.已知向量 n＝(1,0，－1)与直线 l垂直，且直线 l 经过点 A(2，3,1)，则点 P(4,3,2)到直线 l的距离为 ________ 8.已知平面α的一个法向量为 n＝(－2，－2,1)，点 A(－1,3,0)在平面α内，则点 P(－2,1,4)到平面α的 距离为________ B 组：能力提升 9.空间直角坐标系O xyz 中， (1,3,0)A ， (0,3,1)B ， (1,0,3)C ，点 P在平面 ABC内，且OP 平面 ABC， 则 | |AP （ ） A. 5 B. 7 C. 26 3 D. 42 3 10.如图，在圆锥 SO中，AB是底 面圆O的直径， 4SO AB  ， AC BC ，D为 SO的中点，N 为 AD的中点，则点 N到平面 SBC的距离为（ ） A． 4 3 B. 5 3 C.1 D. 2 11.（多选）已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， 点 ,E O分别是 1 1 1 1,A B AC 的中点，P在正方体内部 且满足 1 3 1 2 4 2 3 AP AB AD AA       ，则下列说法正 确的是（ ） A.点A到直线 BE的距离是 2 5 5 B.点O到平面 1 1ABC D 的距离为 2 4 C.点 P到直线 AB的距离为 25 36 D.平面 1ABD与平面 1 1BCD 间的距离为 3 3 12.如图，棱长为 1的正方体 ABCD­A1B1C1D1中，N 是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM， 则直线 BM与 B1N之间的距离为 . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 10 1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知两条异面直线的方向向量分别是 m＝(－2，1， 2)，n＝(3，－2，1)，则这两条异面直线所成的 角θ满足( ) A.sin θ＝－ 14 7 B.sin θ＝ 14 7 C.cos θ＝ 14 7 D.cos θ＝－ 14 7 2.已知向量  1 2,0, 2n     ，  2 2, 2,0n   分别为平面  和平面 的法向量，则平面 与平面 的夹角 为（ ） A.30 B.45 C.60 D.120 3.在矩形 ABCD中，AB＝1，BC＝ 2 ，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC与平面 ABCD所成角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知平面 的一个法向量为  2,1, 1m     ，向量  0, 1,2AB    ，  1, 1,0AC    ，则平面 与平面 ABC夹角的正切值为（ ） A. 2 B.2 C. 5 D. 6 二、多选题 5.如图，E，F分别是正方体 ABCD ­ A1B1C1D1中棱 CD上的两点，且 AB＝2，EF＝1，则下列命题中不 正确的为( ) A.异面直线 B1D1与 EF所成的角的大小为 45° B.异面直线 B1D1与 EF所成的角的大小为 30° C.直线 B1D1与平面 B1EF所成的角的大小为 45° D.直线 B1D1与平面 B1EF所成的角的大小为 60° 6.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且 AB＝ BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则( ) A.直线 AD与直线 BC所成角的大小为 90° B.直线 AC与直线 BD所成角的余弦值为 3 4 C.直线 AD与平面 BCD所成角的大小为 45° D.直线 CD与平面 ABC所成角的大小为 60° 第 5 题 第 6 题 三、填空题 7.若平面α的法向量 n＝(－1，0，1)，直线 l的方向 向量为 d＝(0，1，1)，则 l与α所成角的大小为 ________. 8.在直三棱柱 ABC ­ A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1， F1分别是 A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1， 则 BD1与 AF1所成角的余弦值为________. B 组：能力提升 9.已知在四棱锥 P ­ ABCD中，PA⊥平面 ABCD，底 面 ABCD是边长为 4 的正方形，PA＝6，E为棱 PD的中点，则直线 EC与平面 PAB所成角的正 弦值为( ) A.5 6 18 B.2 29 29 C.3 26 26 D.2 30 15 10.如图所示，已知点 P为菱形 ABCD外一点，且 PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝AC.点 F为 PC的中点，则二面角 C­BF­D 的正切值为( ) A． 3 6 B. 3 4 C. 3 3 D.2 3 3 11.（多选）在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 90BAC  ， 1 2AB AC AA   ， ,E F 分别是 1 1,BC AC 的中点， D在线段 1 1BC 上，则下面说法中正确的有（ ） A. / /EF 平面 1 1AA B B B.若D是 1 1BC 上的中点，则 BD EF C.直线 EF 与平面 ABC所成角的正弦值为 2 5 5 D.直线 BD与直线 EF 所成角最小时，线段 BD长 为 3 2 2 12.如图，已知 AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的 直径，且 AB⊥CD，若该圆柱的底面圆直径是其 母线长的 2 倍，则异面直线 AC与 BD所成角的 余弦值为________. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 11 1.4.3 空间向量的综合应用 A 组：基础巩固 一、单选题 1.已知向量  = 2 4a x  ，， ，  = 2 2b y  ， ， ，若 =6a  ， a  ⊥b  ，则 x y 的值是（ ） A. 3－ 或1 B. 3或 1－ C. 3－ D.1 2.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足 0AB AC     ， 0AC AD     ， 0AB AD     ，则 △BCD 是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 3.如图，ABCD EFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方体内部且满足 3 1 2 5 2 3 AP AB AD AE       ， 则 P到直线 AB的距离为（ ） A. 3 4 B. 4 5 C. 5 6 D. 3 5 4.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,E F 分别为 ,AB BC的中点，则（ ） A． 1BD 平面 1B EF B. BD 平面 1B EF C. 1 1AC ∥平面 1B EF D. 1A D∥平面 1B EF 二、多选题 5.关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A.已知  0,1,1a   ，  0,0, 1b    ，则 a  在b  上的投 影向量为 1 10, , 2 2       B.已知两个向量  1, ,3a m  ，  5, 1,b n   ，且 / /a b   ，则 3 mn C.设 , ,a b c   是空间中的一组基底，则 , ,a b b c    也是空间的一组基底 D.若对空间中任意一点O，有 1 1 1 2 3 4 OP OA OB OC       ，则 , , ,P A B C四点共面 6.已知二面角 l   中，平面 的一个法向量为 1 3 1, , 2 2 2 n         ，平面  的一个法向量为 2 10, , 2 2 n       ， 则二面角 l   的平面角满足（ ） A.余弦值为 3 2 B.正弦值为 1 2 C.大小为60 D.大小为30或150 三、填空题 7.已知直线�的方向向量为� = ( − 1,1,2)，平面�的 法向量为� = 1 2 , 2�, − 1 � ∈ � 若� ⊥ �，则实数 �的值为 . 8.如图，P为矩形 ABCD所在平面外一点，PA 平 面 ABCD，若已知 3, 4, 1AB AD PA   ，则D到 直线 PB的距离为 . B 组：能力提升 9.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑，在鳖臑� − ���中，�� ⊥平面 BCD，�� ⊥ ��，且�� = �� = ��，M 为 AD 的中 点，则异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为（ ） A. 2 3 B. 3 4 C. 3 3 D. 2 4 10.如图，在平行六面体���� − �1�1�1�1中，以 顶点�为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的夹 角都是60∘，下列说法中正确的是（ ） A.��1 = 12 6 B.直线��1与��所成角的正弦值为 6 6 C.向量�1� 与��1 的夹角是60∘ D.��1 ⊥平 面��1�1 11.（多选）如图，已知��⊥平面���，∠���= 2π 3 ， ��=��=2，��=3，�为��的中点，�� =3��， 则以下正确的是（ ） A.��= 5 3 B.��= 2 7 3 C.��与��所成角的余 弦值为 2 4 D.��与��所成角的余弦值为 2 10 12.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都 等于 1，点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则�� ⋅ �� 的值为 . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 12 第一章单元测试 一、单选题 1.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， M，N分别为 1 1AB 和 1BB 的中 点，那么直线 AM与 CN夹角 的余弦值为（ ） A． 3 2 B. 10 10 C. 3 5 D. 2 5 2.在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M为 AC与 BD的交点，若 1 1A B a   ， 1 1AD b   ， 1A A c   ，则 下列向量中与 1BM  相等的向量是（ ）. A. 1 1 2 2 a b c     B. 1 1 2 2    a b c C. 1 1 2 2    a b c D. 1 1 2 2     a b c 3.已知 a，b  均为空间单位向量，它们的夹角为 60°， 那么 3a b  等于（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D.4 4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 1 1 1ABC ABC- ,且 1 2CA CC CB ，则直线 1BC 与直 线 1AB夹角的余弦值为（ ） A. 5 5 B. 5 3 C. 2 5 5 D. 3 5 5.直线 l的方向向量为 (1, 1,0)m    ，且 l过点 (1,1, 2)A ，则点 (2, 2,1)P  到直线 l的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D.2 2 6.在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E，F分别为 ,AB BC 的中点，则（ ） A.平面 1B EF 平面 1BDD B.平面 1B EF 平面 1ABD C.平面 1 / /B EF 平面 1A AC D.平面 1 / /B EF 平面 1 1AC D 7.定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集， 任取 1 2 3, , ΩP P P  ，存在不全为 0 的实数 1 2 3, ,   ， 使得 11 2 2 3 3 0OP OP OP         .已知 (1,0,0) Ω ， 则 (0,0,1) Ω 的充分条件是（ ） A.  0,0,0  B.  1,0,0  C.  0,1,0  D.  0,0, 1  8.在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1AB BC  ， 1 3AA  ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦 值为 A. 1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 二、多选题 9.给出下列命题，其中正确的有（ ） A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量 //a b   ，则 a  、b  与任何向量都不能构 成空间的一个基底 C.对空间任一向量 p  ，存在唯一的有序实数组 ( , , )x y z ，使得 p xa yb zc       D.如果 a  ，b  是两个单位向量，则 a b   10.已知 , ,a b c    是空间的一个基底，则下列说法中正 确的是（ ） A.若 0xa yb zc       ，则 0x y z   B. , ,a b c    两两共面，但 , ,a b c    不共面 C.一定存在实数 x，y，使得 a xb yc     D.a b   ，b c   ， 2c a   一定能构成空间的一个 基底 11.在正三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 1 1AB AA  ，点 P 满足 1BP BC BB      ，其中  0,1 ，  0,1 ， 则（ ） A.当 1  时， 1AB P△ 的周长为定值 B.当 1  时，三棱锥 1P ABC 的体积为定值 C.当 1 2   时，有且仅有一个点 P，使得 1A P BP D.当 1 2   时，有且仅有一个点 P，使得 1A B  平面 1AB P 三、填空题 12. 如图，M，N分别是正方体 ABCD A B C D    的 棱 BB和 B C 的中点，MN和CD所成角的大小为 ______； 13.若向量� ＝(1,1,x)，� ＝(1,2,1)，�＝(1,1,1)满足条 件 � − � ∙ 2� ，则 x＝ . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 13 14.如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1中，所有棱长均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则点 B1到平面 ABC1的距 离为 . 四、解答题 15.已知  1 2 4a   ， ， ，  10 3b   ，， ，  0 0 2c  ，， .求： (1)  a b c   ； (2) 4 2a b c    . 16.已知空间三点  4,0,4A  ，  2,2,4B  ，  3,2,3C  .设� = ��，� = �� . (1)求 a  ， b  ； (2)求 a  与b  的夹角； (3)若向量 ka b   与 2ka b   互相垂直，求实数 k的 值. 17.如图，在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E、P分别 是 1 1BC AD、 的中点， ,M N分别是 1,AE CD 的中点， 1 , 2AD AA a AB a   . (1)求证： //MN 面 1 1ADD A； (2)求二面角 P AE D  的大小. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 14 18.如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 12, 4AB AA  .点 2 2 2 2, , ,A B C D 分别在棱 1 1 1, ,AA BB CC , 1DD上， 2 2 2 21, 2, 3AA BB DD CC    . (1)证明： 2 2 2 2B C A D∥ ； (2)点 P在棱 1BB 上，当二面角 2 2 2P A C D  为150 时，求 2B P . 19.如图，平面四边形 ABCD中， 8AB  ， 3CD  ， 5 3AD  ， 90ADC   ， 30BAD   ，点 E， F满足 2 5 AE AD   ， 1 2 AF AB   ，将 AEF△ 沿 EF 翻折至 PEF! ，使得 4 3PC  . (1)证明： EF PD ； (2)求平面 PCD与平面 PBF所成的二面角的正弦 值. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 15 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 第一章1.1.1空间向量及其线性运算 A组：基础巩固 一、选择题 1.在空间四边形OABC中，等于( ) A. B.　 　 C. 　　 D. 2.下列条件能使点与点一定共面的是（   ） A. B. C. D. 3.已知在长方体中，，则（  ） A.3 B.2 C.1 D. 4.如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 5.判断下列各命题正确的是(　　) A.向量与平行，则与的方向相同或相反 B.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C.两个有公共终点的向量，不一定是共线向量 D.有向线段就是向量，向量就是有向线段 6.为空间任意一点，使三个点共线的一个条件是 ( ) A． B. C. D. 三、填空题 7.________. 8.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，则x＝______，y＝_____. B组：能力提升 9.平行六面体中，化简（      ） A. B. C. D. 10.如图，在四面体中，分别为 的中点，为的重心，则（    ） A. B. C. D. 11.（多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A.当时，点P在棱上 B.当时，点P在棱上 C.当时，点P在线段上 D.当时，点P在线段上 12.设，是空间两个不共线的向量，已知且A，B， D三点共线，则k＝________. 1.1.2空间向量的数量积运算 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为(　　) A.30° 　B.60° C.120° D.150° 2.在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A.30° B.60° C.150° D.120° 3.已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A. B. C. D. 4.已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　) A.6 B. C.3 D. 二、多选题 5.正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A. B. C. D. 6.空间有一四面体A-BCD，满足，，则正确的为（        ） A.； B.若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角； C.若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角； D.若且，则∠BDC是锐角 三、填空题 7.如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则 . 8.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是　　　　.  第7题 第8题 B组：能力提升 9.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A. B. C. D.4 10.在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则·= (　 ) A. B.1 C. D.0 11.（多选）如图，在平行六面体 中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A. B. C.向量与夹角是 D.向量与所成角的余弦值为   12.如图，平行六面体中，， ，则线段的长度是_______ . 第10题 第11题 第12题 1.2 空间向量基本定理 A组：基础巩固 一、单选题 1.若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A. B. C. D. 2.已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A. B. C. D. 3.四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于（    ） A. B.1 C. D.2 4.设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（    ） A. B. C. D. 二、多选题 5.设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A.，，两两不共线，但两两共面 B.对空间任一向量，总存在有序实数组，使得 C.，，能构成空间另一个基底 D.若，则实数，，全为零 6.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A. B. C.的长为 D. 三、填空题 7.如图，在空间四边形 中，，点 为的中点，设.向量表示向量__________. 8.已知四棱锥的底面是平行四边形，若，则______. B组：能力提升 9.如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 10.在平行六面体中，，，且，，则（    ） A. B. C. D. 11.（多选）在三棱锥A-BCD中， ， ， 两两夹角均为，且若G，M分别为线段AD，BC的中点，则（    ） A． B． C．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 D．异面直线AC与DB所成角的正弦值为 12.如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. 1.3.1 空间直角坐标系 A组：基础巩固 一、单选题 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　) A.y轴上　　　 B.xOy平面上 C.xOz平面上 D.第一象限内 2.点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是(　　) A.　　　 B.|a| C.|b| D.|c| 3.在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）. A.（－2，1，－4） B.（－2，－1，－4） C.（2，－1，4） D.（2，1，－4） 4.如图，长方体中，|OA|=4，|OC|=6，，与相交于点P，则点P的坐标是（ ） A.（6，2，1） B.（1，2，6） C.（4，6，2） D.（2，6，1） 二、多选题 5.已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A.点的坐标为（2，0，2） B. C.的中点坐标为（1，1，1） D.点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 6.如图，在正三棱柱中，已知 的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B. C. D. 三、填空题 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为____. 8.点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，_______ B组：能力提升 9.△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC的形状为（ ）. A.正三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 10.如图，棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A，B，C分别在空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴上，则点D的坐标为(　　) A.(1,1,1)　　　　　 B.(，，) C.(，，) D.(2,2,2) 11.（多选）在空间直角坐标系中，若四点可以构成一个平行四边形，则的坐标可以为（    ） A. B. C. D. 12.如图所示，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________ 1.3.2 空间向量的坐标运算 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知，则＝(　　 ) A.(－9，－3,0)　　　　　B.(0,2，－1) C.(9,3,0) D.(9,0,0) 2.已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( ) A.x＝，y＝1 B.x＝，y＝－4 C.x＝2，y＝－ D.x＝1，y＝－1 3.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为(　　) A.30°　 B.45° C.60°　　D.90° 4.若△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(　　 ) A.　　 B.－　　　 C.2　　 D.± 二、多选题 5.若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　 ) A.cos〈a，b〉＝－ B.a⊥b C.a∥b D.|a|＝|b| 6.已知点，点在平面上，且点到点的距离相等，则点的坐标可以为（    ） A. B. C. D. 三、填空题 7.若m＝(2，－1,1)，n＝(λ，5,1)，且m⊥(m－n)，则λ＝________ 8.已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，则z=________. B组：能力提升 9.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 10.已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　 　) A. B. C. D. 11.（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A.若，则 B.若，则 C.若在上的投影向量为，则 D.若与夹角为锐角，则 12.已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为________ 1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 A组：基础巩固 一、单选题 1.若μ=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是 (　 ) A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 2.下列说法不正确的是(       ) A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果，与平面α共面，且，，那么就是平面α的一个法向量 3.已知平面α经过点A(1,1,1)和B(-1,1,z),n=(1,0,-1)是平面α的一个法向量,则实数z= (　 ) A.3 B.-1 C.-2 D.-3 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是(　 ) A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 二、多选题 5.已知平面α过点M(1,,2),其法向量m=(,1,0),则下列点不在平面α内的是 (　 ) A.S(2,0,0) B.Q(2,0,4) C.R(0,2,) D.T(-2,,0) 6.在如图所示的空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列结论中正确的是(　 ) A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1) 三、填空题 7.若A,B,C是平面内的三点,求平面的一个法向量：_________.  8.如图,放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体A-BCD中,H是底面中心,DH⊥平面ABC,写出: (1)直线BC的一个方向向量:________;  (2)直线OD的一个方向向量:________;  (3)平面BHD的一个法向量:________.  B组：能力提升 9.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则可能使l//α的是( ) A. B. C. D. 10.已知直线l过点P(1,0,-1)且平行于向量=(2,1,1),直线l与点M(1,2,3)在平面α内,则平面α的法向量不可能是(　 ) A.(1,-4,2) B. C. D.(0,-1,1) 11.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，AA1=3，以D为原点，,的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是　　 A.的坐标为（2，2，3） B. C.直线的一个方向向量为（0，0，-3） D.平面的一个法向量为 12.在空间直角坐标系O-xyz中,已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,2),且平面α过点A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面α内任意一点,则点P的坐标满足的方程是_______.  1.4.1.2空间中直线、平面的平行 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知直线l1的一个方向向量为v1=(1,2,3),直线l2的一个方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ=(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 2.若直线m(在平面α外)的方向向量为a,平面α的法向量为u,则能使m∥α的是(　 ) A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0) B.a=(1,-1,3),u=(0,3,1) C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1) D.a=(1,3,5),u=(1,0,1) 3.已知直线l的一个方向向量为m=(-2,-8,1),平面α的一个法向量为n=,且l∥α,则实数t的值(　 ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 4.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ 的值是(　 ) A.- B.-6 C. D.6 二、多选题 5.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（       ） A.=(1，0，0)，=(-2，0，0) B.=(1，3，5)，=(1，0，1) C.=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D.=(1，-1，3)，=(0，3，1) 6.已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（       ） A.∥⇔α∥β B.⊥⇔α⊥β C.∥⇔l∥α D.⊥⇔l∥α 三、填空题 7.已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则的值为 . 8.已知平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=(-1,y,2),α∥β,则x+y=　　　　.  B组：能力提升 9.如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为　　 A． ，1， B.，， C.，， D.，， 10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ,若B1F∥平面A1BE,则λ= (　 ) A. B. C. D. 11.（多选）已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,E是PB的中点,F是PC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列说法中正确的是 (　 ) A. 平面ADE的一个法向量是(0,-1,1) B.直线AE∥平面PCD C.直线FE∥平面PAD D.直线DF∥平面PAB 12.如图所示,在四棱锥P-ABCD中, PC⊥平面ABCD,PC=2,在梯形ABCD中, ∠ABC=∠ BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,∠PBC=30°,则直线CM与平面PAD的位置关系为　　　　.  1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面( )　 A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.位置关系无法确定 2.已知平面，的法向量分别为，则（ ） A. B. C.，相交但不垂直 D.，的位置关系不确定 3.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4.设，是两条直线，，分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且，，则“”是“”的（       ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 二、多选题 5. 已知为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有(    ) A. B. C. D. 6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（       ） A. 和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直 三、填空题 7.已知平面，的法向量分别为，且，则 8.如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M是的中点，N是的中点，则直线ON，AM的位置关系是__________. B组：能力提升 9.已知，，若， ，且，则 (    ) A. B. C. D. 10.如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（       ） A. B. C. D. 11.（多选）给定下列命题，其中正确的命题是（       ） A.若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则 B.若，分别是不重合的两平面的法向量，则 C.若，分别是不重合的两平面的法向量，则 D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 12.如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为______. 1.4.2.1用空间向量研究距离问题 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为(　 　) A. B.1 C. D.2 2.若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　 　) A. B. C. D. 3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A. B. C. D. 4.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( ) A. B. C. D.3 二、多选题 5.下列选项正确的是（ ） A.空间向量与向量共线 B.已知向量，，，若，，共面，则 C.已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 D.点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是 6.在棱长为4的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A. B.平面 C.平面与平面相交 D.点到平面的距离为 三、填空题 7.已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2，3,1)，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________ 8.已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________ B组：能力提升 9.空间直角坐标系中，，，，点在平面内，且平面，则（    ） A. B. C. D. 10.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（     ） A． B. C. D. 11.（多选）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A.点到直线的距离是 B.点到平面的距离为 C.点到直线的距离为 D.平面与平面间的距离为 12.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为 . 1.4.2.2用空间向量研究夹角问题 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知两条异面直线的方向向量分别是m＝(－2，1，2)，n＝(3，－2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足(　　) A.sin θ＝－ B.sin θ＝ C.cos θ＝ D.cos θ＝－ 2.已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（    ） A. B. C. D. 3.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.已知平面的一个法向量为，向量，，则平面与平面ABC夹角的正切值为（    ） A. B.2 C. D. 二、多选题 5.如图，E，F分别是正方体ABCD ­ A1B1C1D1中棱CD上的两点，且AB＝2，EF＝1，则下列命题中不正确的为(　　) A. 异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45° B.异面直线B1D1与EF所成的角的大小为30° C.直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为45° D.直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为60° 6.如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则(　　) A.直线AD与直线BC所成角的大小为90° B.直线AC与直线BD所成角的余弦值为 C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45° D.直线CD与平面ABC所成角的大小为60° 第5题 第6题 三、填空题 7.若平面α的法向量n＝(－1，0，1)，直线l的方向向量为d＝(0，1，1)，则l与α所成角的大小为________. 8.在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝AC＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为________. B组：能力提升 9.已知在四棱锥P ­ ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PA＝6，E为棱PD的中点，则直线EC与平面PAB所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 10.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC.点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A． B. C. D. 11.（多选）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ） A.平面 B.若是上的中点，则 C.直线与平面所成角的正弦值为 D.直线与直线所成角最小时，线段长为 12.如图，已知AB，CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD，若该圆柱的底面圆直径是其母线长的2倍，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为________. 1.4.3空间向量的综合应用 A组：基础巩固 一、单选题 1.已知向量，，若， ⊥，则的值是（　　） A.或 B.或 C. D. 2.设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 3.如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（  ） A. B. C. D. 4.如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． 平面 B.平面 C.∥平面 D.∥平面 二、多选题 5.关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A.已知，，则在上的投影向量为 B.已知两个向量，，且，则 C.设是空间中的一组基底，则 也是空间的一组基底 D.若对空间中任意一点，有，则四点共面 6.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足（   ） A.余弦值为 B.正弦值为 C.大小为 D.大小为或 三、填空题 7.已知直线的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为 . 8.如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知，则到直线的距离为 . B组：能力提升 9.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（    ）    A. B.直线与所成角的正弦值为 C.向量与的夹角是 D.平面 11.（多选）如图，已知平面，，，，为的中点，，则以下正确的是（  ） A. B. C.与所成角的余弦值为 D.与所成角的余弦值为 12.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为 . 第一章单元测试 一、单选题 1.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（  ） A． B. C. D. 2.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）. A. B. C. D. 3.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A. B. C. D.4 4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,且，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5.直线l的方向向量为，且l过点，则点到直线l的距离为（    ） A. B. C. D. 6.在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ） A.平面平面 B.平面平面 C.平面平面 D.平面平面 7.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得.已知，则的充分条件是（    ） A. B. C. D. 8.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、多选题 9.给出下列命题，其中正确的有（   ） A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得 D.如果，是两个单位向量，则 10.已知是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ） A.若，则 B.两两共面，但不共面 C.一定存在实数x，y，使得 D.，，一定能构成空间的一个基底 11.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A.当时，的周长为定值 B.当时，三棱锥的体积为定值 C.当时，有且仅有一个点，使得 D.当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题 12. 如图，M，N分别是正方体的棱和的中点，MN和所成角的大小为______； 13.若向量＝(1,1,x)，＝(1,2,1)，＝(1,1,1)满足条件，则x＝ . 14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 . 四、解答题 15.已知，，.求： (1)； (2). 16.已知空间三点，，.设，. (1)求，； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数k的值. 17.如图，在长方体中，E、P分别是的中点，分别是的中点，. (1)求证：面； (2)求二面角的大小. 18.如图，在正四棱柱中，.点分别在棱,上，.    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为 时，求. 19.如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得. (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 1.1.1空间向量及其线性运算 1.【答案】C　 【解析】＋－＝＋＋＝ 2．【答案】D 【详解】设，若，则点共面．对于A，，由于，故A错误；对于B，，由于，故B错误；对于C, ，由于，故C错误；对于D，，由于，得共面，故D正确. 3.【答案】C 【详解】依题知，，∴，∴． 4.【答案】A【解析】 5.【答案】BC　 【解析】A．不正确，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；B.正确；C.正确，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；D.不正确，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段． 6. 【答案】AB 【解析】对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 7.【答案】【详解】 8.【答案】；－ 【解析】＝－＝－＝(＋)－＝(＋－)－＝－＋＋，∴x＝，y＝－. 9．【答案】A【详解】  为平行四面体， 10．【答案】B 【详解】因为分别为的中点，所以.因为为的重心，所以，所以. 11.【答案】BCD 【解析】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确． 12.【答案】－8 【解析】由已知得∵A，B，D三点共线，∴与共线，即存在λ∈R，使得＝λ.∴＝λ()＝λ.∵不共线，∴解得k＝－8. 1.1.2空间向量的数量积运算 1.【答案】B　 【解析】设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为60°. 2.【答案】D 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可 3.【答案】D 【解析】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 4．【答案】B　 【解析】设=,=，=，则||＝||＝||＝1，且〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，因此·＝·＝·＝.由＝＋＋得||2＝2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝6.∴||＝ 5【答案】AC 【详解】方法一：，故A正确；，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 方法二：，故A正确； 由正方体的性质可知，，， ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 6.【答案】BD 【解析】对于A，因为，，所以，，则，故A不正确；对于B，若∠BAC是直角，则， 所以∠BDC是锐角，故B正确；对于C，若∠BAC是钝角，设，，在中，由余弦定理可得：，而，所以在中，， 所以∠BDC为锐角，所以C不正确；对于D，， 若且，则， 因为， ，所以∠BDC是锐角，故D正确 7【答案】【详解】. 8.【答案】90° 【解析】不妨设棱长为2,则=,,则=()()=0-2+2-0=0,所以. 9【答案】C 【详解】由题意可得， . 10【答案】B 【解析】 ·=(++)·=·++·. 因为AB⊥BD,CD⊥BD,所以·=0,·=0, 所以·=0+12+0=1 11【答案】CD 【详解】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是，.对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，即，B正确；对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误.   12【答案】 【详解】由题知，所以 所以，即，所以线段的长度是. 1.2空间向量基本定理 1.【答案】D 【解析】因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以、、共面，故存在实数、使得， 即 ，因为是空间的一个基底，则，解得. 2.【答案】D 【解析】由题意，设存在唯一的实数对，使得，即，则，则x=2，，，解得. 3.【答案】A 【解析】因为， 所以，所以，所以 ，所以， 4.【答案】B 【解析】由题设知：，而，，，∴，∴在基底下的坐标是. 5.【答案】ABD 【解析】因为构成空间的一个基底，所以，，两两不共线，但两两共面，故A正确；对空间任一向量，总存在有序实数组，使得，故B正确；因为， 所以，，共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；根据空间向量基本定理可知，若，则实数，，全为零，故D正确； 6.【答案】BD 【解析】对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则，则，C错误： 对于，则，D正确. 7.【答案】 【解析】依题意，由得：， 则，而点为的中点， 所以. 8.【答案】 【解析】因为四棱锥的底面是平行四边形，所以， 又，由空间向量基本定理可得，，故. 9.【答案】B 【解析】设，，，因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，结合，，，，，所以=0，，，则，，可得 ， ， ， 所以，所以与所成角的余弦值为. 10【答案】C 【解析】以为基底向量，可得，则 ，∴． 11.【答案】BC 【详解】 不妨设，则，且， 所以，故选B 因为，且， 所以 ，则，所以异面直线AC与DB所成角的正弦值为故选C 12【答案】 【解析】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即.因为，为对角线的中点，所以.因为为对角线靠近点的三等分点，所以，所以. 所以 ， 所以 . 所以，所以线段. 1.3.1 空间直角坐标系 1.【答案】C　【解析】因为点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上． 2.【答案】D　【解析】点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|. 3.【答案】B【解析】在空间直角坐标系中点关于横轴(x轴)的对称点是 4.【答案】D 【解析】根据题意，得：点B（4，6，0），点（0，6，2）， 且P是的中点，∴，即P（2，6，1）． 5.【答案】BCD 【解析】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知： ,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确 6【答案】ABC 【解析】在等边中，，所以，则，，则. 7.【答案】(2,2,1) 【解析】因为A(0,0,0)，C1(2,2,1)，所以＝(2,2,1)． 8.【答案】(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4) 【解析】P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0)，在y轴上的射影为(0,3,0)，在z轴上的射影为(0,0,4)． 9．【答案】C 【解析】 由空间两点间的距离公式易得，，，，因为|AC|2=|BC|2=|AB|2所以△ABC为直角三角形 10.【答案】A 【解析】将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示． 因为|AB|＝|BC|＝|AC|＝，所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，所以点D的坐标为(1,1,1)． 11【答案】ABC 【解析】由题意得 . 设的坐标为，若四边形为平行四边形，则，则， 此时的坐标为.若四边形为平行四边形，则，则，，此时D的坐标为.若四边形为平行四边形，则， 则，此时D的坐标为， 12.【答案】 【解析】因为OA＝2，AB＝3，AA1＝2，所以A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,3,0)，故B1(2,3,2)．所以M点的坐标为，即M 1.3.2 空间向量的坐标运算 1.【答案】C　【解析】 2.【答案】B　【解析】a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴∴ 3.【答案】C　 【解析】∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，∴||＝3，||＝，·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos〈，〉＝＝.∵0°≤〈，〉≤180°，∴〈，〉＝60°. 4.【答案】D　 【解析】因为＝(－6,1,2k)，＝(－3,2，－k)，则·＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，所以k＝±. 5.【答案】AD　 【解析】∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝＝－. 由上知B不正确，A、D正确．C显然也不正确． 6.【答案】BC 【解析】依题意，点在平面上，设，由于，， ，整理得，通过验证可知，、符合，所以BC选项正确. 7.【答案】5 【解析】由已知得m－n＝(2－λ，－6,0)．由m·(m－n)＝0得，2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5. 8．【答案】 【解析】 由，解得 9.【答案】C　 【解析】，故＝7，得，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°. 10.【答案】C　 【解析】设＝λ，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以·＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝6 所以当λ＝时，·最小，此时＝＝，即点Q的坐标为. 11.【答案】ABD 【解析】对于A：，，即： ， 解得：.故A选项正确；对于B：， ，解得：.故B选项正确； 对于C：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，故C选项错误； 对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角时，解得：.故D选项正确； 12.【答案】 【解析】设H(x，y，z)，则＝(x，y，z)，＝(x，y－1，z－1)，＝(－1,1,0)． 因为BH⊥OA，所以＝0，即－x＋y－1＝0　① 又点H在直线OA上， 所以＝λ，即　②联立①②解得所以点H的坐标为． 1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示 1.【答案】D　【解析】能作为平面α的法向量的向量与μ=(2,-3,1)共线,结合选项可知选D. 2.【答案】D 【解析】根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；一个平面的所有法向量与平面都垂直，∴都互相平行，故B正确；如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；如果与平面共面且，当共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误. 3【答案】B　 【解析】连接AB,∵平面α经过点A(1,1,1)和B(-1,1,z),∴AB⊂平面α,=(-2,0,z-1).∵n=(1,0,-1)是平面α的一个法向量,∴n·=-2-(z-1)=0,解得z=-1. 4【答案】B　 【解析】设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),∴=(0,2,1),=(-1,0,2),设向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则取y=1,得z=-2,x=-4,则n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量,故所求向量与n=(-4,1,-2)共线,结合选项可知,A,C,D中向量均不与n=(-4,1,-2)共线. 5【答案】CD　【解析】对于A,=(-1,,2),·m=-1×+×1+2×0=0,所以S在平面α内;对于B,=(-1,,-2),·m=-1×+×1-2×0=0,所以Q在平面α内;对于C,=(1,-2,2-),·m=1×+(-2)×1+(2-)×0=2-2≠0,所以R不在平面α内;对于D,=(3,0,2),·m=3×+0×1+2×0=3≠0,T不在平面α内. 6.【答案】AC　 【解析】由题可知,B(1,0,0),D1(0,1,1),则=(-1,1,1),∴直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2),故A正确,B错误; C(1,1,0),B1(1,0,1),则=(0,-1,1),=(-1,0,1),设平面B1CD1的法向量为,则取x=1,得,故C正确;D(0,1,0),则=(-1,0,0),设平面B1CD的法向量为m=(a,b,c),则取b=1,得,故D错误. 7.【答案】(2，3，-4)　(答案不唯一)　 【解析】由A,B,C得=,=,设a为平面的法向量,所以·a=0,·a=0,即即 不妨设x=2,则a=(2，3，-4)　 8.【答案】(1)(-1,,0)(答案不唯一)　(2)(答案不唯一)　(3)(1,,0)(答案不唯一)　 【解析】由题意可得OA=OB=1, OC=×2=,OH=OC=,DH===. 由题图,可得O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,,0), H,D, (1)直线BC的一个方向向量为=(-1,,0). (2)直线OD的一个方向向量为=. (3)=,=.设n=(x,y,z)为平面BHD的法向量,则不妨设x=1,则n=(1,,0),故平面BHD的一个法向量为(1,,0). 9．【答案】D 【解析】在中，，不可能使；在中，，不可能使；在中，，不可能使；在中，，有可能使． 10.【答案】D　 【解析】依题意,知=(0,2,4),平面α的法向量必然与a,垂直.对于A,1×2+(-4)×1+2×1=0,1×0+(-4)×2+2×4=0,故A中向量满足题意;对于B,2×+(-1)×1+×1=0,×0+(-1)×2+×4=0,故B中向量满足题意;对于C,-×2+1×1-×1=0,-×0+1×2-×4=0,故C中向量满足题意;对于D,0×2-1×1+1×1=0,0×0-1×2+1×4=2,故D中向量不满足题意. 11．【答案】ACD 【解析】对于，点的坐标为，正确； 对于，正确； 对于，，直线的一个方向向量为，正确； 对于， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得，错误； 12.【答案】x-y+2z+1=0　 【解析】 连接AP,由题意可知=(x,y-3,z-1), ∵平面α的一个法向量是n=(1,-1,2),∴·n=(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0,即x-y+3+2z-2=0,即x-y+2z+1=0,故所求点P的坐标满足的方程是x-y+2z+1=0. 1.4.1.2空间中直线、平面的平行 1.【答案】B　 【解析】 ∵l1∥l2, ∴v1∥v2, ∴==, ∴λ=2. 2.【答案】B　 【解析】若m∥α,则a⊥u,则a·u=0, 对于A,a·u=-2,不满足条件; 对于B, a·u=0-3+3=0,满足条件; 对于C,a·u=1,不满足条件; 对于D,a·u=6,不满足条件. 3.【答案】A　 【解析】∵l∥α,∴m⊥n,∴m·n=-2t-4+2=0,解得t=-1 4.【答案】D　 【解析】因为α∥β,所以==,解得λ=6. 5.【答案】ABC 【解析】 若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：A中，；B中，；C中，；D中，；综上所述，选项A，B，C符合题意 6.【答案】AB　 【解析】 为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l⊥α，⊥⇔l∥α或l⊂α. 因此AB正确. 7.【答案】　 【解析】 是直线的方向向量，为平面的法向量，， ，，解得． 8.【答案】0　 【解析】∵α∥β,∴u∥v,设u=λv,则解得∴x+y=0. 9．【答案】C　 【解析】 设、交于点，连结，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，，又，是平行四边形，是的中点，，0，，，． 10.【答案】C　 【解析】 如图所示,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E,D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1),所以=(-1,0,1),=.设n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则由得取z=2,得平面A1BE的一个法向量为n=(2,1,2).由=(1,0,0),=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1).又B1(1,0,1),所以=(λ-1,1,0).由B1F∥平面A1BE,得·n=0,即(λ-1,1,0)·(2,1,2)=0,得λ=. 11.【答案】AC　 【解析】 由题图得D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E,F,所以=(1,0,0),=,设平面ADE的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得y=-1,x=0,所以n=(0,-1,1),故A正确. 因为PD⊥AD,AD⊥CD,PD∩CD=D,又PD,CD⊂平面PCD,所以AD⊥平面PCD,所以平面PCD的一个法向量为=(1,0,0).又因为=,·=-≠0,所以与不垂直,即AE与平面PCD不平行,故B不正确.易知平面PAD的一个法向量为=(0,1,0),又=,·=0,所以EF⊥DC,又EF⊄平面PAD,所以直线EF∥平面PAD,故C正确. 设平面PAB的法向量为m=(x1,y1,z1),又=(0,1,0),=(1,0,-1),由令x1=1,得m=(1,0,1),又=,所以·m=≠0,所以直线DF与平面PAB不平行,故D不正确. 12【答案】平行　 【解析】以点C为原点,CB,CD,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为PC=2,PC⊥BC,∠PBC=30°,所以BC=2,PB=4,则 C(0,0,0),D(0,1,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=.设n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,则即取y=2,得n=(-,2,1).因为n·=-×+2×0+1×=0,所以n⊥,又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD. 1.4.1.3空间中直线、平面的垂直 1.【答案】A 【解析】 若，，则，，则直线与平面垂直 2.【答案】C 【解析】对于，，不平行，故错误； 对于，，不垂直； 对于，由得，相交但不垂直，故正确； 对于，，相交但不垂直，故错误． 3.【答案】C  【解析】因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，所以存在实数，使得，所以，解得， 4.【答案】C 【解析】由题意可得，分别是平面α，β的法向量，所以等价于，即“”是“”的充要条件． 5.【答案】BC  【解析】因为为直线l的方向向量，分别为平面的法向量不重合，A.或，故错误；B.正确；C.正确； D.或，故错误 6.【答案】AC 【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D(0，0，0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，， ∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)，，∴＝0，＝0，，∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和AA1不垂直. 7.【答案】4 【解析】 平面，的法向量分别为，且， ，解得． 8.【答案】垂直  【解析】以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系： 设正方体的棱长为1，则，，，，， 与AM垂直． 9.【答案】D  【解析】，，，，解得，，，且面ABC，，解得，， 10.【答案】B 【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，对于A，，，，与不垂直，A不是； 对于B，，，，，B是；对于C，，，，与不垂直，C不是；对于D，，，，与不垂直，D不是. 11.【答案】ACD 【解析】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以，∴，A正确；对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴或∴，C正确；对于D选项，两平面垂直它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确. 12.【答案】  【解析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 由题意，， ，，，设，， ，，， 平面， ，即， ，解得线段的长为 1.4.2.1用空间向量研究距离问题 1.【答案】A　 【解析】∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－2)， ∴点A到直线BC的距离为 d＝ 2.【答案】D　 【解析】分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)， 则d＝＝． 3.【答案】B　 【解析】建立坐标系如图， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，O． ∴＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)． 设n＝(1，y，z)是平面ABC1D1的一个法向量， 则解得y＝0，z＝1，∴n＝(1,0,1)． 又＝， ∴点O到平面ABC1D1的距离为＝＝． 4.【答案】B　 【解析】∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1,1)，＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)， ∴两平面间的距离d＝＝＝． 5.【答案】ABC 【解析】对于A，，，，与共线，故A正确；对于B，设，即，则，得，故B正确；对于C，， 在方向上的投影向量为，故C正确， 对于D，，是直线的一个单位方向向量，点P到直线l的距离为，故D错误． 6.【答案】BCD 【解析】如图，建立空间直角坐标系， 则，， A：，有，则DF与不垂直，故A错误；B：，，设平面DEF的法向量为，则，令，得， 所以，得，所以平面DEF，故B正确；C：，由B选项可知平面DEF的法向量，设平面的法向量分别为，，令，得，所以，得不成立，所以平面与平面DEF相交，故C正确； D：由，平面DEF的法向量，则点B到平面DEF的距离为，故D正确. 7.【答案】 【解析】＝(－2,0，－1)，因为n与l垂直，所以P到l的距离为＝＝. 8.【答案】 【解析】点P到平面α的距离d＝＝＝． 9.【答案】D　 【解析】由，，，得， 设平面的法向量，则，令，得， 有，而平面，于是， 又，，所以. 10.【答案】B 【解析】因为，为的中点，则， 由圆锥的几何性质可知平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，   则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，点到平面的距离为. 11.【答案】ABD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则所以． 对于A，设，则． 故到直线的距离，故A正确；对于B，，因为平面，平面，所以，又，,平面,所以平面，平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确；对于C，因为，所以，则，所以点到的距离，故C错误； 对于D，． 设平面的法向量为，所以令，得，所以，所以点到平面的距离， 因为平面，，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故D正确． 12.【答案】 【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，，，∴=(0，0，1)，，. 设直线BM与B1N的公垂线方向上的向量，由，， 得，令x=2，则z=6，y=-7，∴， 设直线BM与B1N之间的距离为d，则d===.故答案为：. 1.4.2.2用空间向量研究夹角问题 1．【答案】C 【解析】因为θ∈(0，]，所以cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝，sin θ＝＝. 2.【答案】C 【解析】由已知可得，，， 所以.设为平面与平面的夹角，则， 又，所以. 3.【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，所以cos 〈，n〉＝＝－，所以〈，n〉＝120°，所以PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°， 所以PC与平面ABCD所成角为30°. 4.【答案】C 【解析】设为平面ABC的法向量，则，令，得． 所以平面与平面ABC夹角的余弦值为，则平面与平面ABC夹角的正弦值为，所以平面与平面ABC夹角的正切值为． 5.【答案】BCD 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­ xyz， D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，易知＝(2，2，0)，＝(0，1，0)， 所以cos〈，〉＝＝＝， 所以异面直线B1D1与EF所成的角的大小为45°，故A正确，B错误；由题意可知平面B1EF即为平面A1B1CD，设平面A1B1CD的法向量为n＝(x，y，z)， 则n·A1B1＝n·DA1＝0.又＝(0，2，0)，DA1＝(2，0，2)， 所以，令x＝1，得n＝(1，0，－1)， 所以cos〈，n〉＝＝， 所以直线B1D1与平面A1B1CD所成的角为30°，即直线B1D1与平面B1EF所成的角的大小为30°，故C，D错误． 6.【答案】ABC 【解析】 如图所示，过点B在平面BCD内作BE⊥BC交CD于点E，过点B在平面ABC内作BF⊥BC交AC于点F，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，BF⊥BC，BF⊂平面ABC，∴BF⊥平面BCD，同理可得BE⊥平面ABC，以点B为坐标原点，BE，BC，BF所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝BC＝BD＝2，则A(0，－1，)，B(0，0，0)，D(，－1，0)，C(0，2，0).对于A选项，＝(，0，－)，＝(0，2，0)， 则·＝0，∴⊥，故直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A对； 对于B选项，＝(0，3，－)，＝(，－1，0)，cos 〈，〉＝＝－＝－，所以直线AC与直线BD所成角的余弦值为，B对；对于C选项，＝(，0，－)，平面BCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，cos 〈，m〉＝＝－＝－，所以直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C对；对于D选项，＝(，－3，0)，平面ABC的一个法向量为n＝(1，0，0)，cos 〈，n〉＝＝＝，所以直线直线CD与平面ABC所成角的大小为30°，D错． 7．【答案】 【解析】已知直线l的方向向量为d＝(0，1，1)，平面α的法向量为n＝(－1，0，1)，设直线l与平面α所成角为θ，则θ∈[0，]，∴sin θ＝＝＝，∴θ＝， 所以直线l与平面α所成角的大小为. 8．【答案】 【解析】依题意可知AC，BC，CC1两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系， 设BC＝AC＝CC1＝2，则A(2，0，0)，F1(1，0，2)，＝(－1，0，2)，B(0，2，0)，D1(1，1，2)，＝(1，－1，2)，设BD1与AF1所成角为α，则cos α＝＝＝. 9．【答案】B 【解析】由题意，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，则有PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，而PA∩AB＝A，故AD⊥平面PAB，以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，0)，D(0，4，0)，C(4，4，0)，P(0，0，6)，E(0，2，3)，＝(－4，－2，3)，＝(0，4，0). 设直线EC与平面PAB所成角为θ，又由题可知为平面PAB的一个法向量， 则＝＝. 10.【答案】D 【解析】如图，连接OF，因为四边形ABCD为菱形， 所以O为AC的中点，AC⊥BD.因为F为PC的中点， 所以OF∥PA.因为PA⊥平面ABCD，所以OF⊥平面ABCD. 以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz， 设PA＝AD＝AC＝1， 则BD＝，所以B，F，C，D， 结合图形可知，＝，且为平面BDF的一个法向量． 由＝，＝，可求得平面BCF的一个法向量n＝. 所以cos 〈n，〉＝，sin 〈n，〉＝， 所以tan 〈n，〉＝. 故选D 11.【答案】ACD 【解析】由题意可得，，，， ，，，设， ，， 直三棱柱中，， 可得为平面的一个法向量， 为平面的一个法向量， 对于A，，， 即，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，若是上的中点，则， 所以，所以与不垂直，故B不正确； 对于C，由为平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则，故C正确；对于D，设， 则， 当时，即时，取最大值， 即直线与直线所成角最小，此时， ，故D正确. 故选：ACD 12.【答案】 【解析】取CD的中点O，以O为原点，以CD所在直线为x轴，以底面内过点O且与CD垂直的直线为y轴，以过点O且与底面垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则A(0，－1，1)，B(0，1，1)，C(－1，0，0)，D(1，0，0)，＝(－1，1，－1)，＝(1，－1，－1)，所以|cos 〈，〉|＝＝＝，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. 1.4.3空间向量的综合应用 1.【答案】A　 【解析】由题意可知 解得或 2.【答案】B 【解析】由题意知，过点A的棱两两垂直，设，，，则， 故∠CBD为锐角． 同理，∠BCD、∠CDB均为锐角， 所以△BCD为锐角三角形 3.【答案】C 【解析】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 所以， 所以在上的投影向量的长度为：， 所以到直线的距离为.   4.【答案】C 【解析】以为正交基底建立空间直角坐标系，设，则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误；因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误；因为，且线在面外，所以平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 5.【答案】BC 【解析】对于A，因为，，所以， 所以在上的投影向量为，故A错误； 对于B，因为，所以 因为，，所以， 解得，所以，故B正确； 对于C，设是空间中的一组基底，则不共面， 假设共面，则，显然无解，所以不共面， 则也是空间的一组基底，故C正确； 对于D，，但，则四点不共面，故D错误. 6.【答案】BD 【解析】设所求二面角的平面角的大小为，则，所以或，故C错误，D正确，又因为，故A错误，B正确 7.【答案】 【解析】由题意，直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，可得，可得，解得. 8.【答案】 【解析】由于平面，平面， 所以，而四边形是矩形，所以， 由此以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 所以到直线的距离为. 9.【答案】C 【解析】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为 10.【答案】D 【解析】由题意可得,, 又，则 ，故A错误， 由于， 则，， 又， 则，故B错误， 由于 ,所以向量与的夹角即为与的夹角， 由于等边三角形，故为， 进而与的夹角为的补角，故与的夹角为，故C错误， , 所以,进而可得 平面 , 故 平面,故D正确， 故选：D 11.【答案】ABC 【解析】因为平面，平面, 所以 所以 ， 在中，, 所以 ，所以A正确; 在中, , ，所以B正确； 因为，, , , 所以与所成角的余弦值为,所以C正确； 由以上知，，且, 在中，由余弦定理得, 所以D错误. 12【答案】 【解析】 根据题意ABCD为正四面体，，，两两成角，, 由，， 所以． 第一章单元测试 1【答案】D 【详解】建立如图所示空间直角坐标系,则， 所以， 所以， 2【答案】A 【详解】因为在平行六面体中，，所以. 3【答案】C 【详解】由题意可得， . 4【答案】A 【详解】设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈，〉＝ 5【答案】B 【详解】∵，， ∴，又， ∴在方向上的投影， ∴P到l距离. 故选：B. 6【答案】A 【详解】解：在正方体中， 且平面，又平面，所以，因为分别为的中点， 所以，所以，又， 所以平面，又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ，则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误， 选项BCD解法二： 对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 7【答案】C 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误. 8【答案】C 【详解】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 9【答案】BD 【详解】对于，因为是空间的一组基底，所以,,为不共线的非零向量，故选项错误;对于，因为,所以与共线，故,与任何向量都不能构成空间的一个基底，故选项正确;对于，当为空间的一组基底时，对于空间任一向量，则存在唯一的有序实数组，使得，故选项错误;对于，若,都是单位向量，则模长都为，故，故选项正确. 10【答案】ABD 【详解】对于A中，若不全为，则共面，与题意矛盾，所以A正确；对于B中，由空间中任意两个向量是共面的，可得两两共面，又由是空间的一个基底，可得不共面，所以B正确；对于C中，因为不共面，则不存在实数，使得，所以C错误； 对于D中，若，，共面， 则存在实数，使得，可得，方程组组无解，所以，，不共面，所以D正确. 11【答案】BD 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 12【答案】 【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为2，则，，，，，，，又MN和所成角范围为，∴，故MN和所成角为. 13【答案】 【详解 ，解得 14【答案】 【详解】以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则， 所以，， ， 设平面ABC1的法向量为，则，即，令，则，故， 所以点B1到平面ABC1的距离为. 故答案为：. 15【答案】 （1）解：， ； （2）解：． 16．【答案】 （1）解：因为，，所以, 所以； 因为，，所以， 所以； （2）解：由（1）可知， 又，所以，即与的夹角为. （3）解：由（1）可知，，又向量与互相垂直， 所以，所以， 即，解得. 17．【答案】 （1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则： ∵分别是的中点 ∴ ,取，显然面 ，∴, 又面 ∴面 （2）过作，交于，取的中点，则,设，则 又 由，及在直线上，可得: 解得， ∴ ∴ 即 ∴与所夹的角等于二面角的大小. ，故二面角的大小为. 18【答案】 （1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则， ，， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则，令 ，得，， 设平面的法向量， 则，令 ，得， ， ， 化简可得，，解得或， 或，. 19【答案】 （1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面，故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得，所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$59 参考答案 1.1.1 空间向量及其线性运算 1.【答案】C 【解析】 OA ―→ ＋ AB ―→ － CB ―→ ＝ OA ―→ ＋ AB ―→ ＋ BC ―→ ＝ OC ―→ 2．【答案】D 【详解】设OM xOA yOB zOC       ，若 1x y z   ，则点 , , ,M A B C共面．对于 A，OM OA OB OC       ，由于 1 1 1 1 1     ，故 A 错误；对于 B，OM OA OB OC       ， 由于1 1 1 3 1    ，故 B 错误；对于 C, 1 2 OM OA OB OC        ，由于 1 31 1 1 2 2       ，故 C 错 误；对于 D， 3OM OA OB OC        ，由于 1 1 3 1    ，得 , , ,M A B C共面，故 D 正确. 3.【答案】C 【详解】依题知， 1 1 1 1 1AD AB BB B D CD CC BD              ， ∴ 1, 1x y z    ，∴ 1x y z   ． 4.【答案】A【解析】 1 ( ) 2 AB BD BC AB BG AG           5.【答案】BC 【解析】A．不正确，若 a 与 b中有一个为零向量时，其方 向是不确定的；B.正确；C.正确，终点相同并不能说明这两 个向量的方向相同或相反；D.不正确，向量可用有向线段来 表示，但并不是有向线段． 6. 【答案】AB 【解析】对于直线外任意点O，空间中三点 , ,A B C 共线的 充要条件是OC OA AB      ，其中 1   7.【答案】 1C D  【详解】 1 1 1AB BD AC AD AC C D           8.【答案】1 2 ；－ 3 2 【解析】AE ―→ ＝ OE ―→ － OA ―→ ＝ 1 2 OC ―→ － OA ―→ ＝ 1 2 ( OB ―→ ＋ BC ―→ ) － OA ―→ ＝ 1 2 ( OB ―→ ＋ OD ―→ － OA ―→ )－ OA ―→ ＝－ 3 2 OA ―→ ＋ 1 2 OB ―→ ＋ 1 2 OD ―→ ，∴x＝1 2 ，y＝－3 2 . 9．【答案】A【详解】 1 1 1 1ABCD ABC D 为平行四面体， 1 1 1 1 1 1 1 .AB AD CC DC AD CC AC CC AC CC AC                      10．【答案】B 【详解】因为 ,E F分别为 ,BC AE的中点，所以  1 12 4AF AE AB AC       .因为G为 ACD 的重心，所以  13AG AC AD     ，所以    1 1 1 1 13 4 4 12 3FG AG AF AC AD AB AC AB AC AD                   . 11.【答案】BCD 【解析】当 1  时， 1BP BC BB     ，所以 1CP BB   ，则 1/ /CP BB   ，即 P 在棱 1CC 上，故 A 错误；同理当 1  时， 则 1 / /B P BC   ，故 P 在棱 1 1BC 上，故 B 正确；当 1   时， 1   ，所以   11BP BC BB       ，即 1 1B P BC   ，故 点 P 在线段 1BC上，故 C 正确；当  时，  1 1BP BC BB BC        ，故点 P在线段 1BC 上，故 D 正确． 12.【答案】－8 【解析 】由已 知得 �� = �� − �� = (2�1 − �2 ) − (�1 + 3�2 ) = �1 − 4�2 ,∵A，B，D三点共线，∴��与�� 共线，即 存在λ∈R，使得��＝λ�� .∴2�1 + ��2 ＝λ(�1 − 4�2 )＝λ�1 − 4λ�2 .∵�1 , �2 不共线，∴ λ＝2， k＝－4λ， 解得 k＝－8. 1.1.2 空间向量的数量积运算 1.【答案】B 【解析】设向量 a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a||b| ＝－ 1 2 ，所 以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为 60°. 2.【答案】D 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可 , 180 , 180 60 120BC CD CB CD             3.【答案】D 【解析】 13a   ， 5b   ，a  与b  夹角的余弦值为 9 13 65  ，  a  在b  上的投影向量为 9 1313 5 ( ) 9 965 5 5 5 5 25 a b b b b b b b                    . 4．【答案】B 【解析】设�� =� ,�� =� ，��1 =�，则|� |＝|� |＝|� |＝1，且〈� ， � 〉＝〈� ，� 〉＝〈� ，� 〉＝60°，因此� ·� ＝� ·� ＝� ·� ＝1 2 . 由��1 ＝� ＋� ＋� 得|��1 |2＝��1 2＝� 2＋� 2＋� 2＋2� ·� ＋2� ·� ＋2� ·� ＝6.∴|��1 |＝ 6 5【答案】AC 【详解】方法一：   21 1 1AB AC AB AB AD AB           ，故 A 正确；   21 1 1AB AC AB AB AD AA AB             ，故 B 错误； 1 1 1 2 2 AB AO AB AC        ，故 C 正确；   21 1 1BC DA BC BB CB BC             ，故 D 错误； 方法二： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2cos , 1 2 1 2 AB AC AB AC AB AC AB AC                ， 故 A 正确； 由正方体的性质可知， 1 3AC  ， 1 2BC  ， 1 1 1 1 1 1cos , 1 3 1 3 AB AB AC AB AC AB AC AB AC AC                   ， 故 B 错误； 1 1 1 2 2 AB AO AB AC        ，故 C 正确； 1 1 21 2 1 2 BC DA AD DA                    ，故 D 错误. 6.【答案】BD 【解析】对于 A，因为 AD AB ，AD AC ，所以 0AD AB    ， 0AD AC    ，则     2DB DC DA AB DA AC DA AB AC                ， 故 A不正确；对于 B，若∠BAC是直角，则 0AB AC    ，     2 2 0DB DC DA AB DA AC DA AB AC DA                   所以∠BDC是锐角，故 B正确；对于 C，若∠BAC是钝角， 设 120BAC  ， 1AB AD AC   ，在 ABC 中，由余弦 定 理 可 得 ： 2 1 1 2 1 1 cos120 3BC         ， 而 2DB DC  ， 所 以 在 DBC△ 中 ， 2 2 2 2 2 3cos 0 2 2 2 2 BD DC BCBDC BD DC            ， 所 以 ∠BDC 为 锐 角 ， 所 以 C 不 正 确 ； 对 于 D ，     2 cosDB DC DA AB DA AC DA AB AC BAC                   ， 若 AB DA 且 AC DA ，则 2 AB AC DA     ， 因为     2 0,π ,cos 1,1 , cosBAC BAC AB AC BAC DA            ， 60 0DB DC     ，所以∠BDC是锐角，故 D正确 7【答案】 5 2 【详解】      21 1 12 2 4BE BF BC BD BA BD BC BA BC BD BA BD BD                         21 π 1 53 2 2cos 2 10 4 3 4 2             . 8.【答案】90° 【解析】不妨设棱长为 2,则��1 =��1 − �� ,�� = �� + 1 2 ��1 ,则��1 ∙ �� =(��1 − �� )(�� + 1 2 ��1 )=0-2+2-0=0,所 以��1 ⊥ �� . 9【答案】C 【详解】由题意可得 1 1cos60 1 1 2 2 a b a b          ， 2 2 23 ( 3 ) 9 6 1 9 3 13a b a b a b a b                  . 10【答案】B 【解析】 �� ·�� =(�� +�� +�� )·�� =�� ·�� +�� 2+�� ·�� . 因为 AB⊥BD,CD⊥BD,所以�� ·�� =0,�� ·�� =0, 所以�� ·�� =0+12+0=1 11【答案】CD 【详解】在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为 6 ，且彼此夹角都是60， 1 1 6 6 cos60 18AA AB AA AD AD AB                 .对于 A，  2 2 2 21 1 1 12 2 2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD                       36 36 36 3 2 18 216       ， 1 1 216 6 6AC AA AB AD          ， A 正确； 对于 B，  1 1 ( )AC DB AA AB AD AB AD             2 2 1 1 0AA AB AA AD AB AB AD AB AD AD                     ， 1AC BD    ，即 1AC BD ，B 正确；对于 C，连接 1AD， 由题意可知 1AAD△ 是等边三角形，则 1 60AAD  ， 1 1BC AD    ，且向量 1AD  与 1AA  的夹角是120， 向量 1BC  与 1AA  夹角是120，C 错误； 对于 D， 1 1 ,BD AD AA AB AC AB AD             ，    1 1BD AC AD AA AB AB AD              2 2 1 1 36AD AB AD AA AB AA AD AB AB AD                     ，    2 21 1 6 2, 6 3BD AD AA AB AC AB AD              ， 1 1 1 36 6cos , 66 2 6 3 BD ACBD AC BD AC             ，D错误. 12【答案】 5 【详解】由题知 1 1AC AB AD AA       ，所以  221 1AC AB AD AA       2 2 2 1 1 12 2 2AB AD AA AB AD AD AA AA AB                  2 2 2 1 1 1 2 cos120 2 cos60 2 cos120 1 1 4 1 2 2 5 AB AD AA AB AD AD AA AA AB                             所以 1 5AC   ，即 1 5AC  ，所以线段 1AC 的长度是 5 . 1.2 空间向量基本定理 1.【答案】D 【解析】因为向量 1 2 3OA e e e       ， 1 2 32 2OB e e e       ， 1 2 33 2OC ke e e       不能构成空间的一个基底，所以OA  、 OB  、OC  共面，故存在实数 x、 y使得OC xOA yOB     ， 即    1 2 3 1 2 3 1 2 33 2 2 2ke e e x e e e y e e e                       1 2 32 2x y e x y e x y e          ，因为 1 2 3, ,e e e    是空间的 一个基底，则 2 3 2 2 k x y x y x y         ，解得 5 2 1 4 9 4 x y k          . 2.【答案】D 【解析】由题意，设存在唯一的实数对 ( , )x y ，使得 AB xAC yAD     ，即    2 3 2a b x a c y b c          ，则  2 3 2a b xa yb y x c          ，则 x=2， 3 2 y   ， 0y x   ， 解得 4 3    . 3.【答案】A 【解析】因为  AE AB BC CE AB AD EP AB AD AP AE                     ， 所以 2AE AB AD AP       ，所以 1 1 1 2 2 2 AE AB AD AP       ， 所以 1 1 1, , 2 2 2 x y z   ，所以 1 1 1 3+ + 2 2 2 2 x y z    ， 4.【答案】B 【解析】由题设知：p = 8a + 6b + 4c，而a = i+ j，b = j+ k ， c = k + i，∴p = 8(i+ j) + 6(j+ k ) + 4(k + i) = 12i+ 14j+ 10k ，∴p 在基底{i, j, k }下的坐标是(12,14,10). 5.【答案】ABD 【解析】因为 , ,a b c    构成空间的一个基底，所以 a  ，b  ，c  两两不共线，但两两共面，故 A正确；对空间任一向量 p  ， 总存在有序实数组  , ,x y z ，使得 p xa yb zc       ，故 B正 确；因为     2a c a c a        ， 所以 a，a c ，a c 共面， 故不能构成空间的一个基底，故 C错误；根据空间向量基 本定理可知，若 0xa yb zc       ，则实数 x， y， z全为零， 故 D正确； 6.【答案】BD 【解析】对于 A选项，  11 1 1 1 12 2 2BM BB B M AA BA BC b a c                ，A错误， 对于 B选项， 1 1AC AB AD CC a b c            ，B正确： 对于 C选项， 1AC a b c      ，则 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 2 6AC a b c a b c a b a c b c                        ， 则 1 6AC  ，C错误： 对于   21 2AB AC a a b c a a b a c                     ，则 1 1 1 6cos , 3 AB ACAB AC AB AC          ，D正确. 7.【答案】 1 1 1 2 3 6 a b c     【解析】依题意，由 2BD DC   得： 1 1 1( ) ( ) 3 3 3 BD BC OC OB c b           ， 则 1 2 1( ) 3 3 3 OD OB BD b c b b c               ，而点 E为 AD的中点， 所以 1 1 1 2 1 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 3 6 OE OA OD a b c a b c                 . 8.【答案】 1 【解析】因为四棱锥P ABCD 的底面 ABCD是平行四边形， 61 所以 PD PA AD PA BC PA PC PB               ， 又 PD xPA yPB zPC       ，由空间向量基本定理可得， 1, 1, 1x y z    ，故 1xyz   . 9.【答案】B 【解析】设 AB a   = ， AD b   ， 1AA c   ，因为 , ,a b c    向量不共 面，故 , ,a b c   可构成空间的一组基底，结合 2a  ， 2b  ， 2c   ， 1 1 60BAA DAA     ， 90BAD  ，所以 a b   =0， =a c   12 2 =2 2   ， 12 =2 2 =2b c     ，则 1BC b c     ， 1CA a b c        ，可得 1 1BC CA      b c a b c          2 2 a b a c b b c c b c                     0 2 4 4    2  ， 1BC   2b c r r 2 22b b c c       4 2 2 4    2 3 ，  21CA a b c        2 2 2 2 2 2a b c a b a c b c                  4 4 4 0 4 4      2 ， 所以 1 1 1 1 1 1 2 3cos , 62 3 2 BC CABC CA BC CA             ，所以 1BC 与 1CA所成角的余弦值为 3 6 . 10【答案】C 【解析】以 1, ,AB AD AA    为基底向量，可得 1 11 BA AD DD AB AD AABD               ，则 2 2 2 22 1 1 1 1 1( ) 2 2 2BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA            uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 2 2 2 2 2 cos60 2 2 1 cos45 2 2 1 cos45                 2 215 4 2 2 2 2 3 2 2 2         ，∴ 1 3BD   ． 11.【答案】BC 【详解】 不妨设 , ,AB a AC b AD c         ，则 | | | | 1,| | 2a b c      ，且 1 , 1 2 a b b c a c            ， 1 1 1( ) ( ) 2 2 2 MG AG AM AD AB AC c a b                 所以 2 2 221 1 3| | ( ) 2 2 2 2 2 2 MG c a b c a b a c b c a b                          ，故选B 因为 1( ) 2 AC BD b c a b c a b                  ，且 2 22| | ( ) 2 3BD c a a a c c              ， 所以 cos ,AC BD    3 6 AC BD AC BD       ，则 2 3 33sin , 1 6 6 AC BD            ，所以异面直线 AC与 DB所 成角的正弦值为 33 . 6 故选 C 12【答案】 14 2 【解析】由已知可得，DE DC ，DA DC ，所以 ADE 即 为二面角 A CD E  的平面角，即 60ADE   .因为 DF DC DE  uuur uuur uuur ，N为对角线DF的中点，所以  1 12 2DN DF DC DE   uuur uuur uuur uuur .因为M 为对角线 AC靠近点A 的三等分点，所以  1 13 3AM AC DC DA   uuur uuur uuur uuur ，所以 1 2 3 3 DM DA AM DC DA    uuuur uuur uuur uuur uuur . 所以MN DN DM      1 1 22 3 3DC DE DC DA         uuur uuur uuur uuur 2 1 1 3 6 2 DA DC DE    uuur uuur uuur ， 所以 2 2 2 1 1 3 6 2 MN DA DC DE        uuur uuur uuur uuur 2 2 24 1 1 2 2 1 9 36 4 9 3 6 DA DC DE DA DC DA DE DC DE         uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 4 1 1 2 1 79 9 9 0 9 0 9 36 4 3 2 2             . 所以 7 14 2 2 MN   uuur ，所以线段 14 2 MN  . 1.3.1 空间直角坐标系 1.【答案】C 【解析】因为点(2,0,3)的纵坐标为 0，所以该 点在 xOz平面上． 2.【答案】D 【解析】点 P在 xOy平面的射影的坐标是 P′(a， b,0)，所以|PP′|＝|c|. 3.【答案】B【解析】在空间直角坐标系中点  , ,P x y z 关 于横轴(x轴)的对称点是  , ,P x y z   4.【答案】D 【解析】根据题意，得：点 B（4，6，0），点 1C （0，6，2）， 且 P是 1BC 的中点，∴ 4 0 6 6 0 2( , , ) 2 2 2 P    ，即 P（2，6，1）． 5.【答案】BCD 【解析】根据题意可知点 1C 的坐标为 (0, 2, 2)，故 A错误； 由空间直角坐标系可知： 1(2,0,0), (2, 2, 2)A C A     ,故 B正 确；由空间直角坐标系可知： 1(2, 2,0), (0,0, 2)B D ,故 1 BD 的 中点坐标为（1，1，1），故 C正确；点 1B 坐标为 (2, 2, 2)， 关于于 y轴的对称点为（－2，2，－2），故 D正确 6【答案】ABC 【解析】在等边 ABC 中， 2, 1AB BD  ，所以 3AD  ， 则      1 1 1 )0, 3,0 , 0, 3,1 , 1,0,1 , (0,0,1A A C D ，  1 1,0,1B  ， 则    1 10, 3,1 , 1, 3, 1AD B A       . 7.【答案】(2,2,1) 【解析】因为 A(0,0,0)，C1(2,2,1)，所以��1 ＝(2,2,1)． 8.【答案】(2,0,0),(0,3,0),(0,0,4) 【解析】P(2,3,4)在 x轴上的射影为(2,0,0)，在 y轴上的射影 为(0,3,0)，在 z轴上的射影为(0,0,4)． 9．【答案】C 【解析】 由空间两点间的距离公式易得， | | 89AB  ， | | 75AC  ， | | 14BC  ，因为|AC|2=|BC|2=|AB|2 所以 △ABC为直角三角形 10.【答案】A 【解析】将正四面体 ABCD 放入正方体中， 如图所示． 因为 |AB|＝ |BC|＝ |AC|＝ 2，所以 |OA|＝ |OB|＝|OC|＝1，所以点 D的坐标为(1,1,1)． 11【答案】ABC 【解析】由题意得      1, 3, 3 , 2,0, 3 , 3,3,0AB AC BC           . 设D的坐标为  , ,x y z ，若四边形 ABDC为平行四边形，则 AB CD   ，则    1, 3, 3 1, 2,x y z     ， 此时D的坐标为  0, 1, 3  .若四边形 ABCD为平行四边形， 则 AB DC    ，则  1, 3, 3 ( 1 2, )x y z，        ，，此时 D 的 坐标为  2,5,3 .若四边形 ADBC为平行四边形，则 AD CB    ， 则    1, 2, 3 3, 3,0x y z     ，此时 D 的坐标为  4, 1,3 ， 62 12.【答案】(1，32，1) 【解析】因为 OA＝2，AB＝3，AA1＝2，所以 A(2,0,0)，A1(2,0,2)， B(2,3,0)，故 B1(2,3,2)．所以 M 点的坐标为(22， 3 2， 2 2)，即 M(1，32，1). 1.3.2 空间向量的坐标运算 1.【答案】C 【解析】�－�＋2�＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋ (6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)． 2.【答案】B 【解析】a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)，2a－b＝(2 － x,3 ， － 2y － 2) ， ∵(a ＋ 2b)∥(2a － b) ， ∴ 2x＋1＝λ2－x， 4＝3λ， 4－y＝－2y－2λ. ∴ x＝1 2 ， y＝－4. 3.【答案】C 【解析】∵ AB ―→ ＝(0,3,3)，AC ―→ ＝(－1,1,0)，∴| AB ―→ |＝3 2， | AC ―→ |＝ 2， AB ―→ · AC ―→ ＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cos 〈 AB ―→ ，AC ―→ 〉＝ AB ―→ · AC ―→ | AB ―→ || AC ―→ | ＝ 1 2 .∵0°≤〈 AB ―→ ，AC ―→ 〉≤180°， ∴〈 AB ―→ ，AC ―→ 〉＝60°. 4.【答案】D 【解析】因为 CB ―→ ＝(－6,1,2k)， CA ―→ ＝(－3,2，－k)，则 CB ―→ · CA ―→ ＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，所 以 k＝± 10. 5.【答案】AD 【解析】∵向量 a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝ 5，|b|＝ 5， a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b| ＝ －2 5 ＝ － 2 5 . 由上知 B不正确，A、D正确．C显然也不正确． 6.【答案】BC 【解析】依题意，点C在 yOz平面上，设  0, ,C y z ，由于 AC BC ， 2 2AC BC ，        2 2 2 22 21 2 2 1 3 1y z y z         ，整理得 5 1 0y z   ，通过验证可知， 0, 1,4 、 0,1, 6 符合，所 以 BC选项正确. 7.【答案】5 【解析】由已知得 m－n＝(2－λ，－6,0)．由 m·(m－n)＝0 得，2(2－λ)＋6＋0＝0，所以λ＝5. 8．【答案】1 15 【解析】 由 2 2 2| | (4 6) ( 7 2) (1 ) 10AB z        ， 解得 1 15z   9.【答案】C 【解析】�＋�＝(－1，－2，－3)＝－a，故(�＋�)·�＝－�·� ＝7，得�·�＝－7，而|a|＝ 12＋22＋32＝ 14，所以 cos〈a， c〉＝ a·c |a||c| ＝－ 1 2 ，〈a，c〉＝120°. 10.【答案】C 【解析】设 OQ ―→ ＝λ OP ―→ ，则 QA ―→ ＝ OA ―→ － OQ ―→ ＝ OA ―→ － λ OP ―→ ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB ―→ ＝ OB ―→ － OQ ―→ ＝ OB ―→ －λ OP ―→ ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， 所以 QA ―→ · QB ―→ ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ) ＝2(3λ2－8λ＋5)＝6 � − 4 3 2 − 1 3 所以当λ＝4 3 时， QA ―→ · QB ―→ 最小，此时 OQ ―→ ＝ 4 3 OP ―→ ＝ (43， 4 3， 8 3)，即点 Q的坐标为( 4 3， 4 3， 8 3). 11.【答案】ABD 【解析】对于 A： a b   ， 0a b     ，即：    2, 1,3 4,2, 8 2 3 0a b x x            ， 解得： 10 3 x  .故 A 选项正确；对于 B：  3 2, 1,10a b     ，         3 3 2, 1,3 4,2, 2, 1,9 2, 1,10a b x x            9 10x  ，解得： 1x  .故 B 选项正确； 对于 C：a在b  上的投影向量为：a b b b b        ，即 1 3 a b b b b b          ， 代入坐标化简可得： 2 9 50 0x x   ，x无解，故 C 选项错误； 对于 D： a与b  夹角为锐角， 10 3 0a b x        ，解得： 10 3 x  ，且 a  与b  不共线，即 4 2, 2 3 1 3 x x    ，解得： 6x   ， 所以 a与b  夹角为锐角时，解得： 10 3 x  .故 D 选项正确； 12.【答案】 − 1 2 , 1 2 , 0 【解析】设 H(x，y，z)，则OH→＝(x，y，z)，BH→＝(x，y－1， z－1)，OA→＝(－1,1,0)． 因为 BH⊥OA，所以BH→ ·OA→＝0，即－x＋y－1＝0 ① 又点 H 在直线 OA 上， 所以OA→＝λOH→ ，即 −1 = �� 1 = �� 0 = �� ②联立①②解得 � =− 1 2 � = 1 2 � = 0 所以点 H 的坐标为 − 1 2 , 1 2 , 0 ． 1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 1.【答案】D 【解析】能作为平面α的法向量的向量与 μ=(2,-3,1)共线,结合选项可知选 D. 2.【答案】D 【解析】根据平面法向量的定义可知，平面 的法向量垂直 于与平面 共面的所有向量，故 A 正确；一个平面的所有 法向量与平面都垂直，∴都互相平行，故 B 正确；如果两 个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理 可以判断这两个平面也垂直，故 C 正确；如果 a b  、 与平面 共面且 n a n b     ， ，当 a b  、 共线时，n  不一定是平面 的 一个法向量，故 D 错误. 3【答案】B 【解析】连接 AB,∵平面α经过点 A(1,1,1)和 B(-1,1,z),∴AB⊂ 平 面 α, AB =(-2,0,z-1).∵n=(1,0,-1) 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量,∴n·AB =-2-(z-1)=0,解得 z=-1. 4【答案】B 【解析】设正方体的棱长为 2,则 A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),∴AE =(0,2,1),AF =(-1,0,2),设向量 n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则 n·AE = 2y + z = 0, n·AF =− x + 2z = 0, 取 y=1, 得 z=-2,x=-4,则n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量,故所求向 量与 n=(-4,1,-2)共线,结合选项可知,A,C,D 中向量均不与 n=(-4,1,-2)共线. 5【答案】CD 【解析】对于 A,SM =(-1, 3,2),SM ·m=-1× 3+ 3×1+2×0=0,所以 S在平面α内; 对于 B,QM =(-1, 3,-2),QM ·m=-1× 3+ 3×1-2×0=0,所以 Q在平 C,RM =(1, 3-2,2- 3),RM ·m=1× 3+( 3-2)×1+(2- 3)×0=2 3-2 ≠0,所以 R 不在平面α内;对于 D,TM =(3,0,2),TM ·m=3× 3+0×1+2×0=3 3≠0,T不在平面α内. 6.【答案】AC 【解析】由题可知,B(1,0,0),D1(0,1,1),则BD1 =(-1,1,1),∴直线 BD1 的一个方向向量为(-2,2,2),故 A 正确,B 错误; C(1,1,0),B1(1,0,1),则CB1 =(0,-1,1),CD1 =(-1,0,1),设平面B1CD1的 法向量为� = (�, �, �),则 �·��1 =− � + � = 0, �·��1 =− � + � = 0, 取 x=1,得� = 63 (1,1,1),故 C 正确;D(0,1,0),则CD =(-1,0,0),设平面 B1CD的法向 量 为 m=(a,b,c), 则 �·��1 =− � + � = 0, �·�� =− � = 0, 取 b=1, 得 � = (0,1,1),故 D错误. 7.【答案】(2，3，-4) (答案不唯一) 【解析】由 A 0,2, 19 8 ,B 1, − 1, 5 8 ,C -2,1, 5 8 得AB = 1, − 3, − 7 4 ,BC = -3,2,0 ,设 a 为平面的法向量,所以AB ·a=0,BC ·a=0,即 1, − 3, − 7 4 ·(x,y,z)=0, -3,2,0 ·(x,y,z)=0, 即 x − 3y − 7 4 z = 0, -3x+2y=0, 不妨设 x=2,则 a=(2，3，-4) 8.【答案】(1)(-1, �,0)(答案不唯一) (2) �, � � , � � � (答案不 唯一) (3)(1, �,0)(答案不唯一) 【解析】由题意可得 OA=OB=1, OC= 3 2 ×2= 3,OH=1 3 OC= 3 3 ,DH= DC2-CH2= 22- 2 3 3 2 =2 6 3 . 由题图,可得 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0), H 0, 3 3 ,0 ,D 0, 3 3 , 2 6 3 , (1)直线 BC 的一个方向向量为BC =(-1, 3,0). (2)直线 OD 的一个方向向量为OD = 0, 3 3 , 2 6 3 . (3)HD = 0,0, 2 6 3 ,BH = -1, 3 3 ,0 .设 n=(x,y,z)为平面 BHD 的法 向量,则 n·HD = 2 6 3 z = 0, n·BH =− x + 3 3 y = 0, 不妨设 x=1,则 n=(1, 3,0),故 平面 BHD 的一个法向量为(1, 3,0). 9．【答案】D 【解析】在 A中， 2a n    ，不可能使 / /l  ；在 B 中， 1 0 5 6a n      ，不可能使 / /l  ；在C中， 1a n    ，不 可能使 / /l ；在D中， 0 3 3 0a n      ，有可能使 / /l  ． 10.【答案】D 【解析】依题意,知PM =(0,2,4),平面α的法向量必然与 a,PM 垂直.对于A,1×2+(-4)×1+2×1=0,1×0+(-4)×2+2×4=0,故A中向量 满足题意;对于 B,2×1 4 +(-1)×1+1 2 ×1=0,1 4 ×0+(-1)×2+1 2 ×4=0,故 B 中 向量满足题意;对于 C,-1 4 ×2+1×1-1 2 ×1=0,-1 4 ×0+1×2-1 2 ×4=0,故 C中 向量满足题意;对于 D,0×2-1×1+1×1=0,0×0-1×2+1×4=2,故 D中 向量不满足题意. 11．【答案】ACD 【解析】对于 A，点 1B 的坐标为 (2,2,3)，正确； 对于 B， 1(2,2,0), (0,2,3)B C  1 ( 2,0,3)BC    正确； 对于C， 1(2,0,0), (2,0,3),A A  1 (0,0, 3)A A    ，直线 1AA 的 一个方向向量为 (0,0, 3) ，正确； 对于 D， 1 1(2,0,3), (2,2,0), (0,2,3)A B C 1 ( 2,0,3)BC    ， 1 (0, 2,3)BA    ， 设平面 1 1A BC 的一个法向量为 ( , , )n x y z   ， 则 1 1 2 3 0 2 3 0 n BC x z n BA y z               ，取 3x  ，得 (3,3,2)n  ，错误； 12.【答案】x-y+2z+1=0 【解析】 连接 AP,由题意可知AP =(x,y-3,z-1), ∵平面α的一个法向量是 n=(1,-1,2),∴AP ·n=(x,y-3,z-1)·(1,-1,2)=0,即 x-y+3+2z-2=0,即 x-y+2z+1=0,故所求点 P 的坐标满足的方程是 x-y+2z+1=0. 1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 1.【答案】B 【解析】 ∵l1∥l2, ∴v1∥v2, ∴ 1 � =2 4 =3 6 , ∴λ=2. 2.【答案】B 【解析】若 m∥α,则 a⊥u,则 a·u=0, 对于 A,a·u=-2,不满足 条件; 对于 B, a·u=0-3+3=0,满足条件; 对 于 C,a·u=1,不满足条件; 对于 D,a·u=6,不满足条件. 3.【答案】A 【解析】∵l∥α,∴m⊥n,∴m·n=-2t-4+2=0,解得 t=-1 4.【答案】D 【解析】因为α∥β,所以2 4 =3 � =-1 -2 ,解得λ=6. 5.【答案】ABC 【解析】 若 l∥α，则需m n   ，即 · 0mn    ，根据选择项验 证可知：A 中， · 2mn     ；B 中， · 6mn    ；C 中， · 1mn     ； D 中， · 0mn    ；综上所述，选项 A，B，C 符合题意 6.【答案】AB 【解析】 v  为直线 l 的方向向量， 1n ur ， 2n uur 分别为平面α，β 的法向量（α，β不重合）， 则 1n ur ∥ 2n uur ⇔α∥β， 1n ur ⊥ 2n uur ⇔α⊥β， v  ∥ 1n ur ⇔l⊥α， v  ⊥ 1n ur ⇔l∥α或 l⊂α. 因此 AB 正确. 7.【答案】−� 【解析】 � = (1,2,1)是直线�的方向向量，� = (2, �, 2)为 平面�的法向量，�//�， ∴ � ⊥ � ，∴ � ⋅ � = 1 × 2 + 2� + 1 × 2 = 0，解得� =− 2． 8.【答案】0 【解析】∵α∥β,∴u∥v,设 u=λv,则 � = -�, 1 = ��, -2 = 2�, 解得 � = -1, � = 1, � = -1, ∴ x+y=0. 9．【答案】C 【解析】设 AC、BD交于点O，连结OE，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直， 2AB  ， 1AF  ，M 在 EF 上，且 / /AM 平面 BDE， / /AM OE ，又 / /AO EM ， OAME 是平行四边形， M 是 EF 的中点， (0E ，0，1)， ( 2, 2,1)F ， 2 2( , ,1) 2 2 M ． 10.【答案】C 【解析】如图所示,以 A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为 1, 则 B(1,0,0),E 0,1, 1 2 ,D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1), 所 以 ��1 =(-1,0,1),�� = -1,1, 1 2 .设 n=(x,y,z)是 平面 A1BE 的法向量,则由 �·��1 = 0, �·�� = 0, 得 -� + � = 0, -� + � + 1 2 � = 0,取 z=2,得平面 A1BE 的 一 个 法 向 量 为 n=(2,1,2). 由 �1�1 =(1,0,0), �1� =λ �1�1 , 可 得 F(λ,1,1)(0≤λ≤1).又 B1(1,0,1),所以�1� =(λ-1,1,0).由 B1F∥平面 A1BE,得�1� ·n=0,即(λ-1,1,0)·(2,1,2)=0,得λ= 1 2 . 11.【答案】AC 【解析】 由题图得 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),E 1 2 , 1 2 , 1 2 ,F 0, 1 2 , 1 2 ,所以�� =(1,0,0),�� = 1 2 , 1 2 , 1 2 ,设平面 ADE的法向量 为 n=(x,y,z),则 �� ·� = � = 0, �� ·� = 1 2 � + 1 2 � + 1 2 � = 0, 令 z=1,得 y=-1,x=0,所以 n=(0,-1,1),故 A正确. 因为 PD⊥AD,AD⊥CD,PD∩CD=D,又 PD,CD⊂平面 PCD, 所以 AD⊥平面 PCD,所以平面 PCD 的一个法向量为 �� =(1,0,0).又因为�� = - 1 2 , 1 2 , 1 2 ,�� ·�� =-1 2 ≠0,所以��与�� 不垂直,即AE与平面PCD不平行,故B不正确.易知平面PAD 的一个法向量为�� =(0,1,0),又�� = - 1 2 ,0,0 ,�� ·�� =0,所以 EF⊥DC,又 EF⊄平面 PAD,所以直线 EF∥平面 PAD,故 C 正 确. 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 m=(x1,y1,z1), 又 �� =(0,1,0), �� =(1,0,-1),由 �� ·� = �1-�1 = 0, �� ·� = �1 = 0, 令 x1=1,得 64 m=(1,0,1),又�� = 0, 1 2 , 1 2 ,所以�� ·m=1 2 ≠0,所以直线 DF与平 面 PAB不平行,故 D不正确. 12【答案】平行 【解析】以点 C为原点,CB,CD,CP所在直线分别为 x轴、y 轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为 PC=2,PC⊥ BC,∠PBC=30°,所以 BC=2 3,PB=4,则 C(0,0,0),D(0,1,0),A(2 3 ,4,0),P(0,0,2),M 3 2 ,0, 3 2 , 所 以 �� =(0,-1,2),�� =(2 3,3,0),�� = 3 2 ,0, 3 2 .设 n=(x,y,z)为平面 PAD 的法向量 ,则 �� ·� = 0, �� ·� = 0, 即 -� + 2� = 0, 2 3� + 3� = 0, 取 y=2,得 n=(- 3,2,1).因为 n·�� =- 3× 3 2 +2×0+1×3 2 =0,所以 n⊥�� , 又 CM⊄平面 PAD,所以 CM∥平面 PAD. 1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 1.【答案】A 【解析】若� = − 1, 0,   − 1 ，� = (1,0,1)，则� =− � ，� //� ， 则直线�与平面�垂直 2.【答案】C 【解析】对于�，∵ −2 3 ≠ 3 −1 ≠ −5 4 ，∴ �, �不平行，故�错误； 对于�，� ⋅ � =− 6 − 3 − 20 =− 29 ≠ 0，∴ �, �不垂直； 对于�，由�, �得�，�相交但不垂直，故�正确； 对于�，�，�相交但不垂直，故�错误． 3.【答案】C 【解析】因为直线 l的方向向量为 (2,1, )m ，平面 的法向 量 为 1(1, , 2) 2 ， 且 l  ， 所以 存 在实 数  ， 使得 1(2,1, ) (1, , 2) 2 m  ，所以 ，解得 2  ， 4.m  4.【答案】C 【解析】由题意可得a  ，b  分别是平面α，β的法向量，所以   等价于 a b   ，即“  ”是“ a b   ”的充要条件． 5.【答案】BC 【解析】因为 e为直线 l的方向向量， 1 2,n n   分别为平面 ,  的法向量 ( ,  不重合 )，A. 1 / /e n l    或 l  ，故 错误；B. 1 2n n       正确；C. 1 2/ / / /n n     正确； D. 1 / /e n l    或 l  ，故错误 6.【答案】AC 【解析】 以 D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为 x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为 2a，则 D(0，0， 0)，D1(0，0，2a)，M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a， 0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)， 1(2 ,0,2 )A a a ， ∴OM  ＝(－a，－a，a)，MN  ＝(0，a，a)， AC  ＝(－2a， 2a，0)， 1 (0,0, 2 )AA a   ，∴OM MN    ＝0，OM AC    ＝0， 2 1 2 0OM AA a     ，∴OM⊥AC，OM⊥MN．OM和 AA1不 垂直. 7.【答案】4 【解析】 ∵平面�，�的法向量分别为� = ( − 2, �, 1), � = (�, 1,4)，且� ⊥ �， ∴ � ⋅ � =− 2� + � + 4 = 0，解得� = 4． 8.【答案】垂直 【解析】以A为原点，分别以 AB  AD  ， 1AA  所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系： 设正方体的棱长为1，则 (0,0,0)A 1(0,1, ) 2 M ， 1 1( , ,0) 2 2 O ， 1( ,0,1) 2 N ， 1 1(0,1, ) (0, ,1) 0 2 2 AM ON       ON 与 AM垂直． 9.【答案】D 【解析】 (1,5, 2)AB     ， (3,1, )BC z  ， AB BC   ， 3 5 2 0z    ， 解 得 4z  ， (3,1, 4)BC   ， ( 1, , 3)PB x y     ， 且 BP   面 ABC ， ( 1) 5 6 0 3( 1) 12 0 PB AB x y PB BC x y                  ， 解 得 331 7 x   ， 15 7 y   ， 33 15( , , 3). 7 7 PB     10.【答案】B 【解析】在正方体中，对各选项建立 相应的空间直角坐标系，令正方体棱 长为 2，点 (1,1,0)O ，对于 A， (2,0, 2), (0, 2, 2), (0, 2,1)M N P ， ( 2,2,0), ( 1,1,1)MN OP      ， 4 0MN OP     ，MN与OP不垂直， A不是； 对于 B， (0,0, 2), (2,0,0), (2,0,1)M N P ， (2,0, 2), (1, 1,1)MN OP      ， 0MN OP    ，MN OP ，B 是；对于 C， (2, 2, 2), (0, 2,0), (2,0,1)M N P ， ( 2,0, 2), (1, 1,1)MN OP       ， 4 0MN OP      ，MN与 OP不垂直，C不是；对于 D， (0,0, 2), (0, 2,0), (2,1, 2)M N P ， (0,2, 2), (1,0,2)MN OP     ， 4 0MN OP      ，MN与OP 不垂直，D不是. 11.【答案】ACD 【解析】对于 A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一 个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以 a n   ，∴ 0a n    ，A正确；对于 B选项，两平面平行，则 它们的法向量平行，所以 B错误；对于 C选项，两平面平 行，则它们的法向量平行，∴ 1 2, 0n n    或  ∴ 1 2 1 2n n n n       ，C正确；对于 D选项，两平面垂直 它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两 个平面一定不垂直，D正确. 12.【答案】 1 2 【解析】以 1C 为原点， 1 1C A 为 x轴， 1 1C B 为 y轴， 1C C 为 z轴，建立空间直角坐标系， 由题意 1(1,0,0)A ， 1(0,1,0)B ， 1 1( , ,0) 2 2 D ， 1(0,0,0)C ， (1,0, 2)A ，设 (0,1, )F t ，0 2t„ „ ， 1 1 1( , ,0) 2 2 C D   ， 1 ( 1,1, 2)AB     ， 1 (0,1, )C F t  ， 1AB  平面 1C DF ， 1 1 1 1 0 0 AB C D AB C F          ，即 ， 1 2 0t   ，解得 1 . 2 t  线段 1B F 的长为 1 . 2 65 1.4.2.1 用空间向量研究距离问题 1.【答案】A 【解析】∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，AB→＝(1,0,0)，BC→＝ (－1,2，－2)， ∴点 A到直线 BC的距离为 d＝ �� 2 − �� ∙�� �� 2 = 1 − − 1 3 2 = 2 2 3 2.【答案】D 【解析】分别以 PA，PB，PC所在直线为 x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)． 可以求得平面 ABC的一个法向量为 n＝(1,1,1)， 则 d＝|PA →·n| |n| ＝ 3 3 ． 3.【答案】B 【解析】建立坐标系如图， 则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， O(12， 1 2，1)． ∴AB→＝(0,1,0)，AD1→ ＝(－1,0,1)． 设 n＝(1，y，z)是平面 ABC1D1的一 个法向量， 则 AB→·n＝y＝0， AD1→ ·n＝－1＋z＝0， 解得 y＝0，z＝1，∴n＝(1,0,1)． 又OA→＝(12，－ 1 2，－1)， ∴点 O到平面 ABC1D1的距离为 |OA→·n| |n| ＝ 1 2 2 ＝ 2 4 ． 4.【答案】B 【解析】∵两平行平面α，β分别经过坐标原点 O和点 A(2， 1,1)，OA→＝(2,1,1)，且两平面的一个法向量 n＝(－1,0,1)， ∴两平面间的距离 d＝|n·OA →| |n| ＝ |－2＋0＋1| 2 ＝ 2 2 ． 5.【答案】ABC 【解析】对于 A， (1, 1,2)a    ， ( 2,2, 4)b     ， 2b a    ， a r 与b  共线，故 A 正确；对于 B，设 a b c     ，即     )(2, , 4 0,1, 2 1 ,,0,) ( , 20x        ，则 2 4 2 x         ，得 2x  ，故 B 正确；对于 C， 1,| | 1 4 5a b b        ， a 在b  方向上的投影向量为 2 1 1 2( 1,0,2) ( ,0, ) 5 5 5 a b b b                  ，故 C 正确， 对于 D， ( 1,1, 1)AP      ， (1,0,0)a   是直线 l的一个单位 方向向量，点 P到直线 l的距离为  22 3 1 2AP AP a        ，故 D 错误． 6.【答案】BCD 【解析】如图，建立空间直角坐标系D xyz ， 则 1(0,0,0), (4,0,0), (4,4,0), (0,4,0), (4,0,4)D A B C A ， 1 1 1(4,4,4), (0,4,4), (0,0,4), (2,4,0), (0,4,2)B C D E F ， A： 1(0,4,2), (2,4, 4)DF D E     ，有 1 8 0DF D E     ，则 DF与 1D E不垂直， 故 A错误；B： 1 ( 4,0, 4)AD    ， (0,4,2), (2,4,0)DF DE    ，设平面 DEF的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 4 2 0 2 4 0 n DF y z n DE x y             ，令 1y   ，得 2, 2x z  ， 所以 (2, 1, 2)   n ，得 1 0n AD    ，所以 1 / /AD 平面 DEF，故 B正确；C： 1 1( 4,0,4), ( 4, 4,4)BC BD       ，由 B选项可 知平面 DEF的法向量 (2, 1, 2)   n ，设平面 1 1BC D的法向量 分别为 1 1 1 1( , , )n x y z  ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 0 4 4 4 0 n BC x z n BD x y z                  ，令 1 1x  ， 得 1 11, 0z y  ，所以 1 (1,0,1)n   ，得 1/ /n n   不成立，所以平 面 1 1BC D与平面 DEF相交，故 C正确； D：由 (4,4,0)DB   ，平面 DEF的法向量 (2, 1, 2)   n ，则点 B到平面 DEF的距离为 4 3 DB n d n       ，故 D正确. 7.【答案】 2 2 【解析】 PA ―→ ＝(－2,0，－1)，因为 n与 l垂直，所以 P到 l 的距离为| －2，0，－1·1，0，－1 12＋－12 |＝ 1 2 ＝ 2 2 . 8.【答案】10 3 【解析】点 P到平面α的距离 d＝|PA →·n| |n| ＝ |－2－4－4| 4＋4＋1 ＝ 10 3 ． 9.【答案】D 【解析】由 (1,3,0)A ， (0,3,1)B ， (1,0,3)C ，得 ( 1,0,1), (0, 3,3)AB AC      ， 设平面 ABC的法向量 ( , , )n x y z  ，则 0 3 3 0 n AB x z n AC y z               ， 令 1z  ，得 (1,1,1)n   ， 有 (1,3,0)OA   ，而OP 平面 ABC，于是 2 2 2 | | |1 1 3 1 0 1| 4| | | | 31 1 1 OP nOP n               ， 又 2 2| | 1 3 10OA     ，OP AP ，所以 2 2 16 42| | | | | | 10 3 3 AP OA OP       . 10.【答案】B 【解析】因为 AC BC ，O为 AB的中点，则OC AB ， 由圆锥的几何性质可知 SO 平面 ABC， 以点O为坐标原点，OC、OA、OS所在直线分别为 x、y、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则  0,0,4S 、  0, 2,0B  、  2,0,0C 、  0,2,0A 、  0,0,2D 、  0,1,1N ， 设平面 SBC的法向量为  , ,n x y z  ，  2, 2,0BC   ，  0,2,4BS   ， 则 2 2 0 2 4 0 n BC x y n BS y z             ，取 = 2y  ，可得  2, 2,1n    ， 又因为  0,3,1BN   ，所以，点N到平面 SBC的距离为 6 1 5 3 3 BN n d n          . 66 11.【答案】ABD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则            1 1 10,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , 1,1,1 , 0,1,1 , 1 1 1,0,1 , , ,1 2 2 2 A B D A C D E O           所以 1( 1,0,0), ,0,1 2 BA BE           ． 对于 A，设 ABE   ，则 25 2 5cos ,sin 1 cos 5 5| || | BA BE BA BE            ． 故A到直线 BE的距离 1 2 5 2 5| | sin 1 5 5 d BA     uur ，故 A正 确；对于 B， 1 1 1, ,0 2 2 CO         ，因为 AB 平面 1 1ADD A， 1DA 平面 1 1ADD A，所以 1AB DA ，又 1 1DA AD ， 1AB AD A , 1,AB AD 平面 1 1ABC D ,所以 1DA 平面 1 1ABC D ，平面 1 1ABC D 的一个法向量 1 (0, 1,1)DA    ， 则点O到平面 1 1ABC D 的距离 1 1 2 1 22 4| | 2 DA CO d DA        ，故 B正确；对于 C，因为 1 3 1 2 4 2 3 AP AB AD AA       ，所以 3 1 2, , , (1,0,0) 4 2 3 AP AB        ，则 3 4| | AP AB AB   uuur uuur uuur ，所以点 P到 AB 的距离 2 2 181 9 5| | 144 16 6| | AP ABd AP AB       uuur uuuruuur uuur ，故 C错误； 对于 D， 1 1 1 1(1,0, 1), (0,1, 1), (0,1,0)AB AD AD        ． 设平面 1ABD的法向量为 ( , , )n x y z  ， 1 1 0, 0, n A B n AD         所以 0, 0, x z y z      令 1z  ，得 1, 1y x  ，所以  1,1,1n   ，所以 点 1D 到平面 1ABD的距离 1 1 3 1 3 3| | 3 DA n d n        ， 因为平面 1 1AD BC∥ ， 1 1AD BC ，所以四边形 1 1BCD A 为平行 四边形，所以 1 1AB DC∥ ， 1DC 平面 1 1BCD ， 1 A B 平面 1 1BCD ，所以 1A B  平面 1 1BCD ，同理可证 1AD  平面 1 1BCD ， 又 1 1 1A B AD A ， 11 ,A B AD 平面 1ABD， 所以平面 1ABD  平面 1 1BCD ，所以平 面 1ABD与平面 1 1BCD 间的距离等于 点 1D 到平面 1ABD的距离，即为 3 3 ， 故 D正确． 12.【答案】 6 89 89 【解析】正方体的棱长为 1，如图， 以 D为坐标原点， 1, ,DA DC DD    所在 方向分别为 , ,x y z轴正方向建立空间 直角坐标系， 则 B(1，1，0)，B1(1，1，1)， 10,1, 3       M ， 1 ,0,0 2 N      ，∴ 1BB  =(0，0，1)， 11,0, 3 BM        ， 1 1 , 1, 1 2 B N          . 设直线 BM与 B1N的公垂线方向上的向量  , ,n x y z   ，由 =0n BM    ， 1 0n B N     ， 得 1 0 3 1 0 2 x z x y z          ，令 x=2，则 z=6，y=-7，∴  2, 7,6n    ， 设直线 BM与 B1N之间的距离为 d，则 d= 1 | | | | nBB n    = 6 89 = 6 89 89 .故答案为： 6 89 89 . 1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题 1．【答案】C 【解析】因为θ∈(0，π 2 ]，所以 cos θ＝|cos〈m，n〉|＝ |m·n| |m|·|n| ＝ 6 3× 14 ＝ 14 7 ，sin θ＝ 1－cos2θ ＝ 35 7 . 2.【答案】C 【解析】由已知可得 1 2 2n  ur ， 2 2 2n  uur ，  1 2 2 2 0 2 2 0 4n n           ur uur ， 所以 1 2 1 2 1 2 4 1cos , 22 2 2 2 n nn n n n        ur uurur uur ur uur .设 为平面 与 平面  的夹角，则 0 ,90 q 轾Î 臌 ， 又 1 2 1cos cos , 2 n n   ur uur ，所以 60   . 3.【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 P(0，0，1)，C(1，2 ，0)，PC→ ＝(1， 2 ，－1)，平面 ABCD的一个法向量 为 n＝(0，0，1)，所以 cos 〈PC→ ，n〉 ＝ PC→·n |PC→|·|n| ＝－ 1 2 ，所以〈PC→ ，n〉＝120°， 所以 PC与平面 ABCD的法向量所在直线所成角为 60°， 所以 PC与平面 ABCD所成角为 30°. 4.【答案】C 【解析】设  , ,n x y z  为平面 ABC的法向量，则 2 0 0 n AB y z n AC x y              ，令 2x  ，得  2, 2,1n  r ． 所以平面 与平面 ABC夹角的余弦值为 6cos , 6 m n n m m n          ，则平面 与平面 ABC夹角的正弦 值为 2 6 301 6 6         ，所以平面 与平面 ABC夹角的正 切值为 30 6 6 6 5 ． 5.【答案】BCD 【解析】以 D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D - xyz， D1(0，0，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0， 2)，D(0，0，0)，易知D1B1＝(2，2， 0)，EF→ ＝(0，1，0)， 所以 cos〈D1B1，EF → 〉＝ �1�1 ∙�� �1�1 �� ＝ 2 2 2×1 ＝ 2 2 ， 所以异面直线B1D1与EF所成的角的大小为 45°，故A正确， B错误；由题意可知平面 B1EF即为平面 A1B1CD，设平面 67 A1B1CD的法向量为 n＝(x，y，z)， 则 n·A1B1＝n·DA1＝0.又A1B1＝(0，2，0)，DA1＝(2，0，2)， 所以 2y＝0 2x＋2z＝0 ，令 x＝1，得 n＝(1，0，－1)， 所以 cos〈D1B1，n〉＝ 2 2 2× 2 ＝ 1 2 ， 所以直线 B1D1与平面 A1B1CD所成的角为 30°，即直线 B1D1 与平面 B1EF所成的角的大小为 30°，故 C，D错误． 6.【答案】ABC 【解析】 如图所示，过点 B在平面 BCD 内作 BE⊥BC交 CD于点 E，过 点 B在平面 ABC内作 BF⊥BC 交 AC于点 F，因为平面 ABC⊥ 平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，BF⊥BC，BF⊂平 面 ABC，∴BF⊥平面 BCD，同理可得 BE⊥平面 ABC，以 点 B 为坐标原点，BE，BC，BF 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB＝BC＝BD＝2， 则 A(0，－1， 3 )，B(0，0，0)，D( 3 ，－1，0)，C(0，2， 0).对于 A选项，AD→ ＝( 3 ，0，－ 3 )，BC→ ＝(0，2，0)， 则AD→ ·BC→ ＝0，∴AD→ ⊥BC→ ，故直线 AD与直线 BC所成 角的大小为 90°，A对； 对于 B选项，AC→ ＝(0，3，－ 3 )，BD→ ＝( 3 ，－1，0)， cos 〈AC→ ，BD→ 〉＝ AC→·BD→ |AC→|·|BD→| ＝－ 3 2 3×2 ＝－ 3 4 ，所以 直线 AC与直线 BD所成角的余弦值为 3 4 ，B 对；对于 C 选项，AD→ ＝( 3 ，0，－ 3 )，平面 BCD的一个法向量为 m＝(0，0，1)，cos〈AD→ ，m〉＝ AD→·m |AD→|·|m| ＝－ 3 6 ＝－ 2 2 ， 所以直线 AD与平面 BCD所成角的大小为 45°，C对；对于 D选项，CD→ ＝( 3 ，－3，0)，平面 ABC的一个法向量为 n＝(1，0，0)，cos 〈CD→ ，n〉＝ CD→·n |CD→ |·|n| ＝ 3 2 3 ＝ 1 2 ，所 以直线直线 CD与平面 ABC所成角的大小为 30°，D错． 7．【答案】π 6 【解析】已知直线 l的方向向量为 d＝(0，1，1)，平面α的 法向量为 n＝(－1，0，1)，设直线 l与平面α所成角为θ，则 θ∈[0，π 2 ]，∴sin θ＝|n·d| |n||d| ＝ 1 2× 2 ＝ 1 2 ，∴θ＝π 6 ， 所以直线 l与平面α所成角的大小为π 6 . 8．【答案】 30 10 【解析】依题意可知 AC，BC，CC1两两相互垂直，由此建 立如图所示空间直角坐标系， 设 BC＝AC＝CC1＝2，则 A(2，0，0)，F1(1， 0，2)， �F1＝(－1，0，2)，B(0，2，0)， D1(1，1，2)，�D1 ＝(1，－1，2)，设 BD1 与 AF1 所 成 角 为 α ， 则 cos α ＝ ＝ 3 5× 6 ＝ 30 10 . 9．【答案】B 【解析】由题意，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD是边长为 4的正方形，则有PA⊥AB， PA⊥AD，AB⊥AD，而 PA∩AB＝A，故 AD⊥ 平面 PAB，以 A为原点，分别以 AB、AD、 AP所在直线为 x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系，如图所示， 则 A(0，0，0)，D(0，4，0)，C(4，4，0)，P(0，0，6)，E(0， 2，3)，CE→ ＝(－4，－2，3)，AD→ ＝(0，4，0). 设直线 EC与平面 PAB所成角为θ，又由题可知AD→ 为平面 PAB的一个法向量， 则 sin θ＝|cos〈CE→ ，AD→ 〉| = CE ∙AD CE AD ＝ −2 ×4 4 16+4+9 ＝2 2929 . 10.【答案】D 【解析】如图，连接 OF，因为四边形 ABCD为菱形， 所以 O为 AC的中点，AC⊥BD.因为 F为 PC的中点， 所以OF∥PA.因为 PA⊥平面ABCD，所以 OF⊥平面ABCD. 以 O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为 x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 设 PA＝AD＝AC＝1， 则 BD＝ 3 ，所以 B       0,0, 2 3 ， F       2 10,0 ， ，C       0 2 1,0 ， ， D        0,0, 2 3 ， 结合图形可知，OC→ ＝       0 2 1,0 ， ，且OC→ 为平面 BDF的一 个法向量． 由BC→ ＝        0, 2 1, 2 3 ，FB→ ＝        2 1,0, 2 3 ，可求得平面 BCF的一个法向量 n＝(1， 3， 3) . 所以 cos 〈n，OC→ 〉＝ 21 7 ，sin 〈n，OC→ 〉＝2 7 7 ， 所以 tan 〈n，OC→ 〉＝2 3 3 . 故选 D 11.【答案】ACD 【解析】由题意可得  0,0,0A ，  2,0,0B ，  0,2,0C ，  1 2,0,2B ，  1 0,2,2C ，  1,1,0E ，  0,1,2F ，设  , 2 ,2D x x ，  1,0,2EF    ，  2,2 ,2BD x x    ， 直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中， 90BAC  ， 可得 AC  为平面 1 1AA B B的一个法向量， 1AA  为平面 ABC的一个法向量， 对于 A，  0,2,0AC   ， 0EF AC    ， 即 EF AC ，又EF 平面 1 1AA B B，所以 / /EF 平面 1 1AA B B， 故 A正确； 对于 B，若D是 1 1BC 上的中点，则  1,1,2BD    ， 所以 1 4 5EF BD      ，所以 EF 与 BD不垂直，故 B不正 确； 对于 C，由 1AA  为平面 ABC的一个法向量，  1 0,0,2AA   ， 设直线 EF 与平面 ABC所成角为 ， 则 1 1 1 4 2 5sin cos , 55 2 EF AAEF AA EF AA            ，故 C正 确；对于 D，设  1 1 1 2 ,2 ,0B D BC       ，  0 1  则  1 1 2 ,2 ,2BD BB B D         ， 2 4BD EF       68 2 2 1cos , 3 4 25 2 1 5 2 3 9 BD EFBD EF BD EF                      当 3 4 2 3   时，即 1 4   时， cos ,BD EF   取最大值， 即直线 BD与直线 EF 所成角最小，此时 1 1, , 2 2 2 BD        ， 3 2 2 BD BD    ，故 D正确. 故选：ACD 12.【答案】1 3 【解析】取 CD的中点 O，以 O为原点，以 CD所在直线为 x 轴，以底面内过点 O 且与 CD 垂直的直线为 y轴，以过点 O且 与底面垂直的直线为 z轴，建立 如图所示的空间直角坐标系．设 AB＝2，则 A(0，－1，1)，B(0， 1，1)，C(－1，0，0)，D(1，0， 0)，AC→ ＝(－1，1，－1)，BD→ ＝ (1，－1，－1)，所以|cos 〈AC→ ， BD→ 〉|＝ |AC→·BD→| |AC→|·|BD→| ＝ 1 3× 3 ＝ 1 3 ，所以异面直线 AC与 BD 所成角的余弦值为 1 3 . 1.4.3 空间向量的综合应用 1.【答案】A 【解析】由题意可知 24 16 36 4 4 2 0. x y x         ， 解得 � =− 4 � = 1 或 � = 4 � =− 3 2.【答案】B 【解析】由题意知，过点 A 的棱两两垂直，设 AB   a， AC   b， AD   c，则 2( ) ( ) | | 0BC BD         b a c a a ， 故∠CBD 为锐角． 同理，∠BCD、∠CDB 均为锐角， 所以△BCD 为锐角三角形 3.【答案】C 【解析】以A为原点，以 , ,AB AD AE分别为 , ,x y z轴建立空 间直角坐标系，则  0,0,0A ，  1,0,0B ，  0,1,0D ，  0,0,1E ， 所以  1,0,0AB   ，  0,1,0AD  uuur ，  0,0,1AE   ， 所以       3 1 2 5 2 3 3 1 2 3 1 21,0,0 0,1,0 0,0,1 , , 5 2 3 5 2 3 AP AB AD AE                 ， 所以 AP  在 AB  上的投影向量的长度为： 3 5 AP AB AB      ， 所以 P到直线 AB的距离为 2 2 3 5 5 6 AP        . 4.【答案】C 【解析】以 1, ,DA DC DD    为正交基底建 立空间直角坐标系，设 2AB  ，则              1 1 1 12,2,2 , 2,1,0 , 1,2,0 , 2,2,0 , 2,0,2 , 0,2,2 , 0,0,2B E F B A C D . 所以        1 11,1,0 , 0,1,2 , 2, 2,2 , 2,2,0EF EB BD DB           ，  1 1 1( 2, 2,0), 2,0, 2AC DA     . 设平面 1B EF 的一个法向量为  , ,m x y z  ，则 1 0 2 0 m EF x y m EB y z              ， 取 2x  ，则 (2,2, 1)m    ， 因为 2 2 2 2 2 1      ，所以 1BD  与m  不平行，所以 1BD 与平面 1B EF 不垂直，A错误；因为 2 2 0 2 2 1    ，所以DB  与m  不平 行，所以 BD与平面 1B EF不垂直，B错误；因为 1 1 0AC m    ， 且线在面外，所以 1 1AC  平面 1B EF ，C 正确； 因为 1 2 0DA m    ，所以 1A D与平面 1B EF 不平行，D错误. 5.【答案】BC 【解析】对于 A，因为  0,1,1a   ，  0,0, 1b    ，所以 1, 1a b b       ， 所以 a  在b  上的投影向量为  2 0,0,1 a b b b b           ，故 A错误； 对于 B，因为 / /a b   ，所以  0a b     因为  1, ,3a m  ，  5, 1,b n   ，所以 1 5 3 m n          ， 解得 1 5 1 5 15 m n          ，所以 3 mn ，故 B 正确； 对于 C，设 , ,a b c   是空间中的一组基底，则 , ,a b c  不共面， 假设 , ,a b b c     共面，则 a b xb yc       ，显然无解，所以 , ,a b b c     不共面， 则 , ,a b b c     也是空间的一组基底，故 C 正确； 对于 D， 1 1 1 2 3 4 OP OA OB OC       ，但 1 13 1 4 1 1 1 2 3 2     ，则 , , ,P A B C四点不共面，故 D 错误. 6.【答案】BD 【解析】设所求二面角的平面角的大小为 ，则 1 2 1 2 1 2 34cos 3 23 2 n n n n           ，所以 30  或150，故 C 错 误，D 正确，又因为 1sin30 sin150 2     ，故 A错误，B正 确 7.【答案】− � � 【解析】由题意，直线�的方向向量为� = ( − 1,1,2)，平面� 的法向量为� = ( 1 2 , 2�, − 1)，因为� ⊥ �，可得� //� ，可得 2� 1 = −1 2 ，解得� =− 1 4 . 8.【答案】 13 10 10 【解析】由于 PA 平面 ABCD， ,AB AD 平面 ABCD， 所以 ,PA AB PA AD  ，而四边形 ABCD是矩形，所以 AB AD ， 由此以A为原点，建立如图所示空间 直角坐标系， 69 则          0,0,1 , 3,0,0 , 0,4,0 , 3,0, 1 , 3,4,0P B D PB BD      ， 9, 10, 5BD PB PB BD         ， 所以D到直线 PB的距离为 2 2 81 13 1025 10 10 BD PBBD PB              . 9.【答案】C 【解析】四面体� − ���是由正方体的四个顶点构成的，如 下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设 正方体的棱长为 2 �(0,0,0), �(2,0,0), �(2,2,0),�(1,1,1) �� = (1,1,1), �� = (0,2,0) cos〈 �� , �� 〉 = �� ⋅ �� |�� | ⋅ �� = 2 3 × 2 = 3 3 因为异面直线夹角的范围为 0, � 2 ，所以异面直线 BM 与 CD 夹角的余弦值为 3 3 10.【答案】D 【解析】由题意可得 �� = ��1 = �� = 6,�� ⋅ �� = �� ⋅ ��1 = �� ⋅ ��1 = 6 × 6 × 1 2 = 18, 又��1 = �� + �� + ��1 ，则|��1 | = (�� + �� + ��1 )2 = �� 2 + �� 2 + ��1 2 + 2�� ⋅ �� + 2�� ⋅ ��1 + 2�� ⋅ ��1 = 3 × 62 + 3 × 2 × 6 × 6 × cos60° = 6 6，故 A 错误， 由于��1 = �� + ��1 − �� , �� = �� + �� ， 则|��1 | = |�� + ��1 − �� | == �� 2 + ��1 2 + �� 2 + 2�� ⋅ ��1 − 2�� ⋅ ��1 − 2�� ⋅ �� = 3 × 36 − 2 × 18 = 6 2，|�� | = |�� + �� | = �� 2 + �� 2 + 2�� ⋅ �� = 36 × 2 + 2 × 18 = 6 3， 又��1 ⋅ �� = (�� + ��1 − �� ) ⋅ (�� + �� ) = �� ⋅ �� + ��1 ⋅ �� − �� 2 + �� 2 + ��1 ⋅ �� − �� ⋅ �� = 36， 则 cos < ��1 , �� >= ��1 ⋅�� |��1 ||�� | = 36 6 2×6 3 = 6 6 ，故 B 错误， 由于��1//��1 ,所以向量�1� 与��1 的夹角即为�1� 与��1 的夹角， 由于 ��1 = �� = 6,∠���1 = 60∘, ∴△ ���1等边三角形， 故∠��1�为60∘， 进而�1� 与��1 的夹角为∠��1�的补角，故�1� 与��1 的夹 角为120∘，故 C 错误， ��1 ⋅ �1� = �� + �� + ��1 ⋅ �� − ��1 = �� ⋅ �� + �� 2 + ��1 ⋅ �� − �� ⋅ ��1 − ��1 ⋅ �� − ��1 2 = 0 ��1 ⋅ �1�1 = �� + �� + ��1 ⋅ �� − �� = �� ⋅ �� + �� 2 + ��1 ⋅ �� − �� ⋅ �� − ��1 ⋅ �� − �� 2 = 0, 所以��1 ⊥ �1� , ��1 ⊥ �1�1 ,进而可得��1 ⊥ �1�, ��1 ⊥ �1�1, �1� ∩ �1�1 = �1, �1�, �1�1 ⊂ 平面��1�1 , 故��1 ⊥ 平面��1�1,故 D 正确， 故选：D 11.【答案】ABC 【解析】因为��⊥平面���，��,��⊂平面���, 所以��⊥��,��⊥��, 所以�� ⋅ �� =0,�� ⋅ �� =0, �� ⋅ �� = �� ⋅ �� cos 2� 3 =−3， 在△���中，�� =�� + 1 3 �� =�� + 1 3 (�� −�� )= 2 3 �� + 1 3 �� , 所以 �� = 2 3 �� + 1 3 �� = 2 3 �� + 1 3 �� 2 = 4 9 �� 2+ 1 9 �� 2+ 4 9 �� ⋅ �� = 5 3 ，所以 A 正确; 在△���中, �� =�� −�� = 2 3 �� + 1 3 �� − 1 2 (�� +�� )= 1 6 �� − 1 2 �� + 1 3 �� , �� = 1 6 �� − 1 2 �� + 1 3 �� 2 = 1 36 �� 2+ 1 4 �� 2+ 1 9 �� 2− 1 6 �� ⋅ �� + 1 9 �� ⋅ 1 3 �� − 1 3 �� ⋅ �� = 1 9 +1+1+1= 2 7 3 ，所以 B 正确； 因为�� =�� −��， �� ⋅ �� = �� −�� ⋅ �� =�� ⋅ �� −�� ⋅ �� =−3, �� = 22+22=2 2, cos<�� ,�� >= �� ⋅ �� �� �� = −3 2 2×3 =− 2 4 , 所以��与��所成角的余弦值为 2 4 ,所以 C 正确； 由以上知��= 5 3 ，��= 2 7 3 ，且��= 1 2 ��= 2, 在△���中，由余弦定理得 cos∠���= �� 2+��2−��2 2��⋅ �� = 2 4 , 所以 D 错误. 12【答案】− � � 【解析】 根据题意ABCD为正四面体，��，�� ， ��两两成60∘角，�� ⋅ �� = �� ⋅ �� = �� ⋅ �� = 1 2 , 由�� = �� − �� = 1 2 �� − ��，�� = �� − �� = 1 2 �� + 1 2 �� − ��， 所以�� ⋅ �� = 1 2 �� − �� ⋅ 1 2 �� + 1 2 �� − �� = 1 4 × 1 2 + 1 4 × 1 2 − 1 2 − 1 2 − 1 2 × 1 2 + 1 2 =− 1 2 ． 第一章单元测试 1【答案】D 【详解】建立如图所示空间直角坐标系,则    1 11, ,1 , 1,1, , 1,0,0 , 0,1,0 2 2 M N A C           ， 所以 1 10, ,1 , 1,0, 2 2 AM CN              ， 所以 1 22cos , 5 5 4 AM CNAM CN AM CN           ， 2【答案】A 【详解】因为在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，    1 1 1 11 1 12 2 2B B BD AD A A ABM D           ，所以  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 BM B B a b c BM A A AD AB A B AD A A                      . 3【答案】C 【详解】由题意可得 1 1cos60 1 1 2 2 a b a b          ， 2 2 23 ( 3 ) 9 6 1 9 3 13a b a b a b a b                  . 4【答案】A 【详解】设 CA＝2，则 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)， B1(0,2,1)，可得 1AB  ＝(－2,2,1)， 1  BC ＝(0,2，－1)，由向量 的夹角公式得 cos〈 1AB  ， 1  BC 〉＝ 0 4 1 1 5 . 54 4 1 0 4 1 5 ＋ － ＝ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ 70 5【答案】B 【详解】∵  1,1,2A ，  2, 2,1P  ， ∴  1, 3, 1AP     ，又  1, 1,0m  r ， ∴ AP  在m 方向上的投影 4cos 2 2 2 AP mAP AP m m            ， ∴P到 l距离 2 2| | (2 2) 11 8 3d AP      . 故选：B. 6【答案】A 【详解】解：在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， AC BD 且 1DD 平面 ABCD，又 EF 平面 ABCD，所以 1EF DD ，因为 ,E F 分别为 ,AB BC的中点， 所以 EF AC∥ ，所以EF BD ，又 1BD DD D ， 所以 EF 平面 1BDD ，又 EF 平面 1B EF ， 所以平面 1B EF 平面 1BDD ，故 A 正确； 选项 BCD 解法一： 如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设 2AB  ， 则              1 12,2,2 , 2,1,0 , 1,2,0 , 2,2,0 , 2,0,2 , 2,0,0 , 0,2,0B E F B A A C ，  1 0,2,2C ，则    11,1,0 , 0,1,2EF EB     ，    12,2,0 , 2,0,2DB DA    ，      1 1 10,0,2 , 2,2,0 , 2,2,0 ,AA AC AC        设平面 1B EF的法向量为  1 1 1, ,m x y z  ， 则有 1 1 1 1 1 0 2 0 m EF x y m EB y z              ，可取  2,2, 1m    ， 同理可得平面 1ABD的法向量为  1 1, 1, 1n     ， 平面 1A AC的法向量为  2 1,1,0n   ， 平面 1 1AC D的法向量为  3 1,1, 1n    ， 则 1 2 2 1 1 0m n        ， 所以平面 1B EF 与平面 1ABD不垂直，故 B 错误；因为m  与 2n uur 不平行，所以平面 1B EF 与平面 1A AC不平行，故 C 错误；因 为m  与 3n  不平行，所以平面 1B EF与平面 1 1AC D不平行，故 D 错误， 选项 BCD 解法二： 对于选项 B，如图所示，设 1 1A B B E M ， EF BD N ，则MN为平面 1B EF 与平面 1ABD的交线， 在 BMN 内，作 BP MN 于点 P，在 EMN 内，作GP MN ， 交 EN于点G，连结 BG， 则 BPG 或其补角为平面 1B EF 与平面 1ABD所成二面角的 平面角， 由勾股定理可知： 2 2 2PB PN BN  ， 2 2 2PG PN GN  ， 底面正方形 ABCD中， ,E F 为中点，则 EF BD ， 由勾股定理可得 2 2 2NB NG BG  ， 从而有：    2 2 2 2 2 2 2NB NG PB PN PG PN BG      ， 据此可得 2 2 2PB PG BG  ，即 90BPG  ， 据此可得平面 1B EF 平面 1ABD不成立， 选项 B 错误； 对于选项 C，取 1 1AB 的中点H，则 1AH B E ， 由于 AH 与平面 1A AC相交，故平面 1 ∥B EF 平面 1A AC不成立，选项 C 错误； 对于选项 D，取 AD的中点M ，很明显四 边形 1 1A B FM 为平行四边形，则 1 1AM B F 由于 1AM 与平面 1 1AC D相交，故平面 1 ∥B EF 平面 1 1AC D不成 立，选项 D 错误； 7【答案】C 【详解】由题意知这三个向量 1 2 3, ,OP OP OP    共面，即这三个 向量不能构成空间的一个基底，对 A，由空间直角坐标系易 知  0,0,0 , (1,0,0), (0,0,1)三个向量共面，则当  1,0,0 , (1,0,0) Ω  无法推出 (0,0,1) Ω ，故 A 错误； 对 B，由空间直角坐标系易知  1,0,0 , (1,0,0), (0,0,1) 三个向 量共面，则当  0,0,0 , (1,0,0) Ω 无法推出 (0,0,1) Ω ，故 B 错误；对 C， 由空间直角坐标系易知      1,0,0 , 0,0,1 , 0,1,0 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由    1,0,0 , 0,1,0 Ω 能推出  0,0,1 Ω ，对 D，由空间直角坐 标系易知      1,0,0 , 0,0,1 , 0,0, 1 三个向量共面，则当  0,0, 1 (1,0,0) Ω  无法推出 (0,0,1) Ω ，故 D 错误. 8【答案】C 【详解】以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系，则 1 1(0,0,0), (1,0,0), (1,1, 3), (0,0, 3)D A B D ,所以 1 1( 1,0, 3), (1,1, 3)AD DB     , 因为 1 1 1 1 1 1 1 3 5cos , 52 5 AD DBAD DB AD DB             ，所以异面直 线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 5 5 ，选 C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一， 破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐 标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 9【答案】BD 【详解】对于A，因为 , ,a b c  是空间的一组基底，所以 a ,b  ,c为不共线的非零向量，故选项A错误;对于B，因为 / /a b  ,所以 a与b  共线，故 a ,b  与任何向量都不能构成空间 的一个基底，故选项B正确;对于C，当 , ,a b c   为空间的一 组基底时，对于空间任一向量 p  ，则存在唯一的有序实数组  , ,x y z ，使得 p xa yb zc      ，故选项C错误;对于D，若 a ,b  都是单位向量，则模长都为1，故 a b  ，故选项D正 确. 10【答案】ABD 【详解】对于 A 中，若 , ,x y z不全为 0，则 , ,a b c    共面，与题 意矛盾，所以 A 正确；对于 B 中，由空间中任意两个向量 是共面的，可得 , ,a b c    两两共面，又由 , ,a b c    是空间的一个 基底，可得 , ,a b c    不共面，所以 B 正确；对于 C 中，因为 , ,a b c    不共面，则不存在实数 ,x y，使得 a xb yc     ，所以 C 错误； 对于 D 中，若a b   ，b c   ， 2c a   共面， 则存在实数 ,k  ，使得 ( ) ( )2a b k b c c a        ，可得 1 2 1 0 k k         ，方程组组无解，所以 a b   ，b c   ， 2c a   不共 面，所以 D 正确. 11【答案】BD 【详解】 易知，点 P在矩形 1 1BCC B 内部（含边界） 对于 A，当 1  时， 1 1=BP BC BB BC CC         ，即此时 P线段 1CC ， 1AB P△ 周长不是定值， 故 A 错误； 对于 B，当 1  时， 1 1 1 1=BP BC BB BB BC         ，故此时 71 P点轨迹为线段 1 1BC ，而 1 1//BC BC， 1 1//BC 平面 1A BC，则 有 P到平面 1A BC的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确． 对于 C，当 1 2   时， 1 1 2 BP BC BB     ，取 BC， 1 1BC 中点 分别为Q，H，则BP BQ QH     ，所以 P点轨迹为线段QH ， 不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图， 1 3 ,0,1 2 A        ，  0,0P , ， 10, ,0 2 B      ，则 1 3 ,0, 1 2 AP            ， 10, , 2 BP        ，  1 1 0A P BP        ，所以 0  或 1  ．故 ,H Q均满足，故 C 错误； 对于 D，当 1 2   时， 1 1 2 BP BC BB     ，取 1BB ， 1CC 中点 为 ,M N．BP BM MN     ，所以 P点轨迹为线段MN．设 0 10, , 2 P y     ，因为 3 0,0 2 A        ， ，所以 0 3 1, , 2 2 AP y          ， 1 3 1, , 1 2 2 AB           ，所以 0 0 3 1 1 10 4 2 2 2 y y      ，此时 P与 N重合，故 D 正确． 12【答案】 3  【详解】构建以D为原点， , ,DA DC DD    为 x、y、z轴正 方向的空间直角坐标系，若正方体的棱长为 2，则 (2,0,0)A ， (0, 2,0)C ， (0,0,2)D ， (2,2,1)M ， (1,2,2)N ， ( 1,0,1)MN    ， (0, 2,2)CD    ，又 MN和CD所成角 范围为[0, ] 2  ，∴ 2 1|cos , | | | 2| || | 2 8 MN CDMNCD MN CD            ， 故 MN和CD所成角为 3  . 13【答案】 2 【详解 (0,0,1 )c a x        2 (0,0,1 ) (2,4,2) 2 2 2c a b x x           ，解得 2x  14【答案】 21 7 【详解】以点 C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所 示，则      1 1 3 1, ,0 , 0,1,0 , 0,1,1 , 0,0,1 2 2 A B B C        ， 所以 1 3 1, , 1 2 2 C A          ，  1 0,1, 1C B    ，  1 1 0,1,0C B   ， 设平面 ABC1的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 1 1 0 0 n C A n C B         ，即 3 1 0 2 2 0 x y z y z         ，令 1x  ，则 3y z  ，故 (1, 3, 3)n   ， 所以点 B1到平面 ABC1的距离为 1 1 3 21 71 3 3 C B n n         . 故答案为： 21 7 . 15【答案】 （1）解：  1 0 5b c    ，， ，        1 2 4 1 0 5 0 2 1a b c           ， ， ，， ， ， ； （2）解：        4 2 4 816 1 0 3 0 0 4 3 817a b c          ， ， ，， ，， ， ， ． 16．【答案】 （1）解：因为  4,0,4A  ，  2,2,4B  ，所以  2,2,0a AB    , 所以 2 2 22 2 0 2 2a      ； 因为  2,2,4B  ，  3,2,3C  ，所以  1,0, 1b BC    r uuur ， 所以    2 221 0 1 2b       r ； （2）解：由（1）可知    2 1 2 0 0 1 1cos 22 , 2 2 a ba b a b                      ， 又  0, ,a b     ，所以 2, 3 a b      ，即 a  与b  的夹角为 2 3  . （3）解：由（1）可知  2 1,2 , 1ka b k k      ，  2 2 ,22 ,2kka kb     ，又向量 ka b   与 2ka b   互相垂直， 所以    2 0kaka bb      ，所以    2 1,2 , 1 2 2,2 ,2 0k k k k     ， 即    22 1 2 2 4 2 0k k k     ，解得 1 33 8 k   . 17．【答案】 （1）以D为原点， 1, ,DA DC DD所在直线分别为 x轴，y轴， z轴，建立直角坐标系， 则：          1 1,0,0 , ,2 ,0 , 0,2 ,0 , ,0, , 0,0,A a B a a C a A a a D a ∵ , , ,E P M N分别是 1 1 1, , ,BC AD AE CD 的中点 ∴ 3, 2 ,0 , ,0, , , , 0 , 0, , , 2 2 4 2 a a a aE a P a M a N a                       3 ,0, 4 2 aMN a       ,取  0,1,0n  ，显然 n  面 1 1ADD A 0MN n    ，∴MN n   , 又MN  面 1 1ADD A ∴ / /MN 面 1 1ADD A （2）过 P作 PH AE ，交 AE于H，取 AD的中点 F ，则 , 0,0 2 aF      ,设  , ,0H x y ，则 , , , , ,0 2 2 a aHP x y a HF x y                  又 , 2 ,0 2 aAE a       由 0HP AE    ，及H在直线 AE上，可得: 2 2 0 4 2 4 4 a a x ay x y a          解得 33 34 x a ， 2 17 y a ∴ 8 2 8 2, , , , , 0 17 17 17 17 a a a aHP a HF                  ∴ 0HF AE    即HF AE   ∴HP  与HF  所夹的角等于二面角 P AE D  的大小. 2 2 21cos , 2121 HP HFHP HF HP HF              ，故二面角 P AE D  的大小为 2 21arccos 21 . 72 18【答案】 （1）以C为坐标原点， 1, ,CD CB CC 所 在直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标 系，如图，则 2 2 2 2 (0,0,0), (0,0,3), (0, 2, 2), (2,0, 2), (2, 2,1) C C B D A ， 2 2 2 2(0, 2,1), (0, 2,1)B C A D       ， 2 2 2 2B C A D   ∥ ， 又 2 2 2 2B C A D， 不在同一条直线上， 2 2 2 2B C A D ∥ . （2）设 (0,2, )(0 4)P    ， 则 2 2 2 2 2( 2, 2, 2) (0, 2,3 ), =( 2,0,1),A C PC D C            ， 设平面 2 2PA C 的法向量 ( , , )n x y z  ， 则 2 2 2 2 2 2 0 2 (3 ) 0 n A C x y z n PC y z                 ，令 2z  ，得 3 , 1y x     ， ( 1,3 , 2)n       ， 设平面 2 2 2A C D 的法向量 ( , , )m a b c  ， 则 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 m A C a b c m D C a c                ，令 1a  ，得 1, 2 b c ， (1,1, 2)m   ， 2 2 6 3cos , cos150 26 4 ( 1) (3 ) n m n m n m                    ， 化简可得， 2 4 3 0    ，解得 1  或 3  ， (0,2,1)P 或 (0,2,3)P ， 2 1B P  . 19【答案】 （1）由 2 18, 5 3, , 5 2 AB AD AE AD AF AB        ， 得 2 3, 4AE AF  ，又 30BAD   ，在 AEF△ 中， 由余弦定理得 2 2 32 cos 16 12 2 4 2 3 2 2 EF AE AF AE AF BAD            , 所以 2 2 2AE EF AF  ，则 AE EF ，即 EF AD ， 所以 ,EF PE EF DE  ，又 ,PE DE E PE DE  、 平面 PDE， 所以 EF 平面 PDE，又 PD 平面 PDE，故 EF  PD； （2）连接CE，由 90 , 3 3, 3ADC ED CD    ，则 2 2 2 36CE ED CD   ， 在 PEC 中， 4 3, 2 3, 6PC PE EC   ，得 2 2 2EC PE PC  ， 所以 PE EC ，由（1）知 PE EF ，又 ,EC EF E EC EF  、 平面 ABCD， 所以 PE 平面 ABCD，又 ED 平面 ABCD， 所以 PE ED ，则 , ,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角 坐标系 E xyz ， 则 (0,0,0), (0,0, 2 3), (0,3 3,0), (3,3 3,0), (2,0,0), (0, 2 3,0)E P D C F A  ， 由 F是 AB的中点，得 (4, 2 3,0)B ，所以 (3,3 3, 2 3), (0,3 3, 2 3), (4,2 3, 2 3), (2,0, 2 3)PC PD PB PF            ， 设平面 PCD和平面 PBF的一个法向量分别为 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )n x y z m x y z    ， 则 1 1 1 1 1 3 3 3 2 3 0 3 3 2 3 0 n PC x y z n PD y z              ， 2 2 2 2 2 4 2 3 2 3 0 2 2 3 0 m PB x y z m PF x z              ， 令 1 22, 3y x  ，得 1 1 2 20, 3, 1, 1x z y z     ， 所以 (0, 2,3), ( 3, 1,1)n m     ， 所以 1 65cos , 655 13 m n m n m n            ， 设平面 PCD和平面 PBF所成角为 ，则 2 8 65sin 1 cos 65     ， 即平面 PCD和平面 PBF所成角的正弦值为 8 65 65 .