1.1空间向量及其运算 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算同步练习卷 一、选择题(共8题；共40分) 1．式子 化简结果是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于空间向量的说法中错误的是（　　） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 3．在正方体 中，下列各式的运算结果为向量 的是（　　） ① ；② ；③ ；④ ． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．如图在平行六面体中，相交于，为的中点，设，，，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（　　） A． B． C． D． 6．如图，空间四边形中，，，.点在上，且，为的中点，则（　　） A． B． C． D． 7．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 8．如图，在一个的二面角的棱上有两个点，，，在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题(共3题；共18分) 9．设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（　　） A． B． C． D．1 10．给出下列命题，其中正确的命题是（　　） A．若空间向量，满足，则 B．空间任意两个单位向量必相等 C．在正方体中，必有 D．向量的模为 11．下列命题正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行 B．是向量的必要不充分条件 C．向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 D．空间中任意两个向量，，则一定成立 三、填空题(共3题；共15分) 12．已知，，，则　 　. 13．在棱长为a的正方体 中，向量 与向量 所成的角为　 　. 14．点，，，若的夹角为锐角，则的取值范围为　 　． 四、解答题(共5题；共77分) 15．已知 （1）若(k+)∥(−3) ，求实数 k 的值； （2）若 ，求实数 的值． 16．已知，. （1）求； （2）求､的值使得与z轴垂直，且. 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，Q为的中点. （1）用，，表示； （2）若底面是正方形，且，，求. 18．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，； （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度． 19．如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 ， ， 表示 和 . 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】 . 故答案为：B. 【分析】根据向量加法的运算律以及向量加法的三角形法则可得结果. 2．【答案】C 【解析】【解答】由已知， A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确； B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确； C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误； D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 故答案为：C. 【分析】根据零向量的性质可判断A、C；根据共面向量的定义可判断B；根据相等向量的定义可判断D. 3．【答案】C 【解析】【解答】 ，①错； ，②错； ，③对； ，④对． 故答案为：C． 【分析】结合正方体的几何性质以及向量的加减运算法则对选项逐一判断即可得出 ③④ 正确由此得出答案。 4．【答案】C 【解析】【解答】由已知得，， 故答案为：C 【分析】根据向量的运算法则，结合，即可求解. 5．【答案】A 【解析】【解答】连接， 因为为棱的中点，，， 所以， 所以， 故答案为：A 【分析】根据空间向量的线性运算法则，得到，利用，即可求解. 6．【答案】B 【解析】【解答】. 故答案为：B. 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：因为 ， 即， 可得，即，解得， 则，且， 所以，即 与的夹角大小为120° . 故答案为：C. 【分析】根据题意可得，结合数量积的运算律求得，代入夹角公式运算求解即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：， 故答案为：A. 【分析】根据，再利用向量模长公式求 的长. 9．【答案】A,B 【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 所以 . 又因为 ， ， 因为 为钝角，所以 ， 即 ， 解得 . 故答案为：AB 【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案. 10．【答案】C,D 【解析】【解答】对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.故A错误， 对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误， 对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确 对于D，向量的模为，故D正确， 故答案为：C、D 【分析】根据空间向量相等向量定义，判断A错误、C正确，根据单位向量定义判定B错误，利用空间向量模长公式计算，判断D正确. 11．【答案】A,B 【解析】【解答】A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确； B选项：向量是即有方向又有大小的量，若，与反向，不一定成立，若，则，B选项正确； C选项：向量与向量是共线向量，则与方向相同或相反，点，，，可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，C选项错误； D选项：由，，，所以与不一定相等，D选项错误； 故答案为：AB. 【分析】根据空间向量的相关概念，逐一进行判断即可。 12．【答案】2 【解析】【解答】解：向量，则， 由，可得， 即，解得. 故答案为：2. 【分析】根据向量模的坐标表示求，再根据求解即可. 13．【答案】120° 【解析】【解答】如下图所示，以点A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系 ， 则 、 、 、 ， ， ， ， ，则 . 因此，向量 与向量 所成的角为 120° . 故答案为： 120° . 【分析】以点A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得向量 与向量 所成的角. 14．【答案】 【解析】【解答】解：，， 若的夹角为锐角 ，则，且， 解之得的取值范围为， 故答案为： . 【分析】先由点A，B，C的坐标求得空间向量AB和AC的坐标，又 的夹角为锐角， 则由夹角公式求得的夹角的余弦大于0且不等于1，由此可解得的取值范围 15．【答案】（1）解：∵ ， ∴ ， 又 ， ， 解得 ． （2）解：∵ ，∴ ， 即 ，解得 【解析】【分析】首先直接利用坐标向量的相加减得到向量的坐标表示； （1）坐标向量的共线关键是要找到唯一的一个实数； （2）中根据坐标向量的垂直等价于向量的数量积为0得到答案. 16．【答案】（1）解：因为，， 所以. （2）解：取轴上的单位向量，， 依题意， 即， 故，解得，. 【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，求解即可； （2） 取轴上的单位向量，，由题意，列出关于λ，μ的方程组，求解即可． 17．【答案】（1）解： （2）解： ， 所以 【解析】【分析】（1）根据空间向量基本定理结合空间向量的线性运算即可得解； （2），再根据向量数量积的运算律计算即可得解. 18．【答案】（1）解：因为为中点，为中点，，，， 所以 ； （2）解：因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且， 所以，，， 所以 所以，即线段PM长为 【解析】【分析】 (1) 根据题意结合空间向量的线性运算求解； (1) 根据空间向量的数量积的定义以及运算性质求解.​​​​​​ 19．【答案】解： ； 【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则可知：==；根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+）；而根据向量加法的三角形法则可知：=+=+. 学科网（北京）股份有限公司 $