第04讲 拓展一 第四章 指数函数与对数函数中的新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（人教A版2019必修第一册）

第04讲 拓展一 第四章 指数函数与对数函数中的新定义题 目录 指数函数与对数函数新定义题（小题） 1 指数函数与对数函数新定义题（解答题题） 3 指数函数与对数函数新定义题（小题） 1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 3．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，，定义：若在上恒成立，则称为函数在上的“面积”.函数在上的“面积”之和与下面哪个数最接近（    ） （注①：“面积不重复计算”；②） A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3 5．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ） A． B．的最大值为 C．在上单调递增 D．给定常数，当时，的最小值为 7．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 8．（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 指数函数与对数函数新定义题（解答题题） 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． (1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由； (2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：． (3)求证函数（且）不属于集合． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设的反函数为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”． (1)判断函数是否满足“和性质”，并说明理由； (2)求所有满“和性质”的一次函数． 3．（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. (2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 5．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 7．（23-24高一上·安徽安庆·期末）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”． (1)若函数为“函数”，求实数的值； (2)证明：函数为“函数”； (3)若函数为“函数”，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 拓展一 第四章 指数函数与对数函数中的新定义题 目录 指数函数与对数函数新定义题（小题） 1 指数函数与对数函数新定义题（解答题题） 8 指数函数与对数函数新定义题（小题） 1．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，恒成立，参变分离可得，恒成立，结合函数的单调性求出的最大值，即可得解. 【详解】依题意，恒成立， 即，恒成立， 所以，恒成立， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以当时， 所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据数列的单调性得到，恒成立，再参变分离得到，恒成立. 2．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数的倒数的和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当很大时，.其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，至今为止都不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（    ） （参考数据：，，） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【详解】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知表示不超过实数的最大整数，例如：，，若函数其中，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数的的值域，再根据的定义，即可求解. 【详解】，， ，，所以， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以的值域为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的新定义. 4．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知表示不超过的最大整数，例如，，，定义：若在上恒成立，则称为函数在上的“面积”.函数在上的“面积”之和与下面哪个数最接近（    ） （注①：“面积不重复计算”；②） A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3 【答案】C 【分析】 分段求出时的函数值，然后根据“面积”的定义得出S，根据对数的运算化简，结合已知数值，即可得出答案. 【详解】 因为，所以， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 根据“面积”的定义可知，函数在上的“面积”之和为： ， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据范围求出，再 “面积”的定义得出S，结合对数运算可得结果. 5．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用导数研究函数的单调性可得，结合可得，则；由得，进而，即可求解. 【详解】由题意知，， 设，， 当时，单调递增， 所以，所以. 因为，所以， 得，所以，即； 由，得，所以，即， 所以，即. 综上. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤： (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 常用的不等式： ，， ，，. 6．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）定义区间的长度为，记函数（其中）的定义域的长度为，则下列说法正确的有（ ） A． B．的最大值为 C．在上单调递增 D．给定常数，当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】求函数的定义域，得判断选项A；利用单调性定义证明单调性判断选项C，由单调性求判断函数的最值判断BD选项． 【详解】由，得，，，A选项正确； 设，则， ，，，，在上是增函数， 同理可证，在上是减函数， 所以在上是增函数，在上是减函数，C选项错误； 为最大值，B选项正确； ，，，在上是增函数，在上是减函数， 的最小值为和中较小者， ． 的最小值为，D选项正确． 故选：． 7．（多选）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解. 8．（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 . 【答案】 / / 【分析】由，根据余子式定义转化为二阶行列式列方程可解出；利用余子式定义将转化为二阶行列式经过运算化简得解析式，再借助复合函数单调性同增异减求解减区间即可. 【详解】由三阶行列式根据题意得， 元素的余子式， 解得； 元素2的余子式 则函数 由解得，则定义域为， 令， 则当，函数单调递增，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递增； 当，函数单调递减，又单调递增， 所以由复合函数单调性可知在区间上单调递减； 故单调减区间为. 故答案为：；（填也正确）. 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 . 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 指数函数与对数函数新定义题（解答题题） 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立． (1)函数，其中，判断是否属于集合？说明理由； (2)设函数，其中（且），若函数的图像与的图像有公共点，证明：． (3)求证函数（且）不属于集合． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的定义及性质直接判断； （2）根据集合的定义直接证明； （3）根据集合的定义直接证明. 【详解】（1）对于非零常数， ，， 因为对任意，不能恒成立， 所以. （2）因为函数（且）的图像与函数的图像有公共点， 所以方程组：有解， 消去得， 显然不是方程的解， 所以存在非零常数，使． 于是对于有， 故； （3）假设属于集合，则存在非零常数使得对一切，恒成立 取时， 此时矛盾，所以假设错误，原结论成立． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设的反函数为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”． (1)判断函数是否满足“和性质”，并说明理由； (2)求所有满“和性质”的一次函数． 【答案】(1)不满足，理由见解析； (2)． 【分析】（1）分别求出的反函数和，然后对照，如果解析式相同，就满足“1和性质”，否则，不满足； （2）知道函数的类型为一次函数，可用待定系数法设出函数解析式，因为满足“2和性质”，建立方程，求出参数的值． 【详解】（1）因为函数在时单调递增， 所以， 即的值域为， 由， 得 因为 所以 所以函数的反函数是， 所以， 而， 其反函数为， 因为， 故函数不满足“和性质”； （2）设函数满足“和性质”，， 所以， 所以． 而， 其反函数为， 由“2和性质”定义可知对恒成立， 解得，， 即满足题意的一次函数为． 3．（23-24高一下·甘肃·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离. (1)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？ (2)已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？ (3)若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)最小值为3，理由见解析 【分析】（1）根据曼哈顿距离的定义可得，解绝对值不等式可得答案； （2）根据曼哈顿距离的定义可得恒成立，结合绝对值不等式的意义求出其最小值，解不等式即可求得答案； （3）根据曼哈顿距离的定义可得的解析式，分段讨论，结合函数单调性求得每段上的最小值，综合可得答案. 【详解】（1）因为，，故， 由曼哈顿距离不大于5，得， ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上，的取值范围是. （2）因为， 故， 由题意可得恒成立， 因为， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 所以，则或，解得或. 故的取值范围是. （3）点在函数图象上且，点的坐标为， 故 当时，，函数在上单调递增， 故， 当且仅当时取等号. 当时，. 令，由于，故，. 当时，， 函数在上单调递减，故， 当且仅当时取等号. 综上可知，的最小值为3. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解曼哈顿距离或绝对值距离的定义，并根据此定义去解答问题，特别是第三问的解答，要注意分段讨论，判断函数的单调性，求解最值. 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. (2)已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 【答案】(1)①具有性质，理由见解析；②不具有性质，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求解的取值范围. 【详解】（1）①对任意，， 所以具有性质. ②对任意，得， 取，则，所以不具有性质. （2）由于，函数的定义域为， . 若函数具有性质，则对于任意实数， 有， 即，即. 由于函数在上递增，得， 即. 当时，得，对任意实数恒成立； 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）的关键是对于性质的定义的理解和应用； （2）的关键是通过性质的定义列不等式，然后对参数分类讨论求解. 5．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数. (1)当时，判断函数在上是否“友好”； (2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上“友好” (2) 【分析】（1）判断函数的单调性，利用单调性求出最值，即可判断； （2）根据单调性求出函数的最值，即可得到，参变分离得到，换元，利用函数的单调性求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以， ， 所以， 即，有， 所以当时，函数在上是 “友好”的. （2）依题意可得在上单调递减， 则，， 则有， 即， 即，可得，即， 令，因为，则且， 则， 令，， 令， 令任意的且， 则， 即，所以函数在上单调递减， 同理可得在上单调递增， 又，， 当或时，取最大值，此时， 于是当或时，取最大值， 依题意， 又对于任意的，恒成立，即恒成立， 因为，所以， 即，所以，此时， 综上可得的取值范围是. 6．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）令，即可得到，解得，从而求出即可； （2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，， 所以，即， 解得或（舍去），所以，且 所以函数在上的不动点为. （2）根据已知，得在上有解， 所以在上有解， 令，， 所以，即在上有解， 所以在上有解， 设，，则在上单调递增，故， 所以，可得， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 ， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题. 7．（23-24高一上·安徽安庆·期末）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”． (1)若函数为“函数”，求实数的值； (2)证明：函数为“函数”； (3)若函数为“函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果； （2）令，得，设，，根据图象可知有解，得证； （3）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可. 【详解】（1）由为“函数”， 得，即， 解得，故实数的值为； （2）由， 则，， 令，得， 设，， 如图可知，两函数由一个交点， 即存在实数，使得成立， 所以函数为“函数”； （3）函数有意义，则，定义域为 因为函数为“函数”， 所以存在实数使得成立， 即存在实数使得， 所以存在实数使得成立，即， 所以当时，，满足题意； 当时，，即， 解得且， 所以实数a的取值范围是 【点睛】思路点睛：本题考查了函数的新定义，解题的关键是理解函数为“函数”的定义，每一问套用定义得到关于的方程，解方程或讨论方程有解. 学科网（北京）股份有限公司 $$