1.3 绝对值（题型专练）数学浙教版2024七年级上册

（浙教版）七年级上册数学《第1章 有理数》 1.3 绝对值 知识点 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如3和﹣3的绝对值都等于3，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 题型一 绝对值的概念 解题技巧提炼 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 1．（2023•杜尔伯特县二模）符号语言“|a|＝﹣a（a＜0）”转化为文字表达，正确的是（　　） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 2．（2023•婺城区一模）将符号语言“|a|＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是（　　） A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 3．（2023秋•花都区校级期中）下列结论中，正确的是（　　） A．|a|一定是正数 B．﹣|a|一定是负数 C．﹣|﹣a|一定是非正数 D．﹣|﹣a|一定是负数 4．（2023秋•平舆县校级期末）如果|﹣m|＝﹣m，下列m的取值不能使这个式子成立的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．m取任何负数 5．（2023秋•新泰市期末）下列说法正确的有（　　） （1）有理数的绝对值一定比0大； （2）有理数的相反数一定比0小； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023秋•秀屿区期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（　　） A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边 题型二 求一个数的绝对值 解题技巧提炼 利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 1．（2023•宛城区校级四模）绝对值是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•西双版纳一模）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 3．（2024•龙亭区校级一模）的值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 4．（2024•临川区一模）3的相反数的绝对值是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 5． 化简：|－|＝ ；－|－1.5|＝ ；|－(－2)|＝ ． 6．（2023春•龙凤区期末）﹣|﹣6|的相反数是（　　） A．﹣6 B． C． D．6 7．（2023秋•宁津县校级月考）写出下列各数的绝对值． （1）﹣1.5； （2）； （3）﹣6； （4）； （5）3． 题型三 已知一个数的绝对值求这个数 解题技巧提炼 互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． 1．（2024•唐河县一模）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．|﹣x| D．±3 2．（2024•碑林区校级模拟）如果，那么x＝（　　） A． B．或2 C． D．2 3．（2024•二七区模拟）一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•洛宁县一模）绝对值为的数是（　　） A．5 B． C． D．± 5．（2023•睢阳区模拟）一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C．± D．± 题型四 绝对值的非负性 解题技巧提炼 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 1．（2023秋•江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 2．（2023秋•薛城区校级月考）已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝　 　． 3．（2022秋•让胡路区校级期中）如果|a﹣2|+|b|＝0，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2 4．（2023秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　） A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2 5．（2023秋•花垣县月考）若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 6．（2023秋•东莞市校级月考）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）求2|x|﹣|y|的值． 7．（2023秋•江宁区校级月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 题型五 由绝对值性质求最值 解题技巧提炼 由数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 当a=0时， | a |有最小值是0. 1．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 2．（2023秋•东海县期中）式子|x﹣1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023秋•雨花区校级月考）式子|x﹣2023|﹣2的最小值为 　 ． 4．（2023秋•杏花岭区校级月考）当x＝　 　时，|x﹣2|+3最小． 5．（2023秋•锦江区校级期末）当a＝　 　时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　 　． 6．求|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值． 题型六 化简绝对值 解题技巧提炼 化简绝对值，先判断绝对值符号里面的数的正负，然后再利用绝对值的性质化简，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 1．（2023•黄石模拟）如图，|a|﹣a的值为（　　） A．﹣6 B．0 C．3 D．6 2．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 3．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝　 ． 4．（2024春•云梦县校级月考）若0≤a＜1，则|a|+|a﹣1|＝　 　． 5．（2023秋•长寿区期末）数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a﹣|b﹣a|＝　 　． 6．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝　 　． 题型七 利用绝对值解决实际问题 解题技巧提炼 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 1．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 2．（2023秋•沈丘县校级月考）太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•红桥区期中）小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（　　） A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m 4． 世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 5．已知零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（毫米）记作正数，不足规定直径长度的数量（毫米）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径 长度/mm +0.1 ﹣0.15 ﹣0.2 ﹣0.05 +0.25 （1）试指出哪件样品的大小最符合要求？ （2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？ 6．（2023秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）七年级上册数学《第1章 有理数》 1.3 绝对值 知识点 绝对值 ★1、绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如3和﹣3的绝对值都等于3，0的绝对值等于0. ★2、表示方法：如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ★3、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 【拓展】 （1）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （2）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. （3）若两个数的绝对值相等,则这两个数相等或互为相反数，即若 |x|=|y| ，则 x=y 或 x=y . （4）当| a |=a时， a是正数或0；当| a |= ﹣a时，a是负数或0 . 题型一 绝对值的概念 解题技巧提炼 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，如果a表示一个有理数，那么a的绝对值记作 | a |，读作“a的绝对值”. 1．（2023•杜尔伯特县二模）符号语言“|a|＝﹣a（a＜0）”转化为文字表达，正确的是（　　） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：“|a|＝﹣a（a＜0）”的含义是“负数的绝对值等于它的相反数”． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值的性质，理解用字母表示这一性质是解题关键． 2．（2023•婺城区一模）将符号语言“|a|＝a（a≥0）”转化为文字表达，正确的是（　　） A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【分析】根据绝对值的含义和求法，逐项判断即可． 【解答】解：∵一个非负数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数， ∴选项A不符合题意； ∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不是负数的绝对值， ∴选项B不符合题意； ∵非负数的绝对值等于它本身， ∴选项C符合题意； ∵a≥0，表述的是非负数的绝对值，不只是0的绝对值， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，解答此题的关键是要明确：（1）非负数的绝对值等于它本身；（2）负数的绝对值等于它的相反数． 3．（2023秋•花都区校级期中）下列结论中，正确的是（　　） A．|a|一定是正数 B．﹣|a|一定是负数 C．﹣|﹣a|一定是非正数 D．﹣|﹣a|一定是负数 【分析】根据绝对值非负数解答． 【解答】解：由非负数的性质|a|＝|﹣a|≥0，﹣|a|＝﹣|﹣a|≤0， ∴﹣|﹣a|一定是非正数． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题． 4．（2023秋•平舆县校级期末）如果|﹣m|＝﹣m，下列m的取值不能使这个式子成立的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．m取任何负数 【分析】利用绝对值的定义计算并判断． 【解答】解：∵|﹣m|＝﹣m， ∴﹣m≥0，即m≤0， ∴m不可能为正数， 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 5．（2023秋•新泰市期末）下列说法正确的有（　　） （1）有理数的绝对值一定比0大； （2）有理数的相反数一定比0小； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据0的绝对值为0，互为相反数的绝对值相等，即可解答． 【解答】解：（1）有理数的绝对值一定比0大，错误，例如，0的绝对值为0； （2）有理数的相反数一定比0小，错误，例如，0的绝对值为0； （3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或和相反数，故错误； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等，正确． 正确的有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记绝对值的性质． 6．（2023秋•秀屿区期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（　　） A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边 【分析】根据有理数绝对值的意义即可解出． 【解答】解：正数的绝对值等于本身，0的绝对值等于0，负数的绝对值等于它的相反数， 在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上的原点和原点的右边， 故选：D． 【点评】本题考查的是数轴和绝对值，解题的关键是理解绝对值的意义． 题型二 求一个数的绝对值 解题技巧提炼 利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 1．（2023•宛城区校级四模）绝对值是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题依据有理数绝对值的计算即可得到答案． 【解答】解：负数的绝对值等于这个数的相反数，绝对值等于． 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值的性质． 2．（2024•西双版纳一模）﹣2024的绝对值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据绝对值的意义解答即可． 【解答】解：﹣2024的绝对值是2024． 故选：A． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握． 3．（2024•龙亭区校级一模）的值是（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可求解． 【解答】解：， 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的概念，掌握绝对值的概念是关键． 4．（2024•临川区一模）3的相反数的绝对值是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【分析】先求出3的相反数，再求出相反数的绝对值，即可得出答案． 【解答】解：3的相反数是﹣3， ﹣3的绝对值是3； 则3的相反数的绝对值是3； 故选：A． 【点评】此题考查了相反数、绝对值，用到的知识点是相反数、绝对值的定义，是一道基础题． 5． 化简：|－|＝ ；－|－1.5|＝ ；|－(－2)|＝ ． 【分析】根据绝对值的意义解答即可. 【解答】解：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 【点评】根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 6．（2023春•龙凤区期末）﹣|﹣6|的相反数是（　　） A．﹣6 B． C． D．6 【分析】根据相反数的概念解答即可，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：﹣|﹣6|＝﹣6， ﹣6的相反数是6， ∴﹣|﹣6|的相反数是6． 故选：D． 【点评】本题考查了相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 7．（2023秋•宁津县校级月考）写出下列各数的绝对值． （1）﹣1.5； （2）； （3）﹣6； （4）； （5）3． 【分析】根据绝对值的定义逐个进行计算即可． 【解答】解：（1）|﹣1.5|＝1.5； （2）||； （3）|﹣6|＝6； （4）||； （5）|3|＝3． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提． 题型三 已知一个数的绝对值求这个数 解题技巧提炼 互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． 1．（2024•唐河县一模）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．|﹣x| D．±3 【分析】依据绝对值、相反数的定义求解即可． 【解答】解：由题意得：|﹣x|＝3，即|x|＝3，则x＝±3． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是绝对值、相反数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2024•碑林区校级模拟）如果，那么x＝（　　） A． B．或2 C． D．2 【分析】根据绝对值的意义求解即可． 【解答】解：∵ ∴． 故选：C． 【点评】此题考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 3．（2024•二七区模拟）一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【分析】数轴上表示一个数（设为a）所对应的点与原点（0）的距离叫做该数的绝对值记作|a|．正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．据此定义可知，如果一个数的绝对值等于，那么这个数是或． 【解答】解：根据绝对值的意义可知， 如果一个数的绝对值等于，那么这个数是或． 故选：C． 【点评】本题主要考查了学生对于绝对值意义的理解． 4．（2023•洛宁县一模）绝对值为的数是（　　） A．5 B． C． D．± 【分析】根据绝对值的意义求解． 【解答】解：±的绝对值是， 即绝对值为的数是±． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．互为相反数的两个数绝对值相等；绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． 5．（2023•睢阳区模拟）一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C．± D．± 【分析】直接利用绝对值的定义得出答案． 【解答】解：∵一个数的绝对值等于， ∴这个数是：±． 故选：C． 【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键． 题型四 绝对值的非负性 解题技巧提炼 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 1．（2023秋•江阴市期中）对于任意有理数a，下列结论正确的是（　　） A．|a|是正数 B．﹣a是负数 C．﹣|a|是负数 D．﹣|a|不是正数 【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a＝0时|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、a是负数时，﹣a是正数，故本选项错误； C、a＝0时，﹣|a|＝0，既不是正数也不是负数，故本选项错误； D、﹣|a|不是正数，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便． 2．（2023秋•薛城区校级月考）已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝　 　． 【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵|x﹣2|+|y﹣6|＝0，而|x﹣2|≥0，|y﹣6|≥0， ∴x﹣2＝0，y﹣6＝0， ∴x＝2，y＝6， ∴xy＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的非负性，是解决问题的关键． 3．（2022秋•让胡路区校级期中）如果|a﹣2|+|b|＝0，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【解答】解：∵|a﹣2|+|b|＝0， ∴a﹣2＝0，b＝0， 解得，a＝2，b＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．（2023秋•光泽县期中）若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（　　） A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2 【分析】根据绝对值的非负性，可以得知等式成立的条件为a﹣5＝0，b+6＝0，由此得到a＝5，b＝﹣6，继而得到﹣b+a﹣1的值． 【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0， 所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6， 所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值的非负性求代数式的值，掌握绝对值的非负性是本题解题的关键． 5．（2023秋•花垣县月考）若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案． 【解答】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0， ∴a﹣20＝0，b+19＝0， ∴a＝20，b＝﹣19， ∴|a|﹣|b| ＝|20|﹣|﹣19| ＝20﹣19 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键． 6．（2023秋•东莞市校级月考）已知|x﹣2|+|y+3|＝0． （1）求x，y的值； （2）求2|x|﹣|y|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质列式计算即可得解； （2）根据绝对值的性质进行计算即可得解． 【解答】解：（1）由题意得，x﹣2＝0，y+3＝0， 解得x＝2，y＝﹣3； （2）2|x|﹣|y|＝2|2|﹣|﹣3|＝4﹣3＝1． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 7．（2023秋•江宁区校级月考）若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求|x|+|y|﹣|z|的值． 【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值； （2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得． 即x＝2，y＝﹣3，z＝5； （2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时， |x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0， 即|x|+|y|﹣|z|的值是0． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质． 初中阶段有三种类型的非负数： （1）绝对值； （2）偶次方； （3）二次根式（算术平方根）． 当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 题型五 由绝对值性质求最值 解题技巧提炼 由数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 当a=0时， | a |有最小值是0. 1．（2023秋•沈丘县期末）如果x为有理数，式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，这个最大值是（　　） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【分析】根据绝对值的非负性，可知|x﹣2023|≥0，得出式子2023﹣|x﹣2023|存在最大值，即可选出答案． 【解答】解：∵绝对值具有非负性， ∴|x﹣2023|≥0， ∵2023﹣|x﹣2023|有最大值， ∴当|x﹣2023|＝0时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A． 【点评】本题考查的是非负数的性质﹣绝对值，掌握绝对值具有非负性是解题的关键． 2．（2023秋•东海县期中）式子|x﹣1|+2取最小值时，x等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据绝对值非负数的性质解答即可． 【解答】解：∵|x﹣1|≥0， ∴当|x﹣1|＝0时，|x﹣1|+2取最小值， ∴x﹣1＝0， 解得x＝1． 故选：B． 【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题，比较简单． 3．（2023秋•雨花区校级月考）式子|x﹣2023|﹣2的最小值为 　 ． 【分析】根据非负数的性质即可求出|x﹣2023|的最小值，从而求出式子|x﹣2023|﹣2的最小值． 【解答】解：∵|x﹣2023|≥0， ∴|x﹣2023|的最小值是0， ∴|x﹣2023|﹣2的最小值为0﹣2＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了非负数的性质﹣绝对值，理解|x﹣2023|﹣2的最小值是正确解答的前提． 4．（2023秋•杏花岭区校级月考）当x＝　 　时，|x﹣2|+3最小． 【分析】根据绝对值非负数的性质解答即可． 【解答】解：x﹣2＝0，即x＝2时，|x﹣2|+3最小． 故答案为：2． 【点评】本题考查了绝对值非负数的性质，掌握绝对值非负数的性质是关键． 5．（2023秋•锦江区校级期末）当a＝　 　时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是 　 　． 【分析】先根据非负数的性质求出a的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵|1﹣a|≥0， ∴当1﹣a＝0时，|1﹣a|+5会有最小值， ∴当a＝1时，|1﹣a|+5会有最小值，且最小值是5． 故答案为：1，5． 【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任何数的绝对值都是非负数是解答此题的关键． 6．求|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值． 【分析】根据算式的特征，分4种情况讨论：（1）当x≤﹣0.5时，（2）当﹣0.5≤x≤3时，（3）当3≤x≤5时，（4）当x≥5时，求出|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值是多少即可． 【解答】解：根据分析，可得 （1）当x≤﹣0.5时， |x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5| ＝3﹣x﹣1﹣2x+5﹣x ＝7﹣4x 则|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值为： 7﹣4×（﹣0.5）＝9． （2）当﹣0.5≤x≤3时， |x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5| ＝3﹣x+1+2x+5﹣x ＝9 则|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值为9． （3）当3≤x≤5时， |x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5| ＝x﹣3+1+2x+5﹣x ＝3+2x 则|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值为： 3+2×3＝9． （4）当x≥5时， |x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5| ＝x﹣3+1+2x+x﹣5 ＝4x﹣7 则|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值为： 4×5﹣7＝13． 综上，可得|x﹣3|+|1+2x|+|x﹣5|的最小值为9． 【点评】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零． 题型六 化简绝对值 解题技巧提炼 化简绝对值，先判断绝对值符号里面的数的正负，然后再利用绝对值的性质化简，即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 1．（2023•黄石模拟）如图，|a|﹣a的值为（　　） A．﹣6 B．0 C．3 D．6 【分析】观察数轴得出a的值，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，然后进行加减即可． 【解答】解：由数轴可得：a＝﹣3， ∴|a|﹣a＝|﹣3|﹣（﹣3） ＝3+3 ＝6， 故选：D． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义，数轴，有理数的加减法等知识，熟知：正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 2．（2024春•海门区校级月考）已知|m|＝﹣m，化简|m﹣1|﹣|m﹣2|所得的结果为（　　） A．2m﹣3 B．﹣1 C．1 D．2m﹣1 【分析】由|m|＝﹣m，得到m≤0，判断出m﹣1 与m﹣2的正负，然后利用绝对值的性质化简，去括号，合并，即可得到结果． 【解答】解：∵|m|＝﹣m， ∴m≤0， ∴m﹣1＜0，m﹣2＜0， ∴|m﹣1|﹣|m﹣2|＝﹣（m﹣1）+（m﹣2）＝1﹣m+m﹣2＝﹣1． 故选：B． 【点评】此题考查了绝对值的性质和整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2023秋•思明区校级期末）如图，化简|a﹣1|＝　 ． 【分析】判断出a﹣1的取值，再根据绝对值性质计算即可． 【解答】解：由题得a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝1﹣a， 故答案为：1﹣a． 【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质是解题关键． 4．（2024春•云梦县校级月考）若0≤a＜1，则|a|+|a﹣1|＝　 　． 【分析】先根据题意确定a﹣1＜0，然后化简绝对值后合并解题即可． 【解答】解：∵0≤a＜1， ∴a﹣1＜0， ∴|a|+|a﹣1|＝a+1﹣a＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 5．（2023秋•长寿区期末）数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a﹣|b﹣a|＝　 　． 【分析】由图先判断a，b的正负值和大小关系，再去绝对值求解． 【解答】解：由图可得，a＞0，b＜0，且|a|＞|b|， 则b﹣a＜0， a﹣|b﹣a|＝a+b﹣a＝b． 故本题的答案是b． 【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，对绝对值的代数定义应熟记：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零． 6．（2024春•松江区期中）如果a＞3，化简：|1﹣a|﹣|a﹣3|＝　 　． 【分析】根据绝对值的性质进行解题即可． 【解答】解：∵a＞3， ∴|1﹣a|﹣|a﹣3|＝a﹣1﹣（a﹣3）＝a﹣1﹣a+3＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 题型七 利用绝对值解决实际问题 解题技巧提炼 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. 1．有四包真空包装的火腿肠，每包以标准质量450g为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数．下面的数据是记录结果，其中与标准质量最接近的是（　　） A．+2 B．﹣3 C．+4 D．﹣1 【分析】根据正负数的意义，绝对值最小的即为最接近标准的． 【解答】解：|2|＝2，|﹣3|＝3，|+4|＝4，|﹣1|＝1， ∵1＜2＜3＜4， ∴从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为﹣1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 2．（2023秋•沈丘县校级月考）太康肘子是河南特色传统名菜之一，被称为“中原第一肘”．若每包标准质量为1000g，实际质量与标准质量相比，超出部分记为正数，不足部分记为负数，下面4个包装中最接近标准质量的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出各数绝对值，比较大小即可． 【解答】解：|+2.1|＝2.1，|﹣3.4|＝3.4，|+0.8|＝0.8，|﹣0.7|＝0.7， ∴|﹣0.7|＜|+0.8|＜|+2.1|＜|﹣3.4|， 则实际质量最接近标准质量的是﹣0.7g， 故选：D． 【点评】此题考查了正数与负数，正确理解正负数的意义是解题关键． 3．（2023秋•红桥区期中）小明同学在一条南北走向的公路上晨练，跑步情况记录如下：（向北为正，单位：m）：500，﹣400，﹣700，800，小明同学跑步的总路程为（　　） A．800 m B．200 m C．2400 m D．﹣200 m 【分析】求出各个数的绝对值的和即可． 【解答】解：小明同学跑步的总路程为|500|+|﹣400|+|﹣700|+|800|＝2400（m） 故选：C． 【点评】本题考查正负数、绝对值等正数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【分析】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量． 【解答】解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克． (2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球 |－0.15|＝0.15，合格品． 【点评】判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关． 5．已知零件的标准直径是10mm，超过规定直径长度的数量（毫米）记作正数，不足规定直径长度的数量（毫米）记作负数，检验员某次抽查了5件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径 长度/mm +0.1 ﹣0.15 ﹣0.2 ﹣0.05 +0.25 （1）试指出哪件样品的大小最符合要求？ （2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品中，哪些是正品，哪些是次品，哪些是废品？ 【分析】（1）找出表格中数字绝对值最小的即为最符合要求的； （2）求出表格中每个数字的绝对值，根据误差的绝对值在0.18mm之内是正品．误差的绝对值在0.18mm～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm的是废品，即可做出判断． 【解答】解：（1）∵|﹣0.05|＜|+0.1|＜|﹣0.15|＜|﹣0.2|＜|+0.25|， ∴第4个样品最符合要求； （2）∵|﹣0.05|＝0.05＜0.18，|+0.1|＝0.1＜0.18，|﹣0.05|＝0.05＜0.18， ∴第1、2、4件样品是正品， ∵|﹣0.2|＝0.2，且0.18＜0.2＜0.22， ∴第3个样品是次品； ∵|+0.25|＝0.25＞0.22， ∴第5件样品是废品． 【点评】此题考查了正数与负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． 6．（2023秋•太康县期中）为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17． （1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？ （2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是多少元？ 【分析】（1）根据绝对值的定义求出总路程，再计算耗油量； （3）油费＝汽油单价×耗油量． 【解答】解：（1）出租车共行驶了|+15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|+|﹣17|＝87（km）， 共耗油87÷100×10＝8.7（升）． 故这天上午汽车共耗油8.7升； （2）7×8.7＝60.9（元）． 故出租车司机今天上午的油费是60.9元． 【点评】本题考查了正数和负数的意义；解题关键是理解“正”和“负”的相对性；在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$