1.2 集合间的基本关系（8大题型）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.2集合间的基本关系 【考点梳理】 · 考点一. 判断集合的子集（真子集）的个数 · 考点二. 求集合的子集（真子集） · 考点三. 判断两个集合的包含关系 · 考点四. 根据集合的包含关系求参数 · 考点五、判断集合相等关系 · 考点六：由集合相等求参数问题 · 考点七、空集 · 考点八：集合间的基本关系综合问题 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【题型归纳】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型二. 求集合的子集（真子集） 4．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型三. 判断两个集合的包含关系 7．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型四. 根据集合的包含关系求参数 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 11．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 12．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、判断集合相等关系 13．（24-25高一上·上海）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 题型六：由集合相等求参数问题 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 17．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 18．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 题型七、空集 19．（21-22高一上·全国）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（20-21高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 21．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 题型八：集合间的基本关系综合问题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 23．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 24．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高三下·重庆）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 26．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一上·四川资阳·期中）满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 28．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 29．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 30．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 32．（22-23高一上·上海徐汇·期中）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ） A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 二、多选题 33．（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 34．（21-22高二下·重庆·期末）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 35．（22-23高一下·江苏苏州）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 36．（22-23高一上·陕西·期中）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 37．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 38．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 39．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若，，，则的取值范围是 40．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知整数集合关于的方程有整数解，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 四、解答题 41．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 42．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 43．（21-22高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 44．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 45．（22-23高一上·北京西城）设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集. (1)写出的所有子集､所有偶子集： (2)写出的所有奇子集； (3)求证：的奇子集与偶子集个数相等. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2集合间的基本关系 【考点梳理】 · 考点一. 判断集合的子集（真子集）的个数 · 考点二. 求集合的子集（真子集） · 考点三. 判断两个集合的包含关系 · 考点四. 根据集合的包含关系求参数 · 考点五、判断集合相等关系 · 考点六：由集合相等求参数问题 · 考点七、空集 · 考点八：集合间的基本关系综合问题 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 【题型归纳】 题型一. 判断集合的子集（真子集）的个数 1．（23-24高一上·河南开封·期末）集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，利用列举法求化简集合，从而求得集合的真子集个数. 【详解】依题意，得；；； ；；； ；；，故， 其真子集的个数为：． 故选：C. 3．（23-24高一上·吉林·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】列举法表示集合，根据元素个数判断子集个数. 【详解】由题设，列举法表示集合为，共有4个元素， 所以子集的个数是. 故选：C 题型二. 求集合的子集（真子集） 4．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 5．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合,，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由题意可知，用列举法写出满足条件的集合即可. 【详解】解：因为,，， 所以集合可以是：，，共4个， 故选：C. 6．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可. 【详解】因为， 所以集合可以为：， 共8个， 故选：C. 题型三. 判断两个集合的包含关系 7．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A 8．（23-24高一上·湖南长沙·期末）以下五个式子中，错误的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤. A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合与集合的关系以及空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集选择即可. 【详解】对于①，集合与集合的关系是包含和包含于的关系，根据子集的定义知，错误； 对于②，两集合元素相同，所以两集合相等，即，正确； 对于③，由子集性质知，任意集合是本身的子集，所以，正确； 对于④⑤，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以，，错误， 综上，五个式子中错误的个数为3个. 故选：C 9．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，与集合对比，结合子集的定义即可得答案． 【详解】集合,，，,， ． 故选：B． 题型四. 根据集合的包含关系求参数 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】由可知是的子集，解不等式可得的取值范围. 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 11．（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 12．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案. 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 题型五、判断集合相等关系 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求出各集合，即可得出结论. 【详解】易知，，， 只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同． 故选：B 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 【详解】由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 故选：C 15．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】B 【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【详解】由，， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋. 故选：B 题型六：由集合相等求参数问题 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 17．（23-24高一上·全国·期末）已知，，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，解得或 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，. 故选：B. 18．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 题型七、空集 19．（21-22高一上·全国）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可. 【详解】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 20．（20-21高一上·安徽蚌埠·阶段练习）若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可. 【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集， 当时，，满足条件； 当时，有，即，集合是空集，满足条件， 综上所述，集合的子集只有一个时，， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的性质，空集的性质. 21．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 题型八：集合间的基本关系综合问题 22．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】． 【分析】由可知是的子集，对集合是否为空集进行讨论，即可得出实数m的取值范围为． 【详解】解不等式可得， 由可知是的子集， ①当时，， 所以； ②当时，即时， 且， 所以，所以． 综上，实数m的取值范围为． 23．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 24．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【高分演练】 一、单选题 25．（23-24高三下·重庆）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 26．（22-23高二下·河南省直辖县级单位·开学考试）集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 27．（23-24高一上·四川资阳·期中）满足的集合M共有（    ） A．16个 B．15个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据集合满足的条件，列举出所有情况即可. 【详解】集合M满足， 所以集合M可以为： 共有8个. 故选：C 28．（23-24高一上·吉林通化·阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】由，可得为的正约数，又，求出子集的个数即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合，所以集合的子集个数为个． 故选：B． 29．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据集合子集个数确定集合元素只有一个，讨论参数m判断方程仅有一个解情况下m取值. 【详解】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素， 所以有且仅有一个解， 当，则，满足要求； 当，则，满足要求； 综上，满足条件的实数m组成的集合是. 故选：B 30．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故, 故选： 31．（22-23高一上·内蒙古呼和浩特·期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题得可将中元素分组为,,,再根据题意得出是求的非空真子集个数即可. 【详解】由题得, 若元素，则, 可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在, 故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合， 又, 故本题相当于求集合的非空真子集个数. 即个. 故选：C 32．（22-23高一上·上海徐汇·期中）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ） A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 【答案】B 【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断. 【详解】解：对于集合， 可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集； 当时，，，可得是的子集； 当时，，且，可得不是的子集； 综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集. 故选：B. 二、多选题 33．（23-24高一上·福建三明·期中）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的值. 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 34．（21-22高二下·重庆·期末）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合的性质依次判断即可. 【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 35．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断. 【详解】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 36．（22-23高一上·陕西·期中）已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案. 【详解】由题意集合，， 因为，所以当时，，即 ； 当时，有 ，解得， 故,则M的一个真子集可以是或， 故选：BC. 三、填空题 37．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合. 故答案为： 38．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）若，则 . 【答案】 【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合中有元素， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，， 满足， ∴，则. 故答案为：. 39．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若，，，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据和讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】，，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故答案为：. 40．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知整数集合关于的方程有整数解，集合A满足条件：①；②若，则．则所有这样的集合A的个数为 ． 【答案】31 【分析】根据集合，利用韦达定理，可求出集合M，进而根据已知中集合A满足的两个条件，可得互为相反数的两个元素同属于A，或同不属于A，进而得到满足条件的集合A的个数． 【详解】由， 知的整数解，只能是36的约数， 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 当方程的解为时，； 故集合 由集合A满足条件：①；②若，则， 即集合中互为相反数的两个元素同属于集合A或同不属于集合A，共有5对相反数， 得这样的非空集合共有个. 故答案为：31 四、解答题 41．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 42．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 43．（21-22高一上·全国·课后作业）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 44．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 45．（22-23高一上·北京西城·阶段练习）设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集. (1)写出的所有子集､所有偶子集： (2)写出的所有奇子集； (3)求证：的奇子集与偶子集个数相等. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据子集的定义, 以及对应题目中偶子集的定义, 即可得的所有子集、奇子集； （2）根据题意, 分析 的子集, 对应奇子集的定义, 即可得的所有奇子集； （3）设为的奇子集, 根据奇子集和偶子集的定义, 按 1是否属于进行分类, 则得到奇子集和偶子集之间的关系, 分析即可证得结论; 【详解】（1），则的所有子集为： 、、、、、、、; 的所有偶子集为：、、、; （2）由题意可知, 当 时, , 的容量为奇数, 则 为 的奇子集, . 所有的奇子集应为为 、、 、、、 、 、. （3）对于 的每个奇子集 , 当 时, 取 , 当 时, 取 , 则 为 的偶子集. 反之，若 为 的偶子集, 当 时, 取 , 当 时, 取 , 则 为 的奇子集. 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应关系 所以 的奇子集与偶子集的个数相等. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$