专题16 反比例函数及其应用（5考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题16 反比例函数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 反比例函数的性质 2022·广东卷：反比例函数的性质 2023·广州卷：一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质 2023·广东卷：已知自变量的值求函数值 2021·广州卷：反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式 2020·广州卷：反比例函数图象的性质、分式的化简 反比例函数命题侧重考查反比例函数的定义、待定系数法、及反比例函数的性质，在备考中，同学们需重视基础计算，避免马虎丢分，此外也需要掌握反比例函数中系数k的几何意义、以及反比例函数的实际应用和与其相关的综合大题，要掌握基本解题要领。 考点2 反比例函数系数k的几何意义 2021·广州卷：相似三角形、反比例函数的系数k的几何意义 2023·深圳卷：反比例函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质 2022·深圳卷：反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化性质 2024·深圳卷：反比例函数系数k、三角函数 考点3 反比例函数的应用 2022·广州卷：反比例函数的应用，反比例函数的性质 考点4 反比例函数与一次函数综合 2021·广东卷：反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形 考点5 反比例函数与几何综合 2020·深圳卷：反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质 2021·深圳卷：一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等、平面内点的坐标、图形的旋转 2024·广州卷：反比例函数的图象与性质、平移的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用 2020·广州卷：平行四边形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、求函数图象上点的坐标、勾股定理、相似三角形的判定及性质. 考点1 反比例函数的性质 1. （2022·广东·中考真题）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（    ） A． B． C． D． 2. （2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. （2023·广东·中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 4. （2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 5. （2020·广东广州·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 考点2 反比例函数系数k的几何意义 6. （2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 7. （2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 8. （2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ． 9. （2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 考点3 反比例函数的应用 10. （2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 考点4 反比例函数与一次函数综合 11. （2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为． （1）求m的值； （2）若，求k的值． 考点5 反比例函数与几何综合 12. （2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 13. （2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ． 14. （2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 15. （2020·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．    （1）求的值和点的坐标； （2）求的周长． 16. （2024·广东东莞·三模）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 17. （2024·广东揭阳·二模）如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18. （2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 19. （2024·广东广州·二模）反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（   ） A． B． C． D． 20. （2024·广东深圳·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 21. （2024·广东广州·二模）定义新运算：例如 ，则的大致图象是（   ） A． B．C． D． 22. （2024·广东佛山·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 23. （2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 24. （2024·广东汕头·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（    ） A．1 B． C． D． 25. （2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 26. （2024·广东广州·二模）如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 27. （2024·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．则的面积是 28. （2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 29. （2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 30. （2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．    31. （2024·广东深圳·三模）如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点C在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为 ． 32. （2024·广东深圳·三模）如图，在中，，交x轴于点D，，C点坐标为，点A在双曲线上，则 ． 33. （2024·广东云浮·一模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ． 34. （2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 35. （2024·广东深圳·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ． 36. （2024·广东深圳·三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 37. （2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 38. （2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 39. （2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 40. （2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 41. （2024·广东广州·三模）如图，直线：分别交坐标轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图所示的条件下，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线沿y轴平移与反比例函数交于点P，使得．求点P的横坐标． 42. （2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 43. （2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线交反比例函数的图像于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． 44. （2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 45. （2024·广东广州·二模）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求的面积． 46. （2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 47. （2024·广东广州·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点B，直线交反比例函数的图象于点，交于点． (1)直接写出：m的值为_________，的值为_________； (2)连接，当为何值时，的面积最大？ (3)当的面积最大时，直接写出不等式的解集． 48. （2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 49. （2024·广东·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，B两点，与y轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，在x轴正半轴上有一点M，要使，求出点M的坐标． 50. （2024·广东江门·三模）综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． (1)当 时，所对应的的值明显是错误的； (2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 51. （2024·广东广州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点． (1)当点的坐标为时． 求， 的值； 分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 的解集； (2) 若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，点，恰好关于原点对称，求的值． 52. （2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 53. （2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． (1)求k，n的值； (2)求的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 反比例函数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 反比例函数的性质 2022·广东卷：反比例函数的性质 2023·广州卷：一次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质 2023·广东卷：已知自变量的值求函数值 2021·广州卷：反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式 2020·广州卷：反比例函数图象的性质、分式的化简 反比例函数命题侧重考查反比例函数的定义、待定系数法、及反比例函数的性质，在备考中，同学们需重视基础计算，避免马虎丢分，此外也需要掌握反比例函数中系数k的几何意义、以及反比例函数的实际应用和与其相关的综合大题，要掌握基本解题要领。 考点2 反比例函数系数k的几何意义 2021·广州卷：相似三角形、反比例函数的系数k的几何意义 2023·深圳卷：反比例函数的图象与性质、含30度直角三角形的性质 2022·深圳卷：反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化性质 2024·深圳卷：反比例函数系数k、三角函数 考点3 反比例函数的应用 2022·广州卷：反比例函数的应用，反比例函数的性质 考点4 反比例函数与一次函数综合 2021·广东卷：反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形 考点5 反比例函数与几何综合 2020·深圳卷：反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质 2021·深圳卷：一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等、平面内点的坐标、图形的旋转 2024·广州卷：反比例函数的图象与性质、平移的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用 2020·广州卷：平行四边形的性质、待定系数法求反比例函数的解析式、求函数图象上点的坐标、勾股定理、相似三角形的判定及性质. 考点1 反比例函数的性质 1. （2022·广东·中考真题）点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，，在反比例函数图象上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2. （2023·广东广州·中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限， ∴正比例函数经过二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限， 则一次函数图象一定不经过第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． 3. （2023·广东·中考真题）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 【答案】4 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 4. （2021·广东广州·中考真题）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“＜”或“＞”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值范围，再由反比例函数函数值的变化规律得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴点、是反比例函数上的两个点， 又∵， ∴， 故填：>． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解． 5. （2020·广东广州·中考真题）已知反比例函数的图象分别位于第二、第四象限，化简：． 【答案】5 【分析】由反比例函数图象的性质可得k<0,化简分式时注意去绝对值． 【详解】由题意得k<0． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题． 考点2 反比例函数系数k的几何意义 6. （2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数的图象上，点C在函数的图象上，若点B的横坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造K字形相似，由面积比得出相似比为2，从而得出A点坐标与C点坐标关系，而P是矩形对角线交点，故P是AC、BO的中点，由坐标中点公式列方程即可求解． 【详解】解：过C点作CE⊥x轴，过A点作AF⊥x轴， ∵点A在函数的图象上，点C在函数的图象上， ∴，， ∵CE⊥x轴， ∴，， ∵在矩形OABC中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设点A坐标为，则点C坐标为， 连接AC、BO交于点P，则P为AC、BO的中点， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点A坐标为， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，关键是构造相似三角形，根据反比例函数的系数k的几何意义，由面积比得到相似三角形的相似比，从而确定点A与点C的坐标关系． 7. （2023·广东深圳·中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 8. （2022·广东深圳·中考真题）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得． 【详解】解：连接，作轴于点， 由题意知，是中点，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. （2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 考点3 反比例函数的应用 10. （2022·广东广州·中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值； (2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)当16≤≤25时，400≤S≤625 【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案； （2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2， ∴=500米2×20米=10000米3； （2）由（1）得： ， 则（），S随着的增大而减小， 当时，S=625； 当时，S=400； ∴当16≤≤25时，400≤S≤625． 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键． 考点4 反比例函数与一次函数综合 11. （2021·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数图象的一个交点为． （1）求m的值； （2）若，求k的值． 【答案】（1）4；（2）或 【分析】（1）将P点的坐标代入反比例函数解析式，计算即可求得m； （2）分两种情况讨论，当一次函数过一、二、三象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过过P作轴交x轴于点H，证明，即可求出k和b的值；当一次函数过一、三、四象限时，画出图像，将转化为两个三角形相似，过点P作PQ⊥y轴于点Q，证明即可求出k和b的值． 【详解】解：（1）∵P为反比例函数上一点， ∴代入得， ∴． （2）令，即， ∴，， 令，∴， ∵． 由图象得，可分为以下两种情况， ①B在y轴正半轴时，， ∵， 过P作轴交x轴于点H，又，， ∴ ∴， , 即 , ∴， ∴， ∴． ②B在y轴负半轴时，，过P作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵ ， ∴，代入 ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查了反比例函数，一次函数的图像与性质和相似三角形，添加辅助线构造相似三角形，将题目中线段的倍数关系转化为相似三角形的相似比是解题关键． 考点5 反比例函数与几何综合 12. （2020·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k= ． 【答案】-2 【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，AC，交点为P， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP， ∵O（0，0），B（1，2）， ∴P的坐标， ∵A（3，1）， ∴C的坐标为（-2，1）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C， ∴k=-2×1=-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键． 13. （2021·广东深圳·中考真题）如图，已知反比例函数过A，B两点，A点坐标，直线经过原点，将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，则C点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标． 【详解】设：，反比例： 将点A代入可得： ； 联立可得： 过点B作y轴的平行线l 过点A，点C作l的垂线，分别交于D，E两点 则 ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形全等，平面内点的坐标，图形的旋转．解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． 14. （2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. （2020·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线，交于点，函数的图象经过点和点．    （1）求的值和点的坐标； （2）求的周长． 【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28 【分析】（1）将点A（3,4）代入中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明△MEC∽△ADC，得到，求出ME=2，代入即可求出点M的坐标； （2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案. 【详解】（1）将点A（3,4）代入中，得k=， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴MA=MC， 作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E， ∴ME∥AD， ∴△MEC∽△ADC， ∴， ∴ME=2， 将y=2代入中，得x=6， ∴点M的坐标为（6,2）；    （2）∵A（3,4）， ∴OD=3，AD=4， ∴, ∵A（3,4），M（6,2）， ∴DE=6-3=3， ∴CD=2DE=6， ∴OC=3+6=9， ∴的周长=2(OA+OC)=28. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾股定理，相似三角形的判定及性质. 16. （2024·广东东莞·三模）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第二、第四象限， 故选：D． 17. （2024·广东揭阳·二模）如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，求出各点纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：，和和在反比例函数的图象上， ， ，，， ， 故选A． 18. （2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，分和两种情况讨论即可．灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意； 当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项． 故选：A． 19. （2024·广东广州·二模）反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的减小而增大， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故选：B． 20. （2024·广东深圳·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再画出函数图象，根据函数图象得到一次函数图象在反比例函数的图象上方时的取值即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 画出函数图象如下： 由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围是或， ∴不等式的解集是或， 故选：． 21. （2024·广东广州·二模）定义新运算：例如 ，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，一次函数与反比例函数的图象，根据新运算的法则，列出关系式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴当时，函数图象是过原点的向上的直线，当时，函数图象是过第三象限的双曲线； 故符合题意的是：C 22. （2024·广东佛山·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ∴， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. （2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 24. （2024·广东汕头·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x 轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线 于点D，轴于点E，若，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，作于，分别求出、即可求解．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【详解】解：作于． 设， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， 故选：C． 25. （2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于； 故选：C． 26. （2024·广东广州·二模）如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据B、D为线段的三等分点，的面积为2，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及的面积即可求出b的值． 【详解】解：延长交x轴于点Q、P，延长交y轴于点M、N，    ∵B、D为线段的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∴， ∵一次函数的关系式为，即：， 由题意得的面积为， ∴， 解得:（舍去）， 故选：C． 27. （2024·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．则的面积是 【答案】12 【分析】利用待定系数法求得点坐标，把点，代入求得一次函数解析式为，再求得，利用解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，， ， ． ． 一次函数的图象经过点，， ， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 即， ， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，数形结合是解题的关键． 28. （2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点， ∴，，则，，， ∵沿折叠得到， ∴，， 设，则，， 解得，，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键． 29. （2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】// 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 30. （2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键． 延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解． 【详解】解：如图，    延长交点轴于， 的面积为，点是的中点， 设点坐标为， ， ， ， 根据中点坐标公式可得， 都在反比例函数图象上， ， 解得， ． 故答案为：． 31. （2024·广东深圳·三模）如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点C在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题是反比例函数和几何综合题，过C作于E，利用菱形的性质和含角的直角三角形的性质求出点C的坐标，再根据顶点C在反比例函数的图象上求出k的值，即可得到答案． 【详解】解：过C作于E， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点C的坐标为， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴，得， 即， 故答案为：． 32. （2024·广东深圳·三模）如图，在中，，交x轴于点D，，C点坐标为，点A在双曲线上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求的坐标，依据在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．要求的值，通常可求的坐标，可作轴的垂线，构造相似三角形，利用和可以求出的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点的坐标，进而确定的值． 【详解】解：过作轴，垂足为， ， ， ，， ， ， ； 又轴平分，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 33. （2024·广东云浮·一模）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，如图，连接，，设，与轴的交点分别为M，N，由平行四边形的性质可得，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 设，与轴的交点分别为M，N，轴， ∵， ∴， 根据题意，可得． ，， ，解得：， 故答案为3． 34. （2024·广东东莞·三模）直线上有点，过点作轴交图象于点，且则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，根据题意，作图分析，设，则，由此可得，由此即可求解，掌握反比例函数，一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 设，则， ∴， 当时，，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，（不符合题意，舍去），， ∴； 综上所述，点的坐标为， 故答案为：或 ． 35. （2024·广东深圳·三模）如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数的图象上，延长交x轴于点C，延长交y轴于点D，连结，则点P坐标为 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查反比例函数、角平分线定理、勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据角平分线定理得到，再通过反比例函数的解析式即可求出点P的坐标；设，根据角平分线定理推算出，再结合勾股定理建立等式进行换算，最后证明，，根据相似比分别求出和的表达式，最后根据面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、H， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， 设， 则点P的坐标为：， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为：， 设， 则， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴，， ∴ 故答案为：；4． 36. （2024·广东深圳·三模）如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数与几何图形的关系，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 作于点，作轴于点，根据直角三角形的性质，角平分线的性质可得，可求出的值，从而求出的值，根据相似三角形的判定和性质可证，可求出点的坐标，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，且，，， ∴， 解得，，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为： ． 37. （2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 设， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 的面积为1， ， 即， 解得：． 故答案为：． 38. （2024·广东深圳·三模）如图，平行四边形的顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8， ， 即， ， ， ， 即； 点在函数的图象上， ， 即， ， ； 故答案为：2． 39. （2024·广东清远·二模）如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，菱形的性质，连接交轴于点，根据题意得出，，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交轴于点， ∵反比例函数，点坐标为 ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 40. （2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． （1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式； （2）将代入函数解析式求得，比较即可得出结论即可； 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴与之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）将代入函数解析式得：，解得， ∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是， ∵， ∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准． 41. （2024·广东广州·三模）如图，直线：分别交坐标轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)在如图所示的条件下，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线沿y轴平移与反比例函数交于点P，使得．求点P的横坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，然后代入点求得，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可； （2）根据图象即可求解； （3）分两种情况：把向上或向下平移时，如图，过点P作轴，交直线于E，设，则，利用三角形面积公式得到，即可得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交坐标轴交于两点， ∴， 解得， ∴直线为， 把代入，得， ∴， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：关于x的不等式表示一次函数图象在反比例函数图象的下方， 根据图象的：解集为； （3）解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：把向上或向下平移时，如图， 过点P作轴，交直线于E，设，则， ∴， 解得（舍去），（舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 42. （2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； (2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把分别代入（）中所得的函数解析式，求出的值，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设正比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可得，当时，， 由可得，当时，， 由函数图象可得，当时，， ∵， ∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 43. （2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点的直线交反比例函数的图像于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数表达式为： (2)点的坐标为 【分析】本题考查是一次函数与反比例函数的综合，涉及反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的性质并数形结合． （1）先求出点坐标，再用待定系数法即可求解； （2）根据已知条件求出坐标，再求出的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和反比例函数的解析即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 得：， 解得：， ， 将代入反比例函数中，得：， 解得：， 反比例函数表达式为：； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， ， ， 设直线的表达式为：，将，代入， 得：， 解得：， 直线的表达式为：， 联立， 解得：（舍去）或， 点的坐标为． 44. （2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 45. （2024·广东广州·二模）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到． (1)反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图象经过、两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的坐标和点为中点，求出的值，根据旋转得出点的坐标，根据待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）作轴于，根据等角的余角相等可得，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，求得，，，得到点的坐标，过作轴于，根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点为中点， ∴，， 将绕着点逆时针旋转得到， 即，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， 故将代入，求得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：作轴于，如图： ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于，如图： ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，待定系数法求反比例函数解析式，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，割补法求几何图形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 46. （2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质： （1）将点A代入即可求函数解析；将点B代入，求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求m的值； （2）射线交x轴于点M，连接，此时有最大值，求出与x轴的交点即为所求点． 【详解】（1）解：（1）∵图象过点， ∴， ∴； 把点代入， ∴， ∴， ∵过点A，B， ∴把和代入得， ， 解得， ∴， ∵关于x轴对称点在图象上， ∴； （2）解：由（1）得，，，点C关于x轴的对称点为，射线交x轴于点M，连接， ∴， ∴，此时有最大值， 设的解析式为， 把，分别代入中， ， ∴， ∴的解析式为， 令，则， ∴当最大时M的坐标为． 47. （2024·广东广州·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点B，直线交反比例函数的图象于点，交于点． (1)直接写出：m的值为_________，的值为_________； (2)连接，当为何值时，的面积最大？ (3)当的面积最大时，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)8，8 (2)时，的面积最大，最大值为 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，二次函数的最值， （1）将点代入直线即可求得m，代入反比例函数解析式接可求出； （2）由求得M、N的坐标，进而求得面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可． （3）根据题意得到点M的坐标，结合不等式可知求得反比例函数在直线上方的x范围即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵函数中，当时，， 函数中，当时，， ∴点M，N的坐标为，， ∵，即直线在点A下方， ∴， ∴时，的面积最大，最大值为． （3）∵时，的面积最大， ∴点M的坐标为， ∵不等式的解集 ∴． 48. （2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知可得只有一个解，化为一元二次方程，用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴点， 把A、B的坐标代入得， 解得， 故一次函数表达式为：； （2）把一次函数的图象向下平移t个单位得直线， 根据题意可得只有一组解， 即只有一个解， ∴有两个相等实数根， ∴，即， 解得或（因反比例函数在第一象限，舍去）， ∴t的值为1． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． 49. （2024·广东·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，B两点，与y轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接，在x轴正半轴上有一点M，要使，求出点M的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，已知两点求距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法，解方程组即可求解； （2）设点M的坐标为，表示出，求出一次函数与反比例函数的交点，则，故得到，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵，在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式； （2）解：设点M的坐标为， ∵， ∴， 令， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵点M在x轴的正半轴上， ∴， ∴． 50. （2024·广东江门·三模）综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． (1)当 时，所对应的的值明显是错误的； (2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格信息，结合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”即可求解； （2）根据杠杆原理，把代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，对应的的值错误； 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴， 当时，（）， ∴弹簧秤的示数 是时，弹簧秤与中点 之间的距离  ． 51. （2024·广东广州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点． (1)当点的坐标为时． 求， 的值； 分别作出上述一次函数与反比例函数的大致图象(不用列表)，并依据图象，直接写出不等式 的解集； (2)若将函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，点，恰好关于原点对称，求的值． 【答案】(1)，；画图见解析，或； (2)． 【分析】（）待定系数法求解析式即可； 根据函数的图象即可求解； （）由一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，可得， 又点，恰好关于原点对称，则，求解即可； 本题考查了待定系数法，一次函数的平移，一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）将点代入一次函数，得， 解得， 将点代入反比例函数， 得； 由得一次函数，反比例函数， 画图如图：    联立，解得：或， 根据图象可知：当或时； （2）一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，可得， 联立， ∴， ∵点，恰好关于原点对称， ∴点，的横坐标之和为， ∴，解得． 52. （2024·广东清远·三模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，． (1)______，______，点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)，，， (2)点P的坐标为或 【分析】（1）点B是两函数图象的交点，利用待定系数法求出m，k的值；根据“A，B两点关于原点对称”求出点A的坐标，过点A作x轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合图形，求出点C的坐标． （2）根据点P在x轴上，结合图形，排除点P在x轴负半轴上的情形，当点P在x轴正半轴上时，两个三角形中已有一对角相等，而夹角的两边的对应关系不确定，故分类讨论：①；②．分别求出两种情况下的长，从而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴． 将代入，得， ∴． 如图，过点A作轴于点D，则．    ∵点A，B关于原点O对称， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，． 当点P在x轴的负半轴上时，， ∴． 又∵， ∴与不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，． ①若，则， ∵， ∴， ∴； ②若，则， 又∵，， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质．熟练掌握用待定系数法求函数表达式，并能利用数形结合思想和分类讨论思想分析是解答本题的关键． 53. （2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，正方形的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． (1)求k，n的值； (2)求的正切值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入，可求，则，将代入，可求； （2）如图，作轴于，证明，则，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴，； （2）解：如图，作轴于， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的正切值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$