专题10 相似三角形（真题5个考点+模拟9个考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（上海专用）

专题10 相似三角形（真题5个考点+模拟9个考点） 一．*平面向量（共5小题） 1．（2024•上海）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，设，若，则　　（结果用含，的式子表示）． 【分析】由得出，再根据平面向量三角形运算法则求出，再由平行四边形的性质即可得出结果． 【解答】解：，， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键． 2．（2023•上海）如图，在中，点，在边，上，，，联结，设向量，，那么用，表示　　． 【分析】由三角形法则求得的值；然后结合平行线截线段成比例求得线段的长度，继而求得向量的值． 【解答】解：在中，，，则． ，， ． ． ，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量和平行线截线段成比例．注意：平面向量既有大小又有方向． 3．（2022•上海）如图所示，在中，，交于点，，，则　　． 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【解答】解：因为四边形为平行四边形， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平面向量的有关知识是解题的关键． 4．（2021•上海）如图，在平行四边形中，已知，，为中点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据相等向量的几何意义和三角形法则解答． 【解答】解：，为中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型． 5．（2020•上海）如图，、是平行四边形的对角线，设，，那么向量用向量、表示为　　． 【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二．平行线分线段成比例（共1小题） 6．（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则　　． 【分析】过作于，过作于，由四边形是矩形，可得，，根据，可得，，即可得到． 【解答】解：过作于，过作于，如图： ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定与性质，掌握同（等底三角形面积比等于高之比，同（等高的三角形面积比等于底之比是解题的关键． 三．相似三角形的判定与性质（共5小题） 7．（2022•上海）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　或　． 【分析】利用平行线截线段成比例解答． 【解答】解：为中点， ． 当时，，则； 当与不平行时，， 在三角形中，，， ，． 是等边三角形，． ，． ． ． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 8．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，，进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【解答】证明：（1）矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，交于点， 矩形， ， ， ， ， ， ， ， 矩形， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键． 9．（2023•上海）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【分析】（1）证明，即可解决问题； （2）证明，得，结合（1），即可解决问题． 【解答】证明：（1）， ，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键． 10．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，． 求证：（1）； （2）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用全等三角形的性质，结合题意证明，，根据相似三角形的性质即可得解． 【解答】证明：（1）， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论． （2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 四．相似三角形的应用（共1小题） 12．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　7　米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， （米， 故答案为：7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 五．相似形综合题（共1小题） 13．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点． （1）当点在上， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，，求的长． 【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，由直角三角形的性质得出，根据相似三角形的判定定理可得出结论； ②得出．过点作于点，设，则，则可得出答案； （2）①如图3，当点在上时，证明四边形是矩形．设，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案； ②如图4，当点在上时，设，则，设，由相似三角形的性质得出，证明，得出比例线段，可得出方程，解方程可得出答案． 【解答】（1）①证明：如图1， ， ． ， ． 是斜边上的中线， ， ， ， ； ②解：如图2，若， 在中，， ． 过点作于点， 设，则， 在中，， ， ， ； （2）①如图3，当点在上时， ， ，， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 设， ， ， ， ， 在和中，，， ， 解得，或（舍去）． ． ②如图4，当点在上时，设，则， 设， ， ， ， ， ， ． 又，， ， ， ， ， ， 将代入， 整理得，， 解得，或（舍去）． ． 综合以上可得的长为或． 【点评】本题是相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 一．三角形的重心（共8小题） 1．（2024•青浦区二模）如图，在中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 【分析】连接，由三角形重心的性质推出，得到，由三角形中位线定理得到，因此，由平面向量的运算法则得到，于是得到． 【解答】解：连接， 、是的中线， 是的重心， ， ， 是的中位线， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，三角形中位线定理，关键是掌握平面向量的运算法则． 2．（2024•宝山区校级模拟）如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，那么向量　　（用含的式子表示） 【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可． 【解答】解：是的中线，且， ， ． 又， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心及平面向量，熟知平面向量的运算法则是解题的关键． 3．（2024•闵行区三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的重心，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点在直线的上方），为的重心，设、两点的距离为，那么在点运动过程中的取值范围是 　　． 【分析】分别求出的最小值和最大值，即可得到的取值范围． 【解答】解：当与重合时，与重合，此时最小为0， 当与重合时，最大，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，过作于，如图： 为等腰直角三角形的重心， 为中点， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ，， 是为等腰的重心， 为中点， ，， ， ，，共线， ， ，， ， ， ，即， ，， ， ， 最大值为， 的范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质． 4．（2024•崇明区二模）如图，点是的重心，的延长线交于点，过点作，交于点，则　　． 【分析】由，得，由点是的重心，得是中点，，得的面积：的面积，故的面积：的面积的面积：的面积． 【解答】解：由， 得， 由点是的重心， 得是中点，， 得的面积：的面积， 故的面积：的面积的面积：的面积． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心，解题关键是找准面积的比例关系． 5．（2024•奉贤区二模）如图，是等腰直角三角形，，，点、分别在边、上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 　　． 【分析】连接并延长，交于，交于，由等腰直角三角形和等边三角形的对称性可知，在上，设，用表示出和的长，在根据的长小于，求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【解答】解：连接并延长，交于，交于，如图： ，，是等腰直角三角形， 也是等腰直角三角形， 又为正三角形， 它的重心在上， ， ，， 设，则，， ， ， 在内部， ， 即， 解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的重心，根据等腰直角三角形和等边三角形的性质，判断出在上是本题解题的关键． 6．（2024•浦东新区二模）如图，已知中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 【分析】根据重心的性质可得，，利用三角形法则求出，进而可得到结果． 【解答】解：中线、交于点， ，， ， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握及灵活运用． 7．（2024•黄浦区三模）如图，在中，，将绕点旋转得到△，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 　　． 【分析】先根据旋转的性质得到，，，根据三角形重心的性质得到为边上的中线，，则，根据斜边上的中线性质得到，所以，接着证明得到，所以△△，然后利用相似比得到的值，从而得到的值． 【解答】解：绕点旋转得到△， ，，， 点为的重心， 为边上的中线，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， △△， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 8．（2024•静安区校级三模）已知等边的重心为，与关于点成中心对称，将它们重叠部分的面积记作，的面积记作，那么的值是　　 【分析】如图，根据点是等边的重心，得到垂直平分，是的角平分线，根据中心对称的性质得到，，，推出是等边三角形，得到，求得它们重叠部分为边长的正六边形，设，则，根据等边三角形的面积健康得到结论． 【解答】解：如图，点是等边的重心， 垂直平分，是的角平分线， ， 设，则， 与关于点成中心对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 它们重叠部分为边长的正六边形， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键． 二．*平面向量（共21小题） 9．（2024•徐汇区三模）如果点是线段的中点，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据点是线段的中点，可以判断，但它们的方向相反，继而即可得出答案． 【解答】解：由题意得：，且它们的方向相反， 有， 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及0与的不同． 10．（2024•闵行区三模）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行向量的性质即可解决问题． 【解答】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．（2024•浦东新区模拟）已知向量与单位向量方向相同，且，那么　　．（用向量的式子表示） 【分析】根据单位向量与向量同向的定义可得答案． 【解答】解：向量与单位向量方向相同，且， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解答本题的关键． 12．（2024•崇明区模拟）如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设那么　　（用向量的式子表示）． 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，再根据平面向量三角形运算法则求解即可． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面向量的三角形运算法则是解题的关键． 13．（2024•虹口区三模）如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量　．　 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可求得，再根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 解得， ． ，， ． ， ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2024•青浦区三模）如图，、分别是的两条中线，设，，那么向量用向量，表示为 　　． 【分析】根据、分别是的两条中线得出，，再根据平面向量的减法运算法则即可求解． 【解答】解：、分别是的两条中线， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平面向量的减法运算法则是解题的关键． 15．（2024•黄浦区三模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点．设，，那么向量用向量、表示是　　． 【分析】根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出，然后根据向量的三角形法则解答即可． 【解答】解：点、分别是边、的中点， 是梯形的中位线，， ， ， ， 由三角形法则得，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半． 16．（2024•闵行区三模）如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边的中点，设，，那么可用、表示为 　　． 【分析】先根据中位线定理求出，再根据平面向量的加减运算法则求出即可求解． 【解答】解：如图，连接， 点是边中点，点是边的中点， 是的中位线， ，且， ， ，， ， ， ， 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键． 17．（2024•杨浦区三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么　　（用含的式子表示） 【分析】首先根据梯形的中位线的性质，求得，又，即可求得的值． 【解答】解：，点、分别是边、的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了梯形的中位线的性质与向量的意义．题目难度不大，解题时要注意分析． 18．（2024•崇明区二模）如图，在梯形中，，，若，，用、表示　　． 【分析】根据等量代换得出，得出，再根据平面向量三角形减法法则求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平行线的性质，熟记平面向量三角形运算法则是解题的关键． 19．（2024•长宁区二模）如图，在中，点在边上，且，点是的中点，联结，设向量，，如果用、表示，那么　　． 【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值． 【解答】解：在中，，，则． ，点是的中点， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用． 20．（2024•嘉定区二模）如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量　　（结果用、表示）． 【分析】根据已知添加求得；然后在中，利用三角形法则来求；最后结合求得答案． 【解答】解：线段是边上的中线， ． ， ． 在中，，，则． 点是的中点， ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量，需要掌握线段中点的定义，三角形中线的定义以及三角形法则． 21．（2024•静安区二模）在中，点、、分别是边、、的中点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 【分析】首先利用三角形中位线定理求得，则；然后由三角形法则求得．代入求值即可． 【解答】解：在中，点、分别是边、的中点， 是的中点． ． ． ，， ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得． 22．（2024•普陀区二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 【分析】根据平行四边形的判定与性质得出，再根据平行线分线段长比例推出，，最后根据平面向量的三角形运算法则求解即可． 【解答】解：，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的三角形运算法则，平行四边形的判定与性质，熟记平面向量的三角形运算法则是解题的关键． 23．（2024•金山区二模）如图，已知平行四边形中，，，为上一点，，那么用，表示　　． 【分析】利用三角形法则，可求得，由平行四边形的对边平行且相等和已知条件可以推知：，继而求得答案； 【解答】解：，， ． ， ． 在中，，， ，． ． ． 故答案为：． 【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 24．（2024•松江区二模）如图，已知梯形中，，，、交于点．设，，那么向量 可用 表示为 　　． 【分析】根据平行线分线段成比例求出和的关系，过作平行线，构造平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则求出，从而可以求得． 【解答】解：， ， ， 过作交于，如图： 四边形为平行四边形， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量，根据平行四边形法则来求解是本题解题的关键． 25．（2024•奉贤区二模）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么　　．（用向量、表示） 【分析】在中，利用三角形法则求得；然后结合求得；最后在中，再次利用三角形法则求得答案． 【解答】解：，， ． ． ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键． 26．（2024•徐汇区二模）如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是 　　（用向量、表示）． 【分析】首先判定是等腰三角形；如图，过点作交于，构造平行四边形，则．所以在中，利用三角形法则求解即可． 【解答】解：， ． 平分， ． ． ． 如图，过点作交于，则四边形是平行四边形． ． ， ． ， ． ，． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量，等腰三角形的判定与性质，梯形．解题的巧妙之处在于作出辅助线，构造平行四边形．将所求的向量置于中，利用三角形法则作答． 27．（2024•虹口区二模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，联结，设，，那么用向量、表示向量　　． 【分析】在中，利用三角形法则求得；然后利用梯形中位线定理来求的长度；最后根据向量的方向作答． 【解答】解：在中，，，则． ，， ． 在梯形中，，，点、分别是边、的中点， 且． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面向量，梯形和梯形中位线定理．注意：平面向量既有大小，又有方向． 28．（2024•杨浦区二模）如图，在平行四边形中，是边的中点，与对角线相交于点，设向量，向量，那么向量　　（用含、的式子表示） 【分析】根据平面向量的平行四边形法则结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【解答】解：量，向量， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是边的中点，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确得出是解题的关键． 29．（2024•黄浦区二模）如图，、分别是边、上点，满足，．记，，那么向量　　（用向量、表示）． 【分析】过点作交于点，根据平行线分线段成比例推出，，再根据平行四边形法则即可得出结果． 【解答】解：． ， 如图，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟记平面向量的平行四边形运算法则是解题的关键． 三．比例线段（共2小题） 30．（2024•虹口区三模）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质变形，再进行判断． 【解答】解：、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项错误； 、，，；故本选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积． 31．（2024•松江区二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． （1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质， 除外）； （2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； （3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案； （2）由菱形的性质得到，，，，判定是等边三角形，得到，因此，即可求出，得到较长线段与较短线段长度的比值是； （3）由等腰三角形的性质得到，由平行线的性质推出，得到，同理：，由等腰梯形的性质推出，得到，由，得到，由三角形内角和定理得到，求出，得到，由平行线的性质得到，求出，由等腰梯形的性质得到，． 【解答】解：（1），（答案不唯一），理由如下： ， ， ， ； （2）如图，菱形中，， 四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 较长线段与较短线段长度的比值； （3）如图，梯形中，，，， ， ， ， ， ， 同理：， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形， ，， 两种长度的线段是，，梯形的各内角度数分别是、，、． 【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形． 四．黄金分割（共1小题） 32．（2024•浦东新区二模）定义：四边形中，点在边上，联结、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 　　． 【分析】过点作，交于点，设梯形的高为，则，，利用新定义的规定得到为梯形的中位线，和中，边上的高为，利用三角形的面积公式求得三个三角形的面积，再利用新定义的规定得到关于的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：过点作，交于点，如图， ，， ． 设梯形的高为，则，． 点是四边形的边上的一个面积黄金分割点， ， ， ， 为梯形的中位线， 和中，边上的高为． ，，． 点是四边形的边上的一个面积黄金分割点， ， ． ． （负数不合题意，舍去）． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了梯形的性质，梯形的中位线，三角形的面积，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 五．平行线分线段成比例（共2小题） 33．（2024•虹口区三模）已知、分别在的、的延长线上，下列给出的条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据选项选出能推出，推出或的即可． 【解答】解： 、， ， ， ， ，， 即不能推出，故本选项错误； 、， ， ， ， ， ， ， ，故本选项正确； 、不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 、不能推出，即不能推出，即不能推出两直线平行，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 34．（2024•虹口区三模）已知：如图，在平行四边形中，、分别是边，上的点，且，、分别交与点和点，，．求： （1）的值； （2）线段的长． 【分析】（1）根据，则，再利用平行四边形的性质即可得出的值； （2）利用，则，进而得出，求出即可． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， ； （2）， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出的长是解题关键． 六．相似图形（共1小题） 35．（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为　　 A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 【分析】分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【解答】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：． 【点评】本题主要考查了图形的相似和垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 七．相似三角形的判定（共1小题） 36．（2024•闵行区三模）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求证：． 【分析】（1）由已知得出，由平行线得出，得出，证出，得出，即可得出结论； （2）由平行线得出，，得出，证出．由已知得出，由平行四边形的性质得出，得出，由相似三角形的判定定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ，， ， ， ，， ． ，， ． ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键． 八．相似三角形的判定与性质（共20小题） 37．（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由四边形是平行四边形，从而，，，又，故垂直平分，进而可以判断；依据题意，可得，又，从而，则，结合，故可判断；由，又，，可得，进而，即，故可判断；由，可得，再由，故，则，从而可以判断． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， 垂直平分． ，正确，故不符合要求． ． ， ． ． 又， ，正确，故不符合要求． ， ，， ，，即． ，正确，故不符合要求． ， ． 又， ． ，错误，故符合要求． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 38．（2024•普陀区二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，延长交于，延长交于，连接，由三角形重心的性质推出、分别是、的中点，，由三角形中位线定理推出，得到，求出，得到，而，判定，得到，求出，由中点定义得到，即可求出，于是得到． 【解答】解：连接，延长交于，延长交于，连接， 是的重心， 、分别是、的中点，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是中点， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的重心，关键是由三角形中位线定理推出，得到． 39．（2024•浦东新区二模）如图，在中，，，．点在边上，且，交边于点，那么以为圆心，为半径的和以为圆心，为半径的的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【分析】利用勾股定理求得，利用平行线的性质求得，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用圆心角等于两圆的半径之和时，两圆外切的性质解答即可得出结论． 【解答】解：，，， ， ， ，． ， ， ，， ， ， ， ， 以为圆心，为半径的和以为圆心，为半径的的圆心距为， ， 与的位置关系是外切． 故选：． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆与圆的位置关系的判定定理，熟练掌握圆与圆的位置关系的判定定理是解题的关键． 40．（2024•杨浦区四模）如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则　16　． 【分析】利用两角相等证明与相似，求出，根据勾股定理分别求出和，根据勾股定理进而求出． 【解答】解：直角梯形且， ， 又， 即， ， 又， ， ， ， 是腰的中点，，， ， 在中，根据勾股定理， ， 在中，根据勾股定理， ， 在中，根据勾股定理， ， 故答案为：16． 【点评】本题考查三角形相似和直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键是找到两个三角形相似． 41．（2024•静安区校级模拟）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则　　． 【分析】先求出，证得，，再证，利用三角形相似的性质可得得长；过点作于点，先求出，，，证，得，进而得，再证，利用相似三角形性质得，，进而得，最后在中，由勾股定理可求得． 【解答】解：四边形为正方形，且边长为， ，，， 点是的中点， ， 中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， 过点作于点，如图： 在和中， ， ， ， ， 中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 即 ， ，， ， ， ， ， ，， ， 中，，， 由勾股定理得： 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 42．（2024•宝山区二模）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 　　． 【分析】设分别交、、于点、、，分别交、于点、，设，由，得，则，，由，得，则，求得，再证明，得，则，求得，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：设分别交、、于点、、，分别交、于点、，设， 正方形、正方形和正方形的一边在同一条直线上， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设，求得，，，是解题的关键． 43．（2024•静安区三模）已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，． （1）求证：． （2）过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取、的中点、，联结、，求证：平分． 【分析】（1）由化成比例式，结合对顶角相等证明，可得结论； （2）如图，连结，，记，的交点为，根据直角三角形斜边中线的性质得：，由三角形的中位线定理得：，再证明是的垂直平分线，证明可得结论． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，连接，，记与交于点， 是的中点，， ，， ， ，分别是，的中点， ， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ，即平分． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些性质是解题的关键． 44．（2024•长宁区二模）已知：在梯形中，，，点在边上（点不与点、重合），点在边上，且． （1）求证：； （2）联结，与交于点，如果，求证：四边形为等腰梯形． 【分析】（1）由，，得，而，可推导出，，进而证明，则； （2）将，变形为，因为，所以，得，再证明，得，则，，所以，由，证明，则，所以四边形为等腰梯形． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）证明：联结，与交于点， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为等腰梯形． 【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明及是解题的关键． 45．（2024•普陀区二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 【分析】（1）由，证明，得，而，所以，则，即可证明四边形为平行四边形； （2）由平行四边形的性质得，由，得，可证明，得，而，所以，则，即可证明． 【解答】（1）证明：，点在的延长线上， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． （2）证明：如图，联结，分别延长、交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 46．（2024•静安区二模）已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点和点，且，联结． （1）求证：； （2）联结和，求证：． 【分析】（1）由矩形的性质得，由于点，于点，得，可推导出，进而证明，则，所以，再证明，得，即可证明； （2）联结交于点，则，所以是梯形的中位线，则，于是得，所以垂直平分，则． 【解答】（1）证明：四边形是矩形， ， 于点，于点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：联结交于点，则， ，， ， ，， 是梯形的中位线， ， ， 垂直平分， ． 【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、线段的垂直平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 47．（2024•青浦区二模）已知：如图，在四边形中，，点是对角线上一点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长分别交线段、的延长线于点、，如果，求证：． 【分析】（1）由，得，则，所以，则四边形是平行四边形，由，且，得，所以，则，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，而，所以，可证明，得，则，再证明，得，所以，再证明，得，则，即可证明． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）证明：如图，延长分别交线段、的延长线于点、， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，且， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 48．（2024•闵行区二模）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【分析】（1）由点、在边上，，得，由，且，得，所以，即可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）由，得，而，所以，而，即可证明，得，所以． 【解答】（1）证明：点、在边上，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出及是解题的关键． 49．（2024•浦东新区二模）已知：如图，在菱形中，点是边上的任意一点（不与点、重合），交对角线于，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【分析】（1）由菱形的性质得，则，得，由，证明，得，所以，即可证明； （2）连接交于点，则，由，且，得，所以，而，即可证明，得，则． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． （2）证明：连接交于点，则，， ， ，且， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 50．（2024•杨浦区二模）已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）联结交于点，如果，求证：． 【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据平行线的性质可得，等量代换可得，于是，又因为，所以四边形是平行四边 形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证； （2）如图，设与交于点，根据等腰梯形的性质可得，根据，可得，根据菱形的性质和垂直的定义可得，，根据四边形的内角和为，可得，又因为，可得，于是，再根据即可得到，利用相似三角形对应边的比相等即可得证． 【解答】证明：（1）平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）如图，连接，交于点，交于点， 在梯形中，，， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰梯形性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 51．（2024•杨浦区四模）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接． （1）求证：； （2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，，根据垂直定义可得，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质可得，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得，从而证明，进而可得，，然后再证，从而可得，再结合（1）的结论可得，最后利用等角的余角相等可得，从而可得，进而利用菱形的判定方法即可解答． 【解答】证明：（1）四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图： 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形为菱形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 52．（2024•金山区二模）如图，已知：是的边上一点，点在外部，且，，交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）根据可以得出，再根据得出，从而得出，即可证明； （2）根据可以得出，进而可以证明倨傲，在根据，可以得出，从而得出结论． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，综合运用等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是本题解题的关键． 53．（2024•浦东新区模拟）如图，已知在中，，分别是，上的点，，．若，则的长是 　6　． 【分析】由平行线的旋转得出，，得出，由相似三角形的旋转得出，代入计算即可求出的长度． 【解答】解：， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 54．（2024•静安区校级三模）如图，在平行四边形中，、分别是平行四边形的两个外角的平分线，，边、分别交两条角平分线于点、． （1）求证：； （2）连接、，如果，求证：． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到．根据平行四边形的性质得到．求得．等量代换得到，同理，于是得到结论； （2）作平分交于点，由角平分线的定义得到，求得，推出，同理，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， 又四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ， 同理：， ； （2）作平分交于点， ， ，且 ， ， 同理：， ， ， ， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 55．（2024•长宁区三模）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，得出，则可得出结论． （2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可． 【解答】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 56．（2024•宝山区校级模拟）在梯形中，，，，点在对角线上，且． （1）求证：； （2）延长交于点，如果，求证：． 【分析】（1）证明，可得结论； （2）连接，根据四边形是等腰梯形，得，则，由等腰三角形三线合一得：，证明，得，再证明，得，由代入可得结论． 【解答】证明：（1），， ，． ，，， ． 在和中，， ， ． （2）连接， ，， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等、相似三角形的性质和判定、等腰梯形的性质，第二问有难度，证明和是关键． 九．相似三角形的应用（共2小题） 57．（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 　18　． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故答案为：18． 【点评】本题考查相似三角形的应用，求出的值是解答本题的关键． 58．（2024•长宁区三模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　7　米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：，， ， ， ， ， （米， 故答案为：7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形（真题5个考点+模拟9个考点） 一．*平面向量（共5小题） 1．（2024•上海）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，设，若，则　　（结果用含，的式子表示）． 2．（2023•上海）如图，在中，点，在边，上，，，联结，设向量，，那么用，表示　　． 3．（2022•上海）如图所示，在中，，交于点，，，则　　． 4．（2021•上海）如图，在平行四边形中，已知，，为中点，则　　 A． B． C． D． 5．（2020•上海）如图，、是平行四边形的对角线，设，，那么向量用向量、表示为　　． 二．平行线分线段成比例（共1小题） 6．（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则　　． 三．相似三角形的判定与性质（共5小题） 7．（2022•上海）如图，在中，，，为中点，在线段上，，则　　． 8．（2024•上海）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 9．（2023•上海）如图，在梯形中，点，分别在线段，上，且，． （1）求证：； （2）若，求证：． 10．（2022•上海）如图所示，在等腰三角形中，，点，在线段上，点在线段上，且，． 求证：（1）； （2）． 11．（2020•上海）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 四．相似三角形的应用（共1小题） 12．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　米． 五．相似形综合题（共1小题） 13．（2021•上海）如图，在四边形中，，，，是对角线的中点，联结并延长交边或边于点． （1）当点在上， ①求证：； ②若，求的值； （2）若，，求的长． 一．三角形的重心（共8小题） 1．（2024•青浦区二模）如图，在中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 2．（2024•宝山区校级模拟）如图，是的中线，点在上，延长交边于点．若．设，那么向量　　（用含的式子表示） 3．（2024•闵行区三模）如图，为等腰直角三角形，，，为的重心，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰（点在直线的上方），为的重心，设、两点的距离为，那么在点运动过程中的取值范围是 　　． 4．（2024•崇明区二模）如图，点是的重心，的延长线交于点，过点作，交于点，则　　． 5．（2024•奉贤区二模）如图，是等腰直角三角形，，，点、分别在边、上，且，已知是等边三角形，且点在形内，点是的重心，那么线段的取值范围是 　　． 6．（2024•浦东新区二模）如图，已知中，中线、相交于点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 7．（2024•黄浦区三模）如图，在中，，将绕点旋转得到△，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为 　　． 8．（2024•静安区校级三模）已知等边的重心为，与关于点成中心对称，将它们重叠部分的面积记作，的面积记作，那么的值是　　 二．*平面向量（共21小题） 9．（2024•徐汇区三模）如果点是线段的中点，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2024•闵行区三模）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024•浦东新区模拟）已知向量与单位向量方向相同，且，那么　　．（用向量的式子表示） 12．（2024•崇明区模拟）如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设那么　　（用向量的式子表示）． 13．（2024•虹口区三模）如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量　　 14．（2024•青浦区三模）如图，、分别是的两条中线，设，，那么向量用向量，表示为 　　． 15．（2024•黄浦区三模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点．设，，那么向量用向量、表示是　 　． 16．（2024•闵行区三模）如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边的中点，设，，那么可用、表示为 　　． 17．（2024•杨浦区三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么　　（用含的式子表示） 18．（2024•崇明区二模）如图，在梯形中，，，若，，用、表示　　． 19．（2024•长宁区二模）如图，在中，点在边上，且，点是的中点，联结，设向量，，如果用、表示，那么　　． 20．（2024•嘉定区二模）如图，在中，线段是边上的中线，点是的中点，设向量，，那么向量　　（结果用、表示）． 21．（2024•静安区二模）在中，点、、分别是边、、的中点，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 22．（2024•普陀区二模）如图，梯形中，，过点作分别交、于点、，，设，，那么向量用向量、表示为 　　． 23．（2024•金山区二模）如图，已知平行四边形中，，，为上一点，，那么用，表示　　． 24．（2024•松江区二模）如图，已知梯形中，，，、交于点．设，，那么向量 可用 表示为 　　． 25．（2024•奉贤区二模）如图，已知点、、在直线上，点在直线外，，，，那么　　．（用向量、表示） 26．（2024•徐汇区二模）如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是 　　（用向量、表示）． 27．（2024•虹口区二模）如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，联结，设，，那么用向量、表示向量　　． 28．（2024•杨浦区二模）如图，在平行四边形中，是边的中点，与对角线相交于点，设向量，向量，那么向量　　（用含、的式子表示） 29．（2024•黄浦区二模）如图，、分别是边、上点，满足，．记，，那么向量　　（用向量、表示）． 三．比例线段（共2小题） 30．（2024•虹口区三模）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是　　 A． B． C． D． 31．（2024•松江区二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． （1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质， 除外）； （2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； （3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 四．黄金分割（共1小题） 32．（2024•浦东新区二模）定义：四边形中，点在边上，联结、，如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，我们称点是四边形的边上的一个面积黄金分割点． 已知：如图，四边形是梯形，且，，如果点是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 　　． 五．平行线分线段成比例（共2小题） 33．（2024•虹口区三模）已知、分别在的、的延长线上，下列给出的条件中能判定的是　　 A． B． C． D． 34．（2024•虹口区三模）已知：如图，在平行四边形中，、分别是边，上的点，且，、分别交与点和点，，．求： （1）的值； （2）线段的长． 六．相似图形（共1小题） 35．（2024•黄浦区二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为　　 A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 七．相似三角形的判定（共1小题） 36．（2024•闵行区三模）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求证：． 八．相似三角形的判定与性质（共20小题） 37．（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 38．（2024•普陀区二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是　　 A． B． C． D． 39．（2024•浦东新区二模）如图，在中，，，．点在边上，且，交边于点，那么以为圆心，为半径的和以为圆心，为半径的的位置关系是　　 A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 40．（2024•杨浦区四模）如图，在直角梯形中，是腰的中点，，，，则　　． 41．（2024•静安区校级模拟）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则　　． 42．（2024•宝山区二模）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为 　　． 43．（2024•静安区三模）已知：如图，四边形的对角线、相交于点，，． （1）求证：． （2）过点作交延长线于点，延长、交于点，分别取、的中点、，联结、，求证：平分． 44．（2024•长宁区二模）已知：在梯形中，，，点在边上（点不与点、重合），点在边上，且． （1）求证：； （2）联结，与交于点，如果，求证：四边形为等腰梯形． 45．（2024•普陀区二模）已知：如图，四边形中，，点在边上，与的延长线交于点，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）联结，分别延长、交于点，如果，求证：． 46．（2024•静安区二模）已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点和点，且，联结． （1）求证：； （2）联结和，求证：． 47．（2024•青浦区二模）已知：如图，在四边形中，，点是对角线上一点，，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长分别交线段、的延长线于点、，如果，求证：． 48．（2024•闵行区二模）如图，在中，点在边上，点在边上，点、在边上，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 49．（2024•浦东新区二模）已知：如图，在菱形中，点是边上的任意一点（不与点、重合），交对角线于，过点作交于点． （1）求证：； （2）当时，求证：． 50．（2024•杨浦区二模）已知：如图，在梯形中，，，，的平分线交延长线于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）联结交于点，如果，求证：． 51．（2024•杨浦区四模）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接． （1）求证：； （2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形． 52．（2024•金山区二模）如图，已知：是的边上一点，点在外部，且，，交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 53．（2024•浦东新区模拟）如图，已知在中，，分别是，上的点，，．若，则的长是 　　． 54．（2024•静安区校级三模）如图，在平行四边形中，、分别是平行四边形的两个外角的平分线，，边、分别交两条角平分线于点、． （1）求证：； （2）连接、，如果，求证：． 55．（2024•长宁区三模）已知：如图，在菱形中，点、分别在边、上，，的延长线交的延长线于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 56．（2024•宝山区校级模拟）在梯形中，，，，点在对角线上，且． （1）求证：； （2）延长交于点，如果，求证：． 九．相似三角形的应用（共2小题） 57．（2024•静安区校级模拟）如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 　　． 58．（2024•长宁区三模）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为　　米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$