八年级数学第一次月考卷（苏科版，测试范围：第一章～第二章）-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。 2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE 3．（3分）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80° 4．（3分）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格，图形ABCD中各个顶点均为格点，设∠ABC＝α，∠BCD＝β，∠BAD＝γ，则α﹣β﹣γ的值为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．（3分）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　） A．28 B．14 C．21 D．7 6．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷 二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 7．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，一定是轴对称图形的有 　 　个． 8．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　 　． 9．（3分）如图，△ABC≌△ADE，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，则∠CFD＝　 　． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝　 　cm． 11．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　 　个． 12．（3分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为　 　． 13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝6，则AE+AF＝　 　． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C'D平行于△ABC的边时，∠CDB的大小为 　 　． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于 　 　秒时，△PEC与△CFQ全等． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD 求证：∠CEA＝∠DEA． 18．（6分）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． 求证：①BM＝DM；②MN⊥BD． 19．（8分）作图： （1）如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中： ①画出△ABC关于直线l轴对称的△DEF（其中D、E、F是A、B、C的对应点）； ②直接写出△DEF的面积＝　 　． （2）如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC＝a，它的高AD＝h（保留作图痕迹，不写作法）． 20．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 21．（10分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，EC⊥AC，垂足为C，AE交线段BC于F，D是AC边上一点，连接BD，且BD＝AE． （1）求证：CE＝AD； （2）BD与AE有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC． 23．（12分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 24．（12分）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”． （1）请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． （2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 　 　． （3）如图3，△ABC中，∠C∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。 2．测试范围：第一章~第二章（苏科版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．（3分）如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④． 故选：A． 2．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE 【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角， A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件； C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD； D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD． 故选：B． 3．（3分）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　） A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80° 【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析． 【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°； ②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°． 故选：D． 4．（3分）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的3×3网格，图形ABCD中各个顶点均为格点，设∠ABC＝α，∠BCD＝β，∠BAD＝γ，则α﹣β﹣γ的值为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据全等三角形的判定与性质可得∠ECB＝∠GBA，从而可得∠ABC＝90°＝α，再根据三角形外角的性质可得β+γ＝45°，即可求解． 【解答】 解：如图，BE＝AG，∠BEC＝∠AGB＝90°，EC＝GB， ∴△BEC≌△AGB（SAS）， ∴∠ECB＝∠GBA， ∵∠ECB+∠EBC＝90°， ∴∠GBA+∠EBC＝90°， ∴∠ABC＝90°＝α， ∵∠β+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝β， ∵∠ADF＝∠ABD+∠BAD＝45°， ∴β+γ＝45°， ∴α﹣β﹣γ＝90°﹣45°＝45°， 故选：B． 5．（3分）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　） A．28 B．14 C．21 D．7 【分析】连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，由角平分线的性质得OD＝OE＝OF，进而计算△OAB、△OAC、△OBC的面积和便可得结果． 【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F， ∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2， ∴OD＝OE＝OF＝2， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBC AB•OEAC•OFBBC•OD （AB+AC+BC）•OD 28×2＝28， 故选：A． 6．（3分）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 7．（3分）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，一定是轴对称图形的有 　3　个． 【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得解． 【解答】解：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线， 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线， 三角形不一定是轴对称图形， 圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线． 综上所述，是轴对称图形的有3个． 故答案为：3． 8．（3分）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 　SSS　． 【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′， 在△COD与△C′O′D′中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， ∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：SSS． 9．（3分）如图，△ABC≌△ADE，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若∠EAB＝120°，∠B＝30°，∠CAD＝10°，则∠CFD＝　95°　． 【分析】利用全等三角形的性质求出∠CAB＝∠EAD＝55°，再利用三角形的外角的性质求解． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠CAB＝∠EAD， ∵∠EAB＝120°，∠DAC＝10°， ∴∠CAB＝∠EAD（120°﹣10°）＝55°， ∴∠FAB＝∠CAD+∠CAB＝10°+55°＝65°， ∴∠CFD＝∠FAB+∠B＝65°+30°＝95°． 故答案为：95°． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，CN＝2cm，则MN＝　5　cm． 【分析】根据平行线性质和角平分线的性质先证出∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，从而得出OM＝BM，ON＝CN，再根据MN＝MO+ON，即可求出MN的值． 【解答】解：∵MN∥BC， ∴∠OBC＝∠MOB，∠OCB＝∠NOC， ∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线， ∴∠MBO＝∠OBC，∠NCO＝∠OCB， ∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO， ∴OM＝BM，ON＝CN， ∵BM＝3cm，CN＝2cm， ∴OM＝3cm，ON＝2cm， ∴MN＝MO+ON＝3+2＝5cm； 故答案为：5． 11．（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　6　个． 【分析】分两种种情况，CA＝CB，BA＝BC． 【解答】解：如图所示： 分两种种情况： 当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； 当C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 12．（3分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为　3　． 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． 【解答】解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点， ∴AOBC，DOBC， ∴DO＝AO， ∵AO＝3， ∴DO＝3， 故答案为3． 13．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝6，则AE+AF＝　9　． 【分析】根据等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC＝6，∠B＝∠C＝60°，再根据垂直定义可得∠DEB＝∠DFC＝90°，从而可得∠EDB＝30°，∠FDC＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BEBD，CFCD，从而可得BE+CFBC＝6，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6，∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∴∠EDB＝90°﹣∠B＝30°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∴BEBD，CFCD， ∴BE+CFBDCDBC＝3， ∴AE+AF＝AB+AC﹣（BE+CF）＝9， 故答案为：9． 14．（3分）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若∠AEF＝∠FAE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为 　2.4　． 【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明△BDG≌△CDA（SAS），则BG＝AC，∠CAD＝∠G，根据AF＝EF，得∠CAD＝∠AEF，可证出∠G＝∠BEG，即得出AC＝BE＝4，然后利用线段的和差即可解决问题． 【解答】解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG， 在△BDG和△CDA中， ， ∴△BDG≌△CDA（SAS）， ∴BG＝AC，∠CAD＝∠G， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴∠CAD＝∠AEF， ∵∠BEG＝∠AEF， ∴∠CAD＝∠BEG， ∴∠G＝∠BEG， ∴BG＝BE＝4， ∴AC＝BE＝4， ∵∠AEF＝∠FAE， ∴AF＝EF＝1.6， ∴CF＝AC﹣AF＝4﹣1.6＝2.4． 故答案为：2.4． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝56°，∠C＝46°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点C'处，当C'D平行于△ABC的边时，∠CDB的大小为 　118°或67°　． 【分析】分三种情况讨论，一是C′D∥AB，则∠ADC′＝∠A＝56°，所以∠CDC′＝124°，得∠CDB＝118°；二是C′D∥BC，则∠ADC'＝∠C＝46°，得∠CDB＝67°；三是由于点D在AC上，所以不存在C′D与AC平行的情况，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵把△BCD沿BD折叠，点C落在点C′处， ∴∠CDB＝∠C′DB， 当C′D∥AB时，如图1，则∠ADC′＝∠A＝56°， ∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝124°， ∴∠CDB（360°﹣124°）＝118°； 当C′D∥BC时，如图2，则∠ADC'＝∠C＝46°， ∴∠CDB（180°﹣46°）＝67°； ∵点D在AC上， ∴不存在C′D与AC平行的情况， 综上所述，∠CDB＝118°或∠CDB＝67°， 故答案为：118°或67°． 16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿A→C→B的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿B→C→A的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于点E，QF⊥l于点F，则点P的运动时间等于 　2或或12　秒时，△PEC与△CFQ全等． 【分析】分四种情况，点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q都在AC上；点P到BC上，点Q在AC上；点Q到A点，点P在BC上． 【解答】解：∵△PEC与△CFQ全等， ∴斜边PC＝斜边CQ， 分四种情况： 当点P在AC上，点Q在BC上，如图： ∵CP＝CQ， ∴6﹣t＝8﹣2t， ∴t＝2， 当点P、Q都在AC上时，此时P、Q重合，如图： ∵CP＝CQ， ∴6﹣t＝2t﹣8， ∴t， 当点P到BC上，点Q在AC上时，如图： ∵CP＝CQ， ∴t﹣6＝2t﹣8， ∴t＝2，不符合题意， 当点Q到A点，点P在BC上时，如图： ∵CQ＝CP， ∴6＝t﹣6， ∴t＝12， 综上所述：点P的运动时间等于2或或12秒时，△PEC与△CFQ全等， 故答案为：2或或12． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD 求证：∠CEA＝∠DEA． 【分析】首先利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，得出∠CAB＝∠DAB，进一步利用“SAS”证得△ACE≌△ADE，证得∠CEA＝∠DEA． 【解答】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）， ∴∠CAB＝∠DAB， 在△ACE和△ADE中， ∴△ACE≌△ADE（ASA）， ∴∠CEA＝∠DEA． 18．（6分）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点． 求证：①BM＝DM；②MN⊥BD． 【分析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DMAC； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∴BM＝DM； （2）∵点N是BD的中点，BM＝DM， ∴MN⊥BD． 19．（8分）作图： （1）如图1，△ABC在边长为1的正方形网格中： ①画出△ABC关于直线l轴对称的△DEF（其中D、E、F是A、B、C的对应点）； ②直接写出△DEF的面积＝　9.5　． （2）如图，画一个等腰△ABC，使得底边BC＝a，它的高AD＝h（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）①分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得； ②利用割补法求解可得； （2）先画BC＝a，进而作出BC的垂直平分线DM，交BC于D，以D为圆心，h为半径画弧，交DM于点A，连接AB，AC即可． 【解答】解：（1）①如图1所示，△DEF即为所求； ； ②△DEF的面积为4×5﹣0.5×1×5﹣0.5×1×4﹣0.5×3×4＝9.5， 故答案为：9.5； （2）如图2所示．△ABC就是所求的三角形． ． 20．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG． （1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长； （2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝76°，根据等腰三角形的性质求出∠EAB+∠GAC，结合图形计算即可． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC， ∴EA＝EB，GA＝GC， ∵△AEG的周长为10， ∴AE+EG+AG＝10， ∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10； （2）∵∠BAC＝104°， ∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°， ∵EA＝EB，GA＝GC， ∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C， ∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°， ∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°． 21．（10分）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【分析】（1）过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，先通过计算得出∠FAE＝∠CAD＝40，根据角平分线的性质得EF＝EG，EF＝EH，进而得EG＝EH，据此根据角平分线的性质可得出结论； （2）设EG＝x，由（1）得：EF＝EH＝EG＝x，根据S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8可求出x＝2.5，故得EF＝2.5，然后S△ABE＝1/2AB•EF可得出答案． 【解答】（1）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，如图： ∵EF⊥AB，∠AEF＝50°， ∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∴∠FAE＝∠CAD＝40， 即CA为∠DAF的平分线， 又EF⊥AB，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH， ∴点E在∠ADC的平分线上， ∴DE平分∠ADC； （2）解：设EG＝x， 由（1）得：EF＝EH＝EG＝x， ∵S△ACD＝15，AD＝4，CD＝8， ∴AD•EGCD•EH＝15， 即：4x+8x＝30， 解得：x＝2.5， ∴EF＝x＝2.5， ∴S△ABEAB•EF7×2.5． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，EC⊥AC，垂足为C，AE交线段BC于F，D是AC边上一点，连接BD，且BD＝AE． （1）求证：CE＝AD； （2）BD与AE有怎样的位置关系？证明你的结论； （3）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC． 【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可； （3）证出FB＝AB，由等腰三角形的性质可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，EC⊥AC， ∴∠ACE＝∠BAD＝90°， 在Rt△ACE和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL）， ∴CE＝AD； （2）解：BD⊥AE， 证明：∵△ACE≌△BAD， ∴∠CAE＝∠ABD， ∴∠AOD＝∠BAE+∠ABD＝∠BAE+∠CAE＝∠BAC＝90°， ∴AE⊥BD． （3）证明：∵∠ADB+∠DAE＝∠DAE+∠BAE＝90°， ∴∠ADB＝∠BAE， ∵∠CFE＝∠ADB，∠CFE＝∠AFB， ∴∠AFB＝∠BAE． ∴FB＝AB， ∵BD⊥AE， ∴∠ABD＝∠FBD， 即BD平分∠ABC． 23．（12分）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论； （3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF为等边三角形． 【解答】（1）证明：如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立． 理由：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）证明：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA， ∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF， ∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF＝∠FAE， 在△DBF和△EAF中， ， ∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 24．（12分）定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线”． （1）请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． （2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 　72°或36°或45°或（）°　． （3）如图3，△ABC中，∠C∠B，∠B＜45°．画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为x，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可． 【解答】解：（1）如图2，取AB的中点D，则AD＝CD＝BD， ∴△ADC和△BCD是等腰三角形； 如图3，取CD＝BC，则∠CDB＝∠B＝70°， ∵∠A＝35°， ∴∠ACD＝70°﹣35°＝35°， ∴∠ACD＝∠A， ∴AD＝CD＝BC， ∴△ADC和△BCD是等腰三角形； 如图4，作AB的垂直平分线DE，交AC于D，交AB于E，连接BD， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝27°， ∴∠CDB＝54°， ∵∠ABC＝81°， ∴∠CBD＝81°﹣27°＝54°＝∠BDC， ∴CD＝BC， ∴△ADB和△BCD是等腰三角形； （2）①设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图5， 当AD＝BD，BD＝BC时， 设∠A＝x°，则∠ABD＝x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴∠ABC＝∠C＝2x°， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x°+2x°+2x°＝180°， ∴x＝36°，2x＝72°， ∴∠C＝72°， ②设△ABC是以AB、AC为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6， 当AB＝BD，AD＝CD时， 设∠B＝y°，则∠C＝y°， ∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝y°， ∴∠ADB＝2y°， ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB＝2y°， ∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°， ∴y°+2y°+2y°＝180°， ∴y＝36°， ∴∠B＝∠C＝36°， ③设△ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”，如图7， 当AB＝BD，AD＝CD时，AD为BC的垂直平分线， 设∠B＝z°，则∠C＝z°，∠BAD＝z°， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∴z°+z°＝90°， ∴z＝45°， ∴∠B＝∠C＝45°， ④设顶角为x， 可得，x+3x+3x＝180° 解得：x＝（）°， ∴∠C＝3x＝（）°， 故答案为：72°或36°或45°或（）°； （3）∵要画出使得对∠B取值范围内的任意值都成立的“三等腰线”， ∴不能使∠B等于具体的数值， ∴值需要使分割后的三个等腰三角形的底角成比例即可， 第一种画法：如图8， ∵∠C∠B， 设∠B＝2x°，∠C＝3x°， 当AD、DE将△ABC分成BD＝DE，DE＝AE，AD＝AC的三个等腰三角形时， 则有∠BED＝∠B＝2x°，∠ADC＝∠C＝3x°， ∵∠EDC＝∠B+∠BED＝4x°， ∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝x°， ∴∠EAD＝x°， ∴“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠EDA＝2：3：1， 即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立， 第二种画法： ∵∠C∠B， 设∠B＝2x°，∠C＝3x°， 当AD、DE将△ABC分成BE＝DE，AD＝AE，AD＝CD的三个等腰三角形时， 则∠EDB＝∠B＝2x°，∠DAC＝∠C＝3x°， ∵∠AED＝∠B+∠BDE＝4x°， ∴∠EDA＝4x°， 因此，“三等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B：∠C：∠AED＝2：3：4，即可使得对∠B取值范围内的任意值都成立， 综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对∠B取值范围内的任意值都成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$