1.1 集合的概念（7大题型）-2024-2025学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.1集合的概念 【考点归纳】 · 考点一：集合的概念 · 考点二：元素与集合的关系 · 考点三：根据元素和集合的关系求参数 · 考点四：集合的表示方法 · 考点五：集合的三大特性求参数 · 考点六：集合元素的个数问题 · 考点七：集合的基本概念综合 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 1．（24-25高一上·上海·随堂）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 题型二：元素与集合的关系 4．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期中）若集合，且，则（　　） A． B． C． D． 题型三：根据元素和集合的关系求参数 7．（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 8．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 9．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 题型四：集合的表示方法 10．（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 12．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 题型五：集合的三大特性求参数 13．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 14．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 15．（22-23高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 题型六：集合元素的个数问题 16．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 18．（21-22高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 题型七：集合的基本概念综合 19．（23-24高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 20．（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 21．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【高分演练】 一、单选题 22．（25-26高一上·全国）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 23．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 24．（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 27．（24-25高一上·全国·课后作业）关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 28．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 29．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 33．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．6 D．2 34．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（    ） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 三、填空题 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）方程的实数解组成的集合是 ．（用符号表示） 36．（24-25高一上·上海·随堂练习）用列举法表示所有不大于的正整数组成的集合为 ． 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ． 38．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 四、解答题 39．（24-25高一上·全国）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 40．（23-24高一上·河北邯郸）已知，，求实数的值. 41．（2022高一上·全国）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 42．（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念 【考点归纳】 · 考点一：集合的概念 · 考点二：元素与集合的关系 · 考点三：根据元素和集合的关系求参数 · 考点四：集合的表示方法 · 考点五：集合的三大特性求参数 · 考点六：集合元素的个数问题 · 考点七：集合的基本概念综合 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 1．（24-25高一上·上海·随堂）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的定义和性质判断可得答案． 【详解】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 2．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 3．（2023高一上·江苏·专题练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．参加杭州亚运会的全体电竞选手 B．小于的正整数 C．2023年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体电竞选手是确定的，可以构成集合； 对于B，小于的正整数是确定的，可以构成集合； 对于C，2023年高考数学难题，难题的标准是不确定的，不能构成集合； 对于D，所有无理数都是确定的，能构成集合， 故选：C 题型二：元素与集合的关系 4．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 6．（23-24高一上·重庆·期中）若集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为，可知，故A正确，B错误； 子集关系是集合与集合之间的关系，故C、D错误. 故选：A. 题型三：根据元素和集合的关系求参数 7．（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 8．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 9．（23-24高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求. 【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或. 故选：. 题型四：集合的表示方法 10．（24-25高一上·全国·课后作业）将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合是指（    ）． A．第一象限内的所有点 B．第三象限内的所有点 C．第一象限和第三象限内的所有点 D．不在第二象限、第四象限内的所有点 【答案】D 【分析】根据题意，说明同号，包括零.得到点的意义即可解题. 【详解】,说明同号，包括零. 则表示不在第二，四象限内的所有点. 故选：D． 12．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可. 【详解】由，解得， 所以. 故选：C 题型五：集合的三大特性求参数 13．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 14．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 15．（22-23高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 题型六：集合元素的个数问题 16．（2022高一上·全国·专题练习）设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件计算出所有的值，再借助集合中元素的性质即可作答. 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 17．（23-24高一上·北京·阶段练习）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素， 故选：C 18．（21-22高一上·陕西榆林·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【详解】根据题意， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 题型七：集合的基本概念综合 19．（23-24高一上·全国·课后作业）说明下列各集合表示的含义． (1)； (2) ； (3)； (4) ． 【答案】(1) (2)B表示直线y＝x－3上所有点组成的集合 (3)C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合 (4)D是一个单元素集 【分析】根据集合中元素的特点得出各集合表示的含义． 【详解】（1）A表示y的取值集合，由反比例函数的图象，知． （2）B中的元素是点，B表示直线上所有点组成的集合． （3）C表示一个单元素集，是一个实数对，是以一个点的坐标为元素的集合． （4）D表示一个实数对集，即方程组的解，解方程组得其解为，D是一个单元素集． 20．（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 21．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 【高分演练】 一、单选题 22．（25-26高一上·全国）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 23．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 24．（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得，再由即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 25．（24-25高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的集合的公共属性及各选项中集合表示的数的特征判断即得. 【详解】集合是不超过5的正整数的倒数形成的集合， 对于AB，集合AB中的有负数，AB不是； 对于C，集合中没有，C不是； 对于D，满足对集合的描述，D是. 故选：D 26．（24-25高一上·上海·课后作业）集合，、为实数是指（　　） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第二、四象限的所有点组成的集合 【答案】C 【分析】由已知判断出同号，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】解：集合，、为实数， ， 同号， 当时，集合指第一象限内的所有点组成的集合， 当时，集合指第三象限内的所有点组成的集合， 故是指第一和第三象限内的所有点组成的集合． 故选：C． 27．（24-25高一上·全国·课后作业）关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系得出参数的取值范围即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 28．（24-25高一上·上海·课后作业）已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 29．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 二、多选题 30．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD 31．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 32．（23-24高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 33．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．6 D．2 【答案】AC 【分析】由集合中元素的互异性列式即可求得结果. 【详解】由题意知，，解得且且， 故选：AC. 34．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（    ） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 【答案】ABD 【分析】由定义可得“孤立元素不相邻”可判断A项，结合逆否命题可判断B项，对于C项、D项分别依次列举即可. 【详解】对于A项，由题意，孤立元素不相邻，集合中最多同时找出3个孤立元素，故A项正确； 对于B项，若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B项正确； 对于C项，易知这样的集合A有，，，， ，，，，，共10个，故C项错误； 对于D项，不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有，共6个，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 35．（24-25高一上·上海·随堂练习）方程的实数解组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】只需要说明原方程无实数解，即可得到所求集合为空集. 【详解】由于对任意实数都有，故满足的实数构成的集合为空集. 故答案为：. 36．（24-25高一上·上海·随堂练习）用列举法表示所有不大于的正整数组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据列举法的定义直接写出集合. 【详解】所有不大于的正整数组成的集合为， 故答案为：. 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）若集合中有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据集合中有且仅有一个元素，分析讨论和两种情况即可. 【详解】由集合中有且仅有一个元素， 当时，集合为成立， 当时，方程有两个相等的实根， 则，解得，集合为成立， 综上所述实数的取值集合为. 故答案为：. 38．（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【分析】直接根据定义求出集合中的元素即可. 【详解】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 故答案为：8． 四、解答题 39．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) (5)或 【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可. 【详解】（1）由，解得或， 所以方程的解构成的集合可表示为； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且； （3）由，解得， 则不等式的解构成的集合可表示为； （4）大于且不大于的自然数有，，，，，， 所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为； （5）由，解得， 所以方程组的解构成的集合可表示为或； 40．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 41．（2022高一上·全国·专题练习）设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由，得，进而，得证； （2）反证法证明. 【详解】（1）若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2）若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 42．（23-24高一上·北京房山·期中）已知非空集合．用表示集合中元素的个数．设且，且． (1)若，直接写出以及的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，，从而可得，再分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，, 所以. （2）令，且， 任取两个元素作和，可得：，共个， 任取两个元素作差，可得：，共个， 因此，，则有； 显然，当时，， 此时集合T中只有3个元素，因此， 对于是满足的任意4个实数， 必有， 显然，当时，集合S中只有5个元素， 因此，所以， 综上所述，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$