精品解析：山东省青岛市市南区市南区琴岛学校2022-2023学年九年级下学期阶段性质量检测数学试题

2022-2023年市南分校九年级第二学期 阶段性质量检测 （考试时间：60分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚． 2．本试题共有24道题．其中1-8感为选择题，请将所选答案的标号填写在第8题后面给出表格的相应位置上；9-14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15-24题，请在试题给出的本题位置上做答． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错成选出的标号超过一个的不得分．请将1—8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上． 1. 下列四个数中，其倒数是的是（ ） A B. 5 C. D. 2. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（　　）     A. B. C. D. 3. 下列所给图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个圆的直径是，圆心到一条直线的距离也是，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不能确定 5. 环境监测中是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米米，那么微米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 6. 某服装厂准备加工套运动装，在加工完套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工套，则根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积至少为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是，若，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在第14小题后面给出表格的相应位置上． 9. 计算：=______． 10. 如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则__________． 11. 如图，点都在上，，，，则直径的长是__________． 12. 已知点A在反比例函数的图象上，轴，点C在x轴上，，则反比例函数的解析式为______ ． 13. 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为_________． 14. 如图所示，第一个菱形的边长为，，且点落在轴上，延长交轴于点，以为边作第二个菱形；延长交轴于点，以为边作第三个菱形按这样的规律进行下去，若点…都在一条直线上，则第个菱形的面积为_______． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 如图，在一块三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要使半圆的直径在边AC上，且充分利用原三角形废料，试画出你的设计方案. 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）已知反比例函数（为常数）图象经过点和点，求m，n的值． （2）化简：． 17. 为缓解交通高峰期学校周边交通拥堵问题，学校对学生到校方式做了抽样调查，经调查学生主要有步行、乘私家车、乘学生班车、骑自行车等四种到校方式．根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次共调查了多少名同学？ （2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数； （3）如果该校共有名学生，学校通过动员希望乘坐私家车到校的有改乘学生班车，从安全考虑，每辆学生班车可以乘坐30名学生，那么估计学校至少需要安排多少辆班车？ 18. 某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元． （1）该顾客至少可得到_____元购物券，至多可得到_______元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率． 19. 在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈） 20. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20，拱顶距离水面4． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； （2）设正常水位时桥下水深为2，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由． 22. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 23. 阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整． 问题提出： 在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在1~5这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在1~6这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法． 请继续探究并直接填写答案： （3）在1~7这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有_________种取法． （4）在1~8这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有_________种取法． …… 经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案： ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？ 根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有________________种取法． ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论． 新知运用： 某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应分值为1~20分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有________________种． 问题拓展： 各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案． 24. 如图，在四边形中，，，，，，直线从出发，并始终保持与平行，并以每秒个单位的速度向运动，交于点，交于点，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点运动．当点运动到点时，停止运动，同时直线也停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）线段的长度是_______；当_______时，． （2）求面积与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t使的面积是四边形面积的四分之一？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻，使得是直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023年市南分校九年级第二学期 阶段性质量检测 （考试时间：60分钟；满分：120分） 真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！ 1．请务必在指定位置填写座号，并将密封线内的项目填写清楚． 2．本试题共有24道题．其中1-8感为选择题，请将所选答案的标号填写在第8题后面给出表格的相应位置上；9-14题为填空题，请将做出的答案填写在第14题后面给出表格的相应位置上；15-24题，请在试题给出的本题位置上做答． 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错成选出的标号超过一个的不得分．请将1—8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上． 1. 下列四个数中，其倒数是的是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 2. 如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（　　）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案． 【详解】解：综合三视图，这个几何体中，根据各层小正方体个数可得：主视图一共三列，左边一列1个正方体，右边一列1个正方体，中间一列有3个正方体， 故选D． 【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 3. 下列所给图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 4. 如果一个圆的直径是，圆心到一条直线的距离也是，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系即可判断即可． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的半径为， ∵圆心到直线的距离， ∴圆的半径圆心到直线的距离， ∴直线与圆相离， 故选：A． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 5. 环境监测中是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米米，那么微米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将用科学记数法表示，即可解答． 【详解】解：∵用科学记数法表示为 ∴1微米米， ∴微米米， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 6. 某服装厂准备加工套运动装，在加工完套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工套，则根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的运用，根据题意，设计划每天加工套，则采用新技术后每天加工，结合数量关系列式即可求解，掌握运用分式方程解实际问题的方法是解题的关键． 【详解】解：设计划每天加工套，则采用新技术后每天加工套，共用了天完成， ∴， 故选：D ． 7. 某气球充满一定质量的气体后，当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的运用，根据题意设气压与体积的函数关系式为，运用待定系数法可求出解析式，再根据不等式的性质列式得，由此即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设气压与体积的函数关系式为，且， ∴， ∴气压与体积的函数关系式为， ∴， 解得，， ∴气体体积至少为， 故选：D ． 8. 如图所示，反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是，若，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数与一次函数的图象，解题的关键是熟知函数与不等式的关系． 根据图象，一次函数在反比例函数上方，且函数图象都在x轴的上方即可求解． 【详解】解：根据图象可知当时，，在数轴上表示如下图， 故选D． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）请将9-14各小题的答案填写在第14小题后面给出表格的相应位置上． 9. 计算：=______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后再合并同类二次根式． 【详解】解：= 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的减法，化成最简二次根式再计算，这是通常最直接的做法． 10. 如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等高三角形面积的关系，根据题意，作，可得，根据平行四边形的性质可得，可得，即，由此即可求解，掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴， 故答案为： ． 11. 如图，点都在上，，，，则的直径的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的运用，根据内接四边形对角互补，可得，连接，即为直径，运用勾股定理即可求解，掌握圆内接四边形的性质，直径所对圆周角等于的逆用，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴是圆的直径， 在中，， ∴， ∴直径的长是， 故答案为： ． 12. 已知点A在反比例函数的图象上，轴，点C在x轴上，，则反比例函数的解析式为______ ． 【答案】y=- 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图象在第二象限判断出k的符号，再由S△ABC＝2得出AB•OB的值，进而可得出结论． 【详解】∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k＜0． ∵S△ABC＝2， ∴AB•OB＝2， ∴AB•OB＝4， ∴k＝－4，即反比例函数的解析式为y＝－. 故答案为y＝－. 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 13. 如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点，过点作延长线于点，与轴交于点 ∵， ∴， ∵绕点旋转得， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图所示，第一个菱形的边长为，，且点落在轴上，延长交轴于点，以为边作第二个菱形；延长交轴于点，以为边作第三个菱形按这样的规律进行下去，若点…都在一条直线上，则第个菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形的规律，根据菱形的性质，直角三角形的性质可得第n个菱形的边长为，再根据含30度角的直角三角形可得高为，根据菱形的面积计算即可求解，理解图示规律，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：菱形的边长为，， ∴，， 在中，， ∴， ∵以为边作第二个菱形，则， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 如图所示，过点作于点，过点作于点，以此类推， ∵， ∴，即第一个菱形的高为 同理，，则，即第二个菱形的高为， ∵第个菱形的边长为， ∴第个菱形的高为， ∴第个菱形的面积为：， 故答案为： ． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 15. 如图，在一块三角形的废料上，要裁下一个半圆形的材料，并且要使半圆的直径在边AC上，且充分利用原三角形废料，试画出你的设计方案. 【答案】见解析 【解析】 【分析】如图作∠ABC的平分线BE交AC于O，作OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径画半圆即可． 【详解】解：如图所示. 【点睛】本题主要考查根据要求作圆，本题作图用到了作角平分线和过一点作已知直线的垂线.理解角平行线上的点到角两边距离相等和点到直线的距离即为这一点到这条直线的垂线段非常重要. 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）已知反比例函数（为常数）的图象经过点和点，求m，n的值． （2）化简：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质和异分母分式的加减运算法则是解题的关键． （1）将点A代入反比例函数解出k值，再将B、C的坐标分别代入已知反比例函数解析式，即可求得m、n的值； （2）根据异分母分式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）将代入得， 解得 ∴反比例函数 将代入得，． （2） ． 17. 为缓解交通高峰期学校周边交通拥堵问题，学校对学生到校方式做了抽样调查，经调查学生主要有步行、乘私家车、乘学生班车、骑自行车等四种到校方式．根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次共调查了多少名同学？ （2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数； （3）如果该校共有名学生，学校通过动员希望乘坐私家车到校的有改乘学生班车，从安全考虑，每辆学生班车可以乘坐30名学生，那么估计学校至少需要安排多少辆班车？ 【答案】（1）200名 （2）图见解析， （3）至少需要11辆车 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图信息关联． （1）用步行的人数除以对应的百分比即可； （2）求出骑自行车人数，补全统计图，再用骑自行车的百分比乘以即可得到答案； （3）求出原来坐班车人和后来私家车改乘班车人数的和，再除以30即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人） 答：此次共调查了200名同学； 【小问2详解】 骑自行车人数为：（人） 补全统计图如下： 即扇形统计图中骑自行车方式到校部分的圆心角度数为； 小问3详解】 （人） ……15人 答：至少需要11辆车 18. 某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元． （1）该顾客至少可得到_____元购物券，至多可得到_______元购物券； （2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率． 【答案】解：（1）10，50； （2）； 【解析】 【分析】试题分析：（1）由在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0”元，“10”元，“20”元和“30”元的字样，规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以再箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 试题解析：(1)10，50； (2)解法一(树状图)： , 从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果， 因此P(不低于30元)＝＝； 解法二(列表法)： 0 10 20 30 0 ﹣﹣ 10 20 30 10 10 ﹣﹣ 30 40 20 20 30 ﹣﹣ 50 30 30 40 50 ﹣﹣ 从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果， 因此P(不低于30元)＝＝； 考点：列表法与树状图法. 【详解】请此输入详解！ 19. 在一次数学活动课上，某校初三数学老师带领学生去测河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈，sin31°≈） 【答案】30米 【解析】 【分析】河宽就是点C到AB的距离，因此过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据AB=AD-BD=20，通过解两个直角三角形分别表示AD、BD的方程求解 【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 设CD=x米， 在Rt△BCD中，∠CBD=45°， ∴BD=CD=x米． 在Rt△ACD中，∠DAC=31°， AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，（3分） ∵tan∠DAC=， ∴， 解得x=30． 经检验x=30是原方程的解，且符合题意． 答：这条河的宽度为30米． 【点睛】“化斜为直”是解三角形的基本思路，因此需作垂线（高）构造直角三角形． 20. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20，拱顶距离水面4． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式； （2）设正常水位时桥下的水深为2，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 【答案】（1）y= x2 （2）2.76 【解析】 【分析】（1）若按图中方式建立直角坐标系，则抛物线顶点为坐标原点，故抛物线解析式可设为，再根据水面宽度得到水面与桥的交点坐标，代入即可； （2）不等式问题可先考虑临界点，转化为等式问题，故从水面宽度为作为切入点，求出此时拱顶距离水面的长度，再将拱顶距离水底的长度减去拱顶距离水面的长度，即得水深． 【小问1详解】 由图知，设抛物线的解析式为，且过点 ，， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 不妨考虑桥下水面宽度正好为，此时水面与桥的右交点，代入得： ， ，即拱顶距离水面， ． 答：水深超过时就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 【点睛】本题考查了求抛物线解析式和二次函数的实际应用，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB，则易证△ADC≌△ECD，利用全等三角形的对应边相等即可证得； （2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可． 【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵▱ABDE中，AB=DE，AB∥DE， ∴∠B=∠EDC=∠ACB，AC=DE， 在△ADC和△ECD中，， ∴△ADC≌△ECD（SAS）． （2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AE∥BC，∵D为边长中点，∴BD=CD，∴AE=CD，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE， ∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形． 考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用． 22. 保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】（1）当1≤≤5时；＞5时；（2）经过8个月；（3）5个月 【解析】 【详解】⑴①当1≤≤5时，设，把（1，200）代入，得，即；②当时，，所以当＞5时，； ⑵当y=200时，20x-60=200，x=13， 所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元； ⑶对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为3、4、5、6、7共5个月 23. 阅读材料： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：经过研究，这个问题的一般性结论是，其中n是正整． 问题提出： 在这个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于，共有多少种取法？ 问题解决： 我们研究数学问题时经常采用“特殊到一般”的解决问题的思想，因此我们首先取几个特殊值试试． （1）在1~5这5个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于5，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取5，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5，有两种取法；若最小的数取4，则另一个数只能取5，有一种取法；所以共有种取法． （2）在1~6这6个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于6，共有多少种取法？我们可以这样来研究：若最小的数取1，则另一个数只能取6，有一种取法；若最小的数取2，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取3，则另一个数可以取4、5、6，有三种取法；若最小的数取4，则另一个数可以取5、6，有两种取法；若最小的数取5，则另一个数只能取6，有一种取法；所以共有种取法． 请继续探究并直接填写答案： （3）在1~7这7个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于7，共有_________种取法． （4）在1~8这8个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于8，共有_________种取法． …… 经过以上尝试，我们就可以找到问题的答案： ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？ 根据前面的探究，我们可以列出算式，化简后，共有________________种取法． ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n，共有多少种取法？请你列出算式、化简并写出结论． 新知运用： 某次知识竞赛中，一共有20个小题，对应的分值为1~20分，某选手从中任选两题，得分高于20分的可能性共有________________种． 问题拓展： 各边长都是整数，最大边长为12的三角形有多少个？请直接说出答案． 【答案】（3）12 （4）16 ①；② 新知运用：100 问题拓展：42 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的混合运算，三角形的三边的数量关系，理解题目中数数量关系，找出规律是解题的关键． （3）根据材料提示的方法进行列举即可求解； （4）根据材料提示的方法进行列举即可求解； ①由上述材料总结可得当为奇数时，取法有； ②由上述材料总结可得当为偶数时，取法有； 新知运用：把代入即可求解； 问题拓展：把代入，结合三角形三边数量关系分类讨论即可求解． 【详解】解：（3）∵（1）中从这个自然中，每次取两个数，两数之和大于的取法有种，（2）中从这个自然数中，每次取两个数，两数之和大于的取法有种， ∴从这个自然中，每次取两个，两数之和大于的取法有：，，，，，，共12种， 故答案为：； （4）从这个自然数中，每次取两个数，两数之和大于的取法有：，，共16中， 故答案为：； ①当n为奇数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n， 取法为：， ∴共有种取法； ②当n为偶数时，在这n个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于n， 取法有：， ∴共有种取法； 新知运用： 一共有20个小题，即为偶数， ∴可能性共有种； 问题拓展： 第一种情，当不是等腰三角形时，三角形各边都是整数，最大边为12，即从这12个自然数中，取两个数，根据三角形三角形三边数量关系，取出的两个数的和要大于12，即为偶数， ∴共有种； 第二种情况，当是等腰三角形时，取法有：，共6种； ∴（种）， ∴各边长都是整数，最大边为12的三角形有42种． 24. 如图，在四边形中，，，，，，直线从出发，并始终保持与平行，并以每秒个单位的速度向运动，交于点，交于点，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点运动．当点运动到点时，停止运动，同时直线也停止运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）线段的长度是_______；当_______时，． （2）求面积与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t使的面积是四边形面积的四分之一？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （4）是否存在某一时刻，使得是直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在时，的面积是四边形面积的四分之一，理由见详解 （4）不存在某一个时刻使得是直角，理由见详解 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作于点，交于点，可得四边形是矩形，，在中根据勾股定理可得；用含的式子分别表示出，，，，根据相似三角形的判定和性质可得，由此即可求解； （2）根据题意可证，解得，，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意可得的面积为，由（3）可得，把代入，解一元二次方程即可； （4）假设是直角，运用勾股定理可得，再证，可得，列出关于的一元二次方程，运用根的判别式可得原方程无解，可得假设不成立，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，； 已知直线从出发，并始终保持与平行，并以每秒个单位的速度向运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点运动．设运动时间为秒， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴ ， ∵点运动时间为：，点运动的时间为：，当点运动到点时，停止运动，同时直线也停止运动， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在，理由如下， 梯形的面积为：， ∴的面积是四边形面积的四分之一，则的面积为， 由（3）可得， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴存在时，的面积是四边形面积的四分之一； 【小问4详解】 解：不存在某一个时刻使得是直角，理由如下， 假设是直角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，整理得，， ∵，原方程无解， ∴假设不成立， ∴不存在某一个时刻使得是直角． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握梯形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程的方法等知识的综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$