专题11 锐角三角比（真题2个考点+模拟7个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（上海专用）

专题11 锐角三角比（真题2个考点+模拟7个考点） 一．解直角三角形（共2小题） 1．（2020•上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　． 【分析】如图，过点作于．首先证明是等边三角形，解直角三角形求出即可． 【解答】解：如图，过点作于． ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 到直线的距离为， 故答案为． 【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（2021•上海）如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 【分析】（1）解锐角三角函数可得解； （2）解法一：连接，过作的垂线，垂足为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，由勾股定理可得，，即可求． 解法二：直接用三角形中位线定理求解即可． 【解答】解：（1），，， ， 在中，由勾股定理得， ， 即的长为6； （2）如图， 连接，过点作的垂线，垂足， 为边上的中线， 即为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 三角形为等腰三角形，， ， 在中，， ． 解法二：为边上的中线， 是中点， ，， ， 是△的中位线， ，， 在△中，． 【点评】本题考查解直角三角形，解本题关键根据题意作辅助线，熟练掌握解锐角三角函数和勾股定理等基本知识点． 二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 3．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．（用含，，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度． 【分析】（1）根据题意可得米，米，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）根据题意得：米，米，，然后证明字模型相似三角形，从而可得，再证明字模型相似三角形，从而可得，进而可得，最后求出的长，从而求出的长． 【解答】解：（1）如图： 由题意得： 米，米，，， 在中，（米， 米， 灯杆的高度为米； （2）由题意得： 米，米，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 米， ， 米， 灯杆的高度为3.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 一．锐角三角函数的定义（共1小题） 1．（2024•静安区校级模拟）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 　余弦值　相等．（填锐角三角比名称） 【分析】根据直角三角形的性质得到与互余，再根据正弦呵呵余弦的定义解答即可． 【解答】解：在中，， 则，即与互余， ，， ， 一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的余弦值相等， 故答案为：余弦值． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、余角和补角，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 二．特殊角的三角函数值（共1小题） 2．（2024•崇明区模拟）已知为锐角，若，则的度数为　或　． 【分析】先求出的值，在确定的度数． 【解答】解：原方程可化为：， 则或 为锐角， 或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值． 三．解直角三角形（共5小题） 3．（2024•杨浦区二模）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，如果，那么　　． 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可知，根据勾股定理求出的值，即可求解． 【解答】解：连接， ， 设，则，， 的垂直平分线交边于点， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，正确记忆相关知识点是解题关键． 4．（2024•静安区校级三模）如图，已知与相交于、两点，圆心、在公共弦的两侧，，，那么的长是　　． 【分析】过点作于，由锐角三角函数和勾股定理可求，可求，即可求解． 【解答】解：如图，过点作于， 与相交于、两点， 垂直平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为． 【点评】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 5．（2024•奉贤区三模）在中，，是边上的高，且，则的度数是　或　． 【分析】是等腰三角形，作出底边上的高，根据三角函数求角的度数． 【解答】解：中，，是边上的高，且， ， 或． 当时， ； 时， ． 【点评】解答此题的关键是要注意为锐角和钝角两种情况，不要漏解． 6．（2024•普陀区二模）如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 【分析】（1）利用外角定理，结合等角对等边即可解决问题． （2）过点作的垂线构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1）， ， 又， ． 又， ， ． ，， ． （2）过点作的垂线，垂足为， ， ， ． 在中， ， ． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形是解题的关键． 7．（2024•浦东新区二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． （1）求的长； （2）如果点是边的中点，联结，求的值． 【分析】（1）设，，可用表示出，再利用勾股定理即可解决问题． （2）过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：（1），且是边上的高， 则设，， 在中， ． ， ， 则． 在中， ， 解得（舍负）， ． （2）过点作的垂线，垂足为， ，点为中点， ． 在中， ， ， ， 则， ． 则． 在中， ． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知余切的定义及构造出合适的直角三角形是解题的关键． 四．解直角三角形的应用（共7小题） 8．（2024•浦东新区模拟）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图． （1）求点转动到点的路径长； （2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，， 【分析】（1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点转动到点的路径长为； （2）过作于，过作于，中，求出，中，，故，即点到直线的距离为， 【解答】解：，， ， ， ， ， 点转动到点的路径长为； （2）过作于，过作于，如图： 中，， 中，， ， ， 点到直线的距离约为， 答：点到直线的距离约为． 【点评】本题考查圆的弧长及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握弧长公式，熟练运用三角函数解直角三角形． 9．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案． 【解答】解：， 在中，， ， 在中， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键． 10．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】在中，利用锐角三角函数的的定义求出，的长，即可解答． 【解答】解：，，， ，， 由题意得： ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的的定义是解题的关键． 11．（2024春•宝山区期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点修一条笔直的小路（点在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【分析】过点作交的延长线于点，得出四边形是矩形，，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可判断①错误；如图，根据题意得平分梯形的面积，得出，再结合点是中点，得出，故点作交于点，则四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理算出，即可判断②错误； 【解答】解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， ，故①错误； 如图，根据题意得平分梯形的面积， ， 点是中点， ， ， ， 故点作交于点， 则四边形是矩形， ，， 在中，，故②错误； 故选：． 【点评】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 12．（2024•浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：， 【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）当，且时，设交于点，根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，比较即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 在中，， ， ，， ， ， 此时点到地面的距离约为； （2）一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口， 理由：如图：当，且时，设交于点， 由题意得：，， ， 在中，， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为的货车可顺利通过入口． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2024•杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为．（参考数据：， （1）点到平面镜的距离是 　40　厘米． （2）移动挡板，使空隙的长度是20厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． （3）在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是 　　厘米． 【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据等腰三角形三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解； （2）作于，使得，得出 是等腰直角三角形，进而即可求解； （3）作关于的对称点，连接，并延长交，分别为，，得出△△，△△，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：（1）如图1所示，作于点，且， ， ， ， ， 故答案为：40； （2）如图2所示，作于，使得， 同理可得， ，， 是等腰直角三角形， ， 则入射角为； （3）如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为，， ，， ， △△，△△， ，． ，， ， 故答案为：35． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的 性质是解题的关键． 14．（2024•崇明区二模）某工程队购进几台新型挖掘机（如图，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为4.8米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点、、、在一直线上）．（参考数据：， （1）当挖掘机在处时，能否挖到距水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 【分析】（1）过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石， 理由：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 在中，米， （米， （米， 在中，（米， （米， 米米， 当挖掘机在处时，能挖到距水平正前方6米远的土石； （2）设工程队原计划每天挖米，则实际开工后每天挖米， 由题意得：， 解得：或， 经检验：或是原方程的根， ， ， 工程队原计划每天挖80米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题） 15．（2024•徐汇区二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是 　50　米． 【分析】设上升的高度为米，根据坡比和勾股定理列方程即可求解． 【解答】解：设上升的高度为米，坡比， 根据题意得， 解得， 故答案为：50． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的定义． 16．（2024•徐汇区三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 　米　（用的锐角三角比表示）． 【分析】设斜坡的高为米，根据正弦的定义用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：设斜坡的高为米， 在中，， ， 米， 由题意得：， 解得：， 故答案为：米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．（2024•宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图，图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点、之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度的长．（结果精确到0.1米） 参考数据：，，；，，；，，． 【分析】过点作于点，于点，根据正切的定义求出，进而求出，根据正切的定义分别求出、，计算即可． 【解答】解：如图，过点作于点，于点， 则四边形为矩形， ， 在中，米，， ， （米， （米， 在中，米，， ， （米， 在中，米，， ， （米， 则（米， 答：的长约为3.8米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 18．（2024•虹口区二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【分析】任务一：根据勾股定理可得的值，进而根据坡比等于坡角的正切值计算后整理成的形式即可； 任务二：作于点，延长交于点，作于点．根据任务一中得到坡角所在的三角形的三边关系，分别求出，，，，即可求得的值．易得，那么，根据四边形是矩形，可得． 【解答】解：任务一． 由题意得：． ． 米，米， （米． 斜坡的坡比． 答：斜坡的坡比为； 任务二．作于点，延长交于点，作于点． ． 由题意得：， ． 由任务一得：． 由题意得：， ． ． ． ． ． 解得：． 同理：． ． 解得：． ， ． 由题意得：， ． ． ． ． ． 解得：． ，． 由题意得：，四边形是矩形， ， ，． ． ， ． ． ． ． ． 答：小张距大巴车尾的距离为． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．合理利用坡角所在的三角形的三边关系是解决本题的关键．用到的知识点为：坡度等于坡角的正切值，一般写成的形式． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题） 19．（2024•青浦区二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与楼的水平距离为米，那么这栋楼的高度为 　　米．（用含、、的式子表示） 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米， 在中，， （米， 在中，， （米， 米， 这栋楼的高度为米 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2024•浦东新区二模）如图，小丽在大楼窗口处测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米，那么旗杆底部与大楼的距离　　米（用和的式子表示）． 【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：，，， ， 在中，米， （米， 旗杆底部与大楼的距离为米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．（2024•长宁区三模）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长组员：，， 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内．点，，在同一条直线上，点在上 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：两次测量，，之间的距离的平均值是 　5.5　． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，， 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？ 【分析】任务一：根据两次测量结果直接求平均值就可以得到答案； 任务二：设 ，解直角三角形即可得到结论； 任务三：根据题意得到没有太阳光，或旗杆底部不可能达到相等（答案不唯一）． 【解答】解：任务一：两次测量，，之间的距离的平均值是． 故答案为：5.5； 任务二：设 ， 在中，，， ， ． 在中，，， ， ． ，， ， ， （米， 即旗杆的高度约为14.7米． 任务三：原因可能是没有太阳光，或旗杆底部不可能达到． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．（2024•金山区二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计） 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼高度，分别在教学楼的楼顶（点和楼底地面（点分别测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点、，先量得的长度，再分别在点、测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度． 测量并通过计算得：米，，，，． （1）教学楼的高度为 　30　米； （2）请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦的高度（精确到1米）． 【分析】（1）设教学楼的高度为米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点作，垂足为点，根据矩形的性质得到，（米解直角三角形得到上海中心大厦的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）设教学楼的高度为米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼的高度为30米， 故答案为：30； （2）方案1，设米，过点作，垂足为点， ， 四边形是矩形， ，（米 在中，，， 在中，，， ， 解得：， 上海中心大厦的高度为632米； 方案2，设米， 在中，，， 在中，，， ， 解得， 上海中心大厦的高度为632米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 23．（2024•普陀区校级三模）在城市地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进． 请问：城市是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据： 【分析】过点作于点，过点作于点，风从点位置沿北偏东方向移动3小时到达点，求出，在中，，，，在中，，求，在射线上时最短的距离，，，，在中，，在中，，在中，，求出，在中，，求出，比较即可． 【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， 风从点位置沿北偏东方向移动3小时到达点， 则（千米）， ， 在中， ，， （千米）， 在中， ， ， 台风中心在射线上运动时，不是台风影响区域， 在射线上时最短的距离， ， ， ， ， 千米，（千米）， ， 在中， （千米）， 在中， ， 在中， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， ， 城市不受台风的影响． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是画图，作辅助线． 24．（2024•嘉定区二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距60千米，有一艘船在这两个码头附近航行． （1）当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图1，求码头与船的距离的长），其结果保留3位有效数字； （参考数据：，，， （2）当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即，如图2，求的长，其结果保留根号． 【分析】（1）根据题意得：千米，由，得到，由，得到，求得；根据三角函数的定义即可得到结论． （2）根据题意得到千米，由，得到由，得到，求得，过点作，垂足为，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）根据题意得：千米， ， ， ， ， ， ； 在中，， ， （千米）， 千米； 答：码头与船的距离为49.2千米． （2）根据题意得：千米， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为， 在中，（千米），（千米）， 在中， （千米）， 千米， 答：船到海岸线的距离为千米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 锐角三角比（真题2个考点+模拟7个考点） 一．解直角三角形（共2小题） 1．（2020•上海）如图，在中，，，，点在边上，，连接．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　． 2．（2021•上海）如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的值． 二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题） 3．（2022•上海）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长． （1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为，求灯杆的高度．（用含，，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为2米的木杆放在灯杆前，测得其影长为1米，再将木杆沿着方向移动1.8米至的位置，此时测得其影长为3米，求灯杆的高度． 一．锐角三角函数的定义（共1小题） 1．（2024•静安区校级模拟）一个锐角的余角的正弦值与这个锐角的 　　相等．（填锐角三角比名称） 二．特殊角的三角函数值（共1小题） 2．（2024•崇明区模拟）已知为锐角，若，则的度数为　 　． 三．解直角三角形（共5小题） 3．（2024•杨浦区二模）如图，在中，，的垂直平分线交边于点，如果，那么　　． 4．（2024•静安区校级三模）如图，已知与相交于、两点，圆心、在公共弦的两侧，，，那么的长是　　． 5．（2024•奉贤区三模）在中，，是边上的高，且，则的度数是　 　． 6．（2024•普陀区二模）如图，在中，，点在边上，，． （1）求的长； （2）求的值． 7．（2024•浦东新区二模）如图，在中，是边上的高．已知，，． （1）求的长； （2）如果点是边的中点，联结，求的值． 四．解直角三角形的应用（共7小题） 8．（2024•浦东新区模拟）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图． （1）求点转动到点的路径长； （2）求点到直线的距离（结果精确到．（参考数据：，，，，， 9．（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为　　 A． B． C． D． 10．（2024•浦东新区模拟）图1是2002年世界数学大会的会徽，其主体图案（如图是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若，，则的长为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•宝山区期末）如图，已知梯形是某菜园的一块空地，，，米，，某同学由上述条件得到以下两个结论： ①对角线将梯形分成的两个三角形的面积之比； ②现准备过的中点修一条笔直的小路（点在边上，小路面积忽略不计），将这块空地分成面积相等的两部分，分别种植不同的蔬菜，那么小路的长是米． 对于结论①和②，下列说法正确的是　　 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 12．（2024•浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时、、在一条直线上．已知闸机高度为，，，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：， 13．（2024•杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计）．已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为．（参考数据：， （1）点到平面镜的距离是 　　厘米． （2）移动挡板，使空隙的长度是20厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． （3）在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是 　　厘米． 14．（2024•崇明区二模）某工程队购进几台新型挖掘机（如图，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：是基座（基座高度忽略不计），是主臂，是伸展臂，若主臂长为4.8米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：，当主臂伸展角最小，伸展臂伸展角最大时，伸展臂恰好能接触水平地面（点、、、在一直线上）．（参考数据：， （1）当挖掘机在处时，能否挖到距水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题） 15．（2024•徐汇区二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是 　　米． 16．（2024•徐汇区三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 　　（用的锐角三角比表示）． 17．（2024•宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图，图2是它的侧面示意图，遮阳篷长米，与水平面的夹角为，靠墙端离地高度米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角，夏至正午太阳光照入射角，因此，点、之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度的长．（结果精确到0.1米） 参考数据：，，；，，；，，． 18．（2024•虹口区二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为3.5米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为6.5米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共4小题） 19．（2024•青浦区二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球处与楼的水平距离为米，那么这栋楼的高度为 　　米．（用含、、的式子表示） 20．（2024•浦东新区二模）如图，小丽在大楼窗口处测得校园内旗杆底部的俯角为度，窗口离地面高度（米，那么旗杆底部与大楼的距离　　米（用和的式子表示）． 21．（2024•长宁区三模）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测最仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量旗杆的高度 成员 组长组员：，， 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度，测点，与在同一条水平直线上，，之间的距离可以直接测得，且点，，，，，都在同一竖直平面内．点，，在同一条直线上，点在上 测量项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 的度数 的度数 ，之间的距离 任务一：两次测量，，之间的距离的平均值是 　　． 任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度． （参考数据：，，，，， 任务三：该“综合与实践”小组在制订方案时，讨论过利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳．你认为其原因可能是什么？ 22．（2024•金山区二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计） 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼高度，分别在教学楼的楼顶（点和楼底地面（点分别测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点、，先量得的长度，再分别在点、测得上海中心大厦的楼顶（点的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度． 测量并通过计算得：米，，，，． （1）教学楼的高度为 　　米； （2）请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦的高度（精确到1米）． 七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 23．（2024•普陀区校级三模）在城市地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进． 请问：城市是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据： 24．（2024•嘉定区二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距60千米，有一艘船在这两个码头附近航行． （1）当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图1，求码头与船的距离的长），其结果保留3位有效数字； （参考数据：，，， （2）当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即，如图2，求的长，其结果保留根号． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$